CC BY
9
ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ. ЛАЗЕРНАЯ ФИЗИКА
Определение профиля диэлектрической проницаемости пластинки, обладающей сильной частотной дисперсией
A.A. Голубков , В.А. Макаров 2,ь
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова. 1 Специализированный учебно-научный центр, кафедра физики. Россия, 121357, Москва, ул. Кременчугская, д. 11. 2 Физический факультет, кафедра общей физики и волновых процессов. Россия, 119991, Москва,
Ленинские горы, д. 1, стр. 56. E-mail: а andrej2501@yandex.ru, b vamakarov@phys.msu.ru
Статья поступила 07.07.2009, подписана в печать 22.07.2009
Доказана возможность однозначного восстановления профиля диэлектрической проницаемости одномерно неоднородной (возможно, поглощающей) пластинки по известным в некотором диапазоне углов падения коэффициентам отражения и прохождения s-поляризованной плоской волны и предложен алгоритм его нахождения.
Ключевые слова: диэлектрическая проницаемость, неоднородный слой, коэффициент отражения, коэффициент прохождения, обратная задача. УДК: 535. PACS: 42.25.Dd.
На практике часто возникает необходимость определения профиля диэлектрической проницаемости ё(г) слоисто-неоднородных сред. К сожалению, подавляющее большинство разработанных методов решения этой проблемы [1-5] по разным причинам не применимы в оптике (пренебрежение частотной дисперсией в широком диапазоне частот, невозможность прямого измерения необходимых величин и др.). Нам известна только одна работа с корректной постановкой задачи восстановления профиля диэлектрической проницаемости одномерно-неоднородной пластины в оптическом диапазоне [6]. Однако предложенный в ней алгоритм нахождения ё(г) по известным коэффициентам отражения плоских волн фиксированной частоты, распространяющихся в различных направлениях, имеет два принципиальных недостатка и, возможно, именно поэтому не получил дальнейшего развития. Во-первых, он существенно использует идеализированную геометрию взаимодействия волн со средой (слой непоглощающей среды находится перед идеально отражающей поверхностью) и не применим в общем случае. Во-вторых, он оставляет открытым вопрос единственности получающегося решения. Настоящая работа свободна от этих двух ограничений.
Рассмотрим плоский слой среды, диэлектрические свойства которого изменяются только вдоль оси 2, перпендикулярной его поверхностям. При z = z\ и z = z2 (z2>zi) он граничит с однородными изотропными непоглощающими средами с диэлектрической проницаемостью £о- Будем считать, что среда, образующая слой, имеет перпендикулярную его поверхностям плоскость симметрии, и направим вдоль нее ось х (x±z).
Пусть на такую пластинку под углом а падает плоская s-поляризованная волна с напряженностью электрического поля Ео(х, z) = E(¡ey exp[i(ujt — kxx - kzz)], где z <z\, ey — перпендикулярный плоскости падения единичный вектор, ш — частота волны, kx = k(¡ sin а
и ^2 = ^осоэа — компоненты ее волнового вектора, = ш^/ёо/с, с — скорость света в вакууме. Тогда вектор электрической индукции в пластинке В(х, г) = е{г)Е{г)еу ехр[г'(о^ — кхх)\, а изменение Е{г) в ней описывается уравнением
й2Е \ш2е{г)
dz2
Е = 0.
(1)
Здесь А = к2х, е{г) = еуу{г) — компонента тензора диэлектрической проницаемости среды. Заметим, что если у последней нет плоскости симметрии хг, но есть ось симметрии 32, 4г, 62 или оо2 [7], то уравнение (1) справедливо в пренебрежении пространственной дисперсией.
В силу максвелловских граничных условий на поверхностях слоя имеем
E{zl) = {\+R)E0, E(z2) = ТЕо,
dE dz dE_ dz
= -ikz{\ - R)E0, = —ikzTE0,
(2)
где Й и Т — соответственно амплитудные коэффициенты отражения пластинкой световой волны и прохождения через нее. Если е{г) известно, то, решив уравнение (1) с учетом (2), можно легко рассчитать Я и Т для любых значений кг^=0 (прямая задача). Нас будет интересовать значительно более сложная обратная задача — определение профиля диэлектрической проницаемости е{г) слоя данной толщины по его амплитудным коэффициентам отражения и прохождения, известным в некотором интервале значений углов падения.
Прежде чем перейти к ее решению, рассмотрим чуть более подробно прямую задачу. Напомним, что для достаточно широкого класса функций е{г) (кусочно-непрерывных и ограниченных или даже только интегрируемых [8, 9]) уравнение (1) имеет непре-
рывно дифференцируемые решения, которые можно представить в виде
Е(г,Х) = [Ст(г,\) + С21р2(г,\)]Е0. (3)
Здесь функции ¡¿>1,2(2, А) удовлетворяют граничным условиям
¡¿>i(22,A) = 1, ¡¿>2(22,А) = 0,
dipi(z, А)
dz dip2(z, А)
dz
= 0,
= -1
-ik,
1 +R
T 1 -R
= Ф1 +ikz4>2 = f\{kz), = 4>iz + ikz4>2z=f2{k,).
Ф2,2г(А) = - /l,2(-^)),
+ Л1Ф
dz
, , л,
= 1, ( ——Ь/ггФ
г2 V dz
Подставляя (9) в (8) и учитывая граничные условия (4), легко найти, что
Ф(г2 Л) = _Ь*2 + *2г_
Л2Ф1 + Фхг + /гх/г2Ф2 + Ф22 Таким образом, для однозначного определения е{г) достаточно знать Ф12 и Ф|;на всей комплексной плоскости Л. Пусть коэффициенты Я и Т известны в некотором интервале углов падения а(1) ^ а ^ а(-2).
(2)
(4) Тогда, пользуясь (6), для значений kz е [&ocosa
и при каждом значении Л образуют фундаментальную систему решений уравнения (1). Подставляя (3) в (2), с учетом (4) получим, что входящие в (3) коэффициенты С12 и значения функций ¡¿>1,2 и их производных в точке 2 = 21 связаны ей и Т соотношениями
Сх = Т, С2 = ¿кгТ, (5)
ГФ1 + ¿кгТФ2 = 1+Я, ГФ12 + ИггТЯ>2г = -/'М1 - к),
где Ф 1,2 (А) = ¡¿>1,2(21, А), Ф12,г2(А) = ¿<¿>1,2(2, А)Мг|2=2, . Из (5) видно, что Т может быть равно нулю, только если А = (т.е. кг = 0), а при Л ф ^ справедливы соотношения
(6)
При каждом фиксированном 2 € [21,22] функции ¡¿>1,2(2, Л) — однозначные аналитические функции Л без особых точек в конечной части плоскости, т. е. целые функции [8-10]. Поэтому Ф1;2 и Ф|;также являются целыми функциями Л, а следовательно, и ^ = —А-Последнее означает, что они являются четными целыми функциями кг. Поэтому /1,2 в силу определения (6) — целые функции кг. Пользуясь четностью функций Ф1;2 и относительно кг, из (6) можно получить
следующие соотношения:
^осоэа(1)] можно найти /1,2(^2), которые, в отличие от Ф(22,А), являются целыми функциями. Последнее обстоятельство является достаточным для однозначного аналитического продолжения /1,2 (кг) на всю комплексную плоскость кг [10]. Зная /1,2(^2), с помощью (7) можно найти Ф1,г(А) и Ф^гЛА) для любых Л, а значит, и однозначно определить е{г).
Итак, мы доказали, что знание амплитудных коэффициентов прохождения и отражения в некотором интервале углов падения является достаточным для однозначного нахождения профиля диэлектрической проницаемости исследуемой пластинки. Ниже приводится возможный алгоритм восстановления е{г).
Пусть для некоторого интервала К значений кх точно известны коэффициенты прохождения Т(1гх) и отражения Я(кх) плоского слоя, границы которого задаются координатами 2 = 21 и г = г2. Иными словами, известно, что существует функция е{г), для которой задача (1), (2) при данных Т(кх) и Я(кх) имеет нетривиальное решение при любых кх е К и Ео^=0.
Для восстановления е{г) найдем два решения Е 1,2(2) вспомогательного уравнения вида (1) с пробной функцией д(г) вместо неизвестной нам е{г), которые удовлетворяют граничным условиям
dEl (2)
£i(zi) = 1+Д,
E2{Z2) = Т,
dz dE2(z)
dz
= -¿Mi -Д),
= —ik?T.
(10)
Рассмотрим далее соответствующий д(г) неотрицательный функционал
(7)
G[q] =
dkx{ai\Ei(z2)^T\2+(3i
ídEi
V dz
+ ik,T
где \ = к\ = к\-к\.
Вернемся теперь к задаче восстановления профиля диэлектрической проницаемости слоя данной толщины по его амплитудным коэффициентам отражения и прохождения, известным в некотором интервале значений углов падения. Если Ф(2, Л) является решением (1) с граничными условиями
+ ol2\E2{Z\) - (1 +$)|2 +/?2
ídE2 \ dz
+ ikz{ 1
= 0, (8)
где /11,2 — произвольные константы, то, как доказано в [9], функция Ф(22,А) однозначно определяет е{г), а также значения коэффициентов /11,2. С другой стороны, Ф(2, Л) может быть представлена в виде, аналогичном (3):
Ф(2, Л) = C'npi (2, Л) + Сцр2{г, А).
О)
где «1,2 и Д,2 — любые фиксированные положительные числа, являющийся мерой отличия коэффициентов отражения Яд и прохождения Тч слоя с профилем д(г) от известных нам. Действительно, сравнение формул (2) при Ео = 1 с (10), (11) показывает, что 0 = 0 только при полном совпадении коэффициентов и Тч с Я и Т в интервале К. Но, как было доказано выше, такое совпадение возможно только в одном случае и, очевидно, имеет место, если q{z) = £{z). Таким образом, нахождение е{г) сводится к поиску единственного нулевого минимума функционала (11). Для решения задач такого типа к настоящему времени разработаны различные эффективные алгоритмы [4, 11]. Наши
ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ. ЛАЗЕРНАЯ ФИЗИКА
97
пробные расчеты показали, что использования даже относительно простого метода градиентного спуска [11] вполне достаточно для восстановления диэлектрической проницаемости неоднородных тонких пленок с хорошей точностью.
Список литературы
1. Lesselier D. // J. Optics (Paris). 1978. 9, N 6. P. 349.
2. Hodgson R.J.W. 11 J. Phys. D: Appl. Phys. 1991. 24, N 8.
P. 1239.
3. Khruslov E.Ya., Shepelsky D.G. 11 Inverse Problems. 1994.
10, N 1. P. 1.
4. Hodgson R.J.W. 11 J. Appl. Phys. 1991. 70, N 8. P. 4023.
5. Xia J., Jordan A.K., Kong JA. // J. Opt. Soc. Am. A. 1994. 11, N 3. P. 1081.
6. Roger A., Maystre D., Cadilhac M. 11 J. Optics (Paris). 1978. 9, N 2. P. 83.
7. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. М., 1975.
8. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., 1971.
9. Yurko V. // Inverse Problems. 2006. 22, N 4. P. 1139.
10. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М., 1984.
11. Brown В.М., Samko V.S., Knowles I.W., Marietta M. // Inverse Problems. 2003. 19, N 1. P. 235.
The dielectric permittivity profile reconstructing of medium layer with strong frequency dispersion
A. A. Golubkov1 V. A. Makarov2ft
1 Department of Physics, Advanced Education and Science Center, M. V. Lomonosov Moscow State University, Kremenchugskaya str. 11, Moscow, 121357, Russia.
2Department of General Physics and Wave Processes, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119991, Russia.
E-mail: a andrej2501@yandex.ru, b vamakarov@phys.msu.ru
Uniquely determination possibility of the dielectric permittivity one-dimensional profile of inhomogeneous (probably absorbing) medium layer using s-polarized plane wave reflection and transmission coefficients known in some incident angle interval is proved and the dielectric permittivity profile searching method is proposed.
Keywords: dielectric permittivity, inhomogeneous layer, reflection coefficient, transmission coefficient, inverse
problem.
PACS: 42.25.Dd.
Received 7 July 2009.
English version: Moscow University Physics Bulletin 6(2009).
Сведения об авторах
1. Голубков Андрей Александрович — канд. фнз.-мат. наук, доцент, доцент; тел.: (495) 445-53-06, e-mail: andrej2501@yandex.ru.
2. Макаров Владимир Анатольевич — докт. физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой; тел.: (495) 939-12-25, e-mail: vamakarov@phys.msu.ru.
