Возбуждение трехмерной нерегулярной и незамкнутой структуры Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

РАДИОТЕХНИКА/^^.,

ж ▼ л

УДК 517.958:537.8

ВОЗБУЖДЕНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ НЕРЕГУЛЯРНОЙ И НЕЗАМКНУТОЙ СТРУКТУРЫ

ДОРОШЕНКО В. А.________________________

Рассматривается задача рассеяния электромагнитных волн на конической поверхности, состоящей из двух полубесконечных круговых идеально проводящих тонких конусов с периодически прорезанными вдоль образующих щелями. Источником электромагнитного поля является радиальный диполь, поле которого меняется во времени по заданному закону. В результате использования интегрального преобразования Мел ера-Фока и метода полуобращения исходную электромагнитную задачу удалось свести к решению системы линейных алгебраических уравнений второго рода. Приводится аналитическое решение задачи для сплошного биконуса и полупрозрачной конической структуры.

1. Введение

Одним из традиционных подходов к решению задач распространения и рассеяния электромагнитных импульсов является подход, основанный на решении этих задач для монохроматической электромагнитной волны с последующим применением обратного преобразования Фурье. Применение такого подхода эффективно в случае длинных электромагнитных импульсов. Использование его для исследования задач рассеяния пикосекундных электромагнитных импульсов приводит к ряду трудно -стей, связанных, в частности, с резким увеличением объема вычислений и повышением требований к точности решения в спектральной области из-за накопления ошибок при переходе во временную область [1]. В последнее время значительно возрос интерес к численным методам, которые дают возможность решать уравнения Максвелла сразу во временной области [2-4]. Эти методы обладают рядом достоинств, но не лишены и недостатков. Так, их применение возможно только при наличии мощных ЭВМ, полученные численные результаты требуют тестирования, например, путем сравнения их с уже известными решениями задач в строгой постановке и проверки выполнения граничных и начальных условий и т.д. Численные решения дают возможность, в основном, изучить электродинамические характеристики количественно, не прибегая к качественному анализу, например, структуры рассеянного поля и спектра граничной задачи. Зачастую качественный анализ можно провести только имея аналитическое решение соответствующей задачи в строгой постановке, для получения которого необходимы строгие аналитические методы. Аналитические методы позволяют получить

решение задачи для ряда предельных асимптотических условий и вникнуть в физическую сущность того или иного явления в этих случаях. Эффективным средством для решения граничных электродинамических задач является аппарат интегральных преобразований. С привлечением последних удается понизить размерность уравнений и значительно упростить алгоритм решения исходной задачи.

Целью данной работы является создание нового численно-аналитического подхода для решения в строгой постановке задачи рассеяния электромагнитных импульсов на сложной полубесконечной идеально проводящей тонкой незамкнутой конической структуре. С помощью этого подхода предполагается получить аналитическое решение задачи без использования обращения решения задачи в частотной области. Идея подхода заключается в отделении двух переменных задачи (временной и пространственной) в ядро интегрального преобразования [5] и сведении четырехмерной задачи к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов.

2. Постановка задачи

Рассмотрим задачу рассеяния поля точечного источника на неограниченной тонкой идеально про -водящей незамкнутой конической структуре у , состоящей из круговых конусов Ej , Е2 с общей осью и вершиной в точке о , каждый из которых имеет N щелей, периодически прорезанных вдоль 2

образующих Е = U Еj (рис.1). Обозначим через

2уj,j = 1,2, угол раскрыва конуса Z j ; 1 = 2п /N — период конической структуры; d1, d2 — ширину щелей конусов Е1, Е2 соответственно (оси щелей могут не совпадать). Ширина щелей и период — величины двугранных углов, которые образованы плоскостями, проведенными через ось структуры и ребра соседних конических лент (секторов). Введем сферическую систему координат г, 9, ф с началом в вершине конической структуры, в которой каждый из конусов Z j определяется уравнением 9 = У j. Точечный источник (электрический, X = 1 , или магнитный, х = 2 , радиальный диполь) с моментом

Pr(x)(T,t) = їй®5(Г - f -10) (1)

и плотностью тока

J (x)(r,t) =-|p (x)(?,t) (2)

расположен в точке B(10), где 5(г - г0) - дельтафункция, а функция f(t -10) определяет зависимость поля источника от времени, f(t -10) = 0 , t < t0 (источник включается в момент времени t = t0). Среда, в которую помещены коническая поверхность и источник, является однородной, изотропной и стационарной с диэлектрической проницаемостью є и магнитной проницаемостью р. Требуется найти электромагнитное поле Ё(г, t), Й(г, t), удовлетворяющее в каждый момент времени

4

РИ, 2005, № 1

1) уравнениям Максвелла;

1) принципу причинности: E = 0 = H при t < t0;

2) граничному условию на конической поверхности ^

(n х її)| Е= 0 ; (3)

3) условию конечности энергии (наличие вершины и ребер).

Поле E(r,t), H(r,t) представим в вцде

E(r,t) = Eo(r,t) + її і (г, t),

II(r,t) = Ho(r,t) + II 1(r,t), (4)

где E0, H0 — поле источника, а E1, H1 — поле, обусловленное присутствием конической структуры.

Поскольку конус является координатной поверхностью сферической системы координат, а поле электрического (магнитного) радиального диполя представляет собой поле Е-типа (Н-типа) относительно радиальной координаты для решения граничной задачи с конической геометрией, удоб но ввести электрический u(1)(r,t) и магнитный и(2) (r, t) потенциалы Дебая. Составляющие электромагнитного поля выражаются через потенциалы Дебая по формулам:

а) для поля E-типа (в случае электрического радиального диполя, % = 1)

Er =

ґ д2 д2 |/ (1)\

КЫ = 0 ,

E е

1 5 2 r dree

H e

є d2

sin 9 d(pdt

(1)

(5)

E

ф rsin 9 drdq

M,

H =-є------

ф 595t

(1)

б) для поля H- типа (в случае магнитного радиального диполя, х = 2)

2

E е

Er = 0 , Hr

р d2 sin 9 d(pdt

( dP_

dr2

)И.

o(2), He =1 • —— (rn(2)), ’ 9 r drdd ' h

(6)

E Ф = й

d(2) H = -^_

599t ’ Ф rsin9 drdy

■ (ru(2)).

Потенциалы Дебая u(%) (r, t), % = 1,2 , для полного поля E, H (5), (6) в каждый момент времени удовлетворяют:

1) четырехмерному волновому уравнению

Д-

1_ d_

a2 St2

2

u(x)(r,t) = -Fa)(r,t), r gZ

Fa)(r,t)

є

2-Х

1____

p%4r

М“5(г - r0)f(t - О ,

(7)

єр = -

1

2

a

2) начальному условию

и(%) = 0 =

9и(%)

~dt

-, t < t0

3) краевому условию

д1'

1

6n% 1

9и(%)

V 51 У

= 0

4) условию ограниченности энергии Ш( Й2 +|Vu|2) <+<х> .

V 51

(8)

(9)

(10)

Краевая задача математической физики в такой постановке имеет единственное решение.

В соответствии со структурой поля (4) используем представление

U(%) (г, t) = о0%) (г, t) + 0(%) (г, t) :

(11)

M

(х)

=--------------

0 4лг„є2~V4 R

1 f(t -10 - 1R)p(t -10 - 1R) aa

потенциал Дебая источника, ц(|) — функция Хевисайда, R = |r - Ї01, a =

3. Метод решения

Для решения задачи (7)-(10) можно воспользоваться подходом, основанным на сведении краевой задачи для неоднородного волнового уравнения (7) к соответствующей краевой задаче для уравнения Еельмгольца (стационарной задаче) с последующим обращением решения последней [6]. Однако неудобство этого подхода заключается в том, что для разных источников возбуждения его приходится использовать каждый раз, учитывая при этом разные представления для F(%) (r, t) (7) и и0%). В связи с этим оказывается целесообразным использовать метод функций Ерина [7,8], согласно которому требуется найти решение краевой задачи для волнового уравнения с вполне определенной правой частью для любого типа источника, а потенциал и(%) (г, t) определить по формуле

РИ, 2005, № 1

5

,(х)

м°

(r,t)=Т^гт J °(%)(ї■ ?°>z)f(t■ ^ ■z)dz,(12)

АпЬ Ц °

где G(x)(r,t) — функция Грина для краевой задачи (7)-(10), удовлетворяющая 1) четырехмерному уравнению

Д-jr ^r|G(x)(Tt) = -S(r - r°)5(t -1°), r ; (13)

2) начальному условию

G(x) = ° =

3) краевому условию

SG(x)

~дї

t < t°

5X_1

5nx 1

( 5G(%) ^ dt

°

= ° ;

4) условию ограниченности энергии

ш

SG(x)

dt

\

+ VG

(x)‘

dV .

(14)

(15)

(16)

пространства,

G°(r,t) =

5[t -1° - R / a]

4tcR

(18)

где

G° = - d t -1° -

a Jm-

E3 тт(°^1тФ amx Umxe

um>, e°)=

I P”1/2+lx (cos 0)Pm/2+lx (- cos 0°), 0<0°,

Pm/2+lx (- cos 0)P_I-/2+iX (cos 0°), 0° <

1

ГІ--m + lx

amT= —(-1)me -im9° xthm 1 2

4ot°

Г| 2 + m + lx

chb =

a2(t-1°)2 - r2 -r°2

2rr°

', b є [Q,+x>).

Для построения функции Грина, являющейся решением задачи (13)-(16), используем интегральное преобразование Мелера-Фока [5]:

/V +«

f (х) =J shbf (b)P_i/2+lX (chb)db, (21)

О

f (b) = J xth^xF(x)P_i/2+lX (chb)dx (22)

0

и представим искомую функцию G(x)(r,t) из (17) в виде интеграла (20)-(21):

л

G(%) (г, t) = J xth^xGj(x)P_i/2+lX (chb)dx, (23)

°

G(x) =-1 pft-1° -Z Smxb®>p(Yp,0°)U®(0,Ф),

r ^ a ym=-w

ГІ — - m + lx

SmT = —^(-1)me -lmT° 12

4nr,

°

Г| -2 + m + lx I ’

В соответствии с (11) запишем G(x)( r,t) в виде

G(x)(r,t) = G°(r,t) + G[x)(r,t), (17)

где G(x)(r,t) — функция Грина для свободного

U(%) =

E^P-^(cos0)el(m+nN)<p,G <0<Y1,

i=-«

x smn (0)el(m+nN)9

,Yi <0<Y2

n=-«

e i4mn)P-ni;2nNx (- cos 0)el(m+nN)^, у 2 <q<u ,

где smn (0) = P(^)P!?;2,N1x (cos 0) +amn)P-I72n^x (- cos 0)

а потенциал Дебая u(x) (r, t) для рассеянного поля записывается в виде (12)

M(%) t_t°

u(x)(r,t) = —2Д х_, J G(%)(г - i°,z)f(t -1° -z)dz ,(19) І°Є ц °

Таким образом, решение исходной электродинамической задачи сводится к нахождению функции Грина G-х) (г, t) для сложной конической структуры 2 . Представим G„(?,t) из (18) в виде интеграла

+« «

G°(?,t) = J G° P_i/2+lX (chb)dx, (20)

™(x) P(x) 5(x) £(x) ~(x) —

mn mn mn mn mn

неизвестные коэффициен-

ты, коэффициенты Ь^’Ду p, 0°) связаны с месторасположением электрического или магнитного диполя:

bdx),P(Y p, 0°) = р(| - p]p[H№-Y 2)]^^UI°)(0, 0°)+

+p[ p - - Jp(0°-y p)—rUSe0°),

p = 1: ° <0° < y1, источник расположен внутри конуса Е1;

p = 2: у1 <0° < у2, источник расположен между конусами Е1 и Е 2;

p = 3 : у2 <0° <п , источник расположен вне конуса Е 2. В результате использования краевого условия на сложной конической поверхности (15), а также непрерывности искомой функции Грина G-x) (r, t) и ее частных производных в щелях конусов Е 2 и Е3 в любой момент времени, получаем выражения коэффициентов р(), І!) через коэффициенты

™(Х) ЩХ) : mn mn

^ 2.(х),Іє1(п+',)Мф _ g(x),p(у )el(m°+v)№P

ленты Е j, j = 1,2, (24)

2

v

n

r

n

6

РИ, 2005, № 1

+W 111

X [N(n + v)]a(%^(1 = 0 ,

щели E j, j = 1,2,

(25)

'(x) _ ДхУпДхХО+v)N

^m,n _ ^m,n

[hi

(tc-y 2, ^-Y1)]

J-1

-2йл [h,>)-<n+V)N(T1,У2)]2

,(/.)■ j - x<y.) s* 1 + v«> s 2 _ [x(y.) ]2 - j, [v(x) ]j-1

^m,n _ xm,n°j ^ ym,n°j _ Lxm,nJ ^Lym,nJ 5

d1-1

h(i(),(n+v)N(x,V) = dx

_P(n+v)N —1 / 2+iT

(cosx)

X-1

d p(n+v)N

Y—1 _ 1 / 2+ 1T

dV

1 A X~1

y(x),p (0) =__1_____d_____U(0)

(cosy)

^ d0X"

rU» 0o),

Лг)

d X-1

_ "(x) ____p(n+v)N,

xm_„ = amn —^P-f^N (cos Tl),

m,n+mo mn

dYi%~

r(X)

d *_1

— >h(^)_______p(n+v)N (cos Y )

'Imn j Y-1 r-1/2+1x ОиЬ Ї2 / ,

’ m,n+mo Iran dy^"

[N(n + v)]a(x^d(1 -є 9°) =

(-1)

(n+v)N+%-1

chrcx Г(1/2 + 1т + (n + v)N)

^(sln у j )1 “(%) Г(1/2 + 1x - (n + v)N)

tx-1 tx-1

j «(cos Yj)d^y « (-cos j

1 _ C(^(n+V)N(Y1, у 2)

4 X-1

1P-n;2v.^1N; (cosx)

C(x),(n +v)N(x v) _ dxX Ck (x,V) ,x-1

1« (_ cosx)

dx1

4 X-1

1Р-П/+2«(- cosy)

dy1

4 X-1

1P-^n/'2'2lN (cosy)

dv1

n=-w

n

1

1

4. Частные случаи структуры. Аналитическое решение

1) Сплошной биконус (рис.2). В этом случае потенциал Дебая имеет следующий вид (у1 < 90 < у2):

Лх)

1

(r,t) = - £ е“

Г m=-ro

“(х)

dx-1

в()(Є)

■фіх (t - t0)d^ ,

dy f1

\( X),m

h<0<Y2

^ raM-: e - xth^x

X(x) _ (-r^x 4г02є2~%ц%ч

Г(1/2 - m + ix) Г(1/2 + m + lx) ’

d

X-1

B!O(0) = (b0 o) E ^TP-1/ 2+ix (- cos у 2)P”2+1X (cos 0) -

dy 2

dX-1

- A“,m (у2,00)P-IT/2+1x (cosУ1 )P(/2+1X (- cos 0),

dX-1

АІ1Ї),т (Y1 ^ Y2 ) = TIT P-”1/2+1x (cos Y1 )Р-Ї/2+1х (- cos Y2) -

dy*

dX-1

dY?

pI1 /2 . 1-(-cos Y1)P(/2+1X(cosY2).

^_1 A -1 / 2+1t v

В случае одиночного конуса полученные результаты совпадают с результатами работы [9].

2) Одиночный конус с продольными щелями,

f(t - to) = 5(t - to) (рис.3).

Рис. 3. Конус с продольными щелями

В случае одиночного конуса с периодически прорезанными вдоль образующих щелями систему линейных уравнений первого рода (24), (25) следует регуляризовать и свести к системе линейных алгебраических уравнений второго рода, которая в отличие от системы (24), (25) является устойчивой. Процедура регуляризации базируется на привлечении метода полуобращения [10].

В случае полупрозрачного конуса, который определяется существованием предела

l1m

N^+« d/1—>1 L

—ln(1 - d/1) N

Q > 0,

РИ, 2005, № 1

7

потенциал Дебая (19), (23) записывается в виде

o>,t) = if t - ^

4гат0 I -

Z eim9J hn

P^+ix (-QS Y) . РП/2+іх (- -0S Y) '

; P-n 2+ix (- -os 0)P_1 / 2+ix (-hb)dx, Y < 0 < П, (26)

hm =

1 + 2mQ(f’-Sm,0)

=f=1)m+1e=im90 xlhTT Г(1/2 m + 1T)

Г(1/2 + m + ix)

m=-w

X РШ+іх (- -0S 00 )P7/2+ix (-0S Y)-

В случае расположения источника на оси конуса (60 =п) представление (26) упрощается и приобретает вид

Мелера-Фока в ряд Фурье по азимутальной координате сферической системы. Решение системы может быть получено как численно (при любых соотношениях между параметрами структуры), так и аналитически (в случае большого числа щелей и сравнимости или их малости по сравнению с периодом структуры). Аналитическое решение позволяет наглядно и качественно провести анализ спектра граничной задачи и структуры поля. В частном случае одиночного сплошного конуса решение задачи совпадает с известными результатами других авторов [9]. Предложенный подход может быть использован для исследования задачи рассеяния волн на сложных конических и клиновидных структурах, которые являются моделями элементов современных антенных систем, радиолокационных комплексов и аппаратуры для дистанционного зондирования.

o1“(T,l) = -ф - Г + Г0

4япу 1

х0

-

J [P1 / 2+ix (-0S YX|2 P-1 /2+іх (- -0S 0)

D

0

хР-і/2+іх (-hb)dx . у < 0 < л, (27)

Dix = лР-і/2+іх (-0S Y)P-i/2+ix(- -0S Y) + 2Q-h^x.

Для получения одномодового режима в представлении (27) необходимо перейти к интегрированию по мнимой оси и воспользоваться основной теоремой о вычетах для разложения интеграла в ряд по вычетам подынтегральной функции [11]. Если поместить источник у вершины конуса, то доминирующим в ряде будет первый член, который и характеризует распределение поля в этом случае.

5. Заключение

Впервые предложен численно-аналитический подход для решения задачи рассеяния электромагнитных волн на сложной незамкнутой конической структуре во временной области. Этот подход основан на использовании интегрального преобразования Мелера-Фока и метода полуобращения. Его применение значительно упрощает решение четырехмерной электродинамической задачи и дает возможность, минуя процедуру обращения решения соответствующей задачи в частотной области, свести ее к системе линейных алгебраических уравнений второго рода относительно коэффициентов неизвестной трансформанты преобразования

Литература: 1. Лерер А.М. Регуляризация в двумерных задачах дифракции коротких электромагнитных импульсов // Радиотехника и электроника. 1998. Т.43, №8. С.915-920. 2. Brit Ch. L. Solution of electromagnetic scattering problems using time domain techniques // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1989. Vol. 37, No.9. Р. 1181 -1192. 3. Lee J.F., Lee R., Cangellaris A. Time-domain finite element methods // IEEE Trans. Antenna Propagat. 1997. Vol.45, No.3. Р .43o-441. 4. ShankerB., Ergin A.A., Aygun K., Michielssen E. Analysis of transient electromagnetic scattering phenomena using a two-level plane wave time-domain algorithm // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1997.Vol.45, No.3 Р.430-441. 5. Фок В.А. О разложении произвольной функции в интеграл по функциям Лежандра с комплексным значком //Докл. АН СССР. 1943. Т. 39, №7. С.279-283. 6. Дорошенко В.А. Возбуждение биконуса с продольными щелями точечным источником, поле которого произвольно меняется во времени // Радиотехника. 2002. Вып.129. С.14-21. 7. Положий Г.Н. Уравнения математической физики. М.: Высш. шк., 1964. 560с. 8. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. М.: Мир, 1978. Т.1. 550с. Т.2. 558с. 9. Chan K.-K, Felsen L. Transient and time-harmonic diffraction by a semi-infinite cone// IEEE Trans. Antennas Propagat., 1977. Vol.25, No.6. P.802-806. 10. Шестопалов В.П. Сумматорные уравнения в современной теории дифракции. Киев: Наук. думка, 1983. 252с. 11. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М.: Наука, 1967. Т.1. 488 с.

Поступила в редколлегию 25.12.2004

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Нерух А.Г.

Дорошенко Владимир Алексеевич, канд. физ. -мат. наук, доцент кафедры ВМ ХНУРЭ. Научные интересы: электродинамика, математическая физика. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр.Ленина, 14, тел.7021-372.

8

РИ, 2005, № 1