КРИТЕРИЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ДВУХ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ФОРМУЛ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 12. № 1 (2020). С. 30-42.

УДК 519.21

КРИТЕРИЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ДВУХ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ФОРМУЛ

Х.К. ИШКИН, Р.И. МАРВАНОВ

Аннотация. Исследуются условия эквивалентности двух асимптотических формул для произвольной неубывающей неограниченной последовательности {Ага}. Показано, что если д - неубывающая и неограниченная на бесконечности функция, {fn} ~ неубывающая последовательность, асимптотически обратная к функции д, то для любой последовательности вещественных чисел Ага, удовлетворяющих асимптотической оценке Ага ~ fn, п ^ верна и оценка N (А) ~ д( А), А ^ тогда и только тогда, когда д - почти правильно меняющаяся функция (PRV-функция). Также найдено необходимое и достаточное условие на неубывающие последовательность {/га} и функцию д, при котором вторая формула влечет первую. Используя полученный критерий, найден нетривиальный класс возмущений, сохраняющих асимптотику спектра произвольного замкнутого, плотно определенного в сепарабельном гильбертовом пространстве оператора, имеющего хотя бы один луч наилучшего убывания резольвенты. Этот результат является первым обобщением известной теоремы Келдыша на случай операторов, не близких к самосопряженным или нормальным, спектр которых может сильно меняться под действием малых возмущений. Получены также близкие к необходимым достаточные условия на потенциал, при которых спектр оператора 111 гур.ма . Iiiyini.гш на кривой имеет такую же асимптотику, как в случае потенциала, имеющего в выпуклой оболочке кривой конечное число полюсов, удовлетворяющих условию тривиальной монодромии.

Ключевые слова: асимптотическая эквивалентность, функции, сохраняющие эквивалентность, почти правильно меняющиеся PRV-функции, операторы, не близкие к самосопряженным, теорема Келдыша, локализация спектра, потенциалы с тривиальной монодромией.

Mathematics Subject Classification: 34D05, 35Р20, 60F17

1. Введение

Найти асимптотику некоторой последовательности {- это значит предъявить последовательность {fn} с известными (вытекающими из контекста) свойствами, удовлетворяющую соотношению:

Ага ~ /га, П ^ +ГО. (1)

Здесь и всюду далее запись f(х) ~ д(х), х ^ х0, х е D, понимается как асимптотическое равенство (эквивалентность) для функций д и /, определенных на множестве D с предельной точкой х0:

д(х) = f (ж)(1 + а(х)), х е D, lim а(х) = 0.

Кн. Ishkin, R. Marvanov, Equivalence criterion for two asymptotic formulae. ©Х.К. Ишкин, Р.И. Mapbahob. 2020.

Исследование выполнено при финансовой поддержке гранта Российского научного фонда (проект № 1811-00002).

Поступила 20 июня 2019 г.

Иногда формулу (1) удается уточнить, К примеру, если L - оператор, порожденный в L2(0, п) дифференциальным выражением —у" + qy, где q G W™[0,7т], и краевыми условиями у(0) = у(п) = 0 {Ага} - собственные числа L, занумерованные в порядке неубывания модулей с учетом алгебраических кратностей, то (см., [2, гл. I, §5]):

( [ш+1/2] \

Хп — Í п2 + ^^ Cjn-2j I = п-тап, Cj = const, {otn} G I2.

V j=i J

Однако часто в задачах, где приходится иметь дело с последовательностями, пользуются формулой

N (А) - д(Х), А ^ +ж, (2)

где

N (А) = £ 1

А„<А

- функция распределения {Ага}, Причины тому могут быть разные: порой выбор в пользу формулы (2) может быть продиктован не столько применяемыми методами и подходами, а соображениями более глубокими, вытекающими из самой сути проблемы, В качестве иллюстрации рассмотрим

Пример 1. Пусть G - ограниченная область в Rm, —Ад ~ Лапласиан Дирихле области G - самосопряженный оператор в L2 (G,dx), ассоциированный с квадратичной формой, представляющей собой замыкание формы

q(f,g)= í V fVgdx, f,g G C^(G).

JG

Пусть {\n} - собственные числа оператора, А, пронумерованные в порядке неубывания с учетом их кратностей. Тогда, если G имеет жорданов объем,, то (см,., например, [3, гл. XIII, § 15])

N (А) - (2n)-mTmWm(G)\m/2, А ^ +ж, (3)

где Wk - k-мерный жорданов объем,. При выполнении дополнительных условий на, область G и ее границу Г (см,. [4, §§ 17.5, 24-7], [5]) формулу (3) можно уточнить, выделяя второй член разложения, который выражается, в терминах т — 1-мерной меры Г.

Попутно отметим, что формула (3) восходит к известной работе Г. Вейля [6], подтвердившей гипотезу Лоренца и Джинса, об определении объем,а, области G по спектру Лапласиана —А°. Впоследствии, был найден ряд других геометрических характеристик области G, определяемых асимптотикой N (А) [7].

Пример 1 показывает, сколь естественным может быть выбор в пользу формулы (2),

о последовательности {fn}. Это предположение оправдывается, например, в случае, когда известно, что последовательность {Ага} строго монотонна, и функция g сохраняет асимптотическую эквивалентность последовательностей, то есть для любых бесконечно больших последовательностей {хп} и {уп} справедливо утверждение

хп - Уп, п ^ ^ д(хп) - д(Уп), п ^ (4)

Действительно, если {Ага} возрастает, то N(\п) = п — 1, и из формул (2) и (4) имеем

9(fn) -n, п ^ж. (5)

Если еще предположить, что функция д непрерывна и возрастает на [А, +ж) и обратная функция д-1 также сохраняет асимптотику, то из соотношения (5) получим fn — д-1(п) при п ^

Ниже в Лемме 1 мы покажем, что если последовательность {fn} и функция д не убывают, то условие (5) необходимо (но не достаточно!) для того, чтобы для любой неубывающей последовательности {Ага}, удовлетворяющей оценке (1), была верна и оценка (2),

Цель настоящей заметки - найти необходимое и достаточное условие на функцию д или последовательность {fn}, при котором для любой неубывающей последовательности {Ага}, удовлетворяющей одной из формул (1) или (2), верна другая.

Прежде чем приступить к формулировке результатов, отметим, что класс функций, сохраняющих асимптотическую эквивалентность (4), хорошо известен. Для дальнейшего нам удобнее привести полную формулировку критерия.

Теорема BKS (V.V, Buldygin, O.I. Klesov, J. G. Steinebach [8]). Пусть функция g измерима на, [А, +<х>) и lim д(х) = Тогда, следующие утверждения эквивалентны

1) Функция g сохраняет асимптотическую эквивалентность последовательностей.

2) Функция g сохраняет асимптотическую эквивалентность непрерывных функций, то есть g(u(t)) ~ g(v(t)), t ^ +<х>, для любых функций u,v, непрерывных на некотором, интервале (В, +<х>), асимптотически эквивалентных на, и удовлетворяющих условию

lim u(t) = lim v(t) =

3) Функц ия g удовлетворяет условию

т т g($x) 1 /„ч

lim lim sup—-— = 1. (о)

g(x)

Из этой теоремы следует, что если функция g непрерывна на [А, возрастает и

неограничена, fn = g-1(n), то для того, чтобы всякая возрастающая последовательность {Ага} с асимптотикой (1) удовлетворяла и (2), достаточно выполнения условия (6). Действительно, при сделанных предположениях

N(X) = п, д(Хп) < д(Х) < g(Xn+i) на (Ara,Ara+i]

и д(Хп) ~ п, п ^ в силу (1) и п. 1) теоремы. Отсюда вытекает (2).

Замечание 1. Функции, удовлетворяющие условию (6), называют PRV-функциями (pseudo-regularly varying). В связи с многочисленными приложениями (в особенности, в теории вероятностей) PRV-функции изучены достаточно подробно (см,. [9] и имеющиеся там ссылки). PRV-функции явились естественным, обобщением RV-класса правильно меняющихся функций, введенных в 1930 году Ка,рам,а,той в его основополагающей работе [10]. Результаты Ка,рам,а,ты, (вместе с последующим,и расширениям,и и обобщениями) оказались исключительно плодотворными для, различных областей математики (см. [11,12]).

2. Формулировка основных результатов

Всюду далее {Ага}^°=1 будет означать произвольную вещественнозначную неубывающую последовательность, S- множество неубывающих неограниченных последовательностей, F- множество функций, которые на некотором интервале (А, ( своем для каждой функции) принимают конечные значения, не убывают и неограничены.

Начнем с одного простого утверждения.

Лемма 1. Пусть {/„} g Sg g Fта,ковы, что для, любой последовательности, {Ага}, удовлетворяющей (1), верна, и оценка (2). Тогда, имеет место (5).

Основной результат статьи - в следующих двух теоремах.

КРИТЕРИЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

33

Теорема 1. Пусть {fn} Е Srx, д Е FТогда если выполнены условия (5) и (6), то для, любой последовательности, {Ага}, удовлетворяющей (1), верна, оценка (2).

Обратно, если, для, любой последовательности, {Ап}, удовлетворяющей, (1), верна, оценка (2), то {fn} и g удовлетворяют (5) и (6).

В следующей теореме речь пойдет об условиях, при которых для любой последовательности из Sверна пмпликация (2) ^ (1), Но прежде мы должны гарантировать существование хотя бы одной последовательности из Sудовлетворяющей (2) (в условиях теоремы 1 такой вопрос не возникает). Справедлива

Лемма 2. Для, того, чтобы, существовала хотя бы одна последовательность {Ага} Е S™, удовлетворяющая (2), необходимо и достаточно, чтобы,

д(А — 0) ~ д(А), А ^ (7)

Теорема 2. Пусть {fn} Е S™ и д функция из класса, F™, удовлетворяющая условию (7). Тогда, если

(i) f[g(X)] ~ А А ^ + ^

(ii) lim lim sup = 1,

га^+те fn

то для, любой последовательности {Ага}, удовлетворяющей, (2), верна, оценка (1).

Обратно, если, для, любой последовательности {Ап}, удовлетворяющей, (2), верна, оценка (1), то {fn} и g удовлетворяют условиям (i) u (ii).

3. Доказательства утверждений п. 2

3.1. Доказательство леммы 1. Так как {^} не убывает, то существуют последовательность номеров {пк} и возрастающая последовательность {ик}, такие, что

fi = vk, i = nk-i + 1,пк.

Положим Аг = fi, iE N Имее м N (А) = ,Пк-\ при А Е (uk-i, ик ]. Согласно (2) для любого £ > 0 существует К£ Е N, что

Пк—i(1 - £) < д(А) < nfc-i(1 + е), А Е (vk-i, vk], к^К£.

Отсюда, поскольку д( fi) = д(ик) при г = пк-1 + 1, пк, то

д(/г) < г(1 + е), г = пк-\ + 1,пк. (8)

Теперь возьмем другую последовательность, удовлетворяющую (1): Аг = Тогда

N (А) = пк при А € (Рк-1, Vк ], откуда в силу (2) при каждом е > 0 найдется помер К£ Е К, такой, что

пк(1 - е) < д(А) <пк(1+е), А е (ик-1, ик], к^К£. Отсюда, поскольку

fi = "k, i = nk-i + 1,пк,

то

д( fi) > пк(1 — е) для всех г = nk-i + 1, пк, к ^ К£ что вместе с (8) дает (5), Лемма доказана.

3.2. Доказательство теоремы 1. Достаточность (5) и (6). Пусть выполнены (5) и (6) и {Ап} - неубывающая последовательность, имеющая асимптотику (1), Согласно теореме ВКБ д(Хп) ~ д(/п), п ^ то, откуда в силу (5)

д(Хп) ~ п, п ^ то. (9)

Пусть [пк} и {^к} ~ возрастающие последовательности, такие, что Хг = , к = пк-1 + 1,пк, п0 = 0. Тогда N (Л) = пк при Л € (ук, ^к+1]. Далее, из (9) следует, что для любого е > 0 найдетея Ке € К, что при веех к ^ Ке

Пк(1 - £) ^ д(^к), д(^к+1) ^ (Пк + 1)(1 + £).

Отсюда для всех Л € (ук ,^к+1] имеем

Пк(1 - е) ^ д(Х) ^ (пк + 1)(1 + е),

поэтому

1 - е ^ ^ (^1 + —1(1 + £), Х>^к, к > К£, N (X) \ Пк)

что доказывает (2),

Необходимость. Пусть для любой последовательности {Ап}, удовлетворяющей (1), верно (2), Тогда условие (5) следует из леммы 1.

Докажем (6), Предположим противное и построим неубывающую последовательность {Ап}, удовлетворяющую (1), но не удовлетворяющую (2),

По теореме ВКБ существуют две стремящиеся к +то асимптотически эквивалентные последовательности {хп} и [уп}, для которых выполнено хотя бы одно из неравенств

т д(Уп) ^ г д(Уп) ^,

пш вир ——- > 1 ми пш вир ——- < 1.

п^ж д(%п) п^ж д(%п)

Пусть выполнено первое неравенство (случай, когда выполнено второе неравенство, рассматривается аналогично). Тогда найдутся последовательность {пг}, а > 0 и 11 € К, такие, что

д(Уп1) > (1 + а)д (Хщ), г >11. (10)

Пусть уп. = хп1 (1 + £г). Имеем £г ^ +0, г ^ то. Далее пусть

аг = шах{£к}, Шг = шт{& : /к ^ хщ}.

к>г

/т;-1 < Хщ ^ fm^ (И)

Я (Хщ) ~ Шг, г ^ ТО. (12)

Тогда

и согласно (5), Положим

хт1 = (1 + (Гг). (13)

Можно считать, что последовательность Хт1 возрастает (при необходимости перейдем к подпоследовательности),

Согласно (12) найдется 12 € К, что

/ N тг (1 + 2) ^ г

а (хп.) > ---—, % ^ 12.

У V пг) 1 + а , / 2

Тогда поскольку д (хщ(1 + аг)) ^ д (уп1), то в силу (10) и (11) будем иметь

д (^тг) ^ (1 + |) тг, г > 13, (14)

где 13 = шах{/1,12}.

Доопределим Ак при остальных к. Пусть тг+1 > т,г + 1, Положим

^ = шах! к Е [тг, т,г+1) : fк < ^4 (1 + 1 I 1 + &г+1 ]

Ак ={.

Ясно, что тг < ¿г < т+]_. Положим

(1 + ^г), тi <к< ¿г, ¡к (1 + ат), ¿г + 1

Тогда

Ак ~ ¡к, ¿г + 1 < к < т1+1, г ^ то. (15)

Докажем, что оценка (15) верпа и при тг < к < ¿г, г ^ то. При указанных к

Ак = ¡тг (1 + аг) < Д (1 + аг). (16)

Если к < ¿¿, то

, Ак 1к < (1 +аг+1),

откуда

Ак > Д (1 + ъ+1). (17)

Из (16) и (17) следует (15) при тг <к < г ^ то.

Таким образом, мы построили последовательность { Ак}, удовлетворяющую (1). Покажем, что оценка (2) для нее неверна.

Из определения N (А) следует, что N (Ат1) < тг — 1, поэтому из (14) имеем

9(Атг) > (1 + |)N (Атг).

Отсюда следует, что последовательность {А^} не удовлетворяет (2). Теорема доказана. 3.3. Доказательство леммы 2. Достаточность (7). Положим

Si = вир{А : д(А) < г}. (18)

Поскольку д Е Рто {зга} Е в™. Кроме того, еели $г < $г+1, то

г < д(А) < г + 1 при всех А Е ($г, в^). (19)

Пусть {пк} и {цк} - возрастающие последовательности, такие, что

8г = , г = пк-1,пк — 1. (20)

Из (19) при г = пк — 1 имеем

пк — 1 < д(А) <пк, А Е (цк,№+1). (21)

Далее, снова используя (19) (при г = пк), получим

д(^к+1) <пк + 1. (22)

Тогда, поскольку

^(А):=шах{г : < А} = пк — 1, А Е (цк,^к+1 ] , (23)

то

1 < < 1 + ^Т, А Е (рк,»к+1). (24)

ЩА) пк — 1

Из (21) имеем д (¡лк+\_ — 0) < пк. Отсюда согласно (7)

9 (Цк+1) <пк (1 + ак), ак ^ +0, к ^ то.

Следовательно,

1 < 9(Ук+1) < 1 + 1 + ^к

N3 (цк+1)^ пк — г

Отсюда и из (24) заключаем, что последовательность {sn} удовлетворяет (2),

Необходимость. Предположим противное: пусть при некотором ö > 0 для некоторой возрастающей последовательности {Ап} Е Sx выполнены неравенства

д(Ап - 0) < (1 - 5)д( Ап). (25)

Поскольку функция N (А) непрерывна слева, то для каждого п найдется точка ßn < Ап, такая, что

N (ßn) > N (Ап) - 1. (26)

п

С другой стороны, в силу (2)

N(ßn) = g(ßn)(1 + o(1)), п ^то. (27)

Объединяя теперь оценки (25)-(27), получим

1- NM ^ 1 л

lim sup — ^ 1 - о

n^-tx д( Ап)

в противоречии с (2), Лемма доказана,

3.4. Доказательство теоремы 2. Достаточность (i) и (И). Пусть выполнены условия (i) и (ii), то есть для всякого е > 0 найдутся Л^е) > 0, ö(e) > 0 и п(е) Е N, удовлетворяющие условиям

(1 - е)f[g(x)] < А < /Ш](1+е), А > Л^е), (28)

f[n(i+s)] < (1 + е)in, 0 < S < S(e), п ^ п(е). (29)

Далее пусть {Ап} - произвольная неубывающая последовательность, для которой выполнено условие (2), то есть для любого а > 0 найдется Л2(а) > 0, что

д( А)(1 - а) < N (А) < #(А)(1 + а) доя всех А > Л2 (а). (30)

Пусть {пк} и {ßk} _ возрастающие последовательности, определенные по формуле (20), такие, что Аг = ßkl г = пк-1, пк, п0 = 0. Тогда N (А) = пк1 А Е (ßk ,ßk+1], к Е N.

Для произвольного е > 0 выберем какое-либо 6£ Е (0, 6(е)), где ö(e) определяется (29), и положим

Лэ(е) = max^(e), Л2(а£)}, а £

£ 1 + 5е'

Далее пусть п(е) удовлетворяет (29) и К1(е),К2(е) Е N таковы, что Vк > Лз(е), к ^ Ki(e),

пк > maxjn(e)(1 + 5е) , (1 | , к > К2(е).

Положим К(е) = max{K1(e), К2(е)} и покажем, что при всех k ^ К(е)

fnk (1 - 2е) ^^к+1 < Uk (1 + е)2. (31)

Пусть к ^ К(е). Взяв А = ^к+1 в (30); с учетом (23) имеем g (цк+1) < пк (1 + 8г), откуда согласно (28) и (29)

^к+1 < f[nk(1+й£)](1 < fnk (1 + е) .

Докажем первое из неравенств (31). Пусть А Е ([¿к+1, ук+2\. Тогда А > Л1(е), потому в соответствии с (28)

А > (1 - £) f[g(X)]. (32)

С другой стороны, поскольку

11 А > Л2Ы, —->

1 + (Г£ 1 + 5е

то в силу (30) и (23) выполнено

д(X) > Пк+ - 1 £ Пк

1 + а£ 1 + а£ и следовательно,

Далее,

[д(X)] > - 1.

1 + оЕ

пк Пк Л \ Пк Л ^ \

V + 1+Жу > 1 + 4 V + (1 +W

1 + а£ 1 + 8е\ 1 + 24У 1 + 4V (1 + 4)2

откуда, учитывая, что к ^ К2(е) и потому пк > (—+ /£) , получим

А)] > (33)

1 + о £

Отсюда, снова используя определение К2(е), заключаем, что [д(А)] > п(е), следовательно,

п = [ ( А)]

1+

Отсюда и из неравенств (32) и

1

> 1-2е

fiaW] > 1

fnk

1+

заключаем, что

X > (1 - 2е) fnk для всехХ £ (f^k+i, fk+2].

Тем самым первое из неравенств (31) доказано.

Необходимость. Докажем (i). Поскольку последовательность {sп}, построенная при доказательстве леммы 2, удовлетворяет оценке (2), то для нее верна и оценка (1):

fn = sn(1 + ап), где ап ^ 0, п ^ ж.

Согласно (21) [g(X)] = пк — 1 при всех X £ (fik,fk+i). Так как snk—i — fkj то

f[g(X)] = f к (1 + Pk) , X £ (fk,fk+l),

где ¡3k = <7nk-i ^ 0, к ^ ж, Отсюда

^ < 1 + Pk, X £ f ,f+). (34)

Далее, из (22) [g(fk+i)} ^ пк, так что

f [g(pk+1)] ^ f"-k = snk (1 + ank).

Согласно (23) snk = fk+il поэтому последнее неравенство в месте с (34) дает

f[aW]

А

где 7к ^ 0, к ^ то. Докажем теперь, что

А

где 5к ^ 0, к ^ то.

Введем последовательность

^ 1+ 1к, X £ (fik ,fk+i], (35)

£ 1 + 8к, X £ (fk ,fk+i], (36)

щ = sup{X : д(X) < i + 1}, Nv(X) = ^ 1.

Vi<\

Поскольку щ = 8г+^ где {определена по (18), то Nv(А) = ДДА) — 1, поэтому Nv(А) ~ д(А), А — +то. Следовательно, для последовательности {ь>г} также верна оценка (1), то есть

I п "п (1 + £п) , £ п —У 0, п —У то. (37)

Далее, согласно (23), щ = ¿к, г = пк-1 — 1,пк — 2, где {¿к} и {пк}, те же, что в (20), Отсюда, поскольку иПк-1 = ¿+1; то, учитывая (21) и (37), при всех А Е (¿к, ¿к+1) будем иметь

1[д(\)] = ик-1 = ¿к+1(1 + 8к) > А (1 + 8к),

где 8к = £Пк-1 — 0, к — то. Отсюда следует (36) при А Е (¿к,^к+1)-

Для доказательства (36) при А = ¿к+1 заметим, что в силу первого из неравенств (21) д(^к+1) ^ пк — 1, следовательно,

¡Шк+г)] ^ !пк-1 = ¿к+1(1 + 8к).

Из (35) и (36) следует (1),

Докажем (11), Допустим противное и построим последовательность, удовлетворяющую (2) и не удовлетворяющую (1),

Итак, пусть существуют две растущие последовательности натуральных чисел {^} и {тк} и некоторое положительное число а, такие, что

ь'к = тк (1 + 8к), 8к — +0, к — +то, (38)

ик = (1 + а) ик. (39)

Переходя при необходимости к подпоследовательности, можно считать, что при каждом к

9 ( 5 шк+г) > 9( 8 „к ) ,

где 5 г определены по формуле (18),

Введем последовательность {рг} : рг = 0 при 1 < г < т1 и

[8 ик, тк < г< ик, Рг =\ ^ . к = 1,2,... 40)

1^, ик <г <тк+1,

В силу утверждения 0)

¡Ш)] = А(1 + 8(А)), 8(А) — 0, А — +то, и согласно (19) при всяком е > 0 верно д (5 „к + е) ^ щ, так что

< Ыз„к +е)] = ( ^ик + е)(1 + ¿( ^ик + £)) = Ашк (1 + о(1)) , к — +то, откуда, учитывая (39), при некотором достаточно большом К0 будем иметь

Ршк > (1 + !шк, к ^ К0.

Отсюда следует оценка (1) для последовательности {рг}.

Докажем, что функция N (А) = шах{г : рг < А} удовлетворяет (2), Поскольку при каждом к Е К согласно (40) ^(А) = ^(А) на (, зтк] и, как было показано при доказательстве леммы 2, функция Ns(•) удовлетворяет оценке (2), то достаточно проверить, что — +то

^(А) - д(А), А Е (

5 тк , 3 ик ].

Из определения {р¿} имеем

^(А) = ^ при А Е (8тк , 8„к ]. С другой стороны, согласно (19) при всех А Е (8тк, 8„к)

тк < д(А) < ик, (43)

откуда, учитывая (38), заключаем

1 < ^ < 1 + 4, А е (втк, ^), (44)

где 8к ^ +0 к ^ +то.

Далее, поскольку в силу (43) выполнено

тк ^ д(Зик - 0) ^ рк,

то, воспользовавшись условием (18), будем иметь

тк ^ д() ^ Ук (1 + ак), ®к ^ +0, к ^ +то,

что вместе с (42) дает

1 « ^ « 1 + 4.

1 + ак д(А)

Отсюда и из оценки (44) получаем (41), Теорема доказана,

4. Пример. Оператор Штурма-Лиувилля на кривой

i>x гЛ

г = ф)= p(t)eia(t)dt, х е [0,1], / p(t)eta(i)dt =1, J о J о

функции г и а кусочно пепрерывны, р ^ р0 (р0 = const > 0) а не убывает, и числа а0 = а(0), ai = а(1) удовлетворяют неравенствам

Ж А П

--< а0 < 0 < а1 < —.

2 0 1 2

Пусть АС(7) и Lp(ry) - множество функций, соответственно абсолютно непрерывных и суммируемых с р-й степенью (относительно дуговой меры |ск| на 7). Далее пусть q е L1^). Обозначим через L оператор с областью определения

D(L) = {у е L2(7) : у' е АС(7), -у" + qye L2(7), у(0) = у(1) = 0}

и действующий в гильбертовом пространстве L2 (7) по правилу

L = - '' + .

Точно так же, как в случае 7 = [0,1] [13, § 17], доказывается, что L — замкнутый оператор

L

кретен и за исключением конечного числа лежит в угле {ß е C : —2 a1 ^ arg А ^ —2а0}. Обозначим через {Ак}£=1, — f < arg(Ak) ^ f^, собственные числа L, пронумерованные в

Ак

функции Ф( А) = ^(1, А), где tp(z, А) — решение уравнения

—у" + qy = А2 у, (45)

удовлетворяющее условиям ц>(0, А) = 0, ^>'(0, А) = 1. Отсюда следует, что если П - область, ограниченная кривой 7 и отрезком [0,1], q(z) = Q(z), z е гу, где Q - функция, голоморфная в области П и непрерывная на ее замыкании, то спектр оператора L имеет асимптотику

Ак ~ жк, к ^ то. (46)

На самом деле для выполнения оценки (46) достаточно, чтобы существовала функция р е L1(0,1), такая, что функция

~( ) = /q(z), Z е 7, q(Z){p(z), (0,1),

удовлетворяет условию тривиальной монодромии на замкнутой кривой Г = 7и [0,1]: любое решение уравнения (45) при всех значениях параметра Л однозначно на Г, Как показано в [29], условие тривиальной монодромии на Г равносильно тому, что д = ф п,в, на Г, где ф - функция, мероморфная в области П с конечным числом полюсов г^,..., хп, таких, что выполнено:

А)п При некоторых m, Е N 4 > 0, г = 1,п верно равенство

( _ 1) mi-1 Q(z) = m(m ,1 + V Cfc(z - z)2k + 0 f(z - ztrm>-1]

(z - Z,)2

k=0

B)n Функция

<QC~) = QU) -

£

i=1

mj(mj - 1) (^ - z,)2

|z- < Si, (47)

(48)

принадлежит пространству Смирнова Ex(П) [30, Гл. III, §7].

Цель этого пункта - с помощью теоремы 2 доказать, что оценка (46) верна и в случае, когда функция Q имеет в П бесконечное число полюсов {zi}'i=1, которые могут скапливаться только к отрезку [0,1] и, помимо естественных условий вида (47) и Ь), удовлетворяют некоторому дополнительному требованию относительно поведения около точек 0 и 1,

Теорема 3. Пусть q = Q п.в. на Г, где Q - функция, мероморфная в области П с полюсами {Zi ^^ удовлетворяющими условиям

A)' Существуют последовательности {m,}, {8,}, m, Е N, 8, > 0 (i Е N такие, что

B)' Для, каждой кусочно-гладкой кривой jn, не содержащей пол,юсов Q и охватывающей первые из них, функция (48) принадлежит Е1(Пп)^де Пп - область, ограниченная

n

C)' Если

— —

Zk = |¿kleiß0k = 1 + |Zk - 1|eißlk, где - - < ßok < 0, -- < ßok < --,

то ß0k — 0 ß1k — --, k —У ж. Тогда, для собственных чисел, оператора, L справедлива, оценка (46).

Доказательство. Обозначим через п(г,(, в) число Xk в секторе {X : |А| < r,( < argß ^ в}. Согласно теореме 3 из [23] при выполнении условий A)' и Б)' функция

имеет вид

Д(в)

Д(0)

lim

Г^+С

0,

1

-

п(г, --/2,

Е

- -, °

о,-1

' 2.

(49)

C)' { n}

такая, что lim еп = 0 и ломаная с вершинами в точках 0, 2(1- 1tg £ ^ и 1 не содержит Q Q n

из [29] следует, спектр оператора L совпадает со спектром оператора Ln, полученного из L заменой 7 на 7^. Но (см. [28, Лемма 2]) спектр Ln за исключением конечного числа | arg | < 2 n

из [20], построим непрерывную на [0; ж) функцию а, удовлетворяющую условиям: а) а(х) — 0 х — ж,

б) область

Da = (Л = х + гу : х > 0, |у| ^ х<г(х)|

содержит все Лк.

Следовательно, arg Лк ^ 0, к ^ то. Поэтому для доказательства оценки (46) достаточно убедиться, что

т"к := 1Лк| ~ жк, к ^ то. (50)

Пусть N (г) = 1, Имеем N (г) = п (—|, 2), откуда согласно (49) вытекает, что

гк<г

г

N(т) ~ —, г ^ +то.

ж

Применяя теорему 2 к последовательности {гк} при д(г) = - и fk = жк, получим (50),

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Розенблюм Г. В., Соломяк М. 3., Шубин М. А. Спектральпая теория дифференциальных операторов. Уравнения в частных производных - 7. Итоги науки и техники. Сер. соврем, пробл. Мат. Фунд. напр. 64, М.: ВИНИТИ. 5-242 (1989).

2. Марченко В. А. Операторы, Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова думка. 1977.

3. Рид \!.. Саймон Б. Методы современной математической физики. 4. М.: Мир. 1982.

4. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производным,и. Псевдодифференциальные операторы. 3. М.: Мир. 1987.

5. Васильев Д. Г. Асимптотика спектра краевой задачи // Тр. ММО. 49, 167-237 (1986).

6. Н. Weyl Das Asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partieller Differentialgleichungen // Mathematische Annalen. 71:4, 441-479 (1912).

7. Kac M. Can One Hear the Shape of a Drum? // The American Mathematical Monthly. 73:4, 1-23 (1966).

8. V. V. Buldygin, O.I. Klesov, J.G. Steinebach Properties of a Subclass of Avakumovic Functions and Their Generalized Inverses // Ukr. Math. Jour. 54:2 179-206 (2002).

9. V. V. Buldygin, O.I. Klesov, J.G. Steinebach On some extensions of Karamata's theory and their applications // Publ. Inst. Math. Nouv. Ser. 80(94), 59-96 (2006) .

10. J. Karamata Sur un mode de croissance régulière des fonctions // Mathematica (Cluj). 4, 33-53 (1930).

11. Сенета E. Правильно меняющиеся функции. M.: Наука. 1985.

12. N.H. Bingham, С. M. Goldie, J. L. Teugels Regular Variation. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 27, Cambridge: Cambridge University Press. 1987.

13. Наймарк M. А. Линейные дифференциальные операторы. M.: Наука. 1969.

14. Келдыш M.B. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // ДАН СССР. 77:1, 11-14 (1951).

15. Шкаликов A.A. Возмущения самосопряженных и нормальных операторов с дискретным спектром // УМН. 71(431):5, 113-174 (2016).

16. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. 2. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. М.: Мир. 1966.

17. Маркус А. С., Мацаев В. И. Теоремы сравнения спектров линейных операторов и спектральные асимптотики. Тр. ММО. 45. 133-181 (1982).

18. Davies E.B. Non-self-adjoint differential operators // Bull. London Math. Soc. 34:5, 513-532 (2002).

19. Ишкин X.K. О критерии локализации собственных чисел спектрально неустойчивого оператора, // Докл. АН. 429:3, 301-304 (2009).

20. Ишкин X. К. О спектральной неустойчивости оператора Штурма-Лиувилля с комплексным потенциалом // Дифф. уравнения. 45:4, 480-495 (2009).

21. Ишкин X. К. Об условиях локализации предельного спект,ра, модельного оператора, связанного с уравнением Орра-Зоммерфельда // Докл. АН. 445:5, 506-509 (2012).

22. Ишкин X. К. Об аналитических свойствах функции Вейля оператора, Штурма, - Лиувилля с комплексным убывающим потенциалом // Уфимский матем. журнал. 5:1, 36-55 (2013).

23. Ишкин X. К. Критерий локализации спектра оператора, Штурма-Лиувилля на, кривой // Алгебра и анализ. 28:1, 52-88 (2016).

24. Гохберг И.Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука. 1965.

25. Мацаев В. И., Палант Ю. А. О распределении спектра полиномиального операторного пучка // ДАН Арм. ССР. 17:5, 257-261 (1966).

26. V.V. Buldvgin, O.I. Klesov, J.G. Steinebach Some properties of asymptotic quasi-inverse functions and their applications I // Theor. Probability and Math. Statist. 70, 11-28 (2005).

27. Ишкин X. К. Условия локализации спектра операторов, не близких к самосопряженным // Докл. АН. 479:5, 497-500 (2018).

28. Ишкин X. К. О необходимых условиях локализации спектра задачи Штурма-Лиувилля на кривой // Мат. Заметки. 78:1, 72-84 (2005).

29. Ишкин X. К. О критерии безмонодромности уравнения Штурма-Лиувилля // Мат. заметки. 94:4, 552-568 (2013).

30. Привалов И. И. Граничные свойства, аналитических функций. М.-Л.: ГИТТЛ. 1950.

Хабир Кабирович Ишкин,

Башкирский государственный университет,

ул. 3. Ба. in. in. 32,

450074, г. Уфа, Россия

E-mail: Ishkin62@mail. ru

Рустем Ильдарович Марванов, Башкирский государственный университет, ул. 3. Ба. in. in. 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: rsmarlv@gmail.com