ОБ ОПТИМИЗАЦИОННОЙ ОБРАТНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ С ПРЕДОПРЕДЕЛЕННЫМ ЧАСТИЧНЫМ СЛЕДОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 12. № 4 (2020). С. 20-30. УДК 517.4+519.71

ОБ ОПТИМИЗАЦИОННОЙ ОБРАТНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ С ПРЕДОПРЕДЕЛЕННЫМ ЧАСТИЧНЫМ СЛЕДОМ

Аннотация. Данная работа направлена на исследование оптимизационных обратных спектральных задач с так называемыми неполными спектральными данными. В качестве неполных спектральных данных рассматриваются частичные следы оператора 111 гур.ма . Iii.vihi. 1.1я. В работе изучается следующая формулировка обратной спектральной задачи с неполными данными (оптимизационная задача): найти потенциал у, ближайший в некоторой норме к заданной функции Vo, такой, что частичный след оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом у имел бы заданное значение. В основном результате работы мы доказываем теорему существования и единственности решений этой оптимизационной обратной спектральной задачи. При этом устанавливается новый тип связи между линейными спектральными задачами и системами нелинейных дифференциальных уравнений. Это позволяет найти решение оптимизационной обратной спектральной задачи путем решения системы нелинейных дифференциальных уравнений и получить новый результат о разрешимости системы нелинейных дифференциальных уравнений. Для доказательства единственности решений использовано свойство выпуклости частичного следа оператора 111 гур.ма . Iii.vihi.гш с потенциалом у, как функционала от потенциала у. В работе получено новое обобщение неравенства Лидского-Виландта на произвольные самосопряженные полуограниченные операторы с дискретным спектром.

Ключевые слова: спектральная теория дифференциальных операторов, обратная спектральная задача, вариационные задачи, неравенства для собственных значений. Mathematics Subject Classification: 34L05, 34L30, 34А55

Хорошо известно, что если вещеетвеннозиачный потенциал V G L2 := L2(0,l), тогда дифференциальное выражение £0|V] вместе с граничными условиями (2) определяет самосопряженный дифференциальный оператор в гильбертовом пространстве L2(0,l) (см. например [7], [26]), этот оператор мы будем обозначать C\V], Спектр оператора C\V] дискретный и состоит го последовательности собственных значений a(C\V\) :=

N.F. Valeev, Y.Sh. Ilyasov, Inverse spectral problem for partial traces of the Sturm-Liouville operator.

©Валеев Н.Ф. , Ильясов Я.Ш. 2020.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ 18-01-00250_а.

Поступила 29 октября 2020 г.

Н.Ф. ВАЛЕЕВ, Я.Ш. ИЛЬЯСОВ

1. Введение

Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля на собственные значения

Со[У]ф := -ф" + Уф = Хф на интервале (0, /) с граничными условиями Дирихле

ф( 0) = ф(1) = 0.

(1)

(2)

(Аг( V)}°=1;9th собственные значения можно перенумеровать в порядке возрастания:

Xi{v) <A2(F) <....

Данная работа направлена на исследование обратных спектральных задач с так называемыми неполными спектральными данными (см, например [20], [16], [22]),

Обратная спектральная задача, заключающаяся в восстановлении потенциала V(ж) из заданных спектральных данных Aj(V1; исследования по которой было инициировано в знаменитых работах Амбарцумяна [1] в 1929 г. Борга в 1946 г. [4], Гельфанда и Левита-па [10] в 1951 г., занимает одно из центральных мест в теории обратных задач, по этой теме имеется большой объем литературы и до настоящего времени интерес к этой задаче не ослабевает (см, например [17]),

В целом, разнообразные постановки обратных спектральных задач имеют довольно много естественных источников возникновения: математическая физика, квантовая механика, оптика, механика, инженерные науки, а также различные разделы самой математики (см, например [22], [9], [6]), Несмотря на свою очевидную актуальность, многие из этих задач остаются нерешенными.

Хорошо известно, что обратная спектральная задача с неполными спектральными данными, например, когда задано только конечное число собственных значений (АДV)}^ имеет бесконечное число решений и некорректна (см, например [4], [10]),

Однако в различных приложениях такие задачи возникают и исследование этих задач является актуальной проблемой. Одной из причин тому является недоступность для измерения полной системы спектральных данных ( например для задач диагностики или идентификации обьектов), а в задачах построения линейной динамической системы с заданными частотно-резонансными свойствами наиболее близкой к «эталонной» системе нет необходимости рассматривать весь диапозон частотно-резонансных характеристик. Эти замечания объясняют интерес к исследованию новых содержательных постановок обратных спектральных задач с неполными данными,

В данной работе в качестве неполных спектральных данных мы будем рассматривать сумму вида:

к

Л( V,k) = ^A,(V), i= 1

которую будем называть «k-ым частичным следом оператора С[V]»,

Исследуется следующая оптимизационная обратная спектральная задача (с неполными спектральными данными) для оператора Штурма-Лиувилля:

(VQm): Для заданного вещественного числа Лт и функции V0(x) Е L2(0,1), требуется найти потенциал, V(x) Е L2 такой, что

m

• Л( V, т) = ^Аг(Ю = Лт,

г=1

• II Vo - v|Ц2 = min I ||Vo - V|Ц2 : j^Az(V) = A^J . (3)

В основном результате данной работы мы устанавливаем, что решение оптимизационной обратной спектральной задачи VQт выражается через решение следующей краевой задачи для системы нелинейных дифференциальных уравнений:

m

— u'l + V0Ui = Агиг —} u^Ui, г = 1, 2,... ,т,

U 3 (4)

иг(0) = и() = 0, г = 1, 2,..., т;

0 < I < Для этой системы уравнений ставится задача нахождения упорядоченных наборов чисел ^ ... Дт и систем функций (щ,..., ит) € (С2(0, /) П С:[0,1})т.

В первом результате устанавливается существование и единственность решения оптимизационной обратной спектральной задачи ТЯт.

Теорема 1.1. Пусть Лт € К и У0 € Ь2 заданы, т > 1. Тогда, (1°) задача, (ТЯт) имеет единственное решение у € Ь2(0,/);

(2°) если 1 Аг(уо) < Лт,тогда, V = У0. Более того, у выражается через единственное решение (Л,и) системы, уравнений (4),а именно,

т

Ту = Уо + ^и2 п.в. на (0,1). (5)

г= 1

Во второй теореме нами выводится существование и единственность решения нелинейной краевой задачи (4),

Теорема 1.2. Пусть заданы произвольное число Лт € К и потенциал У0 € Ь2(0, /). Предположим,, что 1АД^) < Лт. Тогда, существует единственный набор чисел, Л1,...,\т строго упорядоченный в порядке возрастания А1 < ... <\т и ъ = 1тЛг = Лт такой, что си,стем,а, уравнений (4) имеет единственное ненулевое решение (и1,... ,ит) € ( С 2(0,1) ПС 1[0,1})т. Более того, каждая функция щ(х), г = 1,... ,т на интерв але (0,1) ( - 1)

Отметим, что эти два утверждения носят двойственный характер: из разрешимости системы уравнений следует разрешимость задачи [ТЯт), и обратно, «конструктивное» решение задачи [ТЯт) сводится к системе уранений (4),

Отметим, что каждая из сформулированных задач имеет самостоятельный интерес, В частности, подобные задачи возникают в многоспектральной теории операторов (см,например [2]),

Однопараметричеекая оптимизационная обратная спектральная задача {ТЯт),то есть при т = 1, в том числе для М-мерного пространственного уравнения Шрёдингера, изучалась в работах [15], [20], [15],

т = 1

[27], [11], [18], В этих работах нелинейное уравнение было получено в результате исследования так называемой двойственной задачи: задачи нахождения экстремальных собственных значений на шаре. Однако мы не знаем, возможно ли получить систему нелинейных уравнений вида (4) с т > 1 па основе двойственного подхода.

Также отметим, что постановка задачи [ТЯт), в рамках квантово-механичееких моделей имеет вполне определенный физический смысл, а именно требуется подобрать потенциал V(х) наиболее близкий к «эталлонному» потенциалу ^(х) такой, чтобы суммарная энергия первых т-связпых состояний системы была бы равна задан ному значению Лт (см, например [22] ),

2. Вспомогательные утверждения и результаты.

т

Л(V, т) = ™ 1 \г(У) оператора С\У]. Это неравенство является ключевым при доказательстве единственности решения задачи [ТЯт),

Пусть для 0 < а < 1 задано семейство операторов С[аУ1 + (1 — а)У2], У1 ,У2 € Ь2(0,/), Собственные значения семейства операторов С[аУ1 + (1 — а)У2] при каждом а € [0, /] можно перенумеровать в порядке возрастания

Л1(а^1 + (1 — а)^) < \2(аУ1 + (1 — а)^) < ... < Хт(аУ1 + (1 — а)^)....

Целью данного пункта является доказательство неравенства:

аЛ(У1 ,т) + (1 - а)Л(У2,т) < Л(аУ1 + (1 - a)V2,m) (6)

для фиксированного 1 < т.

Мы сформулируем и докажем интересующее нас неравенство о выпуклости частичной суммы собственных значений в более общей ситауции, а именно для полуограниченных операторов с дискретным спектром.

Пусть А - эрмитовы матрицы на Rr, Обозначим через (Лi(A)}ri=l набор собственных значений А, пронумерованных в порядке возрастания: Л1(А) ^ Л2(А) ^ ... ^ Лг(А), Известна следующая теорема о выпуклости частичных следов

Теорема (Lidskii-Wielandt inequality) Пусть А, В симметрические матрицы деистую-щие в евклидовом, пространстве Er. Тогда, для любых 1 ^ m ^ г справедливо неравенство

m mm

^ЛДА + В) > ^ЛДА) + £Лг(В) i=l i=l i=l Заметим, что данное известное неравенство многократно независимо друг от друга переоткрывалось и обобщалась многими авторами (см, например [14], [13], [12], [3]), Тем не менее, нам не известно обобщение этого неравенства для самосопряженных полуограниченных операторов с дискретным спектром. Для полноты содержания статьи мы приводим свое оригинальное доказательство этого неравенства. Отметим, что основная сложность здесь состоит в неограниченности операторов и кратности собственных значений,

В сепарабельпом гильбертовом пространстве Н рассматривается линейный оператор А с плотной областью определения D(Ä) С Н такой, что: А

будем считать, что А строго положительно определенный с ни жней гранью с0 > 0;

А

со = Л1(А) < Л2(А) < ...; Пусть Dm декартово произведение m экземпляров D^) так, что

Dm = D^) х D^) х D^) x ... x D(Ä),

элементы множества Dm будем обозначать Ф = (ф1, ф2,..., фт). Введем в рассмотрение функционал

/:DmH R,

действующий по формуле

т

/(Ф) = /(фьф2,...,фт) = £(А Ц, А ), ф, eD(A). (7)

=l

Введем в рассмотрение вложенное в Dm многообразие:

Sm = {(фъф2, . . . ,фт) е Dm | (фк, ф,) = , k,j = 1, . . . ,m}. (8)

= (Ф)

ционала / = /(Ф) = ¡(ф-\_, ф2,..., фт) на многообразии Sm, Справедливо следующее утверждение

Лемма 2.1. Задача минимизации

ф* = arg min /(фь ф2,...,фт) Фе§т

имеет единственное решение Ф* = (ф*, ф2,..., фт) е Sm. Более того,

min /(Ф) = /(Ф*) = Л1 (А) + Л2(А) + ... + Лm(A).

Ф€§т

Доказательство, Функционал

т

¡(фг,ф2,...,фт) = ^(А Ц ,А Ц)

3=1

на многообразии §т ограничен снизу, поскольку А-полуограниченный оператор. Следовательно, существует минимизирующая последовательность Ф3 = (ф\, ф2,..., фт) € §т. Покажем, что множество {Ф3}°=1 компактно в пространстве Н. На линейном многообразии О (А) введем скалярное произведение

(и, у)На = (А1и, А1 у),и,у € О(А)

Замыкая О (А) то норме || • \\нА получим новое гильбертово пространство На- Далее доопределим функционал

т

Дф1 ,ф2,...,фт) = ^(А Цк, А 2фк ), фк € О(А) к=1

на все пространство На■

Поскольку оператор А-1 компактный, а так как /(Ф3) ^ штФе§т /(Ф), то множества {фкограничены в пространстве На- А это влечет, что каждое множество {фк}°= компактно в проетраетве Н, к = 1, 2,..., т. Отсюда следует, что из {Ф3}°=1 можно выделить сходящуюся к некоторому Ф* = (ф*,ф*,..., фт) € НхНхН ...хН подпоследовательность. Покажем, что каждый из ф\,ф*,,..., фт принадлежит гильбертовому пространству На■ Для этого заметим, что соответствующие последовательности {ф\}^1=1, {ф!}^=1,..., {фт}'^=1 ограничены в На■ Теперь воспользуемся следующим утверждением (см, теорему 1,16 (см,стр. 395 в [8]))

Пусть /[ф] = (А2ф,А 1ф) — замкнутая векториальная форма. Пусть ф3 € О(/), ф3 ^ ф* и последователен ость ¡[фР ] ограничена. Тогда, и ф* € О(/).

Отсюда следует, что ф*к € На для каждого к = 1,... т. А поскольку (фк, ф*) = 5]к,

к, ] = 1,... ,т, то Ф* = (ф*, ф2,..., фт) € §т, где §т замыкание §т в пространстве На.

т 1 1

Таким образом, функционал ; f(ф1,ф2,... ,фт) = ^(А2ф],А2ф,); достигает своего ми" _ 3=1

нимума в некоторой точке Ф* = (ф\, ф2,..., ф*т) € §т. Заметим, что f(ф1, ф2,..., фт) дифференцируем по Фреше в На■

Рассмотрим функционал Лагранжа:

т т т

Р (ф1, ф2,...,фт) = £(А 2ф3 ,А Цэ ) - ^ ^ ак,((фк, ф3) - 61) (9)

3=1 к=1 3=1

Функционал Р(ф1 ,ф2,..., фт) определен во всем пространстве На и дифференцируем по Фреше в точке Ф* = (ф*,ф2,..., фт) € §т, следовательно:

т

1

I 2 ф* —

А 2фк °к'3А-2ф* = 0, к =1,...,т. (10)

3 = 1

Легко увидеть, что из системы уравнений (10) следует, что ф1,ф*,..., фт € О (А).

Пусть Нф* - линейное подроетранетво На образованное элементами ф\,ф2,... ,ф*т-, Р - ортогональный проектор па подпространство Нф *, тогда I — Р ортогональный проектор на Нф*, Очевидно, что Нф * ф Нф* = Н.

Теперь из системы уравнений (10) следует, что Нф * и Нф* инвариантные подпроетраетва А

А : НФ* ^ НФ*, А : Нф* П О(А) ^ Нф*

Обозначим

¿11 = РАР, А22 = (/ + Р )А(/ + Р), А21 = (/ + Р )АР, ^12 = РА(/ + Р).

Заметим, что А21 = А12 = 0 и А11А22 = 0 откуда немедленно вытекает, что А = А11 + А22 Следовательно, существуют ортонормированный базис

{ф*1,Ф2,...,Ф*т,фт+1,...,фп,...}со(А),

А

'АП 0

(о J ■ <п'

А _

',0 о22

где Ац - конечномерный оператор-матрица размера т х т.

Собственные значения матрицы Ац равны некоторым т собственным значениям А

А31 (А) < А32(А) < ... < А3т(А), Тогда с одной стороны

т

А(Аи,т) = £(А Ц,А Ц*),

3 = 1

а сдругой мы имеем

А(АП, т) = Ал (А) + \h (А) + ... + Xjm (А).

Пусть Ai (А) < А2(А) < ... < Ат(А) - какие-либо (с учетом их возможных кратноетей)

т А

учетом их кратности, а ..., фт соответствующие им собственные векторы оператора

А, принадлежащие многообразпю Sm, Теперь можем записать неравенство:

т j=i

=Ал (А) + Aj2(А) + ... + Ajm(А) > А1(А) + А2(А) + ... + Ат(А) (12)

= £(А 2^*, А

3=1

Из неравенства (12) следует, что

гшп /(Ф) = £(А2ф*, А2ф*) = А1(А) + А2(А) + ... + Ат(А).

3 = 1

Тем самым утверждение доказано.

Теперь вернемся к доказательству неравенства (6), Заметим, семейство операторов

£[аV + (1 — а^], ^1,^2 еЬр(0,/),

для любых 0 < а < 1 равномерно полуограничено снизу, что вытекает из следующего утверждения ( см. Следствие 2 в [16])

Лемма 2.2. Пусть В ограниченное множество функций из Ь2, тогда, наименьшее собственное значение оператора, £[V] раномерно ограничена снизу А1(У) > ^ > —то для всех V € В,где ^ не зависит от V € В.

Следовательно, к рассматриваемому семейству операторов можно применять результаты леммы 2,1, Тогда получим

т

Л(аV + (1 - а)^, т) = ^ Л,-(«V! + (1 - а) V;) = ш1п /(Ф)

3 = 1

3 к 4 ' "" Ф姄

= ¿ШП + (1 - а) V2] &, ф,)

=1

т

= + (1 -а^]ф*,ф*)

=1

т т

=а £0ОДф*,ф*) + (1 - а) £0ОДф*,ф*) =1 =1

т

—а шт ,Фз) + (1 - «) Шп ^ОФЖ,ФЗ)

3=1 3=1

т т

=а£Лз (Vl) + (1 -а) ^Л, (V2)) =1 =1

=аЛ(У1, т) + (1 - а)Л(^,т)

Таким образом, неравенство (6) доказано,

2.2, В этом пункте исследуем свойства гладкости функционала Л(-,т) : Ь2(0,/) ^ К.

Лемма 2.3. Для любого т — 1 функционал Л(-,т) : Ь2(0,/) ^ К непрерывно-дифференциуем по Фреше. Дифференциал Фреше функционала Л( V, т) можно представить в виде:

Доказательство. Собственные значения оператора однократные, поэтому из Следствия 4,2 из [17] следует, что каждое собственное значение Лк (V) дифференцируемо по Фреше и

1 Г1

Бу Л (V )](^) = 2 VV,fc €Ь2(0,/). (14)

||фк( VЛ1ь2 л

Отсюда немедленно вытекает формула (13), Теперь покажем, что линейный функционал Иу [Л(^т)](^) непрерывен по V € Ь2(0, /), Для этого заметим, что по свойству аналитичности (см,[19], стр. 10) отображение фк(■) : Ь2(0, /) ^ Ш2'2(0,Ь) является непрерывным (на самом деле даже аналитическим).

По теореме Соболева вложение Ш2'2(0,/) С Ь4(0,/) непрерывно. Тогда отображение фк(■) : Ь2(0,/) ^ Ь4(0,/) тоже непрерывно и, следовательно, норма производной функционала Иу [Л(^ т)] непрерывно зависит от V € Ь2(0,/), Отсюда следует, что функционал Л(V, т) непрерывно дифференцируем по Фреше в Ь2(0, /), □

3. Доказательство Теорем 1.1 и 1.2. Введем в рассмотрение множество

Мт := {V €Ь2 : Лт ^ )}

т

и рассмотрим на нем следующую задачу о минимизации

Р = ш1п{р(V):= ||Уо -V: V еМт}. (15)

Очевидно, что Мт непусто, а из неравенства (6) следует, что Мт выпуклое множество, коэрцитивноеть функционала расстояния р(-) : Ь2 ^ К влечет существование миними-затора у е Мт задачи (15), Строгое неравенство Аг(У0) < Лт влечет за собой, что У = "^0- Выпуклость множества Мт и функционала раеетояния p(V) обеспечивают единственность у и

V е дМт = {V еМт : V Аг (V) = Л

еМт : ) = Лт|

Тем самым мы доказали существование и единственность решения задачи {'РЯт), т.е. получили доказательство утверждения (1°) Теоремы 1,1,

Докажем второй пункт Теоремы 1,1, Поскольку функционалы р(•): Ь2 ^ К и, согласно Лемме 2,3, Л(^,т) ^ К непрерывно-диференцируемы по Фреше, то из метода множителей Лагранжа следует существование р0,11 е К таких, что |р0| + 1р11 = 0 и

^[Оур^Ж^+^Оу[Л(V,т)](к) = 0, Ук еЬ2, (16)

1о > 0, |1 < 0, (17)

| (Л(У,т) - Лт) = 0 (18)

при V(ж) = у(х).

Используя формулу (13) с нормированными Цф1 ( у)|| = 1, получим

т

т

У (2ро( Vо -Т/)+р^ф2 (у) | ксХ = 0, Ук еЬ2, (19)

V к=1

что равносильно тождеству

-Vо) = -Ц1 ^ фк(V/).

к=1

Предположим, что = 0 тогда ТУк=1ф'к (У) = 0 и мы получаем противоречие, С другой стороны, если мы предположим, что | = 0 тогда V0 = у и, следовательно, 1 Аг(Го) = Лт, что противоречит нашему предположению 1 Аг(Уо) < Лт. Таким образом, можно считать, что = 1. Кроме того, поскольку | ^ 0 заключаем, что V0 < V п.в, в (0; I) и

т

у = Vо -ц ^фк(V/) п.в. в (0;/). (20)

к=1

Обозначим Аг = Аг (у), г = 1,... ,т. Тогда мы получим

Т.Фк (у))

-фl!í(V) + Vофl(V) = \lфl(V)+\|лЛф2k (1^) фг(У), 3 = 1,...,т. (21)

Таким образом, функции иг = (—11)1/2фг(V'), г = 1,...,т удовлетворяют системе уравнений (4), Отсюда и из (20) получим требуемое представление (5) для для оптимального потенциала V. Тем самым теорема 1 доказана.

Докажем Теорему 2. Согласно Теореме 1,1 система уравнений (4) имеет решение. Докажем, что оно единственное, т.е. существует только один набор чисел А\1,...,А\т такой, что А1 < ... < Ат, 1 Аг = Лт и единственная система функций (и1,..., ит) е (С2(0,1) П С 1[0, /])т удовлетворяющих (4).

Нам понадобится следующее утверждение.

Лемма 3.1. Пусть (Л, гг) решение системы, (4) такое, что г к имеет рое но 1 пулей для каждого к = 1,..., т и

т

Л1 < . . . < Лт^ ^^ Лг = Лт.

=1

Тогда, функция

т

Л = V + ^г2 =1

Мт

Доказательство. Предположим (Л,гу) является решением (4), удовлетворяющим условию леммы,Тогда гк, к = 1,..., т собственные функции соответствующие собственным значениям Лк, то есть, гк = фк(Л) и Лк = Лк(Л). Согласно лемме 2,3 и теореме Люстерника [25] касательное пространство <9Мт в точке Л € дМ\ выражается следующим образом

т

к=1 0 к=1

т

{ПЬ г. иь I

К €Ь2 : ^Бу[Лк(Л)](К) = ^г2 ■ КАх = 0 1 . (22)

и_1 и_1 I

С другой стороны,

Бу [р(Л)](К) = 2 I ^г? ■ Ых. 0 к=1

Следовательно, Бу [р(Л)](К) = 0 для любо го К € Ту (<9Мт), Теперь с учетом того, что

I

Буу [Р(Л)](К,К) = 2 У К2 Ах > 0, VК € Ь2, 0

мы получим неравенство

р(Л + К) > р( V)

для любого К € Ту (<9Мт) с достаточно малой нормой, □

Завершим доказательство Теоремы 1,2, Согласно вышесказанному, система уравнений (4) имеет решение (Л, и) такое, что функционал расстояния р достигает глобального минимума в точке у = V + и| на Мт. Предположим, что существует другое решение (Л,гу) системы (4), Тогда со гласно Лемме 3,1, V = V + ^ ™1гг2 является точкой локального минимума р в Мт. Однако из-за строгой выпуклости функционалов 1 Лг(У) и р это возможно только в том случае, если V = и поэтому, Л = Л и = гг. Заметим, что « являются собственными функциями оператора Штурма-Лиувилля:

т

2

-« + ^ + У « = Л^, 2=1,----т

Следовательно, каждая собственная функция ик = (-^1)1/2фк(у), как собственная функция, соответствующая собственному значению Лк(у), к = 1,..., т на интервале (0, /) имеет ровно ( к - 1) нулей.

Тем самым Теорема 1,2 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ambarzumian V. Uber eine frage der eigenwerttheorie // Zeitschrift für Physik A Hadrons and Nuclei 53:9, 690-695 (1929).

2. Paul Binding Left definite multiparameter eigenvalue problems // Trans. Amer. Math. Soc. 272, 475-486 (1982).

3. Kh. Kh. Murtazin, Z. Yu. Fazullin Non-nuclear perturbations of discrete operators and trace formulae // Sb. Math. 196:12, 1841^1874 (2005).

4. Borg G. Eine umkehrung der SturmOiouvilleschen eigenwertaufgabef / Acta Mathematica, 78 :1, 1-96 (1946).

5. Chadan K. , Colton D. Päivärinta L., Rundell W., An introduction to inverse scattering and inverse spectral problems. Society for Industrial and Applied Mathematics. 1997.

6. Chu, M.. Golub, G. and Golub, G. H. Inverse eigenvalue problems: theory, algorithms, and application. Oxford University Press. 2005.

7. Edmunds D. E., Evans W. D. Spectral theory and differential operators. Oxford: Clarendon Press. 1987.

8. Т. Като Теория возмущений линейных операторов. М.: Наука. 1972.

9. Gladwell, G. М. L. Inverse Problems in Scattering - An Introduction. Kluwer Academic Publishers. 1993.

10. Gel'fand I. M.. Levitan В. M. On the determination of a differential equation from its spectral function // Izvestiva Rossiiskoi Akademii Nauk. Seriva Matematicheskava 15:4, 309-360 (1951).

11. Guo H., Qi J. Extremal norm for potentials of Sturm-Liouville eigenvalue problems with separated boundary conditions // Electronic Journal of Differential Equations 99, 1-11 (2017).

12. Hile G.N., Zhenvuan Xu Inequalities for Sums of Reciprocals of Eigenvalues //Journal of mathematical analysis and applications 180, 412-430 (1993).

13. Henrot Antoine Extrem,urn, Problems of Eigenvalues of Elliptic Operators. Birkhauser Verlag. 2006.

14. Fulton William Eigenvalues, Invariant factors, Highest weights, and Schubert calculus // Bulletin of the American Mathematical Society 37:3, 209-249 (2000).

15. Ilvasov Y. Sh., Valeev N. F. On nonlinear boundary value problem corresponding to N-dimensional inverse spectral problem 11 J. Diff. Eq. 266:8, 4533-4543 (2019).

16. Il'vasov Ya. , Valeev N. On an inverse spectral problem and a generalized Sturm's nodal theorem for nonlinear boundary value problems // Ufa Math. J. 10:4, 122-128 (2018).

17. Möller \!.. Zettl A. Differentiable dependence of eigenvalues of operators in Banach spaces// Journal of Operator Theory 10:4, 335-355 (1996).

18. Qi J., Chen S. Extremal norms of the potentials recovered from inverse Dirichlet problems // Inverse Problems 32:3, 035007 (2016).

19. Pöschel J. and Trubowitz E. Inverse spectral theory. Pure and Applied Mathematics. V. 130. Academic Press. 1987

20. Valeev N. F., Il'vasov Y. Sh. On an inverse optimization spectral problem and a related nonlinear boundary value problem// Math. Zametki 104:4, 621-625 (2018).

21. Qiaoling Wei, Gang Menga, Meirong Zhang Extremal values of eigenvalues of Sturm-Liouville operators with potentials in LI balls // Journal of Differential Equations 247:2, 364-400 (2009).

22. Zakhariev B. N., Chabanov V.M. New situation in quantum mechanics (wonderful potentials from the inverse problem)// Inverse Problems 13:6, 4779 ( 1997).

23. A. S. Householder The theory of matrices in numerical analysis Dover Publications, Dover Books on Mathematics. Blaisdell. 2006.

24. К. Fan On a theorem of Weyl concerning eigenvalues of linear transformatioins // I., Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 35, 652-655 (1949).

25. Lusternik L. Sur les extrêmes relatifs des fonctionnelles. Matematicheskii Sbornik 41:3, 390-401 (1934).

26. Zettl A. Sturm-Liouville theory. American Mathematical Soc. 2005.

27. Zhang M., Extremal values of smallest eigenvalues of Hill's operators with potentials in L1 balls // J. Diff. Eq. 246:11, 4188-4220 (2009).

28. Левитан Б. M. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: Наука. 1984.

Нурмухамет Фуатович Валеев, Институт математики с ВЦ УФ! III РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Явдат Шавкатович Ильясов, Институт математики с ВЦ УФ! III РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]