Деформационные изменения при эффекте Доплера на свободной поверхности упругого тела Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539

Деформационные изменения при эффекте Доплера на свободной поверхности упругого тела

Н.В. Чертова, Ю.В. Гриняев

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634055, Россия

Рассмотрена задача отражения упругих волн на свободной поверхности, движущейся с постоянной скоростью. В приближении геометрической акустики получены аналитические выражения для частотных сдвигов, углов и коэффициентов отражения вторичных волн. Эти величины, найденные для первичных волн трех типов P, SV, SH, позволяют определить деформационное состояние на свободной поверхности. Проведены конкретные расчеты и проанализированы зависимости коэффициентов отражения и амплитуд деформаций на свободной поверхности от угла падения волны, скорости движения границы, упругих параметров среды. Рассмотрена связь коэффициентов отражения и амплитуд деформаций на границе. Деформационные изменения, обусловленные подвижностью границы, сопоставлены с частотными сдвигами.

Ключевые слова: упругие волны, свободная граница, эффект Доплера, коэффициенты отражения, деформационные изменения

DOI 10.24411/1683-805X-2019-12007

Changes in the deformation scenario with Doppler effect on the free surface

of an elastic body

N.V. Chertova and Yu.V. Grinyaev

Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634055, Russia

The problem of reflection of elastic waves from a free surface moving with constant velocity is considered. Analytical expressions for the frequency shifts and reflection angles and coefficients of incident waves are obtained in the approximation of geometrical acoustics. The same quantities determined for reflected P, SV, and SH waves help to define the deformation state on the free surface. Calculations are performed to analyze the dependence of the reflection coefficients and strain amplitudes on the free surface on the wave incidence angle, boundary velocity, and elastic parameters of the medium. The relationship between the reflection coefficients and strain amplitudes at the boundary is considered. Changes in the deformation scenario as a result of grain boundary motion are correlated with frequency shifts.

Keywords: elastic waves, free boundary, Doppler effect, reflection coefficients, changes in deformation scenario

1. Введение

Свободные поверхности представляют границы сплошных тел при некоторых схемах нагружения и являются характерной особенностью пористых сред и сред при наличии трещин. Как и границы раздела, свободные поверхности определяют многие физические явления и оказывают существенное влияние на процессы деформации и разрушения [1-5]. Закономерности деформированного состояния на свободной поверхности могут быть установлены в рамках известной задачи отражения плоской гармонической волны. Традиционной целью этой задачи является нахождение коэффициентов отражения, которые связывают ампли-

туды отраженных волн с амплитудой падающей волны, и определение потоков энергии первичной и вторичных волн [6-8]. Известные коэффициенты отражения могут быть использованы для определения деформационных мод, характеризующих формоизменение и поворот бесконечно малого элемента среды на свободной поверхности. Впервые это было проделано в [9], однако весь интервал углов падения для падающей поперечной волны в [9] не был рассмотрен. В дальнейшем были найдены деформации на границе раздела с жестким телом и на свободной поверхности во всем интервале углов падения [10]. В данной работе исследуются деформации на свободной поверхности, движущейся с постоянной

© Чертова Н.В., Гриняев Ю.В., 2019

скоростью. Как известно, при отражении на подвижной границе частота падающей волны не равна частоте отраженной волны. Это изменение частот определяет эффект Доплера при отражении (scattering Doppler effect, или moving mirror problem), изучаемый в акустике, оптике, электродинамике на протяжении многих лет [11-13]. Постоянное внимание к этому физическому эффекту объясняется многочисленными применениями в астрофизике, медицине, радио- и гидролокации и т.д., а также вновь открываемыми возможностями его использования [14-16].

При динамических нагрузках упругого тела свободные границы движутся с некоторой скоростью. Если в этот же момент создается волна, распространяющаяся в направлении подвижного края, то приемник будет регистрировать отраженную волну, имеющую частотный сдвиг. Анализируя частотный сдвиг с помощью некоторого устройства обработки данных, можно определить движение свободной поверхности и ее деформационное состояние. Такая возможность определения деформаций на границе предложена в [17]. По сравнению с электромагнитными волнами отражение упругих волн в твердом теле имеет особенности, обусловленные связанной природой вторичных волн, что определяет академический интерес к этой задаче. В работе [17] рассматривается отражение упругих волн различной поляризации на равномерно движущейся свободной поверхности. Центром исследования являются частотные сдвиги отраженных волн и отклонения углов отражения от классических значений, определяемых законом Снеллиуса, для каждого типа первичной волны. Все частотные сдвиги и углы отражения представлены в виде простых алгебраических уравнений, на основе которых проведены конкретные расчеты. Коэффициенты отражения в [17] не исследовались, как и определяемые ими величины, к числу которых относятся деформации и потоки энергий. Анализ коэффициентов отражения и деформационного состояния на подвижной свободной поверхности упругого тела является целью настоящей работы.

2. Постановка задачи и ее решение

Рассмотрим однородное изотропное упругое тело, расположенное в области z < 0 декартовой системы координат, связанной с границей, свободной от напряжений (рис. 1). На эту границу, определенную нормалью n ||z и движущуюся с постоянной скоростью V\\z, падает плоская монохроматическая волна в точке z = 0. Направление распространения волны образует некоторый угол с нормалью в плоскости yz. Рассматриваемая среда характеризуется коэффициентами Ламе ц, X и материальной плотностью р, которые определяют скорости продольной Q и поперечной Ct упругих волн. Граничные условия на свободной поверхности предполагают

Zl

z= Vt V \\ \\ \ \ \ \ \ \ \ N \ \ \ \ \ S

' cP 6l(t) -A-" V \ 0l(t) У

Рис. 1. Отражение воли на подвижной свободной поверхности

равенство нулю напряжений:

1П °zm\z=vt = 0. О)

Геометрия задачи позволяет рассмотреть две независимые подзадачи для горизонтально и вертикально поляризованной волны, падающей на границу. В первом случае отличной от нуля является компонента вектора смещений Ux, перпендикулярная плоскости падения волны и соответствующая сдвиговой горизонтально поляризованной волне SH. Во втором случае рассматриваются компоненты Uy, Uz, определяющие деформацию в плоскости падения волны и соответствующие падающей продольной P и поперечной SV вертикально поляризованной волне.

2.1. Продольная вертикально поляризованная волна

В случае падения на свободную поверхность P-вол-ны вектор смещений имеет не равные нулю компоненты

и0 = A0 cos е0 exp[-i/(t - г0/с)],

(2)

U°y = A0 sin efexpHw(t - rV C)], где A0 — амплитуда; e° — угол падения; / — частота; Г° = z cos e° + y sin e°. Дифференцируя (2) по координатам, получим выражения для компонент тензора упругой дисторсии, определяющей компоненты деформаций и поворота первичной продольной волны:

e0z = U°° z = ik0 A0 cos2 e0 exp (-i/>T°),

8 0y = U°°,y = ik0 A0 sin2 e0 exp (-itoTi0),

8 0y = (Uz°y + U°0z )/2 = (3)

= iki0 A0 cos e0 sin e0 exp (-i/Tl°),

= (U0 y - u0,z )/2 = o,

где k0 = //Ci — волновое число; Ti° = t - r0/Ci. Компоненты смещений отраженной вертикально поляризованной волны имеют вид

U- = -A- cos e- exp (-i/T-) -- At- sin e- exp (-i/tTt-), (4)

Uy = Al sin 8j exp(-;tolrl ) -

- A- cos 8- exp (-rntTt~),

где A-t) — амплитуды отраженной продольной волны, обозначаемой индексом 1, и поперечной волны с индексом t; 8-t) — углы отражения; ю,^ — частоты; T-) = =1 + Гщ/Сщ), r-) = z cos 8¡(t) - y sin 8-t). На основе (4) можно найти деформационные моды отраженной волны, при записи которых использованы волновые числа

^i(t) = roi(t)/ Ci(t):

е" = U-z = iki- Ai- c°s2 8- exp (-/roi7¡-) +

+ ikt-A- sin 8- cos8- exp (-imtT¡-), е-у = U-,y = ik- Ai- sin2 8- exP (-iroi7¡-) -

- ikt- At- cos 8- sin 8t- exp (-irntTt-), (5) U- = -ik¡- A¡- sin 8- cos 8- exp (-irn¡T¡-) -

- ikt- At- sin2 8- exp (-irntT¡-),

U- z = -ik¡- A¡- sin 8- cos 8- exp (-iro¡T¡-) + + ikt- At- cos2 8- exp (-irotTt-),

е-z = (U;, y + U-zZ )/2,

Q-z = (U-y - U-; )/2 = -ikt-At- exp (-ЗД- )/2.

Граничные условия (1) при падении P-волны означают, что

*zz 1 z=Vt = 2^zz 1 z=Vt zz 1 z=Vt +е yy 1 z=Vt) = 0

*zy 1 z=Vt = 2Це zy 1 z=Vt = 0

(6)

Деформации на границе, как и смещения, определяются суммой компонент падающей (3) и отраженной (5) волн:

^ =4 +£гу > (7)

где i, j = г, у. Подставляя соответствующие выражения для деформаций (7) в (6), получим

ц

= [(C,/Ct )2 - 2 sin2 8j- ]k¡-A¡- exp (-iro¡7¡-) +

+ kt At sin (28t ) exp (-irotTt ) +

+ [(C,/Ct )2 - 2 sin2 810]k¡0A¡0 exp (-irnT¡0) = 0, ^ (8)

-zL = k¡ A¡ sin (28-) exp (-¿ю^ ) -

ц

- kt- At- cos (28-) exp ) -

- k¡0 A¡0 sin (280) exp (-»T0) = 0.

Эти уравнения должны выполняться в любой момент времени при < y < +«>, поэтому амплитуды напряжений и аргументы экспоненциальных функций должны быть равными. Отсюда следуют равенства (9), определяющие законы отражения на равномерно движущейся границе, и уравнения (10) для неизвестных амплитуд отраженных волн:

юТ,0 = ra¡r¡ = MtTt, (9)

(1 - 2 sin2 8j-C2 )ю, A¡- + rot CA- sin (28-) +

+ (1 - 2 sin2 80C2) roA,0 = 0, - ¡ , (10) ю,A¡ sin (28-) -rot A cos(28-)/C -

yюA¡0sin(280) = 0, где C = Ct/C¡. На основе (9) можно записать выражения

ю(1 - да, cos 8°) = ю,(1 + да, cos 8-) =

= юД1 + mtcos 8-), ю sin 80 = ю, sin 8- = юt sin 8-/ C, которые позволяют найти

cos 8- = [(1 + m¡2)cos 80 - 2m,]/D,,

sin 8- = [(1 - m¡2)sin 80^D¡,

ю,/ю = D¡/(1 -m¡2), D¡ = 1 + m¡2 -2m¡cos80, (12)

где m¡(t) = Vj C¡(t) — числа Маха. Аналогичные величины для отраженной поперечной волны будут равны

cos 8- = [(1 - m¡ cos 80 D¡ - sin2 80C2 -

- mfi sin2 80^D¡, (13)

sin 8- = [1 - m,cos 80 + m¡/C x

x^ D¡ - sin2 80C 2 ] sin 80C ¡Du (14)

ю^ю = [1 - m¡cos80 - m¡/Cx

xyjD¡ - sin2 80C2]/(1 - mt2). (15)

Решением (10) являются коэффициенты отражения, определяемые амплитудами отраженных волн:

R¡¡ = A¡- = [C2 sin (280) sin (28-) -

- cos (28-)(1 - 2 sin2 80c2 )]x x (ю, / ю) -1[C2 sin (28-) sin (28-) + + cos (28-)(1 - 2 sin2 8- C2]-1,

R = A0 = - C[sin (280 )(1 - 2 sin2 8-C2) + Al

+ sin (28- )(1 - 2 sin2 80c 2)] x x (rot / ю)-1 [C2 sin (28-) sin (28-) + + cos (28- )(1 - 2 sin2 8- C2 )]-1.

(16)

(17)

Первый нижний индекс в обозначении коэффициентов отражения соответствует характеру отраженной волны, второй индекс определяет характер падающей волны. В случае неподвижной границы числа Маха равны нулю и выражения (11)—(15) примут вид cos 8-t) = cos 8^, sin 8- = sin 8^

0 (18) sin 8t = C sin 80, ю =*ю = ю.

Первые три равенства (18) выражают известный закон Снеллиуса, последнее означает, что частота падающей волны не изменяется при отражении на неподвижной границе. Формулы (16), (17) при V = 0 совпадают с ранее полученными формулами для коэффициентов отражения падающей P-волны [10].

2.2. Вертикально поляризованная SV-волна

Вектор смещений падающей на границу поперечной волны перпендикулярен направлению распространения волны и имеет не равные нулю компоненты U0 = - A0 sin 80 exp[-/ff)(t - rt0/ct)], U0 = At0 cos 80 exp[-to(t - rt0/ Ct)],

где Aj0 — амплитуда; 80 — угол падения; ю — частота; rt0 = z cos 80 + y sin 80. Выражения для компонент тензора упругих дисторсий, деформаций и поворота в случае падающей волны сдвига имеют вид

e0z = U°Zz =-ik0 A sin (280) exp (-/ю Т,0 )/2, = U* = ¿kt0 At0 sin (280) exp (-/ю Tt0 )/2,

(19)

yy y, y U°z,y = -ikt0A0 sin2 80 exp (-/ЮТ,0),

U0 z = /kt0 At0 cos2 80 exp (-¡юТ,0),

(20)

г0у = ik0 A0 cos (290) exp (-iroTt0 )/2, Й0, =-ikt0 At0exp(-iroTt0V2,

где kt0 = ю/Ct — волновое число; Tt0 = i - rt0/Ct. Компоненты смещений отраженной волны (4), как и формулы для деформаций (5), остаются без изменений в случае падающей SV-волны [18]. Из граничных условий (6), выполняемых для любой вертикально поляризованной волны, в случае SV-волны следуют равенства

ст z

ц

= [(1/C)2 - 2 sin2 8j- ]k,-A,- exp (-¡юД-) +

+ kt At sin (28t) exp (-¡ю,Т, ) +

- kt0A0 sin (280) exp (-¡шТ,0) = 0,

ст ™

-zL = k, A, sin (28-) exp (-io\T ) -ц

- kt- At- cos (28-) exp (-/ю,Г,-) -

- kt0 At0 cos (280) exp (-¿ЮТ,0) = 0, которые выполняются при условиях

ю(1 - mt cos 80) = ю,(1 + m, cos 8-) =

= ю,(1 + mtcos 8-), ю sin 80 = ю, sin 8-C = ю, sin 8-, (1 - 2 sin2 8j-C 2)ю, A,- + юtCAt- sin (28-) -

-ff>CA0sin(280) = 0,

ю¡CA¡- sin (28-) - ю, At- cos (28-) -^40cos(280) = 0.

(21)

(22)

На основе (22) можно определить законы отражения для поперечной (24) и продольной волны (25)-(27):

cos 8- = [(1 + mt2) cos 80 - 2mt ]/dt, sin 8- = [(1 - mt2) sin 8°t]/Dt, (24)

ю,/ ю = Dj (1 - m,2), cos 8- = [(1 - mt cos 80) x x^jDt - sin2 8°JC2 - mt sin2 8°JC]/Dt, (25) sin 8- = [(1 - mt cos 80 V C +

+ mtyj Dt - sin2 80/C2 ]sin 8°J Dt, (26)

ю,/ю = [1 - mt cos 80 -

- m^Dt - sin2 80/C ]/(1 - m,2). (27)

Здесь Dt = 1 + mt2 - 2mt cos80- Решением (23) являются коэффициенты отражения

Rt = A0 = [C2 sin (280) sin (28-) -At0

- cos (280 )(1 - 2 sin2 8j-C2)]x

x (ю J ю)-1[С2 sin (28-) sin (28-) + + cos (28-)(1 - 2 sin2 8- С2)]-1,

(28)

R,t = A0 = C[C2 sin (280) cos (28-) + At

+ sin (28- )cos (280)](ю,/ ю)-1 x x [C2 sin (28j-) sin (28t-) + + cos (28- )(1 - 2 sin2 8-С2)]-1.

(29)

При V = 0 формулы (28), (29) совпадают с ранее полученными выражениями для коэффициентов отражения первичной SV-волны [10], уравнения (24)-(27) определяют закон Снеллиуса на неподвижной границе:

cos 8t(,) = cos 8t(,), sin 8, = sin 8,, sin 8- = sin 8f/c, Ю[ = ю1 = ю.

(30)

2.3. Горизонтально поляризованная SH-вoлнa

Отражение падающей SH-волны на свободной поверхности подробно рассмотрено в [17], где были найдены соотношения, определяющие углы отражения и изменение частоты (24), а также коэффициент отражения

а-/аО = [(1 -т?)^90]/[(1 + т?)^-2т,]. (31) Деформация на свободной поверхности равна нулю, что следует из граничного условия (1), имеющего в случае SH-волны вид

= 2Ц(е0, I z=Vt I z=Vt) = 0

(32)

3. Анализ результатов

3.1. Коэффициенты отражения

Полученные в предыдущем разделе аналитические выражения позволяют исследовать зависимости коэффициентов отражения упругих волн и компонент тензора деформаций от угла падения и типа первичной волны, скорости движения границы и параметров среды на равномерно движущейся свободной поверхности, наряду с углами отражения и частотными сдвигами.

На рис. 2 представлены зависимости коэффициентов отражения от угла падения продольной волны. Падающая на свободную поверхность Р-волна отражается в виде совокупности продольной и поперечной волн при углах падения 0 <6° < п/2 в случае ш1 < 0 и при углах

0 <6° <6^ в случае ш1 > 0. Здесь 6^ = - Ш]2 —

предельный угол, при котором падающая волна догоняет движущуюся границу. При ш1 < 0 угол отражения продольной волны, согласно (11), определяется выражением

6- = arctg

(1 - sin 60 (1 + mf)cos 60 - 2m1

(33)

При ш1 > 0 рассматриваемый угол имеет три области определения

0<60 <6sl

1, 6S1 <60<

3g, 6g<60<П,

(34)

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6

Угол падения Р-волны, рад

Рис. 2. Коэффициенты отражения продольной (а) и поперечной волны (б), обозначенные при С = 0.4 сплошными линиями, при С = 0.35 пунктирными линиями. ш1 = -0.3 (1), -0.1 (2), 0.0 (3), 0.1 (4), 0.3 (5) (цветной в онлайн-версии)

где б!§1 = а^т[(1 -ш2)/(1 + ш12)]. В первой области изменения углов падения происходит регулярное отражение и справедлива формула (33). При 60 = 6S1 6- = = П2, поэтому во второй области

6- = п- arctg

(1 - m12)sin 60 (1 + m2)cos 60 - 2m1

(35)

и отраженная Р-волна не возвращается назад. В последней области нет отражения. Угол отражения волны сдвига не имеет особенностей и определяется при любых значениях m1 выражением

6- = arctg {[(1 - m1 cos 60 +

+ m^DJc1

x (1 - m1

-sin2 60) sin 60] x 1 cos 60)-1 [д/dJC2 - sin2 60

- m1 sin2 60]-1}.

(36)

Несмотря на наличие нескольких областей углов отражения Р-волны, соответствующие коэффициенты отражения изменяются непрерывно (рис. 2, а), как и в случае отраженной волны сдвига (рис. 2, б). При нормальном падении рассматриваемые величины не зависят от отношения упругих скоростей С и определяются равенствами Кп = (1 - ш1)/(1 + ш1), К11 = 0. При угле 60 = эти коэффициенты равны нулю в случае убегающей границы, когда ш1 > 0. Увеличение отношения упругих скоростей среды приводит к увеличению модулей коэффициентов отражения Яй (рис. 2, б) и уменьшению модулей Яп (рис. 2, а). Эта зависимость в большей степени проявляется с ростом скорости движения границы за исключением углов 60 = 0 и 60 = , при которых коэффициенты отражения не зависят от значения V.

Коэффициенты отражения в случае первичной волны сдвига приведены на рис. 3. Если на свободную поверхность падает SV-волна, то отраженная волна существует в виде продольной и поперечной в интервале углов 0 <60 <61; вне зависимости от знака скорости движения границы или числа Маха тх. Угол полного внутреннего отражения продольной волны 6* находится из условия положительности подкоренных выражений (25)-(27) и определяется формулой

6* = а^т С + а^т (шг С). (37)

При углах 60 > 6* отраженная Р-волна становится неоднородной волной и распространяется с затуханием. При отрицательных числах Маха углы отражения продольной волны имеют две области определения:

0 <60 <6*, 6* <60 <П2. (38)

В первой области происходит зеркальное отражение продольной волны, во второй области — экспоненциальное затухание, определяемое мнимой частью коэффициентов отражения. В случае тх > 0 можно выделить четыре области 60, различающиеся по типу отра-

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6

Угол падения SV-волны, рад

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6

Угол падения SV-волны, рад

0.2 0.6 1.0 1.2 Угол падения SV-волны, рад

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6

Угол падения SV-волны, рад

Рис. 3. Коэффициенты отражения продольной (а, б) и поперечной (в, г) волн, обозначенных при С = 0.4 сплошными линиями, при С = 0.5 пунктирными линиями; действительные части (а, в), мнимые (б, г). тх = -0.3 (7), -0.1 (2), 0.0 (3), 0.1 (4), 0.3 (5) (цветной в онлайн-версии)

жения P-волны:

0 < 90 < 9*1, 9*1 < 90 < 9*, 9f <9t0 <П2.

9* < 90 < 9g,

(39)

Здесь

*1

91 = arcsm

- arcsm I

[1Шс)

2 . 2-+ m

sin[ т,Ц(1/ C )2 + m2 ], = arcsin [д/1 2

у, = а1саш[Д/1 — т, .

Первая область является областью зеркального отражения. При угле 9*1 косинус 9— в выражении (25) равен нулю и отраженная Р-волна распространяется параллельно границе без затухания. Во второй области отраженная волна расширения не возвращается назад, в третьей области наблюдается ее экспоненциальное затухание, в четвертой области нет отражения. В случае неподвижной границы углы 9,1 и 9, совпадают, 9f — предельный угол, при котором падающая 8У-волна догоняет границу.

Согласно (24) углы отражения волны сдвига при т, < 0 определяются выражением (1 - т2^п 90

9t = arctg

(1 + mt2)cos 90 - 2т

(40)

При т, > 0 по характеру отражения 8У-волны можно выделить три интервала углов падения

О < 9? < 9*2 = arcsin[(1 - т,2)/(1 + т,2)], (41)

9*2 <90 <9g, 9g <90 <П2. В первом интервале падающая SV-волна отражается регулярным образом. При 9° = 9*2 cos 9- = 0 (24), поэтому отраженная волна сдвига не возвращается назад во втором интервале, в третьем нет отражения. Выражения (40), (41), определяющие отражение SV-волны, выполняются также для первичной SH-волны.

С точки зрения отражения обеих P- и SV-волн для угла падения 90 можно выделить следующие интервалы: 0 <9^ <9* < 9*2 <9*g < п/2. При нормальном падении SV-волны коэффициенты отражения вычисляются по формулам Rlt = 0, Rtt = (1 - mt)/(1 + mt). Угол пол-

п*

ного внутреннего отражения 9* является точкой возврата

на кривых Re(Rlt(90)), Re(Rtt(90)) (рис. 3, а, в) и гра-

*

ничным значением для мнимых частей Im(Rlt(9t)) = = Im (Rtt (9*)) = 0 (рис. 3, б, г). В случае mt > 0 при угле 90 =9g Rlt = 0, Rtt =-1. Вариация упругих параметров среды (значения С) приводит к изменению значения критического угла 9* (37), в окрестности которого наблюдаются наибольшие изменения рассматриваемых величин. При увеличении C критический угол увеличивается, как и абсолютные значения коэффициентов отражения.

3.2. Деформации

Полученные коэффициенты отражения позволяют определить и проанализировать компоненты деформа-

(42)

ций на свободной поверхности. На основе формул (3), (5), (20) амплитуды суммарных деформаций на границе можно записать в виде (42) для падающей продольной волны и в виде (43) для поперечной волны, полагая

W(t) =/)/ш:

Ezz = cos2 e0 + RaWi cos2 e- +

+ RtWtsin(2e- )/(2C), Eyy = sin2 e0 + RUW\ sin2 e- -

- Rt\ Wtsin(2e-)/(2C),

Ey = [sin (2e0 ) - R\\ W sin (2e- ) + + Rti Wtcos(2e- )/C ]/2,

Wyz = R Wt/(2C),

Ezz = -sin (2e0 V2 + CW\ Re (Rit cos2 e-) +

+ Re( Rtt)Wtsin(2e- )/2, Eyy = sin (2e0 )/2 + CW\ Re (R\t sin2 e-) -

- Re( Rtt)Wtsin(2e- )/2, Ezy = [sin (2e0) - CW\ Re (Rit sin (2e-)) +

+ Re( Rtt)Wtcos(2e- )]/2, WyZ = (1 + Re( Rtt) Wt)/2.

(43)

Выражения (42), (43) определяют компоненты деформаций с точностью до безразмерного множителя 8^ = = А, который равен А = ¡^0А10 в случае падающей

волны расширения и А = ¡^ А в случае волны сдвига.

0 *

Следует отметить, что при 61 < 61 все величины в (43) действительные. Из полученных расчетов в случае падающих Р- и SV-волн следует, что на свободной поверхности, двигающейся с постоянной скоростью, не равны нулю повороты относительно оси перпендикулярной плоскости падения волны и удлинения, направленные по нормали и по касательной к границе. Деформации сдвига равны нулю, что соответствует граничным условиям на свободной поверхности (1). Как следует из (42), (43), объемные изменения на подвижной границе определяются коэффициентами отражения продольной волны и не зависят от отражения поперечной волны, которая определяет повороты. При V = 0 на основе аналитических выражений было установлено, что между диагональными компонентами деформаций существует связь Е22 = (2С2 - 1)Е [10]. Из проведенных расчетов следует, что эта связь сохраняется в случае подвижной границы для обоих типов падающих волн. Результаты, представленные на рис. 4, позволяют отметить с точностью до знака качественно аналогичный вид зависимостей деформаций и поворотов в случае падающей Р-волны. В случае первичной SV-волны эта аналогия

ьГ

S S

=г

Он

о

¡2

Угол падения Р-волны, рад

-0.4-

-2.,

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6

Угол падения Р-волны, рад

ьГ

н-1.2-1 о

Он

о

PQ О

С-2.0

Угол падения БУ-волны, рад Угол падения БУ-волны, рад

Рис. 4. Амплитуды деформаций (а, в) и поворотов (б, г), обозначенные при С = 0.4 сплошными линиями, при С = 0.35 в случае падающей Р-волны и при С = 0.5 в случае SV-волны пунктирными линиями. шг = -0.3 (1), -0.1 (2), 0.0 (3), 0.1 (4), 0.3 (5) (цветной в онлайн-версии)

Рис. 5. Деформационные изменения на свободной поверхности, (1), -0.1 (2), 0.0 (3), 0.1 (4), 0.3 (5) (цветной в онлайн-версии)

о *

сохраняется за исключением волн при 9° >> 9,. Несмотря на функциональную зависимость (90) для обеих падающих волн имеет место качественная аналогия коэффициентов отражения поперечных волн и поворотов, следующая из последних формул (42), (43). Для деформаций Еуу можно отметить качественную связь с коэффициентами отражения продольной волны за исключением случая нормального падения продольной волны.

Как известно, частотные сдвиги, равные

Дшк0 =шко/ ш-1, положительны при V < 0 и отрицательны при V > 0 вне зависимости от типа падающей волны. Деформационные зависимости для падающих Р- и 8У-волн на рис. 4 позволяют определить аналогичным образом их изменения:

ДЕУУ = Еуу\уф0 /Еуу 1 V=0 -1,

ДЖ2у = Ж2уV,о/WZyIV=0 -1 Если на границу, двигающуюся со скоростью V < 0, падает Р-волна, то деформационные изменения отрицательны при углах 9° < 9Б и положительны при углах 9° > 9Б (рис. 5, а). Угол 9Б соответствует точке пересечения кривых деформаций на границах при V = 0 и V Ф0. Если на свободной поверхности V > 0, то ситуация противоположна: ДЕуу > 0 при 9° < 9Б и ДЕуу < 0 при 9° >9. Как и зависимости Еуу(9°), ^(9°) на рис. 4, а, б, изменения ДЕуу, Д^2у качественно подобны и отличаются знаком в случае первичной продольной волны. В случае падающей сдвиговой волны отмеченные закономерности деформационных изменений наблюдаются при углах 9° < 0.6 рад, далее появляется особенность, обусловленная нулевыми значениями деформации на неподвижной границе (рис. 5, б). При падении Р-волны аналогичная ситуация имеет место лишь при 9° ~ п/2. Таким образом, в отличие от частотных сдвигов деформационные изменения не имеют однозначной связи со скоростью движения свободной

движущейся с постоянной скоростью, при С = 0.4. т, = -0.3

поверхности во всем интервале углов падения первичных волн. Однако при углах 9° < 9Б для обоих типов падающих волн связь деформационных изменений со скоростью движения границы однозначна: при V < 0 деформационные изменения отрицательны, а при V> 0 изменения деформаций положительны. Эта закономерность противоположна частотным сдвигам, которые положительна при V < 0 и отрицательны при V > 0.

4. Заключение

Задача отражения упругих волн на свободной поверхности позволяет исследовать характер деформаций на границе. Полученные в работе зависимости коэффициентов отражения и деформационных мод от угла падения волн расширения и сдвига при различных скоростях движения границы и упругих свойствах среды являются ее результатом и позволяют сделать ряд выводов. Деформационные изменения на свободной поверхности, движущейся с постоянной скоростью, как и в случае неподвижной границы, определяются изменениями объема и поворотами вне зависимости от типа и угла падения первичной волны, скорости движения границы и упругих параметров среды. Объемные деформации, оказывающие существенное влияние на процессы диффузии, теплопроводности, абсорбции и т.д., определяют особенности поведения материалов при наличии свободных поверхностей.

Коэффициенты отражения продольных волн качественно совпадают с объемными деформациями на границе, а отражение поперечных волн задает повороты. Связь удлинений, направленных по нормали и по касательной к границе, определяется параметрами упругой среды и не зависит от скорости движения границы. Деформационные изменения, в отличие от частотных сдвигов при эффекте Доплера, не связаны однозначно со скоростью движения свободной поверхности. Лишь в интервале углов падения первичных волн 0 < 9°° < 9**

существует однозначная связь деформационных изменений и скорости движения границы, отличающаяся знаком от частотных сдвигов.

Работа выполнена в рамках Программы фундаментальных научных исследований государственных академий наук на 2013-2020 гг.

Литература

1. Поверхностные слои и внутренние границы раздела в гетерогенных материалах / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2006. - 520 с.

2. Сарафанов Г.Ф., Перевезенцев В.Н. Анализ влияния свободной поверхности и размера пластической зоны на эффект экранирования упругого поля дисклинации // ПЖТФ. - 2006. - Т. 32. -№ 18. - С. 35-43.

3. Wang F., Zhao J., Huang P., Schneider A.S., Lu T.J., Xu K.W. Effects of free surface and heterogeneous residual internal stress on stress-driven grain growth in nanocrystalline metals // J. Nanomater. - 2013.-Article ID 934986. - doi 10.1155/2013/934986.

4. Balokhonov R.R., Romanova V.A., Panin A.V., Kazachenok M.S., Martynov S.A. Strain localization in titanium with a modified surface layer // Физ. мезомех. - 2017. - Т. 20. - № 5. - С. 33-42.

5. Цуканов А.А., Псахье С.Г. От интерфейса между мягкой и твердой

материей к био-самоорганизации и гибридным системам // Физ. мезомех. - 2017. - Т. 20. - № 1. - С. 45-56. - doi 10.24411/1683-805X-2017-00015.

6. Бреховский Л.М., Годин О.А. Акустика слоистых сред. - М.: Наука,

1989. - 416 с.

7. Singh B. Reflection of P and SV waves from free surface of an elastic solid with generalized termodifusion // J. Earth Syst. Sci. - 2005. -V. 114. - No. 2. - P. 159-168.

8. Ciarletta M, Sumbatyan M.A. Reflection of plane waves by the free boundary of a porous elastic half-space // J. Sound. Vib. - 2003. -V. 259. - No. 2. - P. 253-264.

9. Чертова Н.В. О характере деформаций на свободной поверхности упругого тела // ПЖТФ. - 2015. - Т. 41. - № 22. - С. 15-24.

10. Чертова Н.В., Гриняев Ю.В. О характере деформаций на свободной поверхности и жесткой границе раздела при отражении упругих волн // Физ. мезомех. - 2016. - Т. 19. - № 5. - С. 58-65.

11. Einstein A. Zur elektrodynamik bewegter korper // Ann. Phys. Leipzig. - 1905. - V. 1_18. - P. 891-921.

12. Eden A. The Search for Christian Doppler. - Wien: Springer-Verlag, 1992.

13. Schuster P.M. Moving the Stars: Christian Doppler, His Life, His Works and Principle and the World After. - Pöllauberg: Living Edition Publishers, 2005.

14. Li G., Zentgraf T., Zhang S. Doppler effect in nonlinear optics // Nature Physics. - 2016. - V. 12. - P. 736-740. - doi 10.1038/nphys 3699.

15. Розанов Н.Н. Сверхсветовой параметрический эффект Доплера в диэлектриках и в электрон-позитронном вакууме // Письма в ЖЭТФ. - 2012. - Т. 95. - № 12. - С. 689-692.

16. Korech O., Steinitz U., Gordon R.J., Averbukh l.Sh, Prior Y. Observing molecular spinning via the rotational Doppler effect // Nature Photonics. - 2013. - V. 7. - P. 711-714. - doi 10.1038/nphoton. 2013.189.

17. Watanabe W. Elastodynamic Doppler effects by a moving stress-free edge // Int. J. Eng. Sci. - 2010. - V. 48. - No. 22. - P. 1995-2014.

18. Кольский Г. Волны напряжения в твердых телах. - Изд-во иностр. лит., 1955. - 194 с.

Поступила в редакцию 18.12.2018 г, после доработки 18.12.2018 г, принята к публикации 22.01.2019 г.

Сведения об авторах

Чертова Надежда Васильевна, д.ф.-м.н., снс ИФПМ СО РАН, chertova@ispms.tsc.ru Гриняев Юрий Васильевич, д.ф.-м.н., внс ИФПМ СО РАН, grn@ispms.tsc.ru