CC BY
13
УДК 517.958:537.8
В.А. ДОРОШЕНКО, Н.Г. ЗУЕВ, Н.П. КЛИМОВА, А.М. ТИТАРЕНКО
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИМПУЛЬСНОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ ЩЕЛЕВОЙ КОНИЧЕСКОЙ АНТЕННЫ
С помощью строгого аналитико-численного метода, основанного на применении интегрального преобразования Мелера-Фока, находится решение задачи импульсного возбуждения сложной незамкнутой конической структуры, являющейся моделью широкополосной или сверхширокополосной антенны. В случае одномодового приближения изучается пространственное распределение электромагнитного поля.
1.Введение
В последнее время интенсивно развиваются области радиофизики и радиотехники, связанные с излучением и приемом сверхширокополосных (СШП) импульсов [1-4]. Разработка и внедрение СШП систем представляет собой важный этап в становлении современной радиолокации [2]. При решении нестационарных (во временной области) электродинамических задач, связанных с применением СШП зондирующих сигналов, выявляются особенности и закономерности физических процессов рассеяния, излучения и приема электромагнитных волн радиолокационными целями и антеннами. Создание математических моделей этих процессов и применение строгих методов решения соответствующих начально-краевых задач позволит получить корректные решения, анализ которых даст новые представления о взаимодействии нестационарных полей с объектами различной природы [2,4-6]. Конические структуры (как сплошные, так и незамкнутые) и их частные случаи применяются в современных радиофизических и радиотехнических системах в качестве широкополосных антенн и отражателей, зондов, противовесов и защитных экранов. Решение начально-краевых задач для таких структур сопряжено с трудностями, обусловленными наличием вершин, ребер и переменной кривизны. Существующие численные методы, в частности, метод FDTD [7,8], хорошо зарекомендовали себя при решении преимущественно внутренних начально-краевых задач электродинамики. Однако применение их к исследованию внешних начально-краевых задач связано со сложностью выполнения для решения условия причинности и вытекающего из него условия на бесконечности, что и ставит под сомнение "универсальную" строгость этих численных методов. В работах [5,6,9] использованы строгие аналитические методы решения задач для сплошных идеально
проводящих конусов. Строгий численно-аналитический метод решения начально-краевых задач для открытых конических структур предложен и строго обоснован в [10].
Целью данной работы является развитие метода, предложенного в [10], для исследования в строгой постановке задачи возбуждения импульсным источником сложной конической структуры с продольными щелями, являющейся моделью широкополосной или сверхширокополосной щелевой антенны, изучение особенностей, возникающих при рассеянии поля нестационарного источника на такой структуре.
2. Постановка задачи
Рассмотрим задачу возбуждения точечным нестационарным источником неограниченной тонкой идеально проводящей конической поверхности £ . Коническая по-
щтщ
£э:0 = У1
Pi
В(гДф)
Ь>:0=У3
— J
Щелевая коническая структура
верхность состоит из круговых конусов с общей осью и вершиной (центр поверхности £) в точке О, один из которых является сплошным, а два других £, £2 с периодически
3
прорезанными вдоль образующих N2 и N3 щелями соответственно (£ = у £.) (рисунок).
.=1
Обозначим через 2у. угол раствора конуса £. (. = 1,2,3), ^ и d 3 - ширину щелей соответственно конусов £2 и £3, ¡2 = 2п /N2 и 1з = 2п Шз - их периоды. Ширина щелей и период -величины двугранных углов, которые образованы плоскостями, проведенными через ось структуры и ребра конических лент. Введем сферическую систему координат г, 6, ф с
началом в центре структуры, в которой каждый из конусов £. определяется уравнением 6 = X.. В общей постановке считаем, что оси щелей конусов £2 и £3 не совпадают, а плоскость ф = 0 проходит через ось одной из щелей конуса £2. Точечный источник включения (электрический, х = 1 , или магнитный, х = 2 , диполь) с моментом
Р(х)(г, г) = М(х)8(г - г0 х(г - 10) (1)
расположен в точке В(г0), где 5(г - г0) - дельта-функция, а функция f (г - 10) определяет зависимость поля источника от времени, X(г - ^) = 0, 1 < ^ . Среда, в которую помещены коническая поверхность и источник, является однородной, изотропной и стационарной с диэлектрической проницаемостью е и магнитной проницаемостью ц. Электромагнитное
поле Е(г, г), Й(г, г) в присутствии конической структуры и источника, удовлетворяющее в каждый момент времени уравнениям Максвелла, принципу причинности, краевому условию на идеально проводящих лентах конической структуры, условию конечности энергии, представим в виде
Е( ?, 1) = Е0 (?, 1) + Е1 (?, 1), Н(г, 1) = Н 0 (?, 1) + Н (г, 1), (2)
где Е0 , Н0 - поле источника (первичное поле), а Е1, Й1 - поле, обусловленное присутствием конической структуры (вторичное поле). Ключевой задачей для решения исходной является задача о возбуждении конической структуры радиальным диполем с моментом
Р(х) (г, 1) = М(х)8(г - г0 X(1 -10),
который и будем рассматривать в качестве источника. Для удобства решения поставленной начально-краевой задачи введем электрический и(1)(г, 1) и магнитный и(2)(г, 1) потенциалы Дебая [5,6,10], которые в каждый момент времени удовлетворяют: 1) волновому уравнению
1 52
(А - — —)и(х) (?, 1) = -Б(х) (?, 1), г г £, г * ?0, а2 а2
Б(х) (г, 1) = 2 х1 х 1 мгх)§(г - ?0 X(1 -10) ец = 1-.
е2 хцх 1г а2 '
5и(х) 51
3) краевому условию
2) начальному условию и(х) = 0 = ——, 1 < 10 ;
5х-1 (ди(х) Л
дп х-1
4) условию ограниченности энергии.
а
= 0; (3)
£
В соответствии с (2) потенциал и(х)( г, 1) запишем в виде и(х)( г, 1) = и0х)( г, 1) + и1(х)( г, 1),
(х) мгх) 11 1
и0 =-4ПГ е2-хцх-1 я"Х(1 -г0 -аЯ)п(1 -г0 -аЯ) - потенциал Дебая первичного поля; п©
- функция Хевисайда, Я = |г - г01, а = 1 . Потенциал и(х)(г, 1) вторичного поля ищем с
л/еЦ
помощью интегрального преобразования Мелера-Фока [10]:
и(х)(?, 1) = П 1 -10 -^1 х Е(-1)те-1тф0 Т^пт^-т + к))ЬЙ^Итх)т(6,Ф)Ф*(1,^т,
4лгг0 V а / т=-~ 0 1(1/2 +т +1Т)
где
х-1 х-1
Ьтхт),р (Ур, 60) = п(2,5 - р)п[(-1)р (60 - У2)]—г ит°Т (6,60) + п(р - 2,5)п(б0 - Ур )—-г и(6,60),
dy2 dyp
Уp <00 <Yр+1П(2,5 - p) +nn(p - 2,5), p = 1,2,3 ,
t-tQ
и (Q)(e, 0Q ) = JP-"i/2+ix (- c0s 0),0 <0 0 , Ф;х (t, r) = J (t - to - z)P-i/2+ix (chb(z))dz,
P-"/2+ix (cos0),00 <e, ^
, мГх) ,t, Ч a2z2 -r2 -ro2
p , chb( z) = 0
1 2rr0
Л (х)
r(z) - гамма-функция; p mi/2+in (chb(z)) - функция Лежандра первого рода; umjx (0, ф) - искомая функция; п(х) - функция Хевисайда. Для упрощения решения начально-краевой задачи считаем, что N2 = N3 = N . Тогда l2 = l3 = l, l = 2П /N и
+<ю
^[бс p-m+n+Nx (cos 0)+z s& р^ (- cos 0)^+^, У1 <0 < У 2,
n=-<» +<ю
и(х) =
m,ix
(х)пP(n+Nx(cos0) + а(х)пP-"1+n+Nx(-cose)]ei(m+nN)ф,Y2 <0 <Y3,
ЕП(х)пP^+Nx(-cos0)ei(m+nN^,y3 <0 <n,
где (х2 )п , Стх)п , вт 11, Iт 11, Пт п - неизвестные коэффициенты. Вследствие использования краевого условия (3) и условия непрерывности поля в щелях получаем для определения неизвестных коэффициентов систему связанных функциональных уравнений. Метод решения системы функциональных уравнений основан на применении метода полуобращения [11] или метода сингулярных интегральных уравнений [12].
3. Приближение для поля
Составляющие вторичного поля в случае возбуждения электрическим диполем (х = 1) записываются так:
Е = ар1 X . г + г0
Е 6,1 =-2 п 1 - г0--
4лгг02 V а
х Е(-1)me-imФ0 7Tthmr(1/2-m +iT)b(¿Tp H(!) (0,ф)д{гФiT(t,r)}dT,
^ J Г(1/2 + m + ix) mT 50 m,iTV'^arl iT
Е Ф,1 -
аР1
4лгг0 sin 6
-П 1 - 1о -|х
^(-1)те-1тф0 | тШЛТ
Г(1/2 - т + 1Т) ь &р ^и ® .(6, Ф) д {гФ (1, г)*1т
Г(1/2 + т + 1т)
(4)
аг
о --------------5ф
Поместим источник на ось рассматриваемой поверхности (6 о = л, т = 0) и представим
составляющие Е 6,1, Е ф,1 вторичного электрического поля в виде ряда по полюсам подынтегральной функции правой части (4):
Е 6,1 =■
ар1
4лг г
2,2
— 8 (1)
П| 1 - 1о - |хВ (1)
о
а
в=0
А о (1) ад д
-,=,, р
д
д=д^ -1/2+ДС1)(cos Уз) д^*0-г)], (5)
Е Ф,1 = -
—8 (1)
г + г0 | (1) дф д
22 п| 1 -10--0 —
2пг2г0 sin 6 I а ) 8=0 А0(1)
аР1
д=д р (cosуз) —[¥„ (1,г)],
д=д -1/2+^ 3 5г ^
ад
д
1 -10
(1, г) = |f (1 - 10 - 2)О-1/2+р (сЬЬ(2))<Ь, и(1)(6, ф) = 8 д1)(6, Ф) 0(1)
г+г0 а
0,д у
о д1)
д
, О^
= 0,
д=д«
где О т1/2+р (сЬЬ(2))- функция Лежандра второго (х = 1) рода. Множество значений д(1) определяет спектр пространственно-краевой задачи для сложной конической структуры (х = 1). В случае близкого расположения источника к центру поверхности (г0 << 1, г0 < г), а также
при изучении поведения поля вблизи этого центра (г << 1, г < гд) из ряда удается выделить доминирующую моду, которая и будет определять поле в каждом из этих случаев, для которых >>> 1. Используя соотношение между функциями Лежандра [13], приходим к представлению
д_ аг1
[д (1, г)] = -1 (1 - 10 - 2)^2, г, г0 )О-1/2+д (с№(2№
г+гр а
(6)
Ь(2, Г, Г0 ) =
2 2,2 2 а 2 + г - г0
^а222 - (г + г0)2^а222 - (г - п)2
Принимая во внимание поведение функций О-1/2+1т (у) при у >> 1 [14], получаем асимптотическое разложение (6) по большому параметру сИЬ :
^(1,г)] = -г-1/2+дг0/2+дТЛ(д +1/2) Г(д +1/2) х аг1 д 1 0 Г(д+1)
1-10 х I
f (1 - 10 - 2)
' (а222 г2 г2 )д+1/2 г+г0 (а 2 - г - г0 )
Ь(2, г, г,)
а
1 + О
N21
гг0
2 2 2 2 а 2 - г - г0 )
а2.
(7)
Поскольку выражения для Е6 и Еф отличаются друг от друга множителем и видом частной производной функции 8 д1)(6, ф), будем рассматривать составляющую Е6д , так как из ее представления возможно выписать выражение для Е ф+1. Учитывая (7), преобразуем (5) к виду
а
х
е „ =- 4+х („ь)-32+д. гЦ^
24п 8=о Г(дИ
1 - 1о
- I
(1) в ф),
8 'д=д8 Р-1/2 + д8 (СОБ у з) X
Ао « ад д
f (1 - 1о - г)
1 (Я272 Г2 Г2 +1/2
г+го (а г - г - Го )
■Ь(г, г, Го)
(
1 + О
(
гго
,2 \
2 2 2 2
а г - г - го
аг.
В формуле (8) предполагается, что 1 - 1о > (г + го)/а . Суммирование в (8) производится
по номерам спектральных значений, наименьшее из которых до для всех параметров конической структуры больше значения 0,5. Одним из свойств спектра является то, что его соседние спектральные значения отличаются друг от друга почти на единицу. Этот факт позволяет делать вывод о том, что при по << 1 наибольший вклад в сумму ряда (8) вносит первый член ряда, который соответствует наименьшему спектральному значению до. Амплитудный множитель этой моды при по << 1 будет большим, в то время как второй член ряда, соответствующий Д1 > 3 /2 , по абсолютной величине значительно меньше амплитуды первой моды. Третий член при гго << 1 значительно меньше предыдущего члена и т.д. Таким образом, при выполнении условия гго << 1 для составляющих электромагнитного поля можно ограничиться первым членом ряда (8) и получить одномодовое приближение в рассматриваемых случаях. В данном примере (х = 1) из (8) имеем такое приближение для е е,1:
(о) = - _ар_
е ^ = -
2л/П
П| 1 - 1о -
^)о-3/2+Дог-3/2+До Г!3-^Р-1/2+до (СО8Уз)
- вД1)(е, ф)
де7 |д=до F(1) (1;г, го), а о (1) |д=до до ад д
1-1о
Ff(0) (l;г, го )= I
f (1 - 1о - г)
1 ,2 2 „2 „2Ч до +1/2 г+го (а г - г - го Г°
И(г, г, го )аг.
(9)
(10)
Из (9) заключаем, что наименьшее значение до из пространственного спектра определяет поведение нестационарного электромагнитного поля вблизи центра сложной конической поверхности и его пространственное распределение в случае близкого расположения источника к центру.
Электромагнитное поле вблизи центра конической поверхности запишем следующим образом:
|Е|~г-1+а, |Й|
г << 1, а = -1/2 + до1), до1) = minД¡
;,(1)
Зависимость составляющих поля от временного параметра 1 в случае близкого расположения источника к вершине (го << 1) характеризуется функцией FД10 (1;г, го) (10), которая и
включает в себя функцию f (1 - 1о), определяющую изменение рассматриваемого физического процесса во времени.
В случае 5 -образного импульсного источника, f (1 - 1о) = 5(1 - 1о), Ее^ из (9) записывается в виде
а
X
X
а
г
Е(0) - лГ 1 1 Г + Го V3г-3Г(3/2 + (о1})р .у ) х Ее'1 --2/ПТ -10г гса«) Р-1/2+А01)(СО5у3)х
- в (-1)(б, Ф)
х 59 ( ^
Ао((1) ад д
(-((1)
г(( 01)) -1/2+д0^
Ь( -1°, г, г°) (11)
(1)+
(-(0 [к \1 2 2 Н +1/2
(а2 (1 -10 )2 - г2 - Г02 )0
Выражение для Е9°1 (9) в поздневременном приближении [2], а(1 -10) >> 1, получаем из (11):
7(0) - ар, -3/2+((1) -3/
ар1 г-3/2+д01)г-3/2+д01) (д01)+1/2) г(д01;+'/2)р (С05у)х
г ^ Р-1/2+д01)(С08*3) х
Е^ -___
Е 9Д - 2ТЛг0 * а
о(1)
I в (И Ф)
((1)+1
ад д
1 + о(-2 (1 -10 )-2 ).
д-д 01)
(а(1 -10 ))0
Для изучения поведения поля вблизи волнового фронта целесообразно пользоваться интегральным представлением (4), вследствие чего асимптотическое разложение Е 91 по малому параметру £ принимает вид:
+ г+г0 (т2 +1/4)
1
2г
Е9,1 лГ 1 -10 -+£(-1)те-1тф0 тШт
4пгг0 V а ) т--<ю 0
х Г(1/2 - т +1т) Р-1/2+т (cos у 3 )- и «1т (9, Ф)ат + 0(£), Г(1/2 + т + 1т) 1/2+'^ 359 т,1Х V ;
а2 (1 -10)2 - (г + р)2 << 1 ^ 2гг0 .
Анализ пространственного распределения поля в одномодовом приближении показал, что наибольшее значение по абсолютной величине составляющая Е 91 достигает на щели.
4. Выводы
Проведено исследование задачи возбуждения сложной незамкнутой конической структуры импульсным точечным источником с использованием строгого численно-аналитического метода, основанного на применении интегрального преобразования Мелера-Фока в сочетании с методом полуобращения. Преимущество этого метода перед существующими методами и подходами для исследования начально-краевых задач заключается в том, что в процессе решения рассматриваемой начально-краевой задачи для сложной незамкнутой конической структуры не применяется процедура обращения в частотной области.
Научная новизна данной работы состоит в том, что в ней впервые в случае одномодо-вого приближения найдены представления для составляющих электромагнитного поля и изучено пространственное распределение поля, а также его поведение вблизи общей вершины. Показано, что в этом приближении наибольшее абсолютное значение достигается в узких щелях.
Практическая значимость полученных результатов заключается в том, что они могут быть использованы на стадиях проектирования и разработки широкополосных и сверхширокополосных антенн, а также приборов измерительной техники и контроля [2-4].
Список литературы: 1. АндрияновА.В., Астанин Л.Ю., Багно Д.В. и др. Вопросы подповерхностной радиолокации. М.: Радиотехника, 2005. 416 с. 2.АстанинЛ.Ю., КостылевА.А. Основы сверхширокополосных радиолокационных измерений. М.: Радио и связь, 1989. 191 с. 3.АндреевЮ.А., БуяновЮ.И., КошелевВ.И., Сухушин К.Н. Элемент сканирующей антенной решетки для излучения мощных сверх-
х
широкополосных электромагнитных импульсов//Радиотехника и электроника. 1999. Т.44, N° 5. С. 531537. 4.Подосенов С.А., Потапов А.А., Соколов А.А. Импульсная электродинамика широкополосных радиосистем и поля связанных структур // М: Радиотехника, 2003. 720 с. 5. Борисов В.В. Неустановившиеся поля в волноводах. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1991. 156 с. 6. Борисов В.В. Электромагнитные поля неустановившихся токов. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1996. 208 с. 7.TafloveA. Application of the finite-difference time-domain method to sinusoidal steady-state electromagnetic-penetration problems//IEEE Trans. Electromagn.Compat. 1980.V.EMC-22, N.8. P.191-202. 8. Brit Ch. L. Solution of electromagnetic scattering problems using time domain techniques // IEEE Trans. on Antennas Propagat. 1989.AP- V.37, №.9. P.1181-1192.9.Chan K.-K., FelsenL. Transient and time-harmonic diffraction by a semi-infinite cone// IEEE Trans. on Antennas & Propagat. 1977. V.AP-25, №6. P. 802-806. Ю.Дорошенко В.А. Возбуждение трехмерной нерегулярной и незамкнутой структуры//Радиоэлектроника и информатика. 2005. №1. С.4-8. 11.Доро-шенко В.А. Возбуждение сложной периодической идеально проводящей конической структуры // Электромагнитные волны и электронные системы. 2005. Т. 10, №7. С.28-35. 12.ДорошенкоВ.А., Кравченко В.Ф. Парные сумматорные и сингулярные интегральные уравнения в задачах рассеяния электромагнитных волн на незамкнутых конических структурах //Дифференциальные уравнения. 2003. Т.39, №9.С.1209-1213. 13БейтменГ., ЭрдеиА. Высшие транцендентные функции. В 3-х т. Т.1. М.: Наука, 1973. 407 с. 14.Кратцер А., Франц В. Транцендентные функции: Пер с нем./ Под ред. Н.Я. Виленкина. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. 466 с.
Поступила в редколлегию 03.09.2006 Дорошенко Владимир Алексеевич, д-р физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики ХНУРЭ. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 702-13-72. Зуев Николай Григорьевич, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики ХНУРЭ. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 702-13-72. Климова Наталья Павловна, канд. техн. наук, доцент кафедры высшей математики ХНУРЭ. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 702-13-72. Титаренко Александр Михайлович, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики ХНУРЭ. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 702-13-72.
УДК 681.326:519.613
В.И. ХАХАНОВ, С.А. ЗАЙЧЕНКО
МОДЕЛЬ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕГИСТРОВЫХ ОЧЕРЕДЕЙ ДЛЯ БЫСТРОДЕЙСТВУЮЩЕГО АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ ТЕМПОРАЛЬНЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ
Предлагается новая альтернативная алгоритмическая модель для функциональной верификации систем на кристалле, ориентированная на обнаружение нарушений множества заданных темпоральных логических ограничений (ассерций) в рамках моделирования системы с тестовыми воздействиями. Описываются алгоритмы обработки ключевых темпоральных операторов. Даются теоретические утверждения и практические примеры, объясняющие преимущества модели с точки зрения производительности и эффективности верификации. Приводится сравнение с существующими моделями и алгоритмами.
1. Введение
Актуальность данной работы определяется сложностью и высокой стоимостью верификационной составляющей в современном цикле проектирования систем на кристалле (SoC - System-on-Chip). Под верификацией понимают процесс поиска, обнаружения и устранения ошибок в модели системы, приводящих к нарушению спецификации. Согласно мнению экспертов индустрии автоматизации проектирования электроники (EDA - Electronic Design Automation), при использовании архитектуры ASIC [1] доля верификации в проектных затратах превышает 70% [2]. Такая высокая стоимость достижения качества системы определяется многими аспектами, в частности:
- неизбежным большим количеством ошибок и недоработок, допускаемых инженерами в модели системы, в тестбенчах, а также непосредственно в спецификации системы;
