Аналог интеграла Рэлея-Зоммерфельда для анизотропной и гиротропной сред Текст научной статьи по специальности «Физика»

АНАЛОГ ИНТЕГРАЛА РЭЛЕЯ-ЗОММЕРФЕЛЬДА ДЛЯ АНИЗОТРОПНОЙ И ГИРОТРОПНОЙ СРЕД

Хонина С.Н., Харитонов С.И.

Институт систем обработки изображений РАН, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет)

Аннотация

В работе интегральные представления решений системы уравнений Максвелла для анизотропных и гиротропных сред с разделимостью продольных и поперечных компонент записаны в завершённой аналитической форме. В частных случаях полученные интегральные выражения сведены к аналогу интеграла Рэлея-Зоммерфельда.

Ключевые слова: анизотропная и гиротропная среды, дифракция, уравнения Максвелла, разложение по плоским волнам, аналог интеграла Рэлея-Зоммерфельда, эффект Фарадея.

Введение

Всё больший интерес с практической точки зрения вызывают оптические устройства, позволяющие преобразовывать свойства электромагнитного излучения. Среди наиболее просто реализуемых - поляризационные и модовые преобразования.

Распространение лазерных мод высокого порядка в среде с сильной анизотропией приводит к сложным поляризационно-модовым преобразованиям [1 - 4]. Причём для анализа таких явлений часто используется параксиальная модель распространения [5, 6].

Заметим, что взаимодействие поляризации и пространственного распределения электромагнитного поля происходит также в изотропной среде в непараксиальном режиме, в частности, при острой фокусировке [7 - 9].

Непараксиальный режим в анизотропной среде позволяет обнаружить более тонкие эффекты [10 -13]. Как правило, в этом случае используется разложение по плоским волнам [14 - 16], которое в общем случае при численной реализации требует четверного интегрирования по пространственным и спектральным переменным. Для уменьшения времени расчёта двойной интеграл по спектральным переменным можно асимптотически вычислить методом стационарной фазы [17]. Причём такая асимптотика позволяет получать достаточно точные результаты уже на расстоянии нескольких длин волн [18].

В данной работе рассмотрен непараксиальный интегральный метод расчёта распространения электромагнитных волн в анизотропных и гиротропных средах. Интегральное выражение для сред с разделимостью продольных и поперечных компонент записано в завершённой аналитической форме. В частных случаях данное интегральное преобразование сведено к аналогу интеграла Рэлея-Зоммерфельда.

1. Монохроматическое поле в анизотропной среде

Уравнения Максвелла для области, свободной от источников, записываются в виде (в системе СГС)

Ух Е = -1д В, с д?

УхН = (1)

с дt

УВ = 0, Уй = 0.

В однородной анизотропной среде, описываемой тензорами диэлектрической и магнитной проницаемости

(

е =

е XI еху е х*

е ух е уу е у*

е " е 2у е **

т хх т ху т х

т ух т уу т

Д *х т 2у т *

Л

т=

имеется следующая зависимость:

в=д н,

й = еЕ.

Для монохроматического поля

Е( х, у, г, ?) = Е( х, у, г)ехр (-/ю?), Н(х, у, 2, ?) = Н(х, у, г)ехр (-/ю?).

(2а)

(2б)

(3)

(4)

уравнения Максвелла (1) - (3) принимают следующий вид:

Ух Е = /к0рН, Ух Н = -/к0 еЕ, У(рН ) = 0, У (еЕ) = 0,

(5)

где к0 = ю / с = 2я /10, 10 - длина волны в вакууме.

Из первых двух уравнений системы (5) получаем 6 уравнений для 6 компонент:

BE BE , ч

= аГ+lk° (m Я»Hy*H>) •

BEy дЕ , ч

= - k (m xxH+m xH +m ),

Hz =", k0m гг

BH BH

i ГBEy BE,

%-t j-s:(m "h+m"H-) •

Bz Bx BHy BHz

Bz By

- lk0 (eyxEx +eyyEy +eyEz ) • + lk0 (exxEx +exyEy +exzEz ) •

(6)

Ez = 7T"

Г BHy bh.

Bx By

- — (ezxEx +ezyEy ) .

e

У zz

Систему (6) можно свести к 4 уравнениям для 4 поперечных компонент. При использовании разложения по плоским волнам

F (x, y, z) = J J f (a, p)x

xexp\jk0 (ax+ by + g(a,b) z)Jdadb

(7)

эта система в пространственно-частотном представлении будет иметь следующий вид:

У+-

ae„ . bmy

- + -

ezz m, bezx bm;

г ae zy am „ Л

zz zz

г p

e

V zz

mzz

(

myzmz

ab

—-m „ +

v ezz m;

Л / 2

e

v zz

mz

g+P^, + amx

mz

2

p2 +M m ^ m zx

r\

zz zz

л г

01 -m +м>му.

M-yy "Г" e yy m

e

v zz

m

zz

л

ap m^mzy

—+m xy--1

ap+e e yz ezx

У

Mzz y e

2

Г b2 exzezx

i__e + xz zx

m zz e zz

zz

г

a

--+e yy -

ee

yz zy

л (

zz

л

g+am, +be

zz zz

лг

yz

m

mzz e zz у

amzy aeyz

zz л

ab exzezy

--xy +-1

Mzz e

bmzx bex

mzz

V и /

где у (а, Ь), Л (а, Ь) - коэффициенты разложения (7) поперечных компонент электрического и магнитного поля.

Далее систему (8) можно решить численно, определяя собственные значения (а,Ь), ] = 1,4 из

равенства нулю определителя матрицы. Линейная комбинация 4 поперечных собственных векторов обеспечивает общее решение задачи распространения в среде, заданной тензорами (2). Продольные компоненты выражаются через поперечные из (5).

2. Интегральный оператор распространения электромагнитных волн в анизотропной и гиротропной среде с разделимостью компонент

Рассмотрим среду, описываемую следующими тензорами:

zz zz

Г bMzy aex л g+—- + —x

mzz

f,

(a, b) ey (a, b) К (a,b) Vhy К b)

л

= 0,

(8)

(

e =

M =

e e 0

xx xy

ee

yx yy

0

0 0 ez

Г Mxx M xy 0 Л 0

(9а)

(9б)

тух туу v0 о т22/ Заметим, что в общем случае значения в (9) могут быть комплексными и еху ^е^, тху ух, что

позволяет описывать различные типы сред, в том числе гиротропную среду [19].

В этом случае система (8) разбивается на 2 подсистемы [20]:

ge= Ah±, gh± = Be±,

(10)

где ei =

A =

^ (a, b) (a, b)

ab

—+m yx

' К (a, b) V hy (a, b)

m x

в

e

V zz

-ab-e

У-

mzzy b2

+ e x

v mzz

a

ezz

ab

ezz

aL

m zz

ab

m zz

■+m y

-e

+ eT

Подставляя в (10) первое уравнение во второе, получим уравнение относительно только поперечных компонент электрического поля

у2е± = АБе±, (11)

из которого, обозначая М = АБ, следует уравнение на собственные значения:

Ми -g2

М„,

М12

M22 -g2

= 0.

(12)

Решением уравнения (12) являются следующие выражения:

(Mil + М22 )±^(Mil -М22 )2 + 4МцМ2'

g?,2 =■

,(13)

где

e

e

h

i

2

b

m

2

ми =—[-(ар+е** т ух )(ар+т **е ух )+(а2-е ** т уу )(р2-т **е хх)],

е И т и

—[(ар + е ** т ух) (а2 - т **е уу)- (ар + т **е ^) (а2 - е ** т уу)], М21 = -1— [-(ар+т**е ух) (р2 - е ** тхх)+(ар+е ** тху) (р2 - е хх)],

М12 =

(14)

е т

м22 = —— [(а2 - т**е уу) (р2 - е* т хх)- (ар+е ** тху) (ар+т **е ху)].

е** т

Будем далее рассматривать только положительные значения собственных значений (13), которые соответствуют распространению волн в положительном направлении оптической оси (вправо).

Из уравнения (11) получается связь поперечных электрических компонент для каждого собственного значения, в частности:

( (М„-У2 (a, Р)) ( р) еуу(a, Р) =--Г7-(a, Р).

М„

(15)

При этом один из векторов в паре выбирается произвольно, например, можно положить [20]:

е.х (a,р)=

еу (а,Р) = У2 (а,р)-Мп. Также можно использовать другое соотношение:

еух (a,р)= М21,

е^у (а,Р) = У2 (а,р)-М22

(16а)

(16б)

или суперпозиции полученных векторов.

Из второго уравнения (10) получаем выражение для поперечных магнитных компонент, а из уравнений (5) - для продольных компоненты электромагнитной волны (у = 1,2):

У (а,р) =

К (a,р) =

е, (а,р) = -

к. (а,р) = -

- (ар+т**е ух) ех (аа р)+(а2 - т **е уу)е уу (аа р)

т** у у (a, р)

-(р2 -т**ехх)е.х (a,р) + (ар + т**еху) е.у (a,р)

т** у. (а р) ,

(аехх +реух)е.х (a,р) + (аеху +реуу)е.у (a,р)

е ** У у К р)

реух (a, р) ае Уу (a, р)

(17)

Две волны в (15)-(17) соответствуют обыкновенной ( =1) и необыкновенной ( =2) волнам.

Следуя работе [20], рассмотрим общее решение, используя линейную комбинацию поперечных компонент электрического поля:

ГР (а,р)^

v ру (a, р).

= с1 (а,р)

v е1у

(а,р) (а, р)

+ С2 (a, р)

v е2 у

(а,р) (а,р)

(18)

где функции с1 (а,р), с2 (а,р) подлежат определе-

нию.

Получить значение этих функций можно из заданного распределения поперечных компонент электрического вектора в плоскости 2=0:

/

Ех (х, у,0)

=Я

V Еу (х, у,0)

^ (а,р)

1 (а, р)

vе 1у

(а,р) (а,р)

+ с2 (а, р)

е.

v е2 у(a, р)

(19)

ех

:р {/к [ах + ру ]} da dр.

Из (18) и (19) получаем:

С (а р)

(а, р)

е, (а,р) е2, (а,р)УГРх (а,р) е1у (а,р) е2у (а,р)I IРу (а,р)

(20)

где

гРх (а,р)^ чру (a, р)

= _1 ГГгЕх (х, у,0)^

12 ^ vЕу (х, у,0) Таким образом, г С1 (а, р) ^ с

(21)

ехр {-/к [ах+ру ]} dх dy.

(а,р)

е2у (а, р)Рх (а, р)- е2, (а,р) Ру (а, р)

(22)

ец (а,р)Ру (а,р)-е^у (а,р)Рх (а,р)у

где А = е1х (a, р) е2 у р)- е1у (a, р) е2 х (a, р)

с

2

е

е

е

+

С учётом полученных выше выражений интегральный оператор распространения записывается следующим образом:

Е(и, V, хУ чН(и, V, х) ,

= яь К Р)

^ (а, Р)

(а, Р)

(а, р)х

хехр[/кху (а, Р)] + С2 (а,р)^£2Е (^Р)

хе21 (а,Р)ехр[/кху2 (а,Р)]|х х ехр [/'к (аи + рv)] аа аР,

х (23)

где

Се (а,Р) =

] = 1,2,

1 0 0 1

аехх +Ре ух ае ху +Ре уу

ехх У. (а, Р) ехх У. (a, Р)

(24)

Сн (а,Р) = —

' -хх

аР + е ух - хх

У. (а, Р)

-Р2 +е хх-хх

2 Л

а -е „,-

уу хх

У. (а, Р)

аР + е ху - хх

У. (a,Р) У. (a,Р)

-Р

а

(25)

] = 1,2.

Выражения (23)-(25) можно записать в другом виде:

Е(и, V, х) Н(и, V, х)

е . (а, Р)

л

%^ Ь (а,Р),

w. (а, Р)г Р1(а, Р)] х х ехр [/к (аи + Рv + у.. (а, Р) х)] аа аР,

(26)

где wj (а,Р)г Р1(а,Р) = е] (а,Р), Р1(а,Р) - спектральный вектор из (21),

w1 (а,Р)г = А-1 (еу (а,Р),-ех (а,Р)),

w2 (а,Р)г = А-1 (-е1у (а,Р),^ (а,Р)),

(27)

(,

(а, Р)

Л

- собственные (поляризационные) век-

чь.(a, Р),

тора, определённые в (17).

Подставляя в (26) выражение (21) и меняя порядок интегрирования, получим:

Е(и, V, х) Н(и, V, х)) 1 ]

4 % яя[ Ь

р)

(а, Р)

(а, Р)г Е1 (х, у,0)] ехр {/к [а (и - х) +

w. (а,

(28)

Р(V - у) + У. (а,Р) х]} аааР дхАу.

Внутренний интеграл можно вычислить методом стационарной фазы [17].

3. Аналог интеграла Рэлея-Зоммерфельда для анизотропной среды

Рассмотрим наличие только диэлектрической

анИзотPопИИ, т.е. - ху = - ух = 0 , - хх = - уу = - хх = - .

Заметим, что для анизотропных кристаллов тензоры вида (9а) имеют действительные значения и должны удовлетворять условию симметрии: е ху = е ух. Кроме

того, такие тензоры приводятся к диагональному виду

е =

е1 0 0 0 е2 0

V 0 00 ез,

(29)

поворотом на угол у [21] 2е„,

1аи2у =

(е уу-е хх)'

(е хх + е уу) е х

(30)

2 Бт2у

(е хх +е уу) + еху , 2 Бт2у

Для тензора вида (29) при изотропной магнитной проницаемости элементы матрицы М примут следующий вид:

мп =е1--М12 = аР

с е ^

Р2 + а2 ^

v ез у

с е л

1 -Ь-

-3 у

М 21 = аР

1

е3

с

(31)

М22 = е2- -

а2 +Р2 ^

v "-3

Собственные значения:

у2,2 = 2 Га2

1i -

v е3

(

-Р2

Л

(32)

1 +

v е3 у

+ -(е1 +е2 )±,/Та\

где

х

е

е1 =

е2 =

е3 = ехх .

т =

а

( е л (

г»2

1

v ез у

+р2

1

v ез у

+т2 (е1 -е2 )2 +

(33)

+2

а

( е л г

2

1

v ез у

-р2

1

v ез у

т(е1 -е2).

Выражения для поперечных электрических векторов:

е х (а,р) = ар

г е л 1

v ез у

(

е. (а,р) = У2 (а,р)+ р2 +а2^ |-е1т

v ез,

(з4а)

или

ге

1 -Ь-

v ез у

еух (a, р) = ар

v

е.у (а,р) = у2 (а,Р)-(а2 + р2 ^ 1 -е2т.

v ез у

Для остальных компонент:

(з4б)

кх (а,р) =

ку (a, р) =

е. (а,р) = -ку* (а,р) = -

-ареух (a, р) + (а 2 -М£2 ) еуу (a, р)

туДа р) '

-(р2-те1) е^ (а, Р) + аРеу (а, р)

туДар) ,

ае1ех (a, р)+ре2еуу (a, р)

(з5)

езУу(а р)

реух (a, р)-аеу (a, р)

т .

Заметим, что выражение для собственных значений (з2) значительно упростится, если под корнем можно выделить полный квадрат, а также если М12 = 0 или М 21 = 0 . Такие ситуации возникают, когда анизотропная среда является одноосной, т. е. два из трёх значений диэлектрической проницаемости совпадают.

В общем же случае применить метод стационарной фазы к выражению (з2) затруднительно, однако в параксиальном приближении, т.е. когда а, р малы, также можно получить более простой аналитический вид.

Во всех этих случаях собственные значения сводятся к виду

у (а, р, ё, 5, ? ) = , (з6)

где ё, 5, ? - константы, зависящие от значений тензора (з0).

Таким образом, вид для быстроосциллирующего члена в (29):

ехр{/к ар + Рq + ^ё - 5а2 - ?р2 } , (з7)

где р = м - х, q = V - у Из уравнения ' д

да _д_ др

ар + Рq + ^ё - 5а2 - ?р2 ар + Рq + ^ё - 5а2 - ?р2

= 0, = 0

(з8)

получаем выражение для стационарной точки

?р ё

V 5 (?р2 + 2 + 2)'

(з9)

Рс =.

sq ё

'? (?р2 + sq2 + я?х2)

Тогда внутренний интеграл в (28) можно приближённо заменить подынтегральным выражением в стационарной точке [17]:

2р Г е (ас, Рс) ^

Ь (ас, Рс

(ас,Рс) Е±(х,у,0)

Vя (ас, Рс)

хехр{/к [ас (м - х) + рс (V - у) + у(ас, Рс) *]}, (? (м - х)2 + 5 (V - у)2 + 2 )

(40)

где

Н (ас, Рс ) = -В стационарной точке ехр {/к

5?ё*

(41)

аср + Рсq + г^ё - 5ас2 - ?Р

(42)

= ехр {гЫ—фрр + sq +

Тогда выражение (28) можно записать в виде, похожем на интеграл Рэлея-Зоммерфельда:

Е(м, V,*)Л = ^ (ау,ру H(м,^*)) = 12 £ ^ (ау,Ру

^ (аус,Рус ) Е±(х,у,0) &

(4з)

ё

5?

х-—-— ехр {¡к \——Я, ^ дх ду

Я I Ьу?у уГ

где

а ус =

ёу?у (м - х)

*у Я

р с=

ёу 5у (V - у)

I ?у Яу '

(44)

(45)

Рассмотрим конкретные частные случаи и определим для них параметры выражения (4з).

2

+

х

х

3.1. Одноосный кристалл, ось которого направлена вдоль оси распространения Oх В этом случае £1=£2=£0, £3=£е. Такая конфигурация рассматривалась в [22], однако непараксиаль-ность учитывалась как дополнительные члены к параксиальному оператору распространения. В нашей работе непараксиальность сразу учитывается в выражении (43), представляющем собой аналог интеграла Рэлея-Зоммерфельда. Элементы матрицы М:

М11 = ео--

с е ^

Р2 +а2 ^ е

М12 = М21 = аР

1 -е-

(46)

а2 +Р2^ I.

М22 =е„--Собственные значения:

У1 (а, Р) = ^--(а2 +Р2), у 2 (а, = (а2 + Р2).

(47)

Первое собственное число соответствует обыкновенной волне, а второе - необыкновенной. Первая пара собственных векторов:

е1х (а, Р) = аР

в1у (а, Р) = -а2

1

1

которая с учётом общих множителей может быть записана в виде:

е1х = Р ,

е1у =-а.

(48)

Аналогично для второй пары:

е2 у =Р.

Используя (35), получим остальные векторы:

(49)

с е ^ ' Р-

е1у -а-

е1х 1 0

¿1х - аУ1 (а, Р)

П1у РУ (а,Р)

v п1х у ^-(а2 +Р2

(е ^

2х

2 у

2 у

v П2х у

У 2 (а, Р)

С аУ2 (а, Р) РУ 2 (а, Р)

(а2 +Р2)

ее 1 '

-Ре„

ае„ 0

(50)

у

Из (50) видно, что обыкновенная волна является ТЕ -волной (е1х = 0), а необыкновенная — ТМ-волной

( ¿2х = 0).

Векторы (27) принимают следующий вид:

w1 (а, Р)Т = (а2 +Р2 )-1 (Р,-а),

-1 (51) w2(а,Р)Т = (а2 +Р2) (а,Р).

Т.к. = ё2 = ео- , 51 = t1 = 1, 52 = t2 = ео / ее, то стационарные точки в (43) будут иметь следующий вид: ■ (и - х)

Р .

(V - у)

Я '

(52)

где

Я (и - х)2 + (V - у)2 +;

Я2 = 4—41(и - х)2 + (V - у)2 + ^х2

(53)

3.2. Одноосный кристалл, ось которого направлена перпендикулярно оси распространения и совпадает с осью Оу

В этом случае е1 = е3 = ео, е2 = ее. Такая конфигурация рассмотрена в [23], однако непараксиальный интегральный оператор распространения не был выписан.

Элементы матрицы М:

М11 = ео--а 2-р2,

М12 = аР

1

М21 = 0 ,

М 22 =ее--а2 -•еР-

Собственные значения: У1 (a, Р) = \/е„--а2-Р2 >

(54)

У 2 (а, Р) = ^--а2-Ь- Р2.

Первая пара собственных векторов:

(55)

е1х К Р) = аР

е1у (а, Р) = 0

1

v ео

1

е

п

е

е

е

о

е2 х =а

о

показывает, что теперь ось кристалла направлена вдоль оси Оу, и разделения на обычные ТЕ- и ТМ-моды не произойдёт.

Учитывая равенство нулю электрической у-ком-поненты, можно выбрать первую пару в виде:

(а, Р) =1

" ^ ' (56)

«1у (а, Р) = 0.

Вторая пара с учётом сокращения общих множителей имеет следующий вид: е2х (а, В) = аВ,

2 хК ' (57)

е2у (а,Р) = Р2 -е0.

Используя (35), получим остальные векторы:

(е л 'ту (а,Р) л

е1у 0

е12 1 -ат

к ту (аР) -аР

к е„т-Р2

v к у v-РУ1 (а, Р) У

(е Л 2 х 'аР л

е2 у -(е„т-Р2)

е2 2 РУ2 (а, Р)

¿2 х е„ У 2 (a, Р)

^2 у 0

v ¿2 2 у "ае» у

(58)

Векторы (27) принимают следующий вид:

( \

w

w,

1 (а, Р)т =

ар

Кт-Р2)

(59)

(а, Р)Т =

0, -

Т.к. й1 = еот,

(е„т-Р2)

¿1 = ¿1 = 1>

й 2 =е«т,

¿2 = 1 ,

/2 = ее / ео, то стационарные точки в (43) будут

иметь следующий вид: (и - х)

а1с = 7^ -

р1с =7^

я

(V - у)

Я '

а1с = 7^

р1с =7^

(и - х)

(V - у)

Я '

(60)

где

Я, =у] (и - х)2 + (V - у)2 +;

Я2 = 4 (и - х)2 + ^ (V - у)2 + 22.

2 2 (61) ■(V - у)2 + 22.

I е Л ее

Аналогичные результаты можно получить, если ось кристалла будет направлена вдоль оси Ох. 3.3. Двуосная анизотропия в параксиальном приближении

В параксиальном случае в (32):

4т »т(в1 -£2)-

а

( е Л 1

е

(

-Р2

1 -е^

е

3 у

(62)

v ~3 у

и тогда собственные значения примут следующий вид:

е,

у2 »м£1 -а2^-Р2,

е3

2 2 2 е2

у2 »те2 - а2 -Р2—.

2 2 е

(63)

Из (34) можно получить 2 набора собственных векторов для поперечных электрических компонент:

е1х (а, Р) = 1, е1у (а, Р) = 0,

е2 х (а, Р) = аР(е3 -е2 ) ,

е2у (a, Р) = те3 (е1 - е2 ) + а2 (е3 - е1 ) - Р2 (е3 - е2 ) >

остальные векторы можно получить, используя (35). Векторы (27) имеют следующий вид:

\Т

(64)

Wl (a,Р) =

(

1, -

v т-3

W2 (a, Р)Т = (

аР(е3 -е2

М£3 (е1 - е2) + а2 (е3 - е1) - Р2 (е3 - е2)

(65)

0,

М£3 (е1 - е2) + а2 (е3 - е1) - Р2 (е3 - е2)

Т.к. й1 =е1т, ¿1 =е1/е3, ^ = 1, й2 =е2т, ¿2 = 1, /2 = е2 / е3, то стационарные точки в (43) записываются следующим образом:

а

=7^

Р1с = 7^

(и - х)

Я '

(V - у)

Я ,

Р2С =.

/е2т (и - х) /е2т (V - у)

Я '

(66)

Я = 4^^ (и - х)2 + el(v - у)2 + е122

Я2 =1—7е2(и - х)2 + е3^ - у)2 +

(67)

2 ■ е,22.

Заметим, что, несмотря на параксиальное приближение, мы сохранили зависимость собственных значений и векторов от пространственных частот вплоть до второй степени. Таким образом, в (43) остаётся условно непараксиальная зависимость расстояний между точками в пространстве вида (67).

4. Интегральные операторы распространения электромагнитных волн в гиротропной среде

Частным случаем сред, описываемых тензорами (9), являются гиротропные среды. В этом случае тензоры имеют следующий вид [19]:

1

1,

1

а2с =

е=

- =

е хх -8 0

'8 еуу 0

0 0 е хх,

-хх -т 0

(68а)

(68б)

™ -уу 0

0 0 -хх у

М11 = —[- ( аР + '^ехх ) (аР + '8-хх ) + ( а2 - е хх - уу ) (Р2 - -хх ехх )]

где 8 и w - параметры электрической и магнитной гирации, соответственно.

Гиротропные свойства проявляют некоторые среды (в том числе вода, стекло, алмаз, фосфор), помещённые в постоянное магнитное поле [14].

Используя (14), запишем матрицу М для (68):

М12 = —[( аР + ™е хх ) ( а2 - - хх е уу ) - ( аР - '8-хх ) ( а2 - е хх - уу )] , е хх - хх

М21 = —— [-(аР + '8-хх ) (Р2 - е хх-хх ) + (аР - хх )(Р - -хх е хх )] ,

е хх - хх

— [( а2 - - хх е уу ) (Р - е хх - хх ) - (аР - '^хх ) (аР - '8-хх )] .

(69)

где

М22 =

е хх -

Собственные значения:

21

У1.2 = ~-Х

2е хх - хх

х{ а б2 + А2 Б - 2'аР (we хх + 8-и) ± ^, Т =(аб - А2б )2 +

+4 (wgехх-хх) (А1Б2 + А2Б1) - 4А2б2 (weхх )2 --4 А Б1 (8-хх )2 +

+4(аР)2 [(А2 - А1)(б2 -Б1)-(weхх + 8-и )2"

А1 =(а 2 -е хх - уу ), А2 =(а2 -- хх е у

(70)

(71)

Б =(Р2-ехх - хх), В2 =(Р2-- хх е хх).

(72)

Выражение (71) является действительным, а собственные значения (70) - комплексными, что соответствует частично поглощающей среде.

Рассмотрим нормальное падение электромагнитной волны, пренебрегая слагаемыми, содержащими пространственные частоты:

М11 »( ^ +-уу ехх ) , М12 ( Weуу + 8-уу ) ,

М21 »г (we хх + я-хх),

М22 »( ^ + еуу-хх ) .

2 1 Г

У2,2 +- уу ехх +е уу - хх ±

(73)

± )/(-уу е хх - е уу -хх )2 + 4 [ ^ уу + 8-уу ] [ ^ хх + 8-хх ] |.

(74)

В этом случае собственные значения действительные и соответствуют двум распространяющимся с различными скоростями волнам.

Собственные вектора вычисляются из (73) с использованием (16) и соответствуют эллиптической поляризации.

Так как собственные значения и вектора не зависят от пространственных частот (отсутствует дифракция), то выражение (28) принимает следующий вид:

С Ех (и,V,х)

е.х 1 с Ех (х, у,0)

w,

V Еу (х, у,0)

VЕу (и, V, х) 1 2

4 5 я

хехр (1кУ.х)§(и - х, V - у) dxdy =

ехр (гк у1 х) +

(75)

1

= —А

с

(ее —е е 1

1х 2у 1х 2х

Vе1уе2у -е1уе2х У

-е е е е

2х 1у 2х 1х

-е е е е

v 2уе 1у 2уе 1х у

ех

Р ('кУ2х )|

Ех (и, v,0) КЕу (и, ^0)

Для каждой из поперечных электрических компонент происходит свой набег фазы:

Ех v, х) {[е1хе2у еХР ('к У1х )-

-е2хе1у еХР ('кУ2х)] Ех (U, V, 0) +

+ е1хе2х [еХР ('кУ2х) - еХР ('кУ1х )] Еу (u, V, 0)} , Еу (u, v, х) = -1- {[е1хе2у ехР ('кУ2х ) -

(76)

-2 А

- е2хе1у еХР ('кУ1х)] Еу (U, V,0) +

+ е1уе2у [еХР ('кУ1х ) - еХР ('кУ2х)] Ех (U, V, 0)} .

В частном случае, когда ехх = еуу, -хх = -уу, поляризация будет круговой:

+

У2 »(w + m„)(g + e),

у ?»(w-m xx )(g-e xx ). ^ (a, P)» 1,

ely (a, p)»4

e? x (a, P)» 1,

e2y (a, P)»

A = 2i.

EX (u,v,z) =

(77)

(78)

21

{[exp (ik gj z) + exp (ik у ? z)] Ex (u, v,0)-

-i [exp (ik у 2 z)- exp (ik у z)] Ey (u, v,0)},

Ey (u, v, z) =

(79)

ly {[exp (ikуz) + exp (ikу?z)] Ey (u, v,0) +

21

+1 [ ехр (¡к у 2 2) - ехр (¡к у12) ] Ех (и, v,0)}.

Как видно из выражения (79), на различных расстояниях 2 поперечные компоненты будут представлять собой различные суперпозиции исходных распределений этих компонент, в том числе могут переходить друг в друга.

Для наглядности не будем учитывать магнитную гирацию, тогда собственные значения (77), соответствующие распространяющимся вправо волнам, принимают следующий вид:

у1 »л/йтЛ/^ ,

I— I--(80)

При малом значении гирации:

У » >XXe XX

1+

У 2

^X

e X

1 -

g

2e ^

g

2e„

(81)

Тогда выражение (79) можно переписать в следующем виде:

Ex (u, v, z) = ^exp (ikVeXXmrz )x

x < cos

+ sin

2ver .gViXT,

Ex (u, v,0) +

Ey (u, v,0) J

^л/exx"

Ey (u, v, z) = exp (ik^/exxmTz) x

(82)

x <! cos

- sin

. ^л/exr

.w^xr „ 2,/Ё

Ey (u, v,0) -

Ex(u, v,0) J.

Если предположить, что изначально поле было линейно-поляризовано вдоль оси х, т.е. Ех (и, ^0) = 1,

Еу (и, v,0) = 0,

то с учётом (82) распределение компонент на различных расстояниях будет выглядеть следующим образом:

Ех (и,V,2) =

( I—

= 1^2exp (iky]exxmxxz)cos

Ey (u,v,z) =

= -12exp (ik>Je xxm xxz)sin

k^E z

(83)

k

что соответствует повороту плоскости поляризации на угол

gVixx",

j = k

2^:

(84)

в частности, поворот на 45° произойдёт на расстоянии, пропорциональном четверти длины волны:

z = 1 vexr

z45° = 4 Ж'

а на 90° - на расстоянии, пропорциональном половине длины волны

z^1^ - (86)

2 gv m xx

Этот эффект вращения плоскости поляризации при распространении носит название эффекта Фара-дея [14, 15, 21].

Заключение

В работе рассмотрен непараксиальный интегральный метод расчёта распространения электромагнитных волн в анизотропных и гиротропных средах. Интегральное выражение для сред с разделимостью продольных и поперечных компонент записано в завершённой аналитической форме. В частных случаях данное интегральное преобразование сведено к аналогу интеграла Рэлея-Зоммерфельда.

Благодарности

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2013 годы» (Государственный контракт №07.514.11.4055), а также грантов РФФИ 10-07-00109-а, 10-07-00438-а и гранта Президента РФ поддержки ведущих научных школ НШ-4128.2012.9.

Литература

1. Ciattoni, A. Circularly polarized beams and vortex generation in uniaxial media / A. Ciattoni, G. Cincotti,

C. Palma // J. Opt. Soc. Am. A. - 2003. - Vol. 20(1). -P. 163-171.

2. Marrucci, L. Optical spin-to-orbital angular momentum conversion in inhomogeneous anisotropic media / L. Marrucci, C. Manzo and D. Paparo // Phys. Rev. Lett. - 2006.

- Vol. 96. - P. 163905-4.

3. Spatially engineered polarization states and optical vortices in uniaxial crystals / T.A. Fadeyeva, V.G. Shvedov, Y.V. Izdebskaya, A.V. Volyar, E. Brasselet, D.N. Neshev, A.S. Desyatnikov, W. Krolikowski and Y.S. Kivshar // Opt. Expr. - 2010. - Vol. 18(10). - P. 10848-10863.

4. Picon, A. Spin and orbital angular momentum propagation in anisotropic media: theory / A. Picon, A. Benseny, J. Mompart and G.F. Calvo // J. Opt. - 2011. - Vol. 13. -P. 064019-064015.

5. Fleck, J.A. Jr. Beam propagation in uniaxial anisotropic media / J.A. Fleck, Jr. and M.D. Feit // J. Opt. Soc. Am. -1983. - Vol. 73(7). - P. 920-926.

6. Ciattoni, A. Vectorial theory of propagation in uniaxially ani-sotropic media / A. Ciattoni, B. Crosignani and P. Di Porto // J. Opt. Soc. Am. A. - 2001. - Vol. 18(7). - P. 1656-1661.

7. Zhao, Y. Spin-to-orbital angular momentum conversion in a strongly focused optical beam / Y. Zhao, J.S. Edgar,

G.D.M. Jeffries, D. McGloin and D.T. Chiu // Phys. Rev. Lett. - 2007. - Vol. 99. - P. 073901.

8. Chen, L. Electro-optically forbidden or enhanced spin-to-orbital angular momentum conversion in a focused light beam / L. Chen and W. She // Opt. Lett. - 2008. - Vol. 33.

- P. 696-698.

9. Khonina, S.N. Controlling the contribution of the electric field components to the focus of a high-aperture lens using binary phase structures / S.N. Khonina, S.G. Volotovsky // J. Opt. Soc. Am. A. - 2010. - Vol. 27, N 10. - P. 2188-2197.

10. Stallinga, S. Axial birefringence in high-numerical-aperture optical systems and the light distribution close to focus / S. Stallinga // J. Opt. Soc. Am. A. - 2001. -Vol. 18(11). - P. 2846-2859.

11. Seshadri, S.R. Beam dynamics of two modes propagating along the optic axis in a uniaxial crystal / S.R. Seshadri // J. Opt. Soc. Am. A. - 2005. - Vol. 22(2). - P. 361-369.

12. Liu, D. Various dark hollow beams propagating in uniaxial crystals orthogonal to the optical axis / D. Liu and Z. Zhou // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. - 2008. - Vol. 10. -P. 095005-095013.

13. Bessel beam transformation by anisotropic crystals /

D.H. Zusin, R. Maksimenka, V.V. Filippov, R.V. Chul-kov, M. Perdrix, O. Gobert and A.S. Grabtchikov // J. Opt. Soc. Am. A. - 2010. - Vol. 27(8). - P. 1828-1833.

14. Ярив, А. Оптические волны в кристаллах / А. Ярив, П. Юх. - М.: Мир, 1987.

15. Потехин, А.И. Излучение и распространение электромагнитных волн в анизотропной среде / А.И. Потехин. - М.: Наука, 1979. - 76 с.

16. Stamnes, J.J. Radiation of electromagnetic fields in uni-axially anisotropic media / J.J. Stamnes and G.C. Sherman // J. Opt. Soc. Am. - 1976. - Vol. 66(8). - P. 780-788.

17. Bleistein, N. Asymptotic Expansions of Integrals / N. Bleistein and R.A. Handelsman. - New York: Holt, Rinehart and Winston, 1975. - P. 340-359.

18. Stamnes, J.J. Double refraction of a Gaussian beam into a uniaxial crystal / J.J. Stamnes, V. Dhayalan // J. Opt. Soc. Am. A. - 2012. - Vol. 29(4). - P. 486-497.

19. Qiu, C.-W. Eigenfunctional representation of dyadic Green's functions in multilayered gyrotropic chiral media / C.-W. Qiu,

H.-Y. Yao, L.-W. Li, S. Zouhdi, T.-S. Yeo // J. Phys. A: Math. Theor. - 2007. - Vol. 40. - P. 5751-5766.

20. Досколович, Л.Л. Интегральные представления решений системы уравнений Максвелла для анизотропных сред / Л.Л. Досколович, Н.Л. Казанский, С.И. Харитонов // Компьютерная оптика. - 2010. - T. 34, № 1. - C. 52-57.

21. Най, Дж. Физические свойства кристаллов и их описание при помощи тензоров и матриц. / Дж. Най. пер. с англ. Л.А. Шувалова // - М.: МИР, 1967.

22. Ciattoni, A. Optical propagation in uniaxial crystals orthogonal to the optical axis: paraxial theory and beyond / A. Ciattoni, C. Palma // J. Opt. Soc. Am. A. - 2003. -Vol. 20(11). - P. 2163-2171.

23. Fadeyeva, T. Non-canonical propagation of high-order elliptic vortex beams in a uniaxially anisotropic medium / T. Fadeyeva, C. Alexeyev, B. Sokolenko, M. Kudryav-tseva and A. Volyar // Ukr. J. Phys. Opt. - 2011. -Vol. 12(2). - P. 62-82.

References

1. Ciattoni, A. Circularly polarized beams and vortex generation in uniaxial media / A. Ciattoni, G. Cincotti, C. Palma // J. Opt. Soc. Am. A. - 2003. - Vol. 20(1). - P. 163-171.

2. Marrucci, L. Optical spin-to-orbital angular momentum conversion in inhomogeneous anisotropic media / L. Marrucci, C. Manzo and D. Paparo // Phys. Rev. Lett. - 2006.

- Vol. 96. - P. 163905-4.

3. Spatially engineered polarization states and optical vortices in uniaxial crystals / T.A. Fadeyeva, V.G. Shvedov, Y.V. Izdebskaya, A.V. Volyar, E. Brasselet, D.N. Neshev, A.S. Desyatnikov, W. Krolikowski and Y.S. Kivshar // Opt. Expr. - 2010. - Vol. 18(10). - P. 10848-10863.

4. Picon, A. Spin and orbital angular momentum propagation in anisotropic media: theory / A. Picon, A. Benseny, J. Mompart and G.F. Calvo // J. Opt. - 2011. - Vol. 13. -P. 064019-064015.

5. Fleck, J.A. Jr. Beam propagation in uniaxial anisotropic media / J.A. Fleck, Jr. and M.D. Feit // J. Opt. Soc. Am. -1983. - Vol. 73(7). - P. 920-926.

6. Ciattoni, A. Vectorial theory of propagation in uniaxially anisotropic media / A. Ciattoni, B. Crosignani and P. Di Porto // J. Opt. Soc. Am. A. - 2001. - Vol. 18(7). -P. 1656-1661.

7. Zhao, Y. Spin-to-orbital angular momentum conversion in a strongly focused optical beam / Y. Zhao, J.S. Edgar, G.D.M. Jeffries, D. McGloin and D.T. Chiu // Phys. Rev. Lett. - 2007. - Vol. 99. - P. 073901.

8. Chen, L. Electro-optically forbidden or enhanced spin-to-orbital angular momentum conversion in a focused light beam / L. Chen and W. She // Opt. Lett. - 2008. - Vol. 33.

- P. 696-698.

9. Khonina, S.N. Controlling the contribution of the electric field components to the focus of a high-aperture lens using binary phase structures / S.N. Khonina, S.G. Volotovsky // J. Opt. Soc. Am. A. - 2010. - Vol. 27, N 10. - P. 2188-2197.

10. Stallinga, S. Axial birefringence in high-numerical-aperture optical systems and the light distribution close to focus / S. Stallinga // J. Opt. Soc. Am. A. - 2001. -Vol. 18(11). - P. 2846-2859.

11. Seshadri, S.R. Beam dynamics of two modes propagating along the optic axis in a uniaxial crystal / S.R. Seshadri // J. Opt. Soc. Am. A. - 2005. - Vol. 22(2). - P. 361-369.

12. Liu, D. Various dark hollow beams propagating in uniaxial crystals orthogonal to the optical axis / D. Liu and Z. Zhou // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. - 2008. - Vol. 10. -P. 095005-095013.

13. Bessel beam transformation by anisotropic crystals / D.H. Zusin, R. Maksimenka, V.V. Filippov, R.V. Chul-kov, M. Perdrix, O. Gobert and A.S. Grabtchikov // J. Opt. Soc. Am. A. - 2010. - Vol. 27(8). - P. 1828-1833.

14. Yariv, A. Optical Waves in Crystals / A. Yariv and P. Yeh.

- New York: Wiley, 1984.

15. Potehin, A.I. Radiation and distribution of electromagnetic waves in the anisotropic environment / A.I. Potehin.

- Moscow: "Nauka" Publisher, 1979. - 76 p.

16. Stamnes, J.J. Radiation of electromagnetic fields in uni-axially anisotropic media / J.J. Stamnes and G.C. Sherman // J. Opt. Soc. Am. - 1976. - Vol. 66(8). - P. 780-788.

17. Bleistein, N. Asymptotic Expansions of Integrals / N. Bleistein and R.A. Handelsman. - New York: Holt, Rinehart and Winston, 1975. - P. 340-359.

18. Stamnes, J.J. Double refraction of a Gaussian beam into a uniaxial crystal / J.J. Stamnes, V. Dhayalan // J. Opt. Soc. Am. A. - 2012. - Vol. 29(4). - P. 486-497.

19. Qiu, C.-W. EigenfUnctional representation of dyadic Green's functions in multilayered gyrotropic chiral media / C.-W. Qiu, H.-Y. Yao, L.-W. Li, S. Zouhdi, T.-S. Yeo // J. Phys. A: Math. Theor. - 2007. - Vol. 40. - P. 5751-5766.

20. Doskolovich, L.L. Integral representations for solutions of Maxwell's equations for anisotropic media / L.L. Doskolovich, N.L. Kazanskiy, S.I. Kharitonov // Computer Optics. - 2010. - Vol. 34, N 1. - P. 52-57.

21. Nye, J.F. Physical proprities of crystals. Their representation by tensors and matrices / J.F. Nye. - Oxford, 1964.

22. Ciattoni, A. Optical propagation in uniaxial crystals orthogonal to the optical axis: paraxial theory and beyond / A. Ciattoni, C. Palma // J. Opt. Soc. Am. A. - 2003. -Vol. 20(11). - P. 2163-2171.

23. Fadeyeva, T. Non-canonical propagation of high-order elliptic vortex beams in a uniaxially anisotropic medium / T. Fadeyeva, C. Alexeyev, B. Sokolenko, M. Kudryav-tseva and A. Volyar // Ukr. J. Phys. Opt. - 2011. -Vol. 12(2). - P. 62-82.

ANALOGUE OF RAYLEIGH-SOMMERFELD INTEGRAL FOR ANISOTROPIC AND GYROTROPIC MEDIA

S.N. Khonina, S.I. Kharitonov Image Processing Systems Institute RAS, S.P. Korolyov Samara State Aerospace University

Abstract

Integral representations of solution of Maxwell equations for anisotropic and gyrotropic media with factorization of longitudinal and transversal components are written in the completed analytical form. In special cases the received integral expressions are transformed to analogue of Rayleigh-Sommerfeld integral.

Key words: anisotropic and gyrotropic media, diffraction, Maxwell equations, plane wave expansion, analogue of Rayleigh-Sommerfeld integral, Faraday effect.

Сведения об авторах

Хонина Светлана Николаевна, доктор физико-математических наук, профессор Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П. Королёва; ведущий научный сотрудник Федерального государственного бюджетного учреждения науки Институт систем обработки изображений РАН. Область научных интересов: дифракционная оптика, сингулярная оптика, модовые и поляризационные преобразования, оптическое манипулирование, оптическая и цифровая обработка изображений. E-mail: khonina@smr.ru .

Svetlana Nikolaevna Khonina, Doctor of Physical and Mathematical Sciences; Professor of the Samara State Aerospace University named after S.P. Korolyov. Leading researcher of the Image Processing Systems Institute of the RAS. Research interests: diffractive optics, singular optics, mode and polarization transformations, optical manipulating, optical and digital image processing.

Харитонов Сергей Иванович, доктор физико-математических наук, доцент кафедры «Техническая кибернетика», старший научный сотрудник лаборатории дифракционной оптики Учреждения Российской академии наук Института систем обработки изображений РАН, . 1984 г. - окончил физический факультет Самарского государственного университета. 1993 г. - защитил кандидатскую диссертацию на тему «Асимптотические методы дифракционного расчёта фокусаторов лазерного излучения». 2010 г. - защитил докторскую диссертацию на тему «Асимптотические методы расчёта дифракции когерентного электромагнитного излучения на дифракционных оптических элементах». Область научных интересов: дифракционная, квантовая оптика, физика плазмы. В списке научных работ С.И. Харитонова 87 статей, 5 авторских свидетельств и патентов.

E-mail: prognoz2007@smail.com .

Sergey Ivanovich Kharitonov, Senior Researcher of Laboratory of Diffractive Optics of Image Processing Systems Institute of RAS, Doctor of Physical and Mathematical Sciences. 1984 - graduated from the Physics Department of the Samara State University. 1993 - defended his dissertation "Asymptotic methods of calculation of the diffraction of laser radiation Focuser" 2010 г. - defended his doctoral thesis on "Asymptotic methods for calculating the diffraction of coherent electromagnetic radiation in diffractive optical elements" Research interests: diffraction, quantum optics, plasma physics. The list of scientific papers SI Kharitonov's 87 articles, 5 patents.

Поступила в редакцию 9 марта 2012 г.