Возбуждение конической поверхности с продольными щелями сосредоточенными радиальными источниками Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.958:537.8

ВОЗБУЖДЕНИЕ КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ С ПРОДОЛЬНЫМИ ЩЕЛЯМИ СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ РАДИАЛЬНЫМИ ИСТОЧНИКАМИ

ДОРОШЕНКО В.А., СЕМЕНОВА Е.К.

Исследуется задача возбуждения электрическим и магнитным радиальными диполями полубесконечной идеально проводящей конической поверхности с периодически прорезанными вдоль образующих щелями. Метод решения задачи основывается на использовании интегрального преобразования Конторовича-Лебедева в сочетании с методом задачи Римана-Гильберта. Получено аналитическое и численное решение электродинамической задачи. Изучается влияние щелей на основные электродинамические характеристики.

1. Введение

При теоретическом исследовании рассеяния электромагнитных волн на телах решение граничных электродинамических задач сводится к решению краевых задач математической физики [1], тип которых зависит от вида падающего поля и свойств рассеивающей структуры. В работе [2] рассмотрена задача рассеяния поля радиального электрического диполя на идеально проводящем полубесконечном круговом конусе с периодически прорезанными вдоль образующих щелями. Решение соответствующей первой краевой задачи получено аналитически в частных случаях полупрозрачного конуса и конуса с узкими щелями. Анализ аналитического решения позволил судить о влиянии продольных щелей на структуру и поляризацию рассеянного поля. Для изучения зависимости характеристик рассеяния от числа щелей и их угловых размеров следует построить численный алгоритм решения задачи и провести численный эксперимент.

В данной работе получено численное решение задачи возбуждения полубесконечного идеально проводящего кругового конуса радиальными диполями (электрическим и магнитным) и приведены диаграммы рассеяния для различных угловых параметров конической поверхности.

2. Постановка задачи

Рассмотрим задачу о возбуждении неограниченного идеально проводящего бесконечно тонкого кругового конуса с периодически прорезанными вдоль образующих щелями (рис.1) электрическим или магнитным радиальным диполем (моменты д ипо -лей по величине равны pj или Р2 соответственно). Поле диполей меняется во времени по закону

f(t) = e1®1. Введём сферическую систему координат r , 9 , ф, в которой конус Е определяется уравнением 0 = у , а r0 , 90 , Фо — координаты источника. Период конической структуры l = 2л/N и угловая ширина щелей d — величины соответствующих

двугранных углов, которые образованы пересечением плоскостей, проведенных через ось конуса и рёбра соседних секторов.

Электрический (магнитный) радиальный диполь возбуждает в свободном пространстве поле Ё01), й01) (Ё02), й02)), компоненты которого определяются электрическим u0J) (магнитным и02)) потенциалом Дебая:

Д1) -

Щ0

д

= (^2 + kZ)• (rU0J)), Kg = 0

id)

52 • (ru0j)), й$ = u0j), (1)

E& = - • —• (rU(1)

-e, 0

r 3r59

0,0 wsin9 Эф

E(1) --

1

&

i2

ф,° rsin9 ЗтЗф а для магнитного диполя

. (rU0-)) й® =-1kU0-)

0 ' ’ ф’0 w 39 0

5^

Зг2

еГ2?=0, H(r20)=(-^+k2> • (ru02)),

(2) = Jkw u(2) H(2) = 1 'J2_. (rU(2))

0,0 sin 9 Зф 0 ’ S,0 r Дтяо ( 0 )

r 3r39

(2)

E?0 = ikw^-u02), H(2) = -i

2

^ф,0

59

ф’0 rsin9 ЗгЭф

(ru02^ ,

w

Рjl e-qR

где u0j) =--, j =1,2 ; q = -ik (Imk > 0 )

qr0 R

— при гармонической зависимости в виде exp(irot); q = ik (Imk < 0 ) — при гармонической зависимости в виде exp(-irot); k — волновое число; R = |r - Ї0| — расстояние от точки наблюдения до источника; w — волновое сопротивление среды с диэ-

лектрической є и магнитной р, проницаемостями.

Полное поле E(j), H(j)

E(j) = E0j) + E(j), йш = й0

представим в виде CD _ H(j) + H(j), j = 1,2, где рассеянное поле E(j), H(j) обусловлено присутствием незамкнутой конической поверхности и определяется электрическим u11) или магнитным u(2) потенциалом Дебая в соответствии с (1), (2). Искомый потенциал u(j) = u0j) + u(j)

удовлетворяет:

РИ, 2003, № 2

7

а) однородному уравнению Гельмгольца всюду вне конуса и источника AU(j) + q2U(j) = 0 ;

б) первому (j = 1) или второму (j = 2) краевому условию на конических секторах

|ии| 0; (3)

в) условию ограниченности энергии:

J (|U(j)|2 +1 VU(J)|2)dU <+да , (4)

и

г) принципу предельного поглощения.

Краевая задача в такой постановке имеет единственное решение [3,4].

Одним из эффективных средств решения краевых задач для уравнения Г ельмгольца является интегральное преобразование Конторовича-Лебедева

+? K- (qr)

g(x) =J g(r)-dr, (5)

0 Vr

2 +Г ят „ Kh (qr)

g(r) = -y It sh шє g(x) iT dx (6)

n2 0 Vr ’ w

где KiT (qr) — функция Макдональда. С помощью

этого преобразования удается свести трехмерную краевую задачу к двумерной относительно переменных 0 и ф . Неизвестный потенциал U(j) ищем в виде интеграла Конторовича (5), (6)

U(j)(r, 9, ф) = -2 J т sh лхєятU(J)—

U vr ’ (7)

+x>

U(j)=- z .x,^Unj)^^р_т/2+1л-cosм x

dJ

i-1

dyj'

-1 -1/2+ix

(cos y),

~ j () P—/1ЇТ(± cos 0)

xv.J'.. .... (t)-

U—>= E j (Д- ^"V2+iT

— ^ Ш,И+Ш0 v ' jj

n = —X) d

dy J-^-V2+iT

->—+nN

(+cos y) (8)

xe

(m+nN] ф

Ш

Ш0 — ближайшее целое к m/N , v = m/N-Ш0, и -1/2 <v< 1/2;

a

(J) _

шт

!!l(_1)me“imf^^eITx

qr0 4chxx

Г(1/2 - m + it) Ki (qip)

Г(1/2 + m + ix) ^0

Знак “+” в представлении (8) соответствует области 0 < 9 <у , а “-” у < 9 < % , r(z) — гамма-функция, P™ (cos 9) — присоединённая функция Лежандра первого рода, х-„+— (х) — искомые коэффициенты у < 00 <л .

8

В результате использования краевого условия (3) на конусе и условия непрерывности поля в щелях приходим к парным сумматорным уравнениям относительно коэффициентов x(iJ)n :

+Х> j

z xmj)neinNtp=ei—°N9, -j- < м ^ ^, (9)

n=-x>

e [Nn9]“(j^n(1 - j) xm)nemN<p=0 ,| Ыф| <—,

n=-<x> n 1

(10)

где a(j) =(-1)J_1,

rN Ma(j)H/, (j) 1 (-1)^nN + j_1chm

[Nn + V)1 V 1 "8Ш* =---------f. U-a(j) X

n sin У]

Г(1/2 + ix + ( n + v) N)

ХГ(1/2 + ix-(n + v)N) X

___________________1_________________

j ^2+^ (co s y) j P-n/2+iN (- cos ^ )

Для єш,„ имеет место оценка при (n + v) N >> 1:

в- =(

&ш,п '

f . 2 ^

sin у

Nz(n + v)z • (11)

Парные сумматорные уравнения (9), (10) в дальнейшем рассматриваются как уравнения для определения неизвестных коэффициентов х-, , которые находятся в гильбертовом пространстве после-

+<» .2 о

довательностей уp (1 "I РІ)aU) < +го.

1 ’ P=-®

3. Возбуждение конуса с продольными щелями электрическим диполем

После введения коэффициентов уШ>п , связанных

э

_ЄШ) 1 х- (12)

bm,n Гm,n , (12)

хШ)п

y(gn =(~1f 1 -єШ)п 1 x(()n

n + V

Ш0 +v n

и дифференцирования обеих частей (9) по ф приходим к следующей системе парных сумматор-ных уравнений:

‘ 1 - d

■л, (13)

Е^-s(;),^ym!„ein"'=e”"-

n =-х>

X у(Ш)„є1П0, Лt±

n=-<x>

с дополнительным уравнением

+<х> ' '

1

< ш < п

(14)

Е —• И(1 -Є)у—= —. (15)

n + V n ' > Ш0 + V’v8

где 1 - 5— =

н 1 u—,n

—0 +v '

1 N IP

--— , ф = ^-^Я.

1 -s—)n Ф

(16)

" — ,n

Используя процедуру регуляризации парных сумматорных уравнений, основанную на применении метода задачи Римана-Гильберта [2, 5], сведем (13)-

РИ, 2003, № 2

(15) к системе линейных алгебраических уравнений второго рода фредгольмовского типа (СЛАУ-2) относительно у('^п следующего вида:

2Py-i( -u)

;(Pv(-u) + Pv_i( -u))

y® = ym,0

= Vm° (u) + X -8(m)pvP(u)y(m)p , (17)

p=-x>

+X>

ygn=vnm_oi_i(u) + x - 8(„DpVnp:i(u)ymm)

p

p=-X> г

+ymi)opn(u),

(18)

где u = cos j л, pv (u) — функция Лежандра,

VmAu) = -a-—[Pn_i(u)Pm(u) -Pn (u)Pm-l(u) , 2(n - -) ’

Vn(u) =-^~ x n + v

X{Pn(u) - P ( I>V)~l(P~u)( JPn(u) - Pn -l(u)]} ■

Pv (-u) + Pv_i(-u)

Алгоритм сведения (13)-(15) к СЛАУ-2 (17), (18) является формальным доказательством теоремы об эквивалентности первой краевой задачи для Ui системе (17), (18). Учитывая оценки для 5—)п (16) при N(n + v) >>i (11) и функций V—-Ii(u) [5], приходим к выводу, что матричный оператор СЛАУ-2 является вполне непрерывным, а в случаях полупрозрачного конуса, узких щелей, узких секторов и узкого конуса также является сжимающим. Независимость y-)n от волнового параметра q упрощает решение (17), (18) и построение диаграмм рассеяния (qr >> 1) ■ В силу этого решение СЛАУ-2 может быть получено методом редукции для произвольных параметров задачи, а в перечисленных частных случаях конической поверхности также методом последовательных приближений [6].

4. Аналитическое решение в случае узких секторов

Пусть диполь расположен внутри и на оси конуса (00 = 0 , ф0 = 0, -0 = 0, v = 0) ■ Гармоническая зависимость по времени взята в виде exp(irot), q = ik ■ Под узкими подразумеваются секторы, угловая ширина которых мала по сравнению с периодом структуры ((1 - d)/l << i,i-u << i) ■ Используя метод последовательных приближений для решения (17), (18) и ограничиваясь первым приближением, получаем

Асимптотическое разложение потенциала Дебая по малому параметру (i - u) с точностью до членов порядка O((i - u)/ln(i - u)) имеет вид

1 i-UU

Uii) =—i^ X Н"е“*ч

+X> H(2)

(kr)

ln-

2 n=-x

vr

x ^УіЇ1 5^). cos 9) dl (20)

Ft(D1t-Z -pS(pi)) P_nN/2+iT(±COSУ) ’

p *0

здесь знак “+” соответствует области 0 < 0 < у , “—“ — у < 0 <л■ Интегральное представление (20) справедливо для поля вдали от кромок секторов ■ Поле, рассеянное конической поверхностью из N узких секторов, является полем эллиптической поляризации ТМ-типа^ При сужении конических секторов (u ^ i) рассеянное поле, как это следует из (20), убывает пропорционально i/1-((! - u)/2) ■

Спектр собственных значений в данном случае определяется корнями уравнения

cos Лр

^P-i/2+q (COS у)P-i/2+q (-COS у) - COS S Щ5'

i

p*0

15(В

К i - u

— ln--

N 2

(21)

которые находятся вблизи корней cos лр = 0 : i i

Pq = 2 + q -

L i - u

— ln--

N 2

x 1

[Pq(cos y)J

i+q

N

-i

+ N X [q + pN![P-pN(cosy)]2 p=i (q-pN)! q 1 q

>+

+ o(ln“2(i-u)), q = 0, i, 2...;

под [(i + q)/N -1] понимается целая часть (i + q)/N -1 ■ Первый корень P0 уравнения (21) характеризует поведение поля вблизи острия кону-са^ При этом электрическое поле у вершины имеет особенность порядка (kr)_3//2+Р> , а магнитное убывает как (kr)_ i//2+p° по мере приближения к вершине, где

i

i-u

2

+ o(ln _2(i - u))

(22)

Приведём здесь слагаемое, характеризующее распределение Eq составляющей поля вблизи острия

Е

*

0 =_

i

ln

i-u

2

kr

2

З/2 +Ц0

G*(0, ф)

(23)

РИ, 2003, № 2

9

где

G*(0, ф) =

tg— +-----х[-1 +

2 sin 9

+Re

1 - bNe

Мф

VbNe2lN9 + 2elN^ bN cos 5 +1

0 <0<y

ctg— +-----[-1 +

2 sin 0

+Re

1 - cNe

ГЫф

^cNe2lN9+ 2elN^cN cos 5 +1

у < 9 < n

S =

I - d I

bN

tg 4 21N c =( ctg 8/21

tg r/2) ’ N I ctg r/2)

A * «->

A]_ — известный множитель.

Из (23) следует, что особенность у электрического поля вблизи острия появляется при

|kr| << 2exp(-lnaN/(1 -aN)) ,

достигается на

где an = -N/ln((1 - u) / 2), а max G

0,Ф

секторах. Волна, соответствующая собственному значению Р0 в области между вершиной и источником r < r0 , является стоячей, а при r > r0 — бегущей. При

этом, когда источник находится в точках Ц) = nn , n = 1,2,..., поле этой волны пренебрежительно мало в области r > г). В случае близкого расположения источника к вершине (ki) << 1) рассеянное конической поверхностью поле характеризуется полем соответствующей собственному значению бегущей волны. Анализ аналитического решения в таком приближении показал, что максимум поля достигается на каждом секторе. Таким образом, волна с собственным значением ро является бегущей волной (к) << 1), распространяющейся вдоль каждого из секторов.

5. Численное решение

С помощью метода редукции получено численное решение СЛАУ-2 (17), (18) и изучена зависимость коэффициентов xn от ширины щели d . В случае осесимметричного возбуждения ( 9) =п, Фо = 0) конуса с одной щелью (N = 1) на основе численного решения СЛАУ-2 найдено численное решение исходной электродинамической задачи и построены диаграммы рассеяния для различных угловых раз -меров щели.

На рис. 2,3 приведены кривые зависимостей абсолютных величин коэффициентов Фурье Х0 , xj , составляющих электромагнитного поля, от ширины щели d при значении параметра интегрирования х = 1. Следует отметить, что при осесимметричном возбуждении сплошного идеально проводящего конуса Х0 = 1, а xn = 0 для n ф 0 [7].

При увеличении ширины щели функция |x0 (d)| сначала убывает, достигая в окрестности точки

d=180o своего локального минимума, а затем возрастает и имеет размытый локальный максимум вблизи значения d=250o, после чего убывает до нуля (рис.2). Поведение |x0 (d)| при d, близких к d=360o, хорошо согласуется с асимптотиками для х0 в случае узкого сектора (19).

Рис. 2. Зависимость x0 (d) при различных углах полураскрыва конуса у: 1 — у = я/ 8 ; 2 — у = я/ 4;

3 — у = п/2

Кривые |x1(d)| при фиксированном значении полураскрыва конуса у имеют резко выраженный максимум в некоторой окрестности точки d= 180° (в отличие от |x0 (d)|) и одну точку перегиба в промежутке возрастания (рис. 3).

Рис. 3. Зависимость |x^^| при различных углах полураскрыва конуса у: 1 — у = л/8 ; 2 — у = я/4;

3 — у = п/2

Диаграммы рассеяния в азимутальной плоскости для конуса с одной щелью (N = 1,00 = л, ф0 = 0, qr0 = 1, у = п/8,9 = л/4 + л/20) даны на рис. 4, 5 (ось щели соответствует значению азимутального угла Ф = 0°).

Рис. 4. Диаграммы рассеяния в азимутальной плоскости: 1 — d = 30°; 2 — d = 90° ; 3 — d = 180°

РИ, 2003, № 2

10

1

Рис. 5. Диаграммы рассеяния в азимутальной плоскости: 1 - d = 210° ; 2 - d = 270° ; 3 - d = 330°

Анализ диаграмм показал, что при таком способе возбуждения заметное влияние щели проявляется при d > 100 . По мере увеличения угловых размеров щели изменяется и форма диаграмм.

6. Возбуждение конической структуры магнитным диполем

Используя алгоритм регуляризации парных сумматорных уравнений (9), (10) в этом случае, получаем СЛАУ-2 для определения коэффициентов :

4?),-а,:-=-^<1

<x<??p-s?0)1^5<?),v1p;1<-u)+

p*0

p

+<x“2)0 -S:°)[Pn(-u) +e(rn?)0Vn“^1<-u)], n*0 , (24)

2Pv-1<u) <x(2) em,

Pv<") + Pv-1<")

m,0

<x!m2i -S?) =

= _ v^(1 _E П2) )Vm0(-u) + “0 m,m°

+v 2; (xg.;-sm'4^S!2?pvp<-u), ^ =j j..».- (25)

p=-x>

Система (24), (25) обладает теми свойствами, что и СЛАУ-2 (17), (18) и может быть решена методом редукции в общем случае, а для полупрозрачного конуса, узких щелей или секторов, узкого конуса также методом последовательных приближений. Для практических приложений интерес представляет случай близкого расположения источника к вершине конуса (qr. << 1). В этом случае для конуса с узкими щелями удается выделить одномодовый режим, в котором электрические характеристики определяются простыми аналитическими выражениями. Предположим, что источник расположен на оси конуса (00 =п, ф0 = 0) с узкими щелями (d/l << 1,(1+u) << 1). Среди бесконечного набора волн, комбинацией которых представляется решение для конуса с узкими щелями, в случае qi. << 1 преобладающей является щелевая волна. Поле этой волны сосредоточено вблизи щелей и характеризует поле у вершины конуса и в дальней зоне. Приведем выражения для составляющих магнитного поля щелевой волны вдали от конуса (qr0 << 1, iq < г) с точностью до O(ln_2(1 + ")):

H я = --

1_____

1 , 1 + u

— ln------

N 2

1

АДО, ф)-

-qr

H* = - 1, 1 + u

— ln---

N 2

А2?2(Є, ф)-

-qr

r , у<д<к.

F c ^2sinУ CN(cosNф-CN) где F = C1 + 2 —

2

F =-

sin U 1 _ 2Cn cosNф + CN

1 cNsmMp ( $ І у

sine 1-2Cna,SN,,+Cn • Cn = Cn(0) = (=*82/

N

A1, A2 — известные коэффициенты. Составляющая Hr порядка 1/ln2((1 + u)/2) содержит e_qr/r2 и поэтому интереса не представляет.

7. Заключение

На основе полученного решения в строгой постановке задачи возбуждения конической поверхности с периодическими продольными щелями радиальными диполями исследовано влияние щелей на структуру и распределение в пространстве рассеянного поля, а также его поведение у вершины конуса. В случае узких щелей и секторов, когда источник расположен вблизи вершины конуса, даны приближения для составляющих электромагнитного поля, которые соответствуют щелевой волне (возбуждение магнитным диполем) и волне, распространяющейся вдоль узких секторов (возбуждение электрическим диполем). При возбуждении конуса с одной щелью электрическим диполем изучены зависимости коэффициентов Фурье составляющих поля от ширины щели и угла раскрыва конуса. Проведено сравнение численных результатов и аналитического решения для узких секторов. Приведены диаграммы рассеяния в азимутальной плоскости для конуса с одной щелью в зависимости от ее ширины. Щели с угловой шириной менее 10о слабо влияют на диаграмму рассеяния. С расширением щели форма диаграммы непрерывно меняется.

Литература: 1. Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников

A. Г. Математические модели электродинамики. М.: Высш. шк.,1991. 224с. 2. ДорошенкоВ.А., КравченкоВ.Ф. Рассеяние поля электрического диполя на конической структуре с продольными щелями // Радиотехника и электроника. 2000. Т.45, N7. С.792-798. 3. Хепл X., МауэА., Вестпфаль. Теория дифракции. М.: Мир, 1964. 428с. 4. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407с. 5. Шестопалов

B. П. Сумматорные уравнения в современной теории дифракции. К.: Наук. думка, 1983. 252с. 6. Канторович Л.В., Акилов П.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 742с. 7. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. М.: Мир, 1978. Т.2. 558с.

Поступила в редколлегию 27.11.2002

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Нерух А.Г.

Дорошенко Владимир Алексеевич, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры ВМ ХНУРЭ. Научные интересы: электродинамика, математическая физика. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр.Ленина,14, тел. 70-21-372.

Семенова Елена Константиновна, аспирант кафедры ВМ ХНУРЭ. Научные интересы: электродинамика, математическая физика. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 711-65-09. E-mail: [email protected]

РИ, 2003, № 2

11