CC BY
60
Вэй Ян Лвин
Национальный исследовательский университет (МИЭТ), Москва, Россия,
waiyanlwin49@gmail . com
Исследование устойчивости системы управления беспилотным летательным аппаратом алгебраическими методами
В работе представлены результаты поисковых исследований устойчивости системы беспилотного летательного аппарата,
направленные на разработку адекватных средств анализа их устойчивости. Линеаризацию данной модели произведем, выделив ряд эталонных режимов полета. Для каждого режима полета существуют максимальные значения углов тангажа и крена, которые БЛА не должен превышать. Данные ограничения зависят как от аэродинамических свойств планера, так и от требований технического задания.
Для данных режимов полета некоторые угловые скорости и угловые ускорения в связанной системе координат меняются несущественно, поэтому их влияние на gx ,gy может быть учтено в контуре управления как постоянные множители для каждого режима полета. Таким образом, представляется возможным заменить нелинейную модель бесплатформенной гировертикали (БГ) ее эквивалентной линейной моделью для каждого режима полета, а влияние сигналов на проекции
вектора & описать следующими передаточными функциями Шх(р),
по каждому каналу.
Рис.1 Структурная схема системы управления углом тангажа а.
(1)
ут ~ ^{чг^уг^уш^ , (2)
где УУх(р), Шу(р), - передаточные функции по каналам проекций ^ , ду, соответственно, 1Лву- блок вычислительноого устройства, ^-ы-блок беспилотного летательного аппарата(БЛА) ^«-блок обратной связи;** £у-отклонения. Сравниваются сигналы задающих углов х,у и работающих а, /?, вычислительное устройство получает сигнал, и формирует сигнал управления беспилотным летательным аппаратом(БЛА). По цепи обратной
связи передаётся сигнал угла а, в на сравнивающее устройство.
Рис.2 Структурная схема системы управления углом крена в.
Правила преобразования передаточной функции замкнутой системы автоматического управления (САУ) с обратной связью могут быть представлены выражением (1),(2). На рис. 1 и 2. представлены структурная схема и передаточная функция системы автоматического управления (САУ) для управления углом тангажа а и углом крена р.
Коэффициенты передаточных функций определяются выражениями (1) и (2). Таким образом, подставляя в зависимости (1) и (2) значения проекций угловых скоростей ш Шу, соответствующих необходимому режиму полета, можно получить линейную корректирующую функцию для этого режима. В такой ситуации большое значение имеют методы, позволяющие, не решая само характеристическое уравнение, определить, будут ли все его корни иметь отрицательную действительную часть, т.е. установить устойчивость системы. Одним из таких методов является критерий Рауса-Гурвица, который содержит необходимые и достаточные условия устойчивости системы.
Рассмотрим снова характеристическое уравнение
н„н" + о^71-1 + а2аж~2 + ■■ + а^а + ап = О,
описывающее динамическую систему. Заметим, что необходимое условие устойчивости выполняется, если все коэффициенты уравнения а;> 0. Поэтому далее считаем, что коэффициент ао > 0. Запишем так называемую матрицу Гурвица. Она составляется следующим образом. Главная диагональ матрицы содержит элементы аь а2, ..., ап. Первый столбец содержит числа с нечетными индексами аь аз, а5, .... В каждой строке индекс каждого следующего числа (считая слева направо) меньше на 1 индекса предыдущего числа. Все остальные коэффициенты ai с индексами больше п или меньше 0 заменяются нулями. В результате получаем матрицу, представленную на рисунке 3.
В соответствии с критерием устойчивости Рауса-Гурвица: Для того, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы Гурвица были положительны при условии ао > 0 :Дх > 0, Д2 > 0, ..., Дп > 0. Поскольку Дп = ап Ап -1, то последнее неравенство можно записать как ап > 0. Критерий устойчивости Рауса-Гурвица относится к семейству алгебраических критериев. Его удобно
применять для анализа устойчивости систем низкого порядка.
Г,
0 0 0 0
а2 а\ 0 0 0
а4 а3 а2 а1 0
0 0 0 0 0 0
(2.
\ ■ л/
Рис.3. В результате получаем матрицу
Исследовать на устойчивость нулевое решение х=0 уравнения
х™ +- 5дггг + 13*" + 19х' + Ю.т = О
Составляем характеристический многочлен
/Ы = аЛ + 5а3 + 13а" 4- 19а + 10 = 0
Здесь ао = а1 = а2 = 13, а3 = 19, а4 = 10.Выписываем диагональные миноры Гурвица
5 10 0
5 1 I _ _ „ . _ Л Л : _ _ п , _ 19 13 5 1
О 10 19 13 0 0 0 10
Итак, 0 Л2> о,Дг> о,Д4> о,Следовательно, тривиальное решение у = 0 уравнения асимптотически устойчиво.
Вычисление можно, например, организовать так. Составляем сначала старший минор Гурвица Ап. По нему легко выписываются все младшие миноры Затем начинаем вычислять последовательно Л1-Л2 и т д.
Если встретился отрицательный минор, решение неустойчиво и дальнейший подсчет не нужен.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение п-го порядка с
А, = 5 > 0,Д- =
19 13
= 46 > 0,Д,=
5 10 19 13 5 0 10 19
= 424 > О, ¿4=
= 4240 > 0,
постоянными вещественными коэффициентами
№
+ в1Ус~-ц+... + впУ = а
Его характеристическое уравнение /СО = нвл" + а1хп~'1 + ■■ + ^ = о.
Критерий Михайлова позволяет решить вопрос о расположении корней характеристического уравнения на комплексной плоскости и, следовательно, решить вопрос об устойчивости нулевого решения уравнения. Полагая А=1оо, = _ »Сш), Где
Величину /(ш) при заданном значении параметра ы можно изобразитьв виде вектора на комплексной плоскости с началом в начале координат.
При изменении и в интервале (—°°> конец этого вектора опишет некоторую кривую так называемую кривую Михайлова рис.4. Так как функция четная, то кривая Михайлова симметрична относительно оси Ои и поэтому достаточно строить часть кривой, отвечающую изменению параметра и от 0 до +оо.
Рис.4. Характеристическую кривую Михайлова
Если многочлен .'|<л-1 степени имеет корней с положительной вещественной частью и п—т корней с отрицательной, то угол ^
поворота вектора при изменении о? от 0 до +оо равен ^ ^
Ясно, что для устойчивости решения уравнения необходимо и достаточно, чтобы т = 0.
уравнения
У"+У™ +4у" +у'+у =0. Составляем характеристический многочлен = л1 -н л- + 4л- -н л -н 1. Далее,
/ ^ ш)=ш —i ш — 4 ш + ^ ш+1,
и (СО)=СО4-42 + 1 ,
V (О)) = О)'' + (0 = О) (1 — 0.)) (1 + со).
Посмотрим кривую рис
и = иСш),
■ 6{" =
О < он < -и».
ш у ¡2-42 1
и 1 0 -2 0
V 0 3 0 -
Угол поворота радиуса-вектора 2 2. Отсюда
п — 2т = 4 и так как п = 4, то т = 0, т.е. все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости. Значит, тривиальное решение асимптотически устойчиво.
Рис.6. Графические характеристики устойчивости
Рассмотренные режимы полета являются частными случаями движения беспилотного летательного аппарата. В общем виде, используя
передаточные функции (р), ^у (р) и учитывая значения угловых скоростей Ыу Шz можно использовать бесплатформенную гировертикаль (БГ) на всех режимах полета (не выделяя типовые режимы), а также для полета при возникновении сильных воздушных возмущений.
Представление систем с переменным входа-выхода имеет в основном технические преимущества: исследователь имеет дело с физическими переменными не только в конечном результате, но и на промежуточных этапах, и зачастую имеет возможность сопровождать теоретическое исследование экспериментом. Но при таком представлении математические описания различных систем и блоков даже в линейном случае получаются разнотипными в зависимости от порядков числителей и знаменателей их передаточных функций.
Более единообразное и удобное по форме математическое описание динамических систем с помощью дифференциальных уравнений можно получить, если ввести вместо некоторых (или всех) выходных переменных
у() другие переменные )6 я", получившие название переменных состояния. Описание системы в этих переменных дается системой дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно первых производных, т. е. уравнений в форме Коши:
X(г) = Лл(г) + Ви(Г) Х0(Г) = х(Г0), г = (¿0,да) , (3)
где х(г) = \х1() х2() ••• хп) хп- вектор состояний объекта управления;
XX X _
компоненты вектора - переменные состояния.
Л - матрица размерности (п " п) с элементами:
Л = , г = 1, п, j = 1, п}
В - вектор-столбец размерности (пх1) с элементами:
В = Ь, г = 1, п}.
Эта форма имеет ряд преимуществ с точки зрения аналитических исследований: она позволяет облегчить и унифицировать доказательства ряда теорем, получить однотипные алгоритмы для исследований и вычислений динамических показателей в системах различных порядков и т. д.
Уравнения (3) и (4) должны быть эквивалентными в том смысле, что, зная решение одного из них, можно однозначно получить решение другого. Для этого переменные х(г) и у^г) должны быть, прежде всего, связаны однозначной функциональной зависимостью:
у (г) = стх(г). (5)
Должны также выполняться условия существования решений, а для большинства практических задач также условия их единственности. Число переменных состояния х,(£) должно равняться порядку п уравнения (в линейном случае — порядку знаменателя передаточной функции.) Условия существования и единственности решений выполняются, если и(£) -кусочно-непрерывные функции, а функции У О удовлетворяют условиям Коши — Лифшица.
Переход от уравнений с переменными входа-выхода к уравнениям с переменными состояния неоднозначен: выполняя различные преобразования, для одной и той же системы можно получать различные значения матриц в, соответствующие различным базисам векторного пространства состояний.
Рассмотрим нормальную форму, в основе которой лежит
преобразование у(г) = х1(г). В соответствии с данным преобразованием другие элементы уравнения (4) имеют вид:
у(г) = хх(г),
йу(г)
йг й2 у(г) йг2
= х2(г) = х^г),
= х3(г) = 5с 2(гX
йп-1 у (г)
йг йпу (г) йгп
— = хп(г) =х п-1(гX
= х п (г).
(6)
йуп (г)
Разрешив последнее уравнение из (3) относительно йг" и записав уравнения (3) через переменные х (г1 = 1 п, можно получить систему:
X2(t) = ), Xз(t) = X 2 (Г),
Хп Ц) = Xп_1^),
ёпуа)
dn_1 у (t) dn_2 у(1) = X п (о = _а ^ _ «2
dt
dt
п_2
dy(t) , , ч
._ ап_1—--апу^) + Ьи().
dt
-X1(t) = Лг^),
X2 () — Xз (t),
Xn_1(t) = Хп ^),
dn_1 y(t) dn_2 y(t)
Xí п ^) = _а1 — а2-г--••• _ а
dy(t)
dtn-í ' dtn_2 "' ^ dt
Система дифференциальных уравнений (4) первого порядка представляет собой математическую модель в пространстве состояний. Матричную форму системы (4) можно получить, введя в рассмотрение
вектор переменных состояний ^) = ^^) ■>с ) ••• _l(t) :сп(t)\ :
О
_ апУ() + Ьи^)•
(7)
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
- -«1
+
ЫХ) = [1 0 ... (>)
Введя обозначения:
А-
можно переписать (5):
\Щ) = Ах(г) +
\уИ) = стхИ)
(8)
0 1 0 0
0 0 0 0
0 "' 0....... 0 1
"аи
В-
</ = [I о ... 0|,
*0(О = *(*,,)> г = (г0,св)
где Ь- непрерывное время; Ьо - начальное время;
х(*)е -вектор состояний объекта управления; и(г) е Е} - управление;
А - матрица размерности (п " п) с элементами:
А = , г = 1, п, j = 1, п}
>
В - вектор-столбец размерности (пх1) с элементами:
в = , г = 1п }
с - вектор наблюдаемости.
Система является матричной формой описания математической модели объекта в пространстве состояний.
Для нашего случая переход от математической модели вида выглядит следующим образом:
х(0 = Ах: (¡Г) + 31,1.(1.),
о
0 1 0 в = 0
А = 0 0 1 Ь . СТ = |1 0 0
— а3 — а2 — а1 ; ; ,
а3 = 0; а2 = -1/Т2; а1 = — -2(Т/Т2; Ь = кТ.
(10) (11)
где
При решении поставленной задачи в структуре контура САУ БПЛА наиболее удобно использовать аналоговую, линеаризованную модель БГ. Единственным цифровым элементом указанной системы является блок, реализующий фильтр Винера, т.к. он основан на рекуррентной зависимости:
Х+1 = X " о, + X, + к(А+1 - X " о, - X)
,
где г е N - шаг работы фильтра Винера;
(12)
X, =
ёх,г ё
y, 1
, Г
вектор оцененных значений вектора
ускорения свободного падения земли
'У
Г.
ё ё ё §
ох,оу,°2 - проекции вектора 5 на оси связанной системы координат; ) .
шаг дискретизации курса вертикали;
о
г = [ю х , г
ю
У, г
ю,
Г
показания ДУС на /-ом шаге работы
фильтра Винера;
Юх,юу, юг - проекции вектора угловой скорости вращения БПЛА на оси связанной системы координат;
K =
'k 0 0 0k0 00k
Ai = [nx
n
- коэффициент передачи фильтра Винера; к = const;
T
nz i
2,11 - показания акселерометров на /-ом шаге
работы фильтра Винера;
п п п
х' у' 2 - проекции вектора кажущегося ускорения БПЛА на оси связанной системы координат;
Для того чтобы получить аналоговую модель системы перепишем
X
i+1
^ + К X, = ( X, "О, )(1 — к)+к А+1 выражение (3) в виде: х х х .
Переходя к пределу при х ^0, получим дифференциальное уравнение аналоговой модели БГ:
d) + KX, = (Xi хЦ)(1 - K)+ KA
ax x x
(13)
Используя уравнение (3), легко получить структурную схему аналоговой модели БГ (Рис.3)
Рис. 3. Структурная схема аналоговой нелинейной модели БГ
Т = — к' = —(1 — К)
к ; КК \ (14)
Блок вычисления углов определяет углы тангажа и крена по
известным зависимостям:
а = нrctgx
Д = arctg
tl
Ls.vJ
(15)
; - ■ - проекции вектора g на оси
где а,|3- углы тангажа и крена, связанной системы координат.
Линеаризацию данной модели произведем, выделив ряд эталонных режимов полета. Для каждого режима полета существуют максимальные значения углов тангажа и крена, которые БПЛА не должен превышать. Данные ограничения зависят как от аэродинамических свойств планера, так и от требований технического задания. Для БПЛА TwmStarП значения углов приведены в табл. 1.
Таблица 1 - Режимы полета БПЛА TwinStarII
Режим полета Значение изменения входного сигнала
Тангаж Крен
Набор высоты [0...20] г238г-| [ 935]
Прямолинейный полет [-2...10] г238г-| [ 935]
Плоский разворот [-2.10] [25]
Координированный разворот [-5.10] [225]
Посадка [-15.2] [25]
Для данных режимов полета некоторые угловые скорости и угловые ускорения в связанной системе координат меняется несущественно, поэтому их влияние на g* ,gy, gz может быть учтено в контуре управления как постоянные множители для каждого режима полета.
В данной работе мы разработали условия устойчивости системы управления беспилотным летательным аппаратом, путем линеаризации полной системы дифференциальных уравнений, описывающих динамику объекта управления с учетом вида движения и режима полета в двух направлениях. Также при использовании сигналов с ДУС при расчете коэффициентов корректирующих передаточных функций, можно использовать БГ не выделяя типовые (эталонные) режимы полета.
Литература
1. В.А. Боднер. Система управления летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1973.
2. М. Н. МАШНИН. Компенсация ускорений, действующих на систему ориентации на борту малоразмерного беспилотного летательного аппарата. ФБГОУ ВПО Тульский государственный университет, Тула ,1985.
3. В.Г. Воробьев, С.В. Кузнецов. Автоматическое управление полетом самолетов. М.: «ТРАНСПОРТ» 1995.
