CC BY
1ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1. МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2023. №4 57
Рис. 1 Рис. 2
Поворотами 02) 0-1 получаем три (вместе с найденным) линейно независимых решения (3, 5)-системы. Здесь вместо Аз,5 классифицирующим множеством могут служить вершины кубооктаэдра с координатами (1, 4, 2, 2), переставляемыми всеми 12 способами. К вершинам кубооктаэдра z произвольно приписываем вещественные числа uz, но так, что сумма при вершинах каждой грани равна нулю. Векторное пространство возможностей трехмерно, так как числами при любых трех вершинах любой прямоугольной грани определяются однозначно, без нарушения общего правила числа при остальных вершинах кубооктаэдра. Другие (ненулевые) компоненты uz решений будут для вершин z трех усеченных тетраэдров.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1999.
2. Малышев Ф.М. Симплициальные системы линейных уравнений // Алгебра. М.: Изд-во МГУ, 1980. 53-56.
3. Кириллов А.А. Инвариантные операторы над геометрическими величинами // Итоги науки и техники. Т. 16. М.: ВИНИТИ, 1980. 3-29.
Поступила в редакцию 19.04.2023
УДК 511
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА ШРЁДИНГЕРА С СИНГУЛЯРНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ НА ПОЛУПРЯМОЙ ПО НАПЕРЕД ЗАДАННОМУ СУЩЕСТВЕННОМУ СПЕКТРУ
Г. А. Агафонкин1
В статье рассматривается класс операторов Шрёдингера в L2([0, с потенциа-
лом вида a,köxh, где xk > 0 и ak € R. Приведено конструктивное доказательство того,
что всякое замкнутое полуограниченное множество S С R может являться существенным спектром такого оператора.
1 Агафонкин Григорий Андреевич — студ. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ; Моск. центр фунд. и прикл. матем., e-mail: [email protected].
Agafonkin Grigoriy Andreevich — Student, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Theory of Functions and Functional Analysis; Moscow Centre for Fundamental and Applied Mathematics.
58
ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2023. №4
Ключевые слова: оператор Шрёдингера, существенный спектр, теорема Вейля. Singular Schrodinger operators on L2([0, +ro)) with the potential of the form akSXk, where xk > 0 and ak G R, are considered. It is constructively proved that every closed semiboun-ded set S С R can be the essential spectrum of such operator.
Key words: Schrodinger operator, essential spectrum, Weyl theorem. DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-64-4-10
Исследуется обратная спектральная задача для оператора, заданного в L2([0, +гс>)) формальным выражением
d2
Н = -~02 (1) к=1
где 0 = y0 < yi < ... — возрастающая последовательность положительных чисел; Шк — середина отрезка Ik = [yk-l,yk]; Ц-к, Vk — вещественные коэффициенты, а через 5Xk обозначена дельта-функция с носителем в точке Xk. Областью определения такого оператора считаем
Dd(H) = {u G W22([0, \ {mk, yk, k G N}) П C([0, : u(0) = 0} (2)
(условие Дирихле). Операторы такого типа исследовались в работе [1], в работе [2] была показана связь спектральных свойств оператора H и трехдиагональных матриц Якоби специального вида.
Стандартное определение действия такого оператора дается на языке полуторалинейных форм, а именно при k G N рассмотрим семейство форм
Ьк(и, у)= «У (1х + 1^ки(тк)у(тк) + -—и(ук_1)у(ук_1) + —и(ук)у(ук) ■^к 2 2
с областями определения О(Ък) = ) (при к = 1 считаем О(Ъ1) = {У € ^ (Д) : = 0}).
Формы Ък замкнуты и полуограничены снизу, поэтому (см. [3]) определяют на Ь2(1к) самосопряженные полуограниченные снизу операторы Ик с областями определения
Б{Нк) = [и € \ {тк}) П С{1к) : и'(ук-1) = ^и(ук- 1), и'{ук) = •
Такие операторы могут быть (см. [4]) определены и другими способами, например с помощью квазидифференциальных выражений второго порядка. Их действие на произвольной функции и € О (И к) может быть записано в виде
Ики(х) = —и''(х) + ^к5(х — тк )и(х).
Рассмотрим теперь форму
Ъ(и,у) = ^ Ък (и\1кН/к) к= 1
с областью определения
I I
D(h) = W G W21;1oc([0, +«>)) n L2([0, : ^ |hk (w|4 ,w|Jk)
k=i k k
<
Можно проверить, что Ъ является замкнутой формой, а при должном выборе коэффициентов ь*к (см. следствие 1) еще и полуограниченной снизу. Наконец, несложно показать, что соответствующий ей самосопряженный полуограниченный снизу оператор И согласуется с определением (1), (2).
Пусть 5 С М — произвольное замкнутое полуограниченное снизу множество. Требуется выяс-
{ Ук +Ук —1
нить, найдутся ли такие значения ук, ц,к и ик (числа тк = -^- однозначно восстанавливаются
по ук), при которых существенный спектр оператора И в точности равен 5. Наряду с определенным выше семейством форм Ък рассмотрим формы
Qk(u,v)= / u'v' dx + fxku(mk)v(mk) Jik
с областями определения Б(дк) = Ш2,(1к) и ассоциированные с последними операторы С к на Ь2(1к) с областями определения
Б(Ск) = {и € Ш22(1к \ {Шк}) П С(1к) : и(ук-1) = и(ук) = 0},
такие, что (Ски,,ь) = 5к(и,ь). Действие таких операторов совпадает с действием Нк, отличаются лишь их области определения.
Несложно проверяется, что спектры операторов Нк и Ск чисто дискретны. Более того, если обозначить через (Нк) и (С к) соответственно у-е собственные значения операторов Нк и С к, то имеет место следующее асимптотическое свойство.
Утверждение 1. При шт^к^^к} ^ для всех ] (Нк) сходится к (Ск).
Из этого соотношения можно вывести
Следствие 1. Пусть формы дк равномерно ограничены снизу константой Тогда суще-
ствует последовательность такая, что для всякой другой последовательности {ик} со свой-
ством ик ^ ^ при всех к € N формы §к равномерно ограничены снизу константой — 1.
Иными словами, для корректного определения оператора Н необходимо, чтобы коэффициенты ь*к возрастали не медленнее, чем Однако явный вид последовательности как и ее асимптотические свойства, указать проблематично ввиду большой сложности нахождения точных формульных выражений для (Нк). Тем не менее мы покажем, что требуемые условия выполняются при всех достаточно быстро растущих ь*к при правильном выборе остальных параметров.
Идея построения оператора Н заключается в следующем. Рассмотрим сперва аналогичную задачу для оператора С = 0 +=1 Ск, действующего в Ь2([0, +то)) ~ 0 +=1 Ь2(1к), с областью определения прямой суммы
.. 2
Б (С) = < и € Ь2([0, +то)) : и\1к € Б(Ск) и ^ \\Ск и
к=1
< оо
После добавления дополнительных условий Дирихле в точках ук мы получаем систему независимых спектральных задач на каждом из отрезков 1к. Каждая из них сводится к изучению спектров операторов С к, которые в свою очередь могут быть выписаны явно:
Л(СУ = | : 3 € N| и {Л : ^(Л) = цк} .
Здесь йк = |4 | = у к — Ук-1 — длина отрезка 4, а
'-2^Л-с^(^), Л > 0;
-2^Л • сШ , А<0.
Поскольку функция Тк непрерывна и строго возрастает от —то до на каждой компоненте связности области определения = М \ : к € для всякого ц € М корни уравне-
ния Рк(\) = ц. перемежаются с числами [Щ^ • Тем самым, обозначая при ] € N через \2]+1 к
<—' ~—™ = - -—((*)'■ т2)■. - ^ »
2
<
(единственное) решение на луче имеем упорядочение спектра Ск:
,{а, = К < (|)2 < Лз, <(£)'<...< ъ-и, < )2 < <
Следующее утверждение (см. [5]) позволяет найти спектр оператора С.
Утверждение 2. Пусть спектры С к чисто дискретны и — ,]-е собственное значение оператора С к ■ Тогда
(a) спектр G равен замыканию множества Л = {Aj,k : j,k € N};
(b) существенный спектр G составляют (конечные) точки накопления Л и только они.
Отсюда напрямую выводится
Следствие 2. Пусть dk ^ 0 при k ^ Тогда существенный спектр G состоит в точно-
сти из точек накопления множества {A1;k : k € N}.
Вообще говоря, для дальнейших рассуждений можно брать любые точки yk с условиями
lim dk = 0 и > dk = k=1
Однако, поскольку в настоящей работе преследуется лишь цель построить пример оператора с заданным существенным спектром S, а не описать общие условия на его параметры, мы ограничимся весьма конкретной последовательностью длин
4 = 17ЙГ (3)
где на калибровочную последовательность Mk дополнительно наложены следующие условия:
(a) Mk > 0 и Mk возрастает;
(b) Mk = o(k£) для всех е > 0 (например, Mk ~ ln(1 + k));
(c) существует число s € S, такое, что s < Mi.
Тогда имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Для всякого замкнутого полуограниченного снизу множества S существует последовательность ßk, такая, что независимо от выбора Mk, удовлетворяющих условиям (а)-(с), существенный спектр оператора G с yk = ^2m=1 dk, где длины dk описаны в (3), совпадает с S.
Тем самым вспомогательная задача решена.
Связь полученного решения с исходной задачей дает следствие из теоремы Вейля (см. [3]), а именно справедливо
Утверждение 3. Два самосопряженных оператора A и B имеют одинаковый существенный спектр, если их резольвентная разность T\(A, B) = (A — AI)-1 — (B — AI)-1, взятая в некоторой регулярной для обоих операторов точке A, является компактным оператором.
В силу полуограниченности существование общей регулярной точки очевидно. Тем самым для окончательного построения оператора H остается выяснить, при каких значениях параметров Vk оператор T\(H,G) компактен. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема 2. Пусть значения yk и ßk (найденные на предыдущем этапе) фиксированы, а
Vk > max{v°k, Mk3+21(k + 1)5+£ Тогда оператор T\(H,G) является компактным в L2([0, +гс>)) и, следовательно,
^ess(H) = CTess(G) = S.
Тем самым доказано, что для операторов вида (1), (2) множество S может являться существенным спектром, если и только если оно замкнуто и полуограничено снизу.
Работа выполнена при поддержке гранта РНФ № 20-11-20261.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мирзоев К.А. Операторы Штурма-Лиувилля // Тр. Моск. матем. о-ва. 2014. 75, № 2. 335-359.
2. Kostenko A.S., Malamud M.M. 1-D Schrodinger operators with local point interactions on a discrete set // J. Diff. Equat. 2010. 249, N 2. 253-304.
3. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.
4. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями // Тр. Моск. матем. о-ва. 2003. 64. 159-212.
5. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982.
Поступила в редакцию 26.10.2022
