Уравнения с вольтерровыми на системе отношений накрывающими отображениями метрических пространств Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.988.6

УРАВНЕНИЯ С ВОЛЬТЕРРОВЫМИ НА СИСТЕМЕ ОТНОШЕНИЙ НАКРЫВАЮЩИМИ ОТОБРАЖЕНИЯМИ МЕТРИЧЕСКИХ

ПРОСТРАНСТВ

© Е.С. Жуковский, М.Ж. Алвеш

Ключевые слова: уравнение Volterra; локальное решение; продолжение решений; обобщенно вольтеррово отображение; накрывающее отображение метрических пространств. Исследуется разрешимость уравнения общего вида с обобщенно вольтерровым отображением метрических пространств. Вольтерровость определяется как свойство сохранения отображением системы отношений эквивалентности. При соответствующем выборе системы отношений это понятие равносильно различным известным трактовкам свойства эволюции, причинности операторов, в том числе классическому определению вольтерровости по А.Н. Тихонову. Доказана теорема о существовании и продолжаемости решений. Используются утверждения о накрывающих отображениях метрических пространств.

В работе [1] было предложено понятие вольтерровости на системе отношений эквивалентности оператора, действующего в банаховом пространстве B. При соответствующем выборе системы отношений это понятие равносильно различным известным трактовкам свойства эволюции, причинности операторов, в том числе классическому определению вольтерровости по А.Н. Тихонову [2]. Применение классических принципов неподвижных точек позволяет доказать утверждения об уравнении вида

x = G(x) (1)

с вольтерровым на системе отношений оператором G : B ^ B. В [3],[4] результаты о разрешимости и корректной разрешимости уравнения (1) перенесены на случай, когда B — полное метрическое пространство. Результаты [5-7] о накрывающих отображениях позволяют исследовать уравнения гораздо более общего вида с вольтерровыми на системе отношений отображениями метрических пространств. Настоящая работа посвящена вопросам разрешимости таких уравнений. Отметим, что уравнения общего вида с вольтерровыми по А.Н. Тихонову отображениями метрических пространств подробно исследованы в [8].

Пусть в метрическом пространстве (X, рх) определено отношение эквивалентности ~ . Для любых двух классов эквивалентности X, и положим

dX (Х,и) = inf рх (х,и). (2)

x£x, u£u

Пр едложение 1. Если формула (2) задает метрику в фактор-множ^естве X/^, то для любых элементов x, и, xi, ni € X, i = 1, 2,..., из соотношения Xi ~ щ, выполненного при всех i, и сходимости рх(xi,x) ^ 0, рх(щ,и) ^ 0, следует х ~ и.

Предложение 2 [3]. Пусть метрическое пространство X является полным, и пусть для каждого элемента x € X его класс эквивалентности x есть замкнутое множество. Предположим, также, что выполнены условия:

(d2) для произвольного е> 0, для любых трех классов x,u,W € X/~ существуют такие элементы x € x, и € и, w € W, что имеет место неравенство рх(x,u)+ рх(u,w) ^ ^ dх(x, и) + dх(и, W) + е;

2518

(^) для любой последовательности классов хг € Х/~, г = 1, 2,..., если сходится ряд ^°=1 йх(Хгхг+1), то можно так выбрать представителя каждого класса хг € Хг, что ряд ^°=1 рх(хг,хг+1) также сходится.

Тогда формула (2) определяет метрику в фактор-множестве Х/~, причем X/ йх) является полным метрическим пространством.

Замечание. Очевидно, при всех х,и € X/ х € Х, и € и справедливо неравенство йх(х,и) ^ рх(х,и). Если имеет место соотношение

V е ^ 0 V х,и € X/~ V х € X 3 и € и йх(х,и) ^ рх(х,и) — е, (3)

то условия (й2), (йте) оказываются выполненными. Требование (3) использовалось в [7].

Теперь сформулируем определение свойства вольтерровости на системе отношений отображения, действующего в метрических пространствах. Пусть каждому 7 € [0,1] поставлено в соответствие отношение эквивалентности §х (7) на множестве X. Назовем элементы х,и € X, удовлетворяющие этому бинарному отношению, $(7) -эквивалентными. Обозначим х7 - класс $х(7) -эквивалентности элемента х € X. Будем говорить, что совокупность

Юх = { $х(7) I 7 € [0,1] }

рассматриваемых отношений удовлетворяет условию (у), если:

(уо) значению 7 = 0 соответствует отношение $х (0) = X2 (то есть любые два элемента являются $х(0) -эквивалентными);

(VI) значению 7 = 1 соответствует отношение равенства (то есть никакие два разных элемента не вступают в отношение $х (1));

(у7) из ^>П, следует $х (7) ^ $х(п) (любые два $х (7) -эквивалентных элемента будут $х(п) -эквивалентными, если 7 >п ).

Пусть (X,рх), (У,ру) — метрические пространства. Всюду ниже предполагается, что пространство X полное и в нем задана удовлетворяющая требованиям (у) система Юх отношений эквивалентности. Кроме того, считаем, что при любом 7 € [0,1] каждый класс эквивалентности замкнут, а фактор-множество X/$х (7) относительно метрики

рх/-)9х (~{)(х~{, и7) — йх (х7, и^{) — _ (х, и)

является полным. Далее, предполагается, что в метрическом пространстве У также задана некоторая система отношений эквивалентности Юу = { $у (7) | 7 € [0,1] }, удовлетворяющая условиям (у); при любом 7 € [0,1] равенство

ру/Ъг(7)(У7,%х1 ) = йУу,%х1 )= ^п^ - (У,ад)

уьу-у,

задает метрику в фактор-пространстве У/$У(7) (полнота пространств У, У/$У(7) и замкнутость классов эквивалентности у7 С У не требуется).

Определение 1. Отображение Г : X ^ У будем называть вольтерровым (на системах Юх, Юу отношений эквивалентности), если для каждого 7 € [0,1] и любых х,и € X из (х,и) € $х(7) следует (Гх,Ги) € $у (7). Таким образом, вольтеррово отображение сохраняет при любом 7 € [0,1] отношения эквивалентности, отображая эквивалентные элементы множества X в эквивалентные элементы множества У.

Приведем некоторые свойства вольтерровых отображений, непосредственно вытекающие из их определения.

2519

1. Пусть отображение F і X Y является вольтерровым на системах Vx, Vy . Пусть множество Г С [О, І] таково, что іО, І} С Г, и для каждой убывающей последовательности і^і} С Г (или для всякой возрастающей последовательности) выполнено lim^^ Yi Є Є Г. Определим функцию п : [О, І] Г равенством n(Y) = inf і С Є Г | С ^ Y } (во втором случае, п(т) = inf і С Є Г | С ^ Y } ). Поставим в соответствие каждому числу y Є [О, І] отношения эквивалентности §x(п(і)) и $y(w(y)) и обозначим Wx = і $x(y) і Y Є Г }, Wy = = і $Y (y) і Y Є Г }. Тогда отображение F і X Y будет вольтерровым на подсистемах Wx, Wy .

2. Пусть F і X Y является вольтерровым на системах Vx, Vy , G і Y ^ Z — вольтерровым на системах Vy , Vz. Тогда композиция GF і X ^ Z обладает свойством воль-терровости на системах Vx, Vz.

3. Для любой системы Vx отношений эквивалентности пространства X тождественный оператор 11X X будет вольтерровым на Vx.

4. Пусть заданы: вольтеррово на системах Vx, Vy отображение F і X Y, и Є X, w = = Fu Є Y, yQ Є (О, і). Пусть UY0 - класс $x(Yo) -эквивалентности элемента и. Тогда UY0 является полным метрическим пространством (относительно метрики px ); система отношений і$x (y)} на этом подмножестве удовлетворяет условиям (v); при любом y метрическое пространство Ul0/$(y) является полным. Аналогично, система отношений ^y(y)} на подмножестве г)70 - классе $y(Yo) -эквивалентности элемента w, будет удовлетворять условиям (v); фактор-множество г)70/$(y) будет метрическим пространством. Из вольтер-ровости отображения F і X ^ Y на системах Vx, Vy следует вольтерровость его сужения FY01 UY0 ^ wY0 на сужении VuY0, Vw10 исходных систем эквивалентности.

б. Пусть задано вольтеррово на системах Vx, Vy отображение F і X ^ Y. Для каждого y Є (0,1) определим канонические проекции nx і X ^ X/$x(y), nxx = XY; nY і Y ^ Y/$y (y ), nY у = у1. Обозначим

Fy : X/$x(Y) ^ Y/$y(Y), Fy= nYFx, (4)

где x - любой элемент класса XY/. Тогда это отображение также обладает свойством воль-терровости.

б. Если последовательность іFi} вольтерровых на системах Vx, Vy отображений Fi і X Y сильно сходится к F і X Y (то есть p(Fix,Fx) О, Vx Є X ), то отображение F также вольтеррово на системах Vx, Vy .

Пусть заданы элемент у Є Y и вольтеррово на системах Vx, Vy отношений эквивалентности отображение F і X ^ Y. Рассмотрим уравнение

Fx = у (5)

относительно неизвестного x Є X. Для каждого y Є (0,1) определим равенством (4) оператор Fy і X/$x(y) ^ Y/$y(y) и положим yY = ^у.

Определение 2 [3]. Если для некоторого y Є (0,1) существует класс эквивалентности zY Є X/$x(y), удовлетворяющий равенству FYzY = /yY, то уравнение (5) будем называть локально разрешимым, а класс zY Є X/$x (y) - его $x (y) -локальным решением. Элемент z Є X, удовлетворяющий уравнению (5), назовем глобальным решением. Отождествляя элемент z с классом $x(1) -эквивалентности її = іz}, содержащим лишь один этот элемент, будем глобальным решением считать также класс її. Если О <С<Y^ 1 и если , !y - соответственно $x (С) -локальное и $x (y) -локальное (или глобальное при y = 1) решения, удовлетворяющие включению !y С , то будем называть решение !Y продолжением решения , решение - частью решения !Y. Заметим, что для произвольного

2520

локального или глобального решения Х7 при любом £ € (0,7] существует единственный класс Х^, для которого имеет место Х7 С Х^. Этот факт позволяет отождествить локальное или глобальное решение Х7 с отображением, ставящим в соответствие каждому числу £ € (0,7] такой класс Х^, что Х7 С Х^. Имея в виду это отображение, можем говорить, что решение Х7 определено на (0,7]. Предельно продолженным решением, определенным на (0,7), будем называть отображение, сопоставляющее каждому £ € (0,7) локальное решение Х^ € X/$х(£), и удовлетворяющее следующим условиям:

V п,£ 0 <п<£<7 ^ X С Хп, Нш йх (х ,щ ) = то.

^1-0

Здесь и € X - некоторый фиксированный элемент. Отметим, что если существует и € X,

для которого имеет место Нш йх (Хс ,ис ) = то, то для произвольного V € X выполнено ана-

^1-0

логичное равенство Нш йх(Хс, X) = то, то есть приведенное определение корректностно. С^^—0

Любое сужение на (0, п] С (0,7) предельно продолженного решения — отображения £ € € (0, 7) ^ Хс € X/$х(£), является, очевидно, локальным решением. Будем называть это

сужение частью предельно продолженного решения.

Отметим, что «классические» уравнения с вольтерровыми по А.Н. Тихонову операторами рассматриваются в пространствах функций, определенных на некотором отрезке [а,Ь], и локальным решением называют функцию хс, определенную на [а, с], с<Ь, удовлетворяющую на этом отрезке заданному уравнению. Функция хс может отождествляться с классом функций, являющихся всевозможными ее продолжениями на весь [а,Ь]. Таким образом, известные определения решений уравнений УоЙегга равносильны приведенным выше, если на соответствующих функциональных пространствах определить при каждом 7 € (0,1) отношение эквивалентности

(х,и) € $х(7) & х(£) = и(£), £ € [а, а + 7(Ь — а)].

Для формулировки условий разрешимости уравнения (5) приведем определение понятия накрывающего отображения.

Пусть (X, рх), (У, ру) - метрические пространства. В дальнейшем будем предполагать, что пространство X полно. Обозначим через Вх(и, г) замкнутый шар в пространстве X с центром в и радиуса г ^ 0. Пусть определено отображение С : X ^ У и задано положительное число а.

Определение 3. Отображение С называется а -накрывающим (см. [5]), если для любых и € и, г> 0 имеет место включение Ву (С(и),аг) С С(Вх(и,г)). Отображение С называется условно а -накрывающим (см. [7]), если Ву(С(и),аг)[) С(и) С С(Вх(и, г)).

Непосредственно из результатов [7] получаем следующее утверждение о локальной разрешимости уравнения (5) в предположении, что

Г(х) = Т(х,х) V х € X,

где отображение Т : X2 ^ У вольтеррово по каждому аргументу на системах Юх, Юу.

Пр едложение 3. Пусть существуют такие 7 € (0,1), а> 0, 0 ^ в < а, что выполнены следующие условия: отношение эквивалентности $х (7) обладает свойствами (д2), (дте); при любом х2 € X отображение

Т7,1(-,х2) : X/$х(7) ^ У/$у (7), Т7д(х7, х2) = ПуТ(х,х2), х € х1,

является условно а -накрывающим, замкнутым и у1 = Пуу € Y1^1(X/$х(7),х2); при любом х1 € X отображение

^1,7(х1, ■) : X/$х(7) ^ У/$у (7), Т1)7(х7, х2) = ПуТ(х1,х), х € Х1,

2521

является в -липшицевым. Тогда существует определенное на (0,y] решение уравнения (5), для произвольного u € X в множестве таких решений найдется элемент Vy, удовлетворяющий оценке

dxZ,Щ) ^ (а - в)-1р¥(v,F(u)) •

Определение 4. Пусть в ^ 0. Вольтеррово на системах Vx, Vy отображение G : X ^ Y будем называть локально в -липшицевым в 0 на соответствующих системах Vx, Vy, если существует такое u0 € X, что для любого r> 0 найдется т € (0,1), для которого при всех Хт ,VT € Bx/$X (r)(u° ,r), где U° =ПХ u0, выполнено

dy (Gt(Хт),Gt(Vt)) ^ edx(Хт,Vt). (6)

Отображение G назовем локально в -липшицевым в точке 7 € (0,1) на системах Vx, Vy, если для любого uY € X/fix (т) существует такое u0 € uY, что для любого r> 0 найдется т € (y, 1), для которого при всех Vt,vt €Bx/vX(T)(u°,r), удовлетворяющих при любом Я € (0,y) вложению Vt,Vt С u0, где u0 =nxu0, выполнено (6). Отображение G назовем локально в -липшицевым на системах Vx, Vy, если оно является локально в -липшицевым на этих системах в любой точке y € [0,1).

Теперь сформулируем основной результат — теорему о существовании и продолжаемости решений уравнения (5). По-прежнему предполагаем, что F(x) = Y(x,x), где отображение Y : X2 ^ Y вольтеррово по каждому аргументу на системах Vx, Vy.

Теорема. Пусть при любом y € (0,1) отношение эквивалентности fix(y) удовлетворяет условию (3). Пусть существуют такие а> 0, 0 ^ в<а, что при любом x2 € X отображение Y(-,x2): X ^ Y является условно а -накрывающим, замкнутым и y € Y(X, x2); при любом x1 € X отображение Y(xi, ■) : X ^ Y является локально в -липшицевым на системах Vx, Vy. Тогда уравнение (5) локально разрешимо, любое локальное решение является частью глобального или предельно продолженного решения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Жуковский Е.С. Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтера // Математический сборник. 2006. Т. 197. № 10. С. 33-56.

2. Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применениях к некоторым задачам математической физики. // Бюл. Моск. ун-та. Секц. А. 1938. Вып. 8. Т. 1. С. 1-25.

3. Жуковский Е.С. Обобщенно вольтерровые операторы в метрических пространствах // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественнные и технические науки. 2009. Т. 14. № 3. С. 501-508.

4. Жуковский Е.С., Жуковская Т.В., Алвеш М.Ж. Корректность уравнений с обобщенно вольтерровы-ми отображениями метрических пространств // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2010. Т. 15. № 6. С. 1669-1672.

5. Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки. Докл. РАН. 2007. Т. 416, №2. С. 151-155.

6. Arutyunov A., Avakov E., Gel‘man B., Dmitruk A., Obukhovskii V. Locally covering maps in metric spaces and coincidence points. J. Fixed Points Theory and Applications. 2009. V. 5. № 1. P. 105-127.

7. Арутюнов А.В., Аваков Е.Р., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной Дифференциальные уравнения. 2009. № 5. С. 613-634.

8. Arutyunov A.V., Zhukovskiy S.E., Zhukovskiy E.S. Covering mappings and well-posedness of nonlinear volterra equations // Nonlinear Analysis. 2012. V. 75. № 3. P. 1026-1044. DOI: 10.1016/j.na.2011.03.038

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 11-01-00626) и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013гг. (соглашение № 14.132.21.1348).

2522

Zhukovskiy E.S., Alves M.J. EQUATIONS WITH VOLTERRA ON A SYSTEM OF RELATIONS COVERING MAPPINGS OF METRIC SPACES

The paper is concerned with solvability of a general type equation with a generalized Volterra mapping of metric spaces. The Volterra property is defined as the property of a mapping to preserve an equivalence relation system. Under a proper choice of a system of relations, this concept is equivalent to the known interpretations of the evolution property, causality of operators, including the classical definition of Volterra property in the sense of A.N. Tikhonov. A theorem on existence and continuation of solutions is proved; statements about covering mappings of metric spaces are used.

Key words: Volterra equation; local solutions; continuation of solutions; generalized Volterra equation; covering mapping of matric spaces.

УДК 517.968.4

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В ПРОСТРАНСТВЕ СУММИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

© Е.С. Жуковский, Ж.П Мунембе, Е.А. Плужникова

Ключевые слова: векторные накрывающие отображения метрических пространств; функциональные уравнения; запаздывание.

Рассматривается система уравнений неявного вида с запаздывающим аргументом в пространстве суммируемых с любой степенью вектор-функций, имеющих значения в заданном множестве. Получены условия существования решения на заданном интервале времени. Исследование основано на утверждениях о векторных накрывающих отображениях.

Данная работа продолжает исследования [1] функциональных уравнений методами теории накрывающих отображений. Рассматривается уравнение неявного вида с запаздывающим аргументом в пространстве суммируемых с любой степенью функций, имеющих значения в заданном множестве. Исследование основано на результатах работы [2] о векторных накрывающих отображениях. Используется определение накрывающего и условно накрывающего отображения из [3].

Обозначим c1(Rl) — совокупность всех непустых замкнутых подмножеств пространства Rl. Пусть задано 1 ^ p ^ то и измеримое (многозначное) отображение Q: [a, b] c1(Rl), для

которого pRi(0, Q) € Lp([a,b], R), где pRi (0, Q(t)) = infweQ(t) |w|. Определим полное метрическое пространство Lp([a,b], Q) суммируемых в p -ой степени, если 1 ^р< то, и существенно ограниченных при p = то функций t € [a, b] ^ y(t) € Q(t), с метрикой

(Vi,V2) = vrai sup |vi(s) - V2(s)l.

[a, b]

Пусть заданы числа 1 ^ p1 ^ p2 ^ то; измеримые отображения Q : [a, b] c1(Rl1),

©:[a, b] ^ c1(Rl2), для которых pRi1 (0, Q) € Lp1 ([a,b], R), pRi2 (0, 0) € Lp2 ([a,b], R); удовлетворяющая условиям Каратеодори функция g : [a, b] x Rl1 ^ Rl2 такая, что g{t, Q(t)) С 0(t) при почти всех t € [a,b]. В случае pi = то относительно функции g будем предполагать, что существуют п € Lp2 ([a, b], R) и Л € R, для которых при почти всех t € [a,b] и всех x € Q(t)

Plp (Vi,V2) = (j |Vi(s) - V2(s)|PdH ,p = то; Pl

oo

2523