CC BY
27
УДК 517.988.6
ВОЛЬТЕРРОВЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 1
© Е. С. Жуковский, M.J. Alves
Ключевые слова: уравнение Вольтерра; вольтерровы операторы; метрическое фактор-пространство. Аннотация: Изучаются действующие в метрических пространствах операторы, сохраняющие заданные отношения эквивалентности. Исследуется разрешимость уравнений с такими операторами.
В работе [1] для отображений банаховых пространств введено понятие вольтерровости на системе отношений эквивалентности, исследована разрешимость уравнений с такими операторами. При соответствующем выборе системы отношений это понятие равносильно различным известным трактовкам свойства эволюции, причинности операторов, в том числе классическому определению вольтерровости по А.Н. Тихонову. Здесь рассматриваются вольтерровые операторы, действующие в метрических пространствах.
Будем предполагать, что в метрическом пространстве X определено отношение эквивалентности Для любых двух классов эквивалентности х, и положим
dX (х,и) = inf рх (х,и). (1)
x£x, u£u
Если формула (1) задает метрику в фактор-множестве Х/~, то будем называть (X/~, dx) метрическим фактор-пространством.
Утверждение 1. Если формула (1) задает, метрику в фактор-множестве X/~, то отношение эквивалентности ~ на множестве X обладает следующим свойством: для любых элементов х, и, Xi, щ Е X, i = 1, 2из соотношения Xi ~ щ, выполненного при всех i, и сходимости рх(xi,x) ^ 0, рх(щ,и) ^ 0, следует х ~ и.
X
каждого элемента х Е X его класс эквивалентности х есть замкнутое множество. Предположим, также, что выполнены условия:
(d2) для произволаного е > 0, для любых трех классов x,u,W Е X/~ существуют такие элементы х Е х, и Е и, w Е w, что имеет место неравенство рх(х,и) + рх(u,w) ^ dx(х,и) + + dx(и, w) + е;
(d™) для любых классов xi Е X/~, i = 1, 2,..., если сходится ряд dx(xj,xi+1), то можно
так выбрать представителя каждого класса, хi Е xi , что ряд ^i=1 рх(х^х+{) также сходится.
Тогда формула (1) определяет метрику в фактор-множестве X/~, причем (X/~,dх) является полным метрическим пространством.
Пусть каждому Y Е [0,1] поставлено в соответствие отношение эквивалентности $х(y) на множестве X. Назовем элементы х,и Е X, удовлетворяющие этому бинарному отношению, $(y)-эквивалентными. Обозначим х^ - класс $х(y)-эквивалентности элемента х Е X. Будем говорить, что совокупность
®х = { $х(y) I Y Е [0,1] }
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (гранты 09-01-97503, 07-01-00305), Министерства образования и науки РФ (программа РНП № 2.1.1/1131), Норвежской Национальной Программы Научных Исследований FUGE (грант PRO 06/02) при Совете научных исследований Норвегии и Норвежского Комитета по развитию университетской науки и 06pa30Bamra(NUFU), SIDA/SAREC,
Scientific Directorate at Eduardo Mondlane University.
рассматриваемых отношений удовлетворяет условию (v), если:
(vо) значенпю y = 0 соответствует отношение Ах (0) = X2 (то есть любые два элемента являются Ах (О)-эквивалентными);
(v 1) значению y = 1 соответствует отношение равенства (то есть никакие два разных элемента не вступают в отношение Ах(1));
(v ^) из y > П, следует Ах (y ) — Ах (п) (любые д ва Ах (Y )-эквивалентных элемент а будут Ах (пУ эквивалентными, если y > п)-Пусть (X, рх) - полное метрическое пространство, в котором задана удовлетворяющая требованиям (v) систем а Шх отношений эквивалентности. Кроме того, считаем, что при любом Y £ [0,1] каждый класс эквивалентности замкнут, а фактор-множество X/Ах(Y) относительно метрики
Рх/^X (y)(^Y ) — dх (x^y ) — inf _ (x , u)
, 'U^zU'Y
является полным метрическим фактор-пространством. Далее, предполагается, что в метрическом пространстве (Y, ру) также задана некоторая система отношений эквивалентности
Vy — { fly (y) | Y £ [0,1] },
удовлетворяющая условиям (v); при люб ом y £ [0,1] фактор-множество Y/fly (y) относительно метрики
ру/ву(y)(Vy,WY) = dY(Vy,wy) = c-infc- (y,w)
y^UY, WbtVY
является метрическим фактор-пространством (полнота пространств Y, Y/fly(y) и замкнутость классов эквивалентности yY С Y не требуется).
Определение. Оператор F : X ^ Y будем называть волътерровым (на системах Шх, Vy отношений эквивалентности), если для каждого y £ [0,1] и любых x,u £ X из (х,и) £ Ах(y) следует (Fx, Fu) £ fly (y). Таким образом, вольтерровый оператор сохраняет при любом y £ [0,1]
X
Y
В докладе рассмотрены свойства вольтерровых на системах отношений эквивалентности операторов, исследуется разрешимость уравнений с такими операторами.
ЛИТЕРАТУРА
1. Жуковский Е.С. Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтера // Математический сборник. 2006. Т.197. № 10. С. 33-56.
Abstract: The operators that act in metric spaces and preserve the given equivalence relations are studied. The solvability of equations with such operators is under discussion.
Keywords: Volterra equation; Volterra operators; metric factor-space.
Жуковский Евгений Семенович д. ф.-м. н., профессор
Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: [email protected]
Алвеш Мануэль Джоаквим д. ф.-м. п., профессор Университет Эдуардо Мондлане Мозамбик, Мапуту e-mail: [email protected]
Evgeniy Zhukovskiy
doctor of phys.-math. sciences, professor Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: [email protected]
Manuel Joaquim Alves
doctor of phys.-math. sciences, professor
Eduardo Mondlane University
Mozambique, Maputo
e-mail: [email protected]
