CC BY
74
УДК 519.977.1 ББК 30
Н.В. МАТРОСОВА, ИГ. СИДОРКИНА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ВУЗА НА ОСНОВЕ МЕХАНИЗМА САМОРЕГУЛЯЦИИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Ключевые слова: устойчивость, динамические системы, образовательное учреждение высшего профессионального образования, механизмы саморегуляции, корневой критерий устойчивости, критерий Рауса-Гурвица, методы Ляпунова.
В настоящее время большое внимание уделено развитию механизмов саморегуляции деятельности образовательных учреждений (ОУ) высшего профессионального образования. Одним из таких механизмов является механизм обеспечения устойчивости функционирования ОУ как динамической системы управления с точки зрения основных характеристик его деятельности. Одними из способов оценки устойчивости ОУ являются корневой критерий, критерий Рауса-Гурвица и второй метод Ляпунова. Использование оценки устойчивости ОУ как механизма саморегуляции его деятельности позволит провести анализ текущего функционирования ОУ как динамической системы, а также на основе полученных результатов проводить коррекцию принимаемых управленческих решений. Целью работы является анализ математической категории устойчивости в применимости к функционированию образовательного учреждения как динамической системы управления и использовании ее при принятии управленческих решений. В работе использованы следующие методы теории дифференциальных уравнений, методы теории автоматического управления. Математическая категория устойчивости может быть применена к оценке функционирования образовательного учреждения высшего профессионального образования. С этой целью могут быть использованы методы оценки устойчивости, применяемые в системах автоматического управления. Обосновано, что оценка устойчивости деятельности вуза на основе математических методов может быть использована при принятии управленческих решений.
N. MATROSOVA, I. SIDORKINA DETERMINATION OF FUNCTIONING STABILITY OF HIGHER EDUCATION INSTITUTION ON THE BASIS OF SELF-CONTROL MECHANISM OF DYNAMIC SYSTEM Key words: stability, dynamic systems, higher education institution, self-control mechanism, root criterion of stability, criterion of Raus-Gurvits, methods of Lapunov.
Nowdays much attention is paid to development of mechanisms of self-control of activity of higher education institutions. One of such mechanisms is the mechanism of ensuring functioning stability of high schools as dynamic control system concerning the main characteristics of its activity. One of ways of an stability assessment of high schools are the root criterion, Rau-sa-Gurvits’s criterion and Lyapunov's second method. Application of stability assessment method of high schools as mechanism of a self-control of its activity will allow to carry out the analysis of the currentfunctioning of higher education institutions as dynamic system, and also on the basis of the received results to carry out correction of made administrative decisions.
The purpose of work is the analysis of mathematical category of stability in applicability to functioning of educational institution as dynamic control system and its use at adoption of administrative decisions. In work the following methods of the theory of the differential equations, methods of the theory of automatic control are used. In work it is shown that the mathematical category of stability can be applied to an assessment offunctioning of educational institution of higher education. Methods of an assessment the stability applied in systems of automatic control can be for this purpose used. It is proved that the assessment of stability of activity of higher education institution on the basis of mathematical methods can be used at adoption of administrative decisions.
В настоящее время большое внимание уделяется исследованию устойчивости функционирования систем. От того, насколько устойчива система к влиянию внешних факторов, зависят успешность ее работы и дальнейшее
развитие. Понятие устойчивости применимо как к техническим системам, так и к биологическим и социально-экономическим системам.
В настоящее время к образовательному учреждению предъявляются широкие требования как к научно-образовательному центру1 [1, 2]. Достижение целей, поставленных перед вузами в настоящее время, невозможно без выработки эффективных механизмов внутреннего управления образовательной организацией. Одним из основных способов повышения качества управления в вузе является выработка механизмов саморегуляции деятельности образовательного учреждения.
Под методами саморегуляции деятельности образовательного учреждения в работе понимаются методы, обеспечивающие выполнение образовательной организацией своих функций с сохранением соответствия заданных законодательно показателей требованиям нормативно-правовых документов в сфере образования без вмешательства внешних контролирующих органов. В качестве одного из таких механизмов выделен механизм обеспечения устойчивости функционирования образовательного учреждения с учетом как нормативно-правовых документов в сфере образования, так и воздействий факторов внешней среды и механизмов внутренней политики вуза в течение непрерывного промежутка времени.
1. Категория устойчивости функционирования образовательного учреждения как динамической системы управления. Под устойчивостью функционирования образовательной организации как системы понимается способность всех ее подсистем функционировать с малыми отклонениями основных характеризующих показателей деятельности от заданных значений при воздействии факторов внешней среды, а также способность возвращаться в оптимальное состояние работы в течение небольшого промежутка времени, если та или иная подсистема была из него выведена.
В работе [4] описана математическая модель функционирования образовательного учреждения как динамической системы. В данном случае вуз рассматривается как сложная система управления, каждый модуль управляемой подсистемы которой представляет собой линейную динамическую систему с отрицательной обратной связью, устойчивость которой необходимо исследовать, и может быть описан системой уравнений в пространстве состояний:
Их
^=(()-ВОДОМО; (1)
№ )=с( )х(( X
где х(^ = [х1(^), х2(0, ..., х„(0] - вектор параметров состояний каждого модуля размерностью п; А - матрица динамики системы размерностью пхп, характеризующая динамику функционирования соответствующего модуля управляемой подсистемы; и(0 = [м1(^), и2(0, ..., ит(0] - вектор входных или управляющих воздействий, оказываемых на каждый модуль со стороны управляющей подсистемы, размерностью т; В - матрица внутренних управлений
1 Об образовании в Российской Федерации: Фед. закон от 29.12.2012 г. № 273-Ф3 (с изм. и доп.) [Электронный ресурс]. Доступ из справ.-прав. системы «КонсультантПлюс».
размерностью nxm, характеризующая влияние управляющих параметров на динамику функционирования соответствующего модуля управляемой подсистемы; y(t) = [yi(0, y2(t), •••, yp(t)] - вектор выходных параметров каждого модуля размерностью p; C - выходная матрица размерностью pxn; L - матрица обратной связи размерностью mxn.
Каждая составляющая компонента вектора состояния x(t) того или иного модуля представляет собой функцию Xi(t) = f(x, t, u), зависящую от других параметров состояния модуля, времени, параметров внутреннего управления и постоянно действующих внешних возмущающих воздействий.
При рассмотрении управляющих воздействий каждое направление политики образовательного учреждения, т.е. каждая составляющая компонента вектора управления u(t), представляет собой функцию uk(t) = фk(t, v(t)), где v(t) = [v1(t), v2(t), ..., vk(t)] - вектор внешних возмущающих воздействий размерностью k.
Каждый выходной параметр, т.е каждая составляющая компонента вектора выходных параметров y(t), представляет собой функцию y(t) = v(x, t). В частном случае рассмотрим вектор выходных параметров, адекватных результатам соответствующих параметров состояния.
Выходная матрица С показывает, как изменяются значения вектора состояний при измерении выходных результатов. В качестве элементов выходной матрицы примем элементы матрицы состояний, вычисленные на конец учебного года.
Система «вуз» представляет собой систему с обратной связью. Так как перед нами стоит задача оценки устойчивости функционирования образовательного учреждения, рассмотрим вуз как систему управления с отрицательной обратной связью, т.е. u = -Lx(t).
Функционирование образовательного учреждения можно описать схемой на рис. 1 [4].
Рис. 1. Общая схема функционирования образовательного учреждения
Схема функционирования системы «вуз», представленная на рис. 1, отличается от схемы системы автоматического управления тем, что связи в ней не создаются искусственно, а являются следствием особенностей взаимодействия образовательной системы и процессов, происходящих в образовательном учреждении.
С целью исследования устойчивости образовательного учреждения применимы методы теории устойчивости динамических систем [3, 5, 6].
Общее решение системы дифференциальных уравнений (1) представляет собой совокупность функций Х\(() = /¡(^, ..., Х„(0 = /п((). Каждое решение, согласно теории линейных дифференциальных уравнений, называется движением системы, которое в случае описания работы вуза характеризует динамику его функционирования, т.е. изменение состояния каждого звена того или иного модуля управляемой подсистемы. Точка с координатами (х^), х2(0, ., хп(0) характеризует общее состояние каждого модуля управляемой подсистемы в фазовом пространстве в момент времени ¿.
Под фазовым пространством системы (1) будем понимать пространство всевозможных значений состояний того или иного модуля управляемой подсистемы. Путь, описываемый точкой с координатами (х^), х2(0, ..., хп(0) в фазовом пространстве в течение некоторого периода времени, называется траекторией. Траектория будет показывать все изменение функционирования того или иного модуля в течение непрерывного промежутка времени относительно основных показателей его работы. Фазовый портрет, как совокупность всех траекторий, будет характеризовать общее изменение состояния работы управляемой подсистемы относительно всех ее модулей.
2. Методы оценки устойчивости функционирования образовательного учреждения высшего профессионального образования. В связи с тем, что функционирование образовательного учреждения осуществляется при постоянном воздействии факторов внешней среды, устойчивость системы «вуз» будем исследовать как устойчивость движения динамической системы под воздействием постоянно действующих внешних возмущений
[3, 5].
При исследовании устойчивости функционирования образовательного учреждения можно применить как алгебраические методы оценки устойчивости, так и второй метод Ляпунова. Первый метод Ляпунова требует знания точного аналитического решения системы (1), а в случае описания деятельности вуза найти точное это решение весьма проблематично.
С целью исследования устойчивости функционирования того или иного модуля управляемой подсистемы вуза применим критерий оценки устойчивости, заключающийся в том, что, если вещественные части некоторых корней характеристического уравнения равны нулю, а вещественные части остальных корней отрицательны, то модуль управляемой подсистемы устойчив, т.е. V/ = 1,...,п: №1 < 0 . Если же среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один с положительной вещественной частью, то модуль управляемой подсистемы неустойчив [5].
Характеристическое уравнение системы (1) можно записать в виде 0(Х) = 0, где 0(Х) - характеристический многочлен:
15 1 Р12 . . Р1п
эд= Р21 Р22-X . . Р2п , (2)
Рп1 Рп2 . . Рпп Х
гдери, рпп - соответствующие коэффициенты результата матричных опе-
раций (( )- В(? )£(? )).
Раскрывая определитель (2), получаем уравнение
а0Хп + а^к"-1 +.... + ап = 0. (3)
где аI е Я зависят от параметров системы, а0 > 0, т.е данные параметры зависят от непосредственных характеристик функционирования того или иного модуля управляемой подсистемы образовательного учреждения.
Из уравнения (3) можно найти корни характеристического уравнения Xi = si ± • у ( = 1, 2, ..., п) системы дифференциальных уравнений (1), где si
и юг- - действительные и мнимые части корней характеристического полинома, соответственно.
Согласно данному критерию для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми. Если хотя бы один из корней является правым, то система будет являться неустойчивой. В случае же если один из корней равен нулю, а остальные корни будут левыми или равны нулю будут вещественные части одной или нескольких пар комплексно сопряженных корней, то система находится на границе устойчивости. В случае функционирования образовательного учреждения данный режим функционирования является нежелательным и практически неработоспособным, так как в любой момент вуз может перестать функционировать в стабильном режиме и выполнять свои функции как научно-образовательный центр. Возможное расположение корней на плоскости представлено на рис. 2 [7].
Таким образом, исследование устойчивости системы сводится к определению знаков вещественных частей корней характеристического уравнения системы. Но решение уравнений четвертой и более высоких степеней может
встречать затруднения. Поэтому применяются косвенные методы анализа устойчивости без определения корней характеристического уравнения по определенным критериям устойчивости.
Однако на практике оценку устойчивости систем можно производить и без непосредственного вычисления корней характеристического уравнения, например с помощью критерия Гурвица и Рауса.
Критерий Рауса-Гурвица дает возможность, не вычисляя корней характеристического уравнения (4), судить о знаках реальных частей его корней с помощью исследования коэффициентов этого многочлена и в конечном итоге сделать вывод об устойчивости системы:
а1 а0 0 ... 0
Д1 = аь Д2 =
ах а0
аз а2
Д п =
аз
а2
а1
0
а2п-1 а2п-2 а2п-3
= апД
п^Ап-1-
(5)
Согласно критерию Рауса-Гурвица для того, чтобы все корни уравнения (4) при действительных значениях а0 > 0 и ак имели реальную часть меньше нуля, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись неравенства:
Д1 > 0, Д2 > 0,...,Дп-1 > 0,ап > 0. (6)
Использование данного критерия позволяет моделировать различные состояния устойчивости того или иного модуля при различных значениях управляющих параметров и параметров, характеризующих состояние модуля. Числовая матрица обратной связи Ь может быть выбрана из условия желаемого распределения собственных чисел матрицы замкнутой динамической системы (1) (Л(0 - В(()Ь(0), что окажет влияние на итоговые значения коэффициентов в используемых методах и может быть использовано при проведении корректирующих воздействий по вопросам управления образовательным учреждением.
К тому же необходимо использовать критерии, наиболее удобные для реализации их с помощью ЭВМ и дальнейшего практического применения в области управления образовательным учреждением. Алгебраические критерии оценки устойчивости можно использовать и при создании программного продукта с целью оценки устойчивости функционирования образовательного учреждения.
Требующим исследования является вопрос об использовании для оценки устойчивости вуза прямого метода Ляпунова, основанного на построении и анализе функции Ляпунова V(x) = У(хь ..., xn), определенной в области ^х2 < л , где л - некоторое положительное число.
В настоящее время не существует единого способа формирования функции Ляпунова для анализа конкретных динамических систем, в том числе и систем автоматического управления. Однако наибольшее распространение для анализа устойчивости систем находят функции Ляпунова в виде квадратичных форм [3, 5]
1 п п
У(х) ~~ ак} хкх} , аку = аук,
2 к=1у=1
а
п
где неопределенные коэффициенты akj были бы подчинены критерию Сильвестра [3].
Значение этой функции в момент t зависит от совокупности состояний того или иного модуля управляемой подсистемы Xi(t), x„(t) в этот момент, т.е. от состояния, которое можно представить в виде точки в «-мерном пространстве состояний образовательного учреждения, т.е. функция Ляпунова в виде (7) будет характеризовать комплексное состояние того или иного модуля управляемой подсистемы образовательного учреждения в момент времени t. Это означает, что данный метод можно использовать при моделировании состояний образовательного учреждения с целью как оценки его состояния, так и проведения корректирующих воздействий за счет механизма обратной связи, т.е. за счет изменения значений матрицы L.
Выводы. Категория устойчивости образовательного учреждения позволяет провести оценку деятельности образовательного учреждения как динамической системы с точки зрения основных показателей его деятельности, утвержденных в нормативно-правовых документах в системе образования. Использование математических методов анализа устойчивости позволяет провести оценку функционирования вуза как динамической активной системы, функционирующей в процессе непрерывного промежутка времени, описанной в терминах уравнений в пространстве состояний относительно основных характеристик. Это позволит руководству образовательной организации принимать управленческие решения на основе анализа комплексной картины деятельности учреждения, а не только на основе анализа отдельных характеристических показателей, что в итоге повысит качество принимаемых в образовательной организации управленческих решений и эффективность функционирования образовательной организации.
Литература
1. Государственная программа «Развитие образования на 2013-2020 годы» [Электронный ресурс] // Министерство образования и науки РФ: офиц. сайт. URL: М1р://минобр-науки.рф/документы/3409.
2. Государственная программа Российской Федерации «Развитие науки и технологий на 2013-2020 годы» [Электронный ресурс] // Министерство образования и науки РФ: офиц. сайт. URL: 1Ш:р://минобрнауки.рф/документы/2966.
3. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.
4. Матросова Н.В. Последовательность преобразований информации при моделировании организации управления образовательным учреждением // NB: Кибернетика и программирование. 2014. № 2. С. 42-77. DOI: 10.7256/2306-4196.2014.2.11638. URL: http://e-notabe-ne.ru/kp/article_11638.html.
5. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1987. 304 с.
6. НогинВ.Д. Теория устойчивости движения. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2008.
7. Тюкин В.Н. Теория управления. Ч. 1. Обыкновенные линейные системы управления. 2-е изд., испр. и доп. Вологда: ВоГТУ, 2000. 200 с.
МАТРОСОВА НАТАЛЬЯ ВЛАДИМИРОВНА - математик, Марийский государственный университет, Россия, Йошкар-Ола ([email protected]).
MATROSOVA NARALIA - mathematician, Mari State University, Russia, Yoshkar-Ola.
СИДОРКИНА ИРИНА ГЕННАДЬЕВНА. См. с. 107._________________________________________
