Восстановление координатной зависимости тензора диэлектрической проницаемости диагонального вида одномерно-неоднородной среды Текст научной статьи по специальности «Математика»

Восстановление координатной зависимости тензора диэлектрической проницаемости диагонального вида одномерно-неоднородной среды

A.A. Голубков 1,0, В.А. Макаров 2,6

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова.

1 Специализированный учебно-научный центр, кафедра физики. Россия,

121357, Москва, ул. Кременчугская, д. 11.

2 Физический факультет, кафедра общей физики и волновых процессов.

Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 56.

E-mail: а [email protected], b [email protected]

Статья поступила 14.02.2010, подписана в печать 19.02.2010

Доказана возможность однозначного восстановления координатной зависимости всех компонент тензора диэлектрической проницаемости поглощающей одномерно-неоднородной пластинки, обладающей любой симметрией (кроме классов 1, 2 и т) и пренебрежимо малой пространственной дисперсией. Это может быть сделано в том числе и в области сильной частотной дисперсии среды по известным в некотором диапазоне углов падения коэффициентам отражения и прохождения р- и s-поляризованных плоских монохроматических волн.

Ключевые слова: тензор диэлектрической проницаемости, одномерно-неоднородный слой, поляризация света, коэффициент отражения, коэффициент прохождения, обратная задача.

УДК: 535. PACS: 42.25.Dd.

Подавляющее большинство разработанных методов [1-5] определения компонент тензора диэлектрической проницаемости ё(г) одномерно-неоднородных сред, необходимого для различных практических приложений, по разным причинам не применимо в оптике из-за большого числа используемых в них приближений. Наиболее распространенными упрощениями являются: пренебрежение поглощением среды [1, 2], пренебрежение частотной дисперсией в широком диапазоне частот [2, 3] или использование простейших моделей такой дисперсии, когда неоднородным предполагается лишь распределение силы осцилляторов, а резонансные частоты считаются известными и независящими от координат [4], приближенное решение возникающих уравнений [1, 2]. Некоторые методы решения обратных задач не применимы, так как используют в качестве исходных данных величины, прямое измерение которых в оптике невозможно [5]. Кроме того, рассматриваемые одномерно-неоднородные среды обычно предполагаются изотропными, а их диэлектрическая проницаемость скалярной величиной [1-3, 5]. Однако, как известно, свойства приповерхностного слоя любой среды могут заметно отличаться от свойств ее толщи. Причем эти различия возникают даже на идеально чистой поверхности из-за того, что атомы на поверхности находятся в несколько других условиях, чем в толще. В результате свойства симметрии толщи среды и приповерхностного слоя также могут различаться. Последний, в частности, не может иметь трехмерного центра инверсии, а также плоскости симметрии, параллельной поверхности, т. е. не может быть трехмерно изотропным. Но плоская граница между однородными средами — это частный случай одномерно неоднородной системы. Поэтому одномерно неоднородная среда, строго говоря, также не может быть изотропной. У нее не может быть трехмерного центра инверсии и плоскости симметрии, перпендикулярной направлению, в котором

проявляются неоднородные свойства. В результате из 32 классов и 7 предельных групп, возможных для однородных сред [6], в случае одномерно неоднородных сред возможны только 10 классов (1, 2, т, тт2, 3, 4, 6, 3т, 4тт, 6тт) и 2 предельные группы (оо, сот). Именно эти классы и группы мы и будем рассматривать. То, какой именно симметрией обладает конкретная одномерно-неоднородная пластина, зависит как от среды, из которой она сделана, так и от ориентации ее поверхностей, перпендикулярных направлению неоднородности, относительно кристаллофизических осей Х1, Х2, [6] этой среды.

Для оптического диапазона длин волн в работе [7] был предложен свободный от используемых в [1-5] приближений алгоритм однозначного восстановления пространственного профиля компоненты еуу тензора диэлектрической проницаемости одномерно неоднородной вдоль оси 2 поглощающей плоской пластинки, обладающей частотной дисперсией любого вида. При 2 = 21 и 2 = 22 (г2 > 21) пластинка граничила с однородными изотропными не поглощающими средами с диэлектрической проницаемостью ео, а образующая слой среда обладала плоскостью симметрии хг, перпендикулярной его поверхности (класс симметрии т). В работе [7] было доказано, что восстановление зависимости еуу{г) на любой частоте ш может быть сделано по измеренным в некотором диапазоне углов падения коэффициентам отражения и прохождения я-поляризованной плоской волны частоты ш, плоскость падения которой совпадает с плоскостью симметрии среды. Если среда пластинки имеет более высокий класс симметрии тт2, т.е. у нее есть две плоскости симметрии Х2 и г/2, то компоненты ехх и еуу тензора диэлектрической проницаемости могут быть определены независимо друг от друга по коэффициентам отражения и прохождения я-поляризованных плоских волн с плоскостями падения г/2 и xz соответственно. Ниже будет показано, что

в этом случае по дополнительно известным в некотором диапазоне углов падения коэффициентам отражения и прохождения р-поляризованной плоской волны с плоскостью падения Х2 или yz можно однозначно восстановить также компоненту е22 тензора диэлектрической проницаемости среды, имеющего диагональный вид [6]. Аналогичный результат имеет место и для всех остальных классов симметрии (кроме классов 1, 2 и т) и предельных групп, возможных в одномерно неоднородных средах. Однако в этих классах (3, 4, 6, 3т, 4mm, 6mm, со, сот) £хх = еуу [6] и для определения двух независимых компонент тензора диэлектрической проницаемости достаточно использовать две (р- и s-поляризованные) волны с произвольной ориентацией плоскостей падения.

Пусть на описанную выше пластинку с классом симметрии тт2 под углом а падает р-поляризованная плоская волна с плоскостью падения yz, распространяющаяся в положительном или отрицательном направлении оси г. Напряженность магнитного поля в ней равна Нрех exp[i(ujt — kyy - kz{z - 21))] + к. с. (при 2<21)или Hnexexp[i(Lot-kyy+kz(z-z2))] + K.c. (при z > z2) соответственно. Здесь ех — единичный вектор вдоль оси х, ш — частота волны, ky = ко sin а и kz = ко cos a — компоненты ее волнового вектора, к0 = Шу/ёо/с, с — скорость света в вакууме. Тогда вектор напряженности магнитного поля в пластинке может быть записан в виде H±{y,z) = H±(z)exexp[i(ujt - kyy)] + к. е., где Н+ соответствует распространению волны в положительном, а Н_ — в отрицательном направлении оси 2 и изменение H±(z) описывается уравнением

А

d_ ÍJ_ dH±\

dz \eyy dz )

ГШ2

H± = 0,

(1)

где А = Щ. В дальнейшем будем предполагать, что еуу{г)ф0, егг{г) ф 0.

В силу максвелловских граничных условий на поверхностях слоя имеем

Н+(г 1) = (1 + йр)Нр,

dz

Н.^...^z — ТрНр,

= -ikz£0 1'

(2)

'м dz Я_(г2) = (1+Д„)Я„,

,dH.

dz

HMi) = TnHn, , dH^

dz

= -ikz£ñlTpHp,

= ikz£^l{\^Rn)Hn

= ikz£0lTnHn.

(3)

Здесь — амплитудные коэффициенты отражения пластинкой волн, падающих соответственно в положительном и отрицательном направлениях оси 2, а Тр-п — амплитудные коэффициенты прохождения соответствующих волн через пластинку (все коэффициенты вычисляются по амплитуде магнитного поля).

Напомним, что для достаточно широкого класса функций £уу(г) и £22(2:) (например, кусочно-непрерыв-

ных [8, 9]) уравнение (1) имеет непрерывные решения, которые непрерывно дифференцируемы в области непрерывности функции £уу (2). Пусть функции ¡¿> 1,2(2. А) являются такими решениями (1) с граничными условиями

¡¿>i(2bA) = 1,

¡¿>2(21, А) = 0,

dipi(z, А)

dz dip2(z, А)

dz

= 0, = 1,

(4)

причем непрерывны везде, в том чис-

ле в точках разрыва £уу(г), и непрерывно дифференцируемы в областях непрерывности егг(г). Тогда <¿>1,2(2, А) при любом А образуют фундаментальную систему решений (1). Их определитель Вронского в силу (1) и (4) меняется по закону

Г = ¡¿>1(2, А)

dip2(z, А) dz

¡¿>2(2, А)

dipi{z,X) = eyy{z) dz £uu(zi)'

(5)

а решения (1) с граничными условиями (2) или (3) можно представить в виде

H±{z, А) = [Ci±ipi{z,\) + C2±íp2{z,\)]Ht

р,п ■

(6)

Из (2), (3), (6) с учетом (4) следует, что константы С1±_2±, значения функций ¡¿>1,2 и их производных в точке 2 = 22 связаны с коэффициентами $р,„ и Тр-п соотношениями

(7[. — 1 — Ир, С\- = Тп,

£1

С2 | — —iky — (1

RP),

С2— = ik 2—Тп

~£о

£i

(7)

£0

£0(1 +йр)Ф12 - 1кг£\{1 -Кр)Ф22 = -1кге2Тр, Г„Ф1 + Й2-Г„Ф2 = 1+Йп,

£о

£0 + 1кг£1Тп^2г = ^2^(1

Здесь Ф1,г(А) = ¡¿>1,2(22, А), Ф12,2г(А) = ¿¡¿>1,2(2, А)/^2|2=22 £1,2 = £уу(г 1,2) ■

Из последних двух формул в (7) видно, что Тп может быть равен нулю, только если А = ^ (кг = 0). Выражая из соотношений (7) Ф^ и Ф|; 2; через йр,„ и Тр,„ (при А фк^) и подставляя полученные выражения в (5), получим, что Тр = Тп = Т. Учитывая последнее равенство, из (7) также имеем

ik,eÁl = Ф1, + ik^ Ф, 2» ЕЕ /1 2(М,

£о' £о

1±^ = ф1+йДф2=/3(Ь).

1 £о

(8)

При каждом фиксированном 2 е [г\, г2] ¡¿>1,2(2, А) — однозначные аналитические функции А без особых точек в конечной части плоскости, т. е. целые функции [8, 9]. Следовательно, Ф1;2 и Ф^.гг также являются целыми функциями А, а потому и к1 = к1^Х. Последнее означает, что они являются четными целыми функциями кг, а /1,2,3 в силу определения (8) — целыми функциями к,. Пользуясь четностью функций

17 ВМУ. Физика. Астрономия. М 3

Фх 2 и , относительно kz, из (8) можно получить следующие соотношения:

Ф1(А) = Ф1г(Л) =

2ikze2 Шкг)+}Л-кг)]

О)

Фиг(А) =

где \ = ky = kl~kl.

Если коэффициенты Т и Rp (или Т и Rn) известны в некотором интервале углов падения а(1) ^ а ^ а®, то, пользуясь (8), для значений kz е [&ocosa®, &ocosa(1)] можно найти /¡(kz) (или /2,3(^2)), которые являются целыми функциями. Последнего обстоятельства достаточно для их однозначного аналитического продолжения на всю комплексную плоскость kz [9]. Зная fi(kz) (или /2,3(^2)), с помощью (9) можно найти Ф1(А) и Ф12(Л) для любых А.

Как уже отмечалось, зависимости exx(z) и £уу{z) могут быть однозначно восстановлены по амплитудным коэффициентам отражения и прохождения s-поляризованных световых волн [7]. Поэтому теперь нас интересует нахождение третьей диагональной компоненты тензора диэлектрической проницаемости ezz{z). Ниже мы ограничимся случаем, когда

eyy(z) = \еуу\exp{i/3y(z)}, ezz{z) = \егг\ exp{i¡3z{z)}, ^,г(г)е(-тг,0], (10)

т.е. значения кусочно-аналитических функций eyy{z) и е22(2) расположены в нижней открытой половине комплексной плоскости и на положительной части действительной оси, которая добавлена, чтобы наше доказательство было также справедливо и для часто используемой модели идеальной не поглощающей среды с положительной диэлектрической проницаемостью. Случай (3y,z(z) е [0,7г) рассматривается аналогично. В зависимости от выбора вида временного множителя (ехр(/а>0 или ехр(—/о^)) именно один из этих двух случаев {¡3y>z{z) е (-■7г,0] или ¡3y,{z) е [0,7г)) соответствует диэлектрическим проницаемостям реальных стационарных сред, в которых всегда есть поглощение.

Используя основные идеи метода эталонных моделей [10], докажем, что при выполнении (10) комплексная функция ezz(z) для слоя заданной толщины с данной зависимостью еуу{z) однозначно определяется функциями Ф1,12(А). Предположим противное. Пусть существует два различных профиля izz(z) и ezz(z), для которых функции ф[(г, А) и ip\{z,X), являющиеся решениями уравнений

d r± w2 A "

dz К£УУ + dz J „с2 EZz

d r± ¿УЛ + V A "

dz K£yy dz J У EZz

с граничными условиями ¡¿>l(2bA)= 1, <¿>l(2bA)= 1,

dipi(z, А)

dz dipi(z, А)

dz

ipi =0,

ipi = 0

= 0,

= 0,

(11)

(12)

(13)

удовлетворяют равенствам

(pi (z2, A) = ipi (z2, A) = Ф1 (A),

dtpi(z, A)

dz

dtpi(z,X)

dz

= Ф1г(А).

Умножим (11) на ¡^1(2, А), (12) на ф\(г, А) и вычтем из первого выражения второе. Интегрируя полученную разность от 21 до 22, получим

[ezzl - ezz]'^pi'^pi dz +

d_

dz

id(Pi dz

ipi dz ■

d_ dz

(15)

Вычислим второй и третий интегралы в (15) по частям на каждом интервале непрерывности функций еуу(г), егг(г) и еуу(г), £гг(г) соответственно. Пользуясь далее непрерывностью функций ф\(г,А), вууйфх/йг, 1р\{г,Х) и на отрезке [21,22],

включая точки разрыва компонент тензора диэлектрической проницаемости, граничными условиями (13), а также равенствами (14), получим, что второй и третий интегралы в (15) равны. Поэтому при А^О

Щ) ЕЕ

Д(2)у>1 (2, A)y>i (2, A) dz = О,

(16)

где А(г) = ё7г1 - £7г1. Следуя [9], будем называть функцию действительной переменной Р(г) кусочно-аналитической на отрезке [21,22], если последний для нее может быть разбит на такие отрезки = [г(1), 2('+1)],

где / — 0. 1......V. 2(0) = 21, а 2(д?+1) = 22, что на

каждом из них Р(г) имеет все производные (на концах отрезка — все односторонние производные), а остаточный член в формуле Тейлора при п-¥ оо стремится к нулю. Как известно, в этом случае ряд Тейлора сходится равномерно к функции Р(г) на каждом из отрезков [9]. В дальнейшем будем считать, что такое разбиение проведено и на каждом из отрезков функции £уу(г), £гг(г) и £гг(г) являются аналитическими. В этом случае функция А(г) также будет аналитической на каждом . Наша цель — доказать, что из равенства (16) следует, что А(г) = 0 на всех .

Допустим, что на каких-то отрезках функция Д(г) не равна тождественно нулю и пг — максимальный номер такого отрезка. Тогда существует такое конечное п > 0 и 7^0, что

Д(2) =

(2^2(m+1))"[7 + S(2)]

П\

(17)

где г £ Zm и я(г) — функция аналитическая на причем 5(2(т+1)) = 0. В этом случае интеграл (16) можно записать в виде

/-А

п\

(2 - z(m+l))n[7 + s(2)]^i (2, A)£i(2, A) dz +

т— 1

Í=0

¿S.{z)ip\{z,\)ipi{z,\) dz. (18)

Если т = О, то второе слагаемое в формуле (18) отсутствует.

С учетом кусочной непрерывности не равных нулю функций еуу{г), егг{г) и ёгг(г) из условий (10) следует, что существует такое положительное Л, что для любых г е [21,22] имеют место неравенства

Re

-уу

(г)

£zz{z)

1/2 ^

(2)

1/2'

|>Л> 0, Ле| |>Л>0.

(19)

Учитывая (10), здесь и далее считаем, что для любых действительных р, q, к выполняется равен-

F±(i) = [еуу(г)егг(г)]1/4 ехр[±кШг)][1 + о(1)],

-уу

dz ~±ky

"УУ

(г)

£zz(z)

1/4

Л+« =

£ii2(z<-i)-0)£y/y2(z

~УУ\ (0.

E

i=0

A(z)tp 1 (2, \)ipi (2, A) dz = o(exp{kyQSytn}).

= l{£yyкl')l£zz{v)\X|2 dv, 2 6^, И уЧТвНО, ЧТО В СИ-2«

лу (19) Ие{(3;(2)} и Ие{0;(2)} являются неотрицательными монотонно возрастающими на функциями. Для вычисления первого слагаемого в формуле (18) используем (19) и сформулированную и доказанную в Приложении теорему, которая обобщает на наш случай лемму 1.5.1 из [10]. В итоге получим, что

1Щ+1 ехр =

ство [£руу{г)£12{г)][/к = \£уу\р1к\£гг\ч1к ехр{1(р0у(г) + + д(Зг(г))/к}. Из (19) следует, что для всех выражение &е{ку[£уу{г)/£гг{г)][/2} не меняет знак при положительном ку. Поэтому для любых достаточно больших ку > 0 на каждом из отрезков существуют два непрерывно дифференцируемых линейно независимых решения Р±^(г,ку) уравнения (1), представимых в виде [11]

(20)

где Щ2) = ¡\£уу{у)1£гг(у)\11'1 dv. Здесь и далее о(1) 2(0

обозначает функции ку, а также, возможно, 2, конкретный вид которых для нас не важен и которые равномерно (при наличии зависимости от 2) стремятся к нулю при ку -¥ оо.

На каждом отрезке функция ¡¿>1 (2, А) является линейной комбинацией Р±^(г,ку):

^1(2,А) = С+^{ку)Р+^{г,ку)+С^{ку)Р^{г,ку), (21)

где С±(0) определяются из граничных условий (13), а С±(1) (/> 1) — из условий непрерывности функций ¡£>1(2, А) и £yydlp^(z,\)/dz в точке г = г(-1). Коэффициенты С±(1) при 1 / N удовлетворяют рекуррентным соотношениям

С±<» = А±®С+«~» ехр[куЯ^ (2®)] [1 + о(1)] +

+ Лт«^^1)ехр[^г/(3^1(2«)][1 + о(1)]. (22) В формуле (22)

с±(0)= 1 + 0(1) [£я(г1)^(г1)]-1/4)

(23)

0)±еЦ2 (2®+0)4/2 (2®+0)

2еЦ4 (г«> - О)44 (г«> ^0)ех£ (г«+0)44 (г«>+0) '

Подставим соотношения (20)-(22), а также аналогичные им выражения, записанные для функций £>1(2,А), в формулу (18). В результате получим следующую оценку второго слагаемого в правой части (18):

т— 1

Здесь Qs,m = Z[Qi(z(i+l)) + Шм])}, Qi(z) =

i=0

= (-1)«7

£zz(z<-m+ïi - 0)£zz(z<-m+ï) - 0)

£ (z(m+1)_0)

(я+1)/2

(m+1)

irn+ï)

0)

^l/2(2(m+i) _ 0) + £m^z(m+ï) _ Q)] «+1

m

хЦЛй4й[1 + о(1)1. (24)

(=0

В (24) Л+(0) = С+®, Л+®=С+(0), а выражения для и Л+W получаются из (23) заменой £zz{z) на ëzz (2).

Но в силу (16) J(ky ф 0) = 0, и поэтому левая часть (24) равна нулю. Поскольку, как следует из (10) и (23), все A+(l) и Â+(l) не равны нулю, то при ky -¥ 00 выполнение равенства (24) возможно, только если 7 = 0, что противоречит исходному предположению (17). Таким образом, Д(г) = 0 при 2 G [21,22].

Итак, доказано, что знания амплитудного коэффициента прохождения Т = Тр = Тп и одного из коэффициентов отражения (Rp или Rn) в некотором интервале углов падения р-поляризованных плоских монохроматических волн, а также зависимости eyy(z) достаточно для однозначного восстановления профиля другой компоненты £zz{z) тензора диэлектрической проницаемости исследуемой поглощающей пластины на фиксированной частоте. Доказательство проведено для кусочно-аналитических функций eyy{z) и £zz{z), т.е. включает практически важный случай скачкообразного изменения диэлектрических свойств внутри пластины, составленной из неоднородных слоев, изготовленных из различных сред. В силу доказанной единственности восстановления, нахождение функции £zz{z) может быть сведено к поиску единственного нулевого минимума специальным образом построенного функционала, например, аналогично тому, как было предложено в [7, 12] для восстановления компоненты £уу{2).

Приложение

Теорема. Пусть на отрезке [а, Ь] функция r(z, р) представима в виде r(z,p) = ro(z)[l + Ç(z,p)], где ro(z) = R(z)(z — 6)" [7 + s(z)]/ri\, а функция Ç(z,p) при всех Р^Ро>0 равномерно ограничена на [а,Ь] и равномерно стремится к нулю при стремлении значения параметра р к бесконечности, т.е. |Ç(z,p)| ^ у(р) = о(1). При этом функции R(z) и s(z) являются аналитическими и s(b) = 0.

ь

Тогда интеграл I(р) = J r(z, p)G(z, р) dz, где G(z,p) =

г а

= expi pj q(v) dv L a q(z) — аналитическая функция,

^ a *

действительная часть которой больше нуля, представим при больших значениях р в виде

1(р) = G(b, p)p^n+r> [(- i)V?(ô)A?n+1 (b) + 0(1)].

18 ВМУ. Физика. Астрономия. № 3

Доказательство. Представим интеграл 1(р) в следующем виде:

ь ь

/= г0(г)О(г, р) йг + ((г, р)г0(г)О(г, р) йг = /0 +1.

а а

Вычисляя интеграл /о по частям, имеем

/n = i

го(г) dG(z,p) = 1 q(z) dz p

G(b,p)

r0(b) r0(a)

q(b) q-(a) _

+/i, (П1)

1=0

q(b) q(a)G(b,p)

n+l.

(П2)

где /,

n+l

■(-1)

n+l — (n+I)

Jrn+i(z)G(z,p) dz. По условию тео-

ремы функция q(z) непрерывна на отрезке [а, Ь] и ни при каких 2 не обращается в нуль. Следовательно, функции 1 /q(z) и г/(г) при всех / > 1 ограничены на этом отрезке. Также в силу условий теоремы \С(г,р)\ монотонно возрастает при увеличении 2. Поэтому, интегрируя /„+] по частям аналогично (П1) и учитывая свойства модуля суммы и модуля интеграла, получим

|/п+1|=о(|0(6,р)|р^<п+1)). (ПЗ)

Учитывая определенный в условии теоремы вид функции Го(г) и пользуясь правилами дифференцирования, нетрудно получить, что Г/(6) = 0 при I = 0,1,...,«—1 и Гп(Ь) = 'yR(b)/qn(b). Поэтому из (П2), (ПЗ) имеем

7 т

/0 = G(b, р)р

Лп+1)

(-1)"

qn+](b)

-0(1)

(П4)

Оценим теперь интеграл /. По условию теоремы функции R(z) и s(z) ограничены, а функция Ç(z,p) равномерно

ограничена_на отрезке [а, Ь] функцией г)(р). Следовательно, 1/1 ^ Ci](p)Io, где С — константа, не зависящая от р, а

/о

(b - zf п\

ехр р

Re{g(^)} dvj dz.

где I] = —р 1 | Г](г)С(г, р) dz. Здесь и далее при / > 1

а

функция Г/(г) находится из рекуррентного соотношения г/(г) = [^Йг]' Условию теоремы q{z)ф 0, и, следовательно, все Г/(г) аналитические. Поэтому такое интегрирование по частям можно повторить еще я раз. В результате получим

^ ТП(Ь) г,(а)

Но интеграл /о получается из интеграла /о, если в последнем положить R(z) = (^l)n, s(z) = 0, 7=1 и Im-j^z)} = 0. Следовательно, для него можно воспользоваться соотношением (П4), которое примет вид

/о = IG(b, p)\p^n+ï> [Re{^(n+1)(ô)} + о(1)].

Но тогда, поскольку т](р) = о( 1), то I = G(b, р)р^(п+1'о(1), что в сочетании с (П4) доказывает теорему.

Авторы благодарны В. А. Юрко за совет использовать идеи метода эталонных моделей [10] в наших исследованиях.

Список литературы

1. Roger A., Maystre D., Cadilhac M. 11 J. Optics (Paris). 1978. 9, N 2. P. 83.

2. Xia J., Jordan A.K., Kong i.A. // J. Opt. Soc. Am. A. 1994. 11, N 3. P. 1081.

3. Khruslov E.Ya., Shepelsky D.G. 11 Inverse Problems. 1994. 10, N 1. P. 1.

4. Boutet de Monuel A., Shepelsky D. // Inverse Problems. 2002. 18, N 5. P. 1377.

5. Brown B.M., Samko V.S., Knowles I.W., Marietta M. 11 Inverse Problems. 2003. 19, N 1. P. 235.

6. Сиротин Ю.И., Шаскольская M.П. Основы кристаллофизики. M., 1975.

7. Голубков A.A., Макаров В.А. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2009. № 6. С. 95.

8. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., 1971.

9. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М., 1984.

10. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М., 2007.

11. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 2007.

12. Голубков A.A., Макаров В.А. // Оптика и спектроскопия. 2010. 108, № 5. С. 849.

Reconstruction of the diagonal form tensor dielectric permittivity coordinate dependence of the one-dimensionally inhomogeneous medium

A. A. Golubkov V.A. Makarov 2-b

1 Department of Physics, Advanced Education and Science Center, M. V. Lomonosov Moscow State University, Kremenchugskaya 11, Moscow 121357, Russia.

2 Department of General Physics and Wave Processes, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.

E-mail: a [email protected], b [email protected].

The possibility of unique reconstruction of all dielectric permittivity tensor components coordinate dependence of the absorbing one-dimensionally inhomogeneous plate with any symmetry (except 1, 2, and m classes) and negligibly small spatial dispersion is demonstrated. This reconstruction may be done inclusive the zone of strong frequency dispersion, provided that the reflection and transmission coefficients for the p- and s-polarized plane monochromatic waves are known in a certain range of incidence angles.

Keywords: dielectric permittivity tensor, one-dimensionally inhomogeneous layer, light polarization, reflection coefficient,

transmission coefficient inverse problem.

PACS: 42.25.Dd.

Received 14 February 2010.

English version: Moscow University Physics Bulletin 3(2010).

Сведения об авторах

1. Голубков Андрей Александрович — канд. физ.-мат. наук, доцент; тел.: (985) 168-36-50, e-mail: [email protected].

2. Макаров Владимир Анатольевич — докт. физ.-мат. наук, профессор; тел.: (495) 939-12-25, e-mail: [email protected].