Исследование комплекснозначного нелинейного уравнения в частных производных Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

О. В. Новикова

ИССЛЕДОВАНИЕ КОМПЛЕКСНОЗНАЧНОГО НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Рассмотрено нелинейное комплекснозначное уравнение в частных производных. К данному уравнению применены некоторые способы нахождения точных решений, присущие уравнениям с солитоноподобны-ми решениями. В частности, проведено исследование уравнения на наличие свойства Пенлеве, найдены решения в виде рядов Лорана, точные решения в виде бегущих волн и решения, полученные методом Хироты.

Several ways of finding of the exact solutions inherent in the equations with soliton like solutions were applied to the given equation. In particular the presence of property of Penleve in the equation was conducted, solutions in the form of numbers of Lorana, exact solutions in the form of running waves and solutions received by the method of Hiroty were found.

Ключевые слова: свойство Пенлеве, особые точки, полюсные особенности, ряд Лорана, метод Хироты, бегущие волны.

Key words: property of Penleve, special points, polar pecularities, a number of Lorana, a method of Hiroty, running waves.

Свойство Пенлеве заключается в отсутствии подвижных критических точек у решений дифференциальных уравнений. Особенности называются неподвижными, если их расположение не зависит от по-

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2012. Вып. 4. С. 160—166.

стоянных интегрирования. К критическим особым точкам относятся точки ветвления (алгебраические и логарифмические) и точки существенных особенностей. Это означает, что от произвольных постоянных интегрирования может зависеть только положение полюсов. Большинство нелинейных дифференциальных уравнений не обладает этим свойством. Нелинейные уравнения в частных производных могут иметь как подвижные, так и неподвижные особые точки. Уравнения же солитонного типа обладают свойством Пенлеве.

Для исследования вопроса, имеет ли уравнение

Р - ¿Рхх + 2рр2 + Р2 )= 0 (1)

подвижные критические точки, воспользуемся методом, описанным Абловицем, Рамани и Сегуром [1]. Так как уравнение (1) описывает поведение комплексной функции, то выделим действительную и мнимую части, т. е. представим ее в виде р(хД) = и(хД) + го(хД); тогда уравнение после отделения действительной и мнимой частей примет вид системы уравнений в частных производных на две действительные функции

к + ъхх - 4и(и2 - V2 )=а К + ихх- 4и(и2 - ^ )=0.

Подставив в исходную систему уравнений заданные оценки, получим, что старшие степени будут совпадать при нескольких вариантах, если

(3)

\-3М = -М - 2N = -М - 2,

[-3# = -N - 2М = -N - 2;

'-3N = -N - 2,

< - N -1 = -М - 2N, (4)

-М -1 = - N - 2М,

и в силу симметрии системы (2) возможен также случай, когда выполняются равенства

-3М = -М - 2,

-1 = -М - 2N, (5)

-М -1 = - N - 2М,

откуда первый вариант дает N = М = 1; второй определяет следующие значения: М = 0, N = 1; третий — N = 0, М = 1. Если бы N или М не являлись целыми, то мы получили бы алгебраическую точку ветвления и система уравнений (2) не обладала бы свойством Пенлеве.

Вывод: в случае (3) и функция и(хД), и v(x,t) имеют особенность в виде полюса первого порядка; в случае (4) и(хД) имеет полюс первого порядка, а функция с(хД) не имеет особенностей и представляет собой простой ряд Тейлора; в случае (5) с(хД) имеет полюс первого порядка, а функция и(хД) не имеет особенностей.

Рассмотрим первый случай.

161

162

Теорема 1. Система уравнений (2) обладает свойством Пенлеве и имеет решение в виде рядов Лорана с полюсом первого порядка:

да да

и(х, * )=*£ ап (* , х, * Ьп (* / (6)

п=-1 п=—1

где \ = х — <;(*), Ь—1 (), а2 () — произвольные функции;

й—і(*)= ±/1+^1' Ь°(*^± 1 1+Ь-1' й°()=І?Ь—^ аі(*) = Ь-'їїИ^' Ь()ЖЬ—1 ±-Ь^

1К; 6 12 V 2 —1 12 1 , /1 . , 2

+Ь

ь, = ±-^,4+ь— — д

ь-1^2"~1 1вь-1

остальные коэффициенты определяются рекуррентными формулами.

Доказательство. Так как система уравнений (2) имеет два уравнения второго порядка, то общее решение должно зависеть от трех произвольных функций, играющих роль постоянных интегрирования. Определим, при каких степенях могут возникнуть произвольные функции. Положим и ~ а_1^^1 + аТ-1£Т-1, V ~ Ь-1£-1 + Ьг-1£г-1, тогда система (2)

9- -3

даст следующие соотношения для высшей степени £ :

Г2Ь-1- 4Ь-1 (а-\ - ь-1 )=o,

"[г а-1 - 4а-1 (а-1 - Ь^) = 0, что дает значение для старшего коэффициента

Я—1 = ±у -1 + Ь—21()' (8)

где Ь—1 (*) — произвольная функция. Коэффициенты при ^г—3 удовлетворяют равенствам:

Г(г — 1)(г — 2)ЬГ—1 — 4[2Ь—1 Я—1 Яг—1 + Ьг—1Я—1 — 3Ь,_^ ] = 0,

[(г — 1)(г — 2)яг—1 + 4[2Ь—1 я—1ЬГ—1 + яг—1Ь—1 — 3яг—1 я—1 ] = °.

Выполним подстановку значения (8) в полученную систему (9), тогда Г[(г — 1)(г — 2) — 2]ЬГ—1 = 8Ь—1 (я—1 Яг—1 — Ь—1ЬГ—1)' (10)

1КГ — 1)г — 2) — 2]Яг—1 = 8Я—1 (я—1Яг—1 + Ь—1Ьг—1 )•

Умножим первое равенство системы на я—1, а второе на Ь—1, тогда получим равенство [г — 1)(г — 2)— 2]] 1 я—1 — яг—1Ь—1 )= 0, которое выполняется тождественно, если г является корнем алгебраического уравнения. Определим положительные корни г = 0; 3, тогда — с учтем поправки на наивысшую степень — получим степени: -3; 0, при которых возникают произвольные коэффициенты. Выполнив преобразования в

1

системе и используя ранее найденное значение для а_1 в виде (8), получим следующие значения коэффициентов

Ь0 (* )=± -1 ^1 + Ь-1 / Яр (* ) = -1

(11)

1 І "І п = -1

я-1 = 4[2я-1 ( я1 + Ь0 я0 ) + Ь1 (я-1 - ЗЬ^)+Ь-1Я - 3Ь^)] = 0, Ь-1 = 4[я1 (Зя^ -[)+ я-1 (Зя2 - Ь02)-2Ь-1 (я-1Ь1 + Ь0я0)] = 0.

Отделяя переменную я1 от Ь1, получим однозначное определение этих функций в виде:

я, (о=Ь1 /^^ь2:, ь, (, )=<5ї. Ь1 ^ь-ь-

1Ч/ 6 12 V 2 -1 1Ч/ 12 -1 6^

п = 0:

6 12 V 2 ^ ^ ^12 + Ь^

Я0 - я^ + 2Ь2 (1 - 2я-1 + 6Ь-1) = 8[Ь-1 Я-1Я2 +

+ Ь-1 (я0я1 - 3Ь0Ь1) + я-1 (я0Ь1 + Ь0я1)] + 4(0я0 - Ь3), Ь0 -Ь1д' + 2я2(1 -6я-1 + 2Ь-1 )= 8[я-1 (Зя0я1 -Ь0Ь1 )-- Ь-1 я-1Ь2 - Ь-1 (Ь0я1 + я0Ь1)] - 4(я0Ь^ - я3).

(12)

Если из первого равенства выразить Ь2 и подставить во второе соотношение системы, то после подстановки ранее найденных значений оно выполняется тождественно; следовательно, я2 (*) остается произвольной функцией, а

Ь2 (*) = +-ЯЦ/— + Ь21--. (13)

2У’ Ь-1\2 -1 16Ь-1 4 ’

Для п-й степени £,:

Яп -(п + 1)яп+1^' + (п + 2)(п + 1)Ьп+2 =

п+2 п+2-(

4 Е bj Е (акап+2-j-к- ЬА+2-j-к); (14)

і=-і к=-і

Ь'п -(п + 1)Ьп+1^' + (п + 2)(п + 1)яп+2 =

п+2 п+2-j

= 4 Е ^ Е (п+2-(-к - ЬкЬп+2-(-к )• (15)

(=-1 к=-1

В результате функции и(х,*) и с(хД) имеют локальное разложение, которое может быть записано в виде рядов Лорана с тремя произвольными функциями от *: д(*), Ь-1 (*), я2 (*), следовательно, свойство Пенлеве для системы уравнений (2) выполняется. Теорема доказана.

Теорема 2. Система уравнений (2) обладает свойством Пенлеве и имеет решение в виде рядов Лорана с полюсом первого порядка

да да

и(х, *)=е яп(^, v(x, *)=Е Ьп(^п, (16)

п=-1 п=0

где \ = х - <;(*), <;(*), Ь2 (*), я3 (*)- произвольные функции;

163

164

1 с' (с')2

ал(t^ = bo(t) = *~ъЦ' a°(t) = 0' Й1 (t^ = ± rU2r b(t^ 0'

с'' с'с''

Й2(t) = ±^/2' Ьз(i) = ±l^/2' остальные коэффициенты определяются рекуррентными формулами

(

1

Яп+2 2,о /і

n + 3n - 4

4я-i£(+1-, - bjbn+i-j)-К +

v i=0

~(n + I)bn+1< + 4Е^-ПЕ(n-,-k -ЬА-j-k) |;

j=0 k=0 j

C n+1

(17)

b =-1—

n+2 2 , о

n2 + 3n

я-1 Ї ЯД+1-j - яП +(n + 1)an+ic' +

V j=0

n n-j

+4Zbj ї

j=0 k=0

■ЯА- j-k

Abn-j-k )

(18)

Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 1. Алгоритм метода Хироты состоит в следующем.

1. Произвести замену зависимой переменной так, чтобы уравнение имело билинейную функцию.

2. Рассматривать формальные ряды теории возмущений.

3. Построить М-солитонные решения.

Теорема 3. Нелинейное уравнение в частных производных (1) имеет решение в виде

p(x, t) = -

b1a1

c0 (1 + i)- q ea1x+a1t (1 - i)

n і 2 2 a!x+an t

8с0с1 + b1 a 1 e 1

(19)

1-0И 1

где р(хЛ) - комплекснозначная функция; с0, с1, Ь1, а 1 - произвольные постоянные.

Доказательство. Выполним в системе уравнений (2) замену функций и(хД) и v(x,t) на частное двух функций:

„(x,() = Щ, v(x,t) = ЯМ

Q(x, t)'

Q(x, t)

(20)

и подставим соответствующие производные этих функций в данную систему. Используем оператор дифференцирования Хироты [2], определенный на упорядоченной паре функций a(x), x(x) следующим образом:

д

Dxст о х = lim—a(x + e)x(x - є) = ctxх - cttx,

MO дЄ

где символом «о » обозначается упорядоченное произведение двух функций ct(x), x(x). Тогда производные перепишем в виде:

DtR о Q = RtQ - QtR, DtW о Q = WtQ - QtW, D2XQ о Q = 2QXXQ - 2Q2X,

D2XR o Q = RxxQ - 2RxQx + QxxR, D2 W o Q = WXXQ - 2WXQX + QxxW.

Так как при подстановке (20) общий знаменатель в системе (2) имеет вид Q3, то запишем только числитель:

ÍQDtR о Q - WDX2Q о Q + QD¡ W о Q - 4WR2 - W2) = 0, [QDtW о Q - RDX2Q о Q + QD¡R о Q - 4r(r2 - W2)= 0.

Данная система распадается на три уравнения:

DtR о Q + D2x W о Q = 0,

<DtW о Q + Dx2R о Q = 0, (21)

D2XQ о Q + 4(R2 - W2)= 0.

Представим функции R, W, Q в виде рядов

да N

R=a0 +2 Rj, Rj=2й”еTm, уj= k¡(аjx+рt

д ,х -

. j j j

j=1 m=1

да N

W = c0 + 2 W,, Wj = 2 cme°m / 0j =T, (a ,x + P1)

j=1 m=1

да N

Q = b0 + 2 Q, ' Q =2 hme&m , 0 j = gj (a jx + Pt)'

j=1 m=1

где a0, b0, c0, a,., bj, c,, a,., P j, kj, tj, g,. - const.

В методе Хироты предполагается, что ряды можно обрывать и, определяя связь между имеющимися параметрами, получить точное решение исходной системы. Рассмотрим простейший случай, когда N = 1:

R = a0 + a1e11, W = c0 + c1e01, Q = b0 + b1e01. (22)

Определив соответствующие производные этих функций и подставив их в систему (21), найдем, что одной из возможных связей между аргументами показательных функций является случай, когда

01 = о1 = у 1. При этом предположении для того, чтобы система (21) вы-

полнялась тождественно, необходимо наложить следующие условия на

коэффициенты: a0 = с0, а1 =-с1, b0 = ■8С0сг, P1 =a2, c0, q, b1, a1 —

b1a1

произвольные постоянные. Выполнив подстановку найденных значений в равенства (22) и (20), найдем функции u(x,t) и v(x,t). Таким образом, частное решение уравнения (1) примет вид (20).

Теорема 4. Нелинейное уравнение в частных производных (1) имеет частные решения в виде бегущих волн

p (x, t) = sh (ax -(4 + a2) t + 5) + i ch (ax -(4 + a2) t + 5), p (x, t) = ch (ax + (4 - a2 )t + 5)+i sh (ax + (4 - a2 )t + 5).

165

166

Доказательство. Положим u = sh fx,t), v = ch f(x,i). Подставив функции u и v и их частные производные в систему уравнений (2), получим

{/ + (/Х )2 + 4)ch f + fXx sh f = 0,

I/ + /x )2 + 4)sh f + /Xx ch f = 0.

Система (24) совместна, если выполняется условие f(x,t) = ax + pi + 5, где p = -4 - a2. Учитывая, что p = u + iv, решение примет вид (23).

Рассмотрев случай, когда u = ch f(x,i), v = sh f(x,i), получим второе частное решение.

В результате проведенных исследований доказано выполнение свойства Пенлеве для исследуемого уравнения, найдены его решения в виде рядов Лорана, точные решения в виде бегущих волн и решения, полученные методом Хироты.

Список литературы

1. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи / пер. с англ. М., 1987.

2. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М., 1989.

Об авторе

Ольга Викторовна Новикова — асп., Ставропольский государственный университет.

E-mail: [email protected]

About author

Olga Novikova — PhD student, Stavropol State University. E-mail: [email protected]