Вопросы устойчивости технических средств обеспечения качества электроэнергии

Планков Александр Анатольевич; Осипов Дмитрий Сергеевич; Лютаревич Александр Геннадьевич; Дед Александр Викторович

УДК «1.316 д. А. ПЛАНКОВ

Д. С. ОСИПОВ А. Г. ЛЮТАРЕВИЧ А. В. ДЕД

Омский государственный технический университет

ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ СРЕДСТВ ОБЕСПЕЧЕНИЯ КАЧЕСТВА ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ

В данной статье определены основные задачи исследования устойчивости технических средств обеспечения качества электрической энергии. Рассмотрены наиболее распространенные критерии устойчивости, проведен их сравнительный анализ. Определен предварительно наиболее подходящий критерий для исследования устойчивости технических средств обеспечения качества электрической энергии.

Ключевые слова: качество электрической энергии, нелинейные системы автоматического управления, линейные системы автоматического управления, методы исследования устойчивости, критерии устойчивости.

Вопрос об энергосбережении и повышении энергетической эффективности в настоящее время приобретает все большую значимость, о чем свидетельствует появление соответствующей нормативной базы [ 1 — 3]. Но прежде чем заниматься энергосбережением, для начала необходимо обеспечить должное качество энергетических ресурсов, в том числе и электрической энергии. Существует немало устройств, которые позволяют добиться снижения потерь от некачественной электроэнергии.

Применение этих устройств позволяет обеспечить значительную экономию электрической энергии, а также повысить качество работы оборудования и увеличить срок его службы.

К техническим средствам обеспечения качества электрической энергии (КЭ) предъявляется ряд требований, одним из которых является устойчивость. Устойчивость является основным качественным свойством системы автоматического управления (САУ).

Под устойчивостью понимают способность динамической системы возвращаться в равновесное состояние (положение равновесия) после окончания действия внешних факторов.

Физически устойчивость означает, что при ограниченном входном воздействии выходной сигнал также является ограниченным, и процессы в системе стремятся к определенному значению при любых начальных условиях [4].

Различают следующие концепции устойчивости:

— устойчивость по выходу (техническая устойчивость) ;

— устойчивость по состоянию (математическая устойчивость).

Разработка новых технических средств обеспечения КЭ — задача не только сложная и трудоёмкая, но и дорогостоящая, поэтому на первоначальном этапе разработчики исследуют режимы работы не физических макетов, а математических и виртуальных моделей конкретных устройств. Таким образом, на этой стадии вопросы исследования устойчивости являются наиболее актуальными.

Задача исследования устойчивости технических средств обеспечения КЭ имеет целью:

— выяснить, устойчиво ли устройство при определенных значениях его параметров;

— в случае неустойчивости устройства определить, может ли быть обеспечена устойчивая работа САУ выбором ее параметров и как эти параметры должны быть выбраны;

— найти область значений параметров, в пределах которых устройство устойчиво. Это необходимо для того, чтобы выяснить, в каких пределах можно изменять параметры САУ для придания ей требуемых динамических свойств, не нарушая устойчивости технических средств обеспечения КЭ.

По способу математического описания процессов автоматического управления все устройства обеспечения КЭ можно классифицировать следующим способом [5]:

— с нелинейной САУ;

— с линейной САУ.

В случае линейной системы устойчивость устройств определяется только ее структурой и параметрами и не зависит от величины внешних воздействий и начальных условий [4].

Для всех линейных систем можно сделать следующие общие выводы [6]:

— устойчивость невозмущенного движения не зависит от того, какое движение системы принято в качестве невозмущенного;

— невозмущенное движение системы устойчиво, если устойчиво ее свободное движение;

— устойчивость невозмущенного движения не зависит от вида и характера изменения внешних (задающего и возмущающих) воздействий.

Нелинейной системой автоматического управления называется такая система, которая содержит хотя бы одно звено, описываемое нелинейным уравнением [б].

Свойство устойчивости технических средств обеспечения КЭ с нелинейной системой зависит от начальных условий и внешних воздействий: при одних

входных сигналах работа устройства будет устойчивой, а при других — будет становиться неустойчивой.

Устойчивость нелинейной САУ означает, что малые изменения входного сигнала и возмущений, начальных условий или параметров объекта не выведут выходную переменную за пределы достаточно малой окрестности точки окрестности или предельного цикла. Поскольку для устройств с нелинейной САУ могут существовать несколько положений равновесия, то анализировать устойчивость следует в окрестности каждого из них [4].

Методы исследования устойчивости устройств с нелинейной САУ существенно отличаются от методов анализа устройств с линейной САУ. В первую очередь это связано с тем, что свойство устойчивости нелинейной системы зависит от начальных условий и внешних воздействий. Наиболее распространенными методами исследования устойчивости нелинейных систем являются [7]:

— первый метод Ляпунова;

— второй метод Ляпунова.

Первый метод Ляпунова является одним из самых распространенных. Он предусматривает исследование поведения системы по аппроксимированной (линеаризованной) модели.

Однако одним из наиболее эффективных способов исследования устойчивости является второй метод Ляпунова [4] (часто его также называют прямым методом Ляпунова), который не требует решения дифференциального уравнения. Метод основан на идее замены анализа решений нелинейных уравнений произвольного порядка на оценку свойств этих решений с помощью скалярного дифференциального неравенства. Таким образом, суть второго метода Ляпунова сводится к оценке изменения некоторой функции координат состояния системы вдоль траекторий движения, которую для простоты называют функцией Ляпунова.

Значения выходных параметров технических средств обеспечения качества электрической энергии должны быть постоянными и удовлетворять требованиям действующих стандартов независимо от значений входных параметров, поэтому такие устройства можно рассматривать как линейные.

Если поведение линейных технических средств обеспечения КЭ можно описать системой

Гш

х = Ах + Bu, хе Rn, ue Rm, I у = Cx, ye Rm, n>m ,

(1)

A(p) = Pn + anpn"1 + ... + a2p + a, = 0,

(2)

Re

Рис. 1. Распределение корней устойчивой системы

и характеристическое уравнение этой системы имеет вид

то для устойчивости системы (1) необходимо и достаточно, чтобы вещественная часть всех собственных значений матрицы А (корней характеристического уравнения) была отрицательной [4] (рис. 1), т.е.

Рис. 2. Процесс в системе с «мнимыми» корнями

венную часть, и процессы имеют вид незатухающих колебаний (рис. 2).

Однако необходимое и достаточное условие удобно применять для анализа устойчивости устройств только в том случае, когда система, описывающая процессы в определенном устройстве, невысокого порядка. Для проверки устойчивости устройств, процессы в которых описываются системой произвольного порядка, разработаны критерии устойчивости, которые позволяют по характеристическому уравнению определить, находятся ли корни характеристического уравнения на мнимой оси или в правой половине комплексной плоскости [4].

Наиболее распространенными являются следующие критерии устойчивости [4,8 — 9]:

— критерий устойчивости Гурвица;

— критерий устойчивости Михайлова;

— критерий устойчивости Найквиста;

— критерий устойчивости Рауса;

— критерий устойчивости Вышнеградского.

Критерий устойчивости Гурвица является математическим и связывает расположение корней характеристического уравнения с определенными условиями, которые накладываются на его коэффициенты [10].

При использовании критерия Гурвица при анализе устойчивости предварительно составляется матрица Гурвица из коэффициентов характеристического уравнения (2).

Матрица Гурвица составляется по правилу: на главной диагонали сверху вниз выписываются по порядку коэффициенты характеристического уравнения от ап до а1 включительно. В каждом столбце вниз от диагонали записываются коэффициенты при возрастающих степенях оператора р, вверх — при убывающих степенях р. Недостающие элементы в столбце дополняются нулями.

В результате получим квадратную матрицу вида

Repg<0, i=l,n.

(3)

Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости плоскости корней, то система будет неустойчивой. Мнимая ось представляет собой границу устойчивости системы (1): при расположении комплексно-сопряженных корней на этой оси система находится на границе устойчивости, при этом все остальные корни имеют отрицательную вещест-

«л а„-2 • 0 0

1 ап-1 • 0 0

0 ап 0 0

0 0 . а2 0

0 0 • «3 а,

Н =

где размерность матрицы пхп.

Формулировка критерия устойчивости Гурвица [4]: для устойчивости линейной САУ необходимо и достаточно, чтобы все п диагональных миноров, полученных из матрицы Гурвица Н, были положительны

Д.>0,1=1, п. (5)

где А1 — определители Гурвица, которые составляются следующим образом:

Для анализа устойчивости системы предлагается исследовать характеристический комплекс Р(]оо), который получается из характеристического полинома [4]

Б (р) = рп + апрп_1 + ... + а2р + а1, (9)

заменой р на ^со и имеет вид

БЦ©) = Ц со)" + а^оа)11-1 +... + а2(]со) + аг (10)

Выделим в (10) вещественную и мнимую части, а также модуль и фазу:

БЦсо) = 1усо) +]1Р(со) = АР(со)е]ШРИ. (И)

«л ап-2 «п-4

А3 = сМ 1 ал-1 ап-3

0 ап «л-2

Ап = йе1Н = а1Ап_1.

Поскольку определитель (п— 1)-го порядка должен быть положительным, последнее условие должно соответствовать требованию а}>0.

Следствием критерия является условие границы устойчивости, когда последний определитель Гурвица обращается в нуль

Дп (1еШ = 0^,-1 =0,

А,. ) 0, / = 1,(л — 1).

Это условие распадается на два. Одно из них

а, =0, А,. > 0, / = 1,(л — 1).

соответствует полюсу, равному нулю. Второй случай условия (6) имеет вид

Дл-, = а_

А, ) 0, г = 1,(л-1). М

При этом характеристическое уравнение системы содержит два комплексно-сопряженных корня, расположенных на мнимой оси плоскости корней.

На практике критерий Гурвица обычно применяют для проверки устройств, математические процессы в которых описываются системами уравнений невысокого порядка, так как при высоком порядке условия устойчивости (5) становятся очень громоздкими.

Достоинства критерия устойчивости Гурвица [11]:

— простота использования (для уравнений не выше шестого порядка);

— наличие аналитической связи между параметрами системы и условиями устойчивости.

Недостатки критерия устойчивости Гурвица:

— громоздкость исследования сложных систем (выше шестого порядка);

— трудность оценки влияния отдельных параметров на устойчивость системы;

— трудность оценки качества работы системы.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Критерий устойчивости Михайлова базируется

на принципе аргумента функции комплексной переменной.

При конкретном численном значении частоты (со = со^ характеристический комплекс (11) представляет собой комплексное число РЦсо^, которое можно изобразить на плоскости в виде вектора, соединяющего начало координат с точкой {Б^Р.(со1); ¿1рг(со1)}.

При изменении со от 0 до конец вектора РЦсо) выписывает на комплексной плоскости некоторую кривую, которую называют годографом Михайлова (рис. 3). Причем начинается годограф, как следует из соотношения (10), в точке с координатами {а,; ДО}.

Формулировка критерия устойчивости Михайлова [4]: для устойчивости линейной САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении со от 0 до ©о начинался на вещественной оси в точке а1 и проходил последовательно против часовой стрелки п квадрантов комплексной плоскости, не обращаясь в нуль и стремясь к в п-м квадранте.

Условием границы устойчивости является обращение в нуль годографа Михайлова при некотором значении частоты (со = со0). Аналитически это условие можно записать в виде

^ (со0) =0,

(12)

усо0)=0.

Достоинства критерия устойчивости Михайлова:

— наглядность.

— простая геометрическая интерпретация;

— отсутствие ограничений на порядок дифференциального уравнения.

На практике наиболее широкое применение по сравнению с критерием Михайлова получил критерий Н. Найквиста [4], который был разработан для проверки устойчивости усилителей с отрицательной обратной связью, а затем обобщен на другие электронные устройства.

Критерий Найквиста позволяет определить устойчивость электронных устройств, системы управления которых являются замкнутыми, т.е. системы с обратной связью. При этом обратная связь таких систем является отрицательной. Устойчивость определяется по экспериментально снятой или полученной на основе передаточной функции амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы.

Формулировка критерия устойчивости Найквиста [4]: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика устойчивой разомкнутой системы при изменении со от 0 до не охватывала точку с координатами { — 1; ДО}.

Примеры расположения частотных характеристик, соответствующих устойчивой и неустойчивой замкнутым системам, представлены на рис. 4.

Im *

/ A¡ Re

Рис. 3. Пример годографа Михайлова

Im , / X . / >

0

Re

ЩМ)

Рис. 4. Иллюстрация критерия Найквиста: 1 - устойчивая замкнутая система; 2 - неустойчивая замкнутая система

Разомкнутая система может быть неустойчива, однако это не означает, что неустойчивой будет и замкнутая система. В этой ситуации следует использовать видоизмененную формулировку критерия Найквиста: замкнутая система будет устойчива тогда и только тогда, когда амплитудно-фазовая характеристика неустойчивой разомкнутой системы при изменении со от 0 до оо охватывает точку с координатами

Достоинства критерия устойчивости Найквиста:

— наглядность.

— простая геометрическая интерпретация;

— отсутствие ограничений на порядок дифференциального уравнения.

Исследуя системы на устойчивость методом Рауса, необходимо составить таблицу Рауса. Элементами ее первой строки являются четные коэффициенты характеристического уравнения, начиная с а0, а элементами второй строки — нечетные коэффициенты, начиная с аг Элементы последующих строк вычисляют по соответствующим формулам [8].

Формулировка критерия устойчивости Рауса [8]: для устойчивости линейной САУ необходимо и достаточно, чтобы все элементы первого столбца таблицы Рауса имели одинаковый знак.

При наличии отрицательных элементов в первом столбце таблицы Рауса система неустойчива. Число таких элементов равно числу корней характеристического уравнения с положительной вещественной частью. Если один из элементов первого столбца таблицы Рауса равен нулю, а остальные элементы положительные, то система находится на границе устойчивости — характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней.

Достоинства критерия устойчивости Рауса:

— критерий прост в использовании независимо от порядка характеристического уравнения;

— удобен для использования на ЭВМ.

Недостатки критерия устойчивости Рауса:

— малая наглядность;

— трудно судить о степени устойчивости системы, насколько далеко отстоит она от границы устойчивости;

— область применения критерия ограничена цепями с сосредоточенными параметрами, поскольку только для них передаточная функция выражается через многочлены;

— критерий не дает ясных указаний на то, как из неустойчивой цепи сделать устойчивую.

Критерий устойчивости Вышнеградского относится к математическим критериям. Он разработан для исследования систем, описываемых уравнениями третьего порядка. Построение диаграммы Вышнеградского с указанием областей устойчивости позволяет отнести критерий Вышнеградского к более общему методу — построению областей устойчивости. Характеристическое уравнение системы предварительно преобразуется так, чтобы коэффициент перед третьей производной был равен единице. Также вводятся обобщенные коэффициенты (координаты) Вышнеградского.

Формулировка критерия устойчивости Вышнеградского [9]: линейная САУ будет устойчива, если произведение обобщенных коэффициентов Вышнеградского больше единицы, в противном случае система будет неустойчивой.

При условии равенства единице произведения обобщенных коэффициентов Вышнеградского система находится на границе устойчивости.

Проведя сравнительный анализ наиболее распространенных критериев устойчивости, стоит отметить большое практическое преимущество критерия Найквиста: амплитудно-фазовая характеристика или логарифмическая частотная характеристика САУ могут быть получены не только расчетным путем при заданной передаточной функции системы, но и сняты экспериментально при наличии уже созданной САУ в целом или отдельных ее устройств. Это особенно важно тогда, когда достоверность исходных дифференциальных уравнений по тем или иным причинам вызывает сомнение. Также при использовании критерия Найквиста можно оценить количественно близость устойчивой САУ к границе неустойчивости и близость неустойчивой САУ к устойчивому состоянию.

Учитывая преимущества критерия устойчивости Найквиста по сравнению с другими наиболее распространенными критериями устойчивости, предварительно можно считать этот критерий наиболее подходящим для исследования устойчивости технических средств обеспечения КЭ.

Библиографический список

1. Федеральный закон Российской Федерации от 23 ноября 2009 г. № 261-ФЗ «Об энергосбережении и о повышении энергетической эффективности и о внесении изменений в отдельные законодательные акты Российской Федерации». [Электронный ресурс]. — URL : http : / / www. energosovet. ru / npbl 189. html (дата обращения: 08.10.10).

2. Постановление Правительства Российской Федерации от 31 декабря 2009 г. N 1225 « О требованиях к региональным и муниципальным программам в области энергосбережения и повышения энергетической эффективности» [Электронный ресурс]. — URL: http : / / www. energosovet. ru / npbl 193. html (дата обращения : 08.10.10).

3. Постановление Правительства Российской Федерации от 1 июня 2010 г. N 391 «О порядке создания государственной информационной системы в области энергосбережения и повышения энергетической эффективности и условий для ее функционирования» [Электронныйресурс]. — URL: http : / / www. energosovet. ru / npbl203. html (дата обращения : 08.10.10).

4. Востриков, А. С. Теория автоматического регулирования: Учеб. пособие для вузов / А. С. Востриков, Г. А. Французова. -М. : Высш. шк,, 2004. - 365 с.

5. Никулин, Е. А. Основы теории автоматического управления. Частотные методы анализа и синтеза систем : учеб. по-

собие для вузов / Е. А. Никулин. — СПб.: БВХ-Петербург, 2004. — 640 с.

6. Бесекерский, В. А. Теория систем автоматического управления / В. А. Бесекерский, Е. П. Попов. — Изд. 4-е, перераб. и доп. — СПб.: Изд-во «Профессия», 2004. - 752 с.

7. Мирошник, И. В. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы / И. В. Мирошник — СПб. : Питер, 2006. -272 с.

8. Макаров, И. М. Линейные автоматические системы (элементы теории, методы расчета и справочный материал) / И. М. Макаров, Б. М. Менский. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Машиностроение, 1982. — 504 с..

9. Куропаткин, П. В. Теория автоматического управления : учебн. пособие для электротехн. специальностей вузов / П. В. Куропаткин — М.: Высш. школа, 1973. — 528 с.

10. Мирошник, И. В. Теория автоматического управления. Линейные системы / И. В. Мирошник. — СПб.: Питер, 2005. — 336 с.

11. Теория автоматического управления : учеб. пособие для вузов/Е. АСанковский [и.др.]. — М.:Высш.школа», 1977. — 448с.

ПЛАНКОВ Александр Анатольевич, аспирант, ассистент кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий».

ОСИПОВ Дмитрий Сергеевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий».

ЛЮТАРЕВИЧ Александр Геннадьевич, кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий». ДЕД Александр Викторович, старший преподаватель кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий».

Адрес для переписки: e-mail: mail_tochka_ru@ mail.ru

УДК «1.382 н. Д. ШЕЛКОВНИКОВ

Д. Н. ШЕЛКОВНИКОВ

Омский государственный технический университет

СПОСОБ И УСТРОЙСТВО АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ ЗАЩИТЫ ЛЭП ОТ СНЕЖНО-ЛЕДОВОГО ПОКРЫТИЯ_

Вниманию предложен иной способ удаления гололедных образований с проводов линий электропередачи путем воздействия на них мощных импульсов тока, вызывающих, соответственно, термодинамические удары, которые являются определяющим условием для «сброса» подтопленного гололеда.

Сущность автоматизации защиты ЛЭП от гололеда состоит в том, что посредством автономных мониторингов, установленных на опорах линий электропередачи, по УКВ радиоканалу сообщается в диспетчерский пункт цифровой код с указанием координат, вида аварийной ситуации и команды на автоматическое включение системы защиты. Приведены энергетические расчеты.

Ключевые слова: линия электропередачи (ЛЭП), плавление гололедных образований на ЛЭП, диагностика ЛЭП.

Данная работа посвящена актуальной идее удаления снежно-ледового покрова с проводов высоковольтных линий электропередачи (АЭП), не прерывая подачи электроэнергии потребителям. По результатам исследований литературных и патентных источников выявлен ряд технических решений по защите ЛЭП от гололёда.

Так, предложено механическое устройство Берн-гардта, представляющее собой устройство в виде облегающего провод контейнера-очистителя с осевым отверстием, постановочной прорезью и отверстиями в боковых стенках для механической ломки и удаления с проводов льда, приводящегося в действие за счёт ветряных лопастей. Это устройство уникально по содержанию инженерного замысла, однако, по причине сложности технического обслуживания их боль-шого количества, данный способ не нашёл приме-I нения.

Проанализирован способ удаления гололеда при пропускании фазного тока короткого замыкания по проводам линии электропередачи. При этом способе удаления гололёда необходимо прерывать подачу электроэнергии потребителю. Поскольку ток короткого замыкания, используемый в данном способе, является аварийным режимом для линии электропередачи, то такой способ защиты линий электропередачи не нашёл широкого применения.

Наиболее заслуживающим внимания способом удаления гололёда с проводов электропередачи является способ, при котором по проводам расщепленной фазы пропускают переменный ток с частотой, близкой к механическому резонансу проводов [ 1 ]. Основной недостаток данного способа состоит в том, что проводные линии при пропускании по ним переменного тока очень низкой частоты, образуют колебательную систему, которая может на отдельных пролё-

Problems of stability of technical means providing quality of electricity

Текст научной работы на тему «Вопросы устойчивости технических средств обеспечения качества электроэнергии»