О продолжении решений нелинейного уравнения Volterra Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.988.6

О ПРОДОЛЖЕНИИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ УОЬТЕШ1А

© Т. В. Жуковская

Ключевые слова: вольтерровы условно накрывающие отображения метрических пространств; уравнение УоИ;егга; существование решений; продолжение решений.

Для вольтерровых (по А.Н. Тихонову) отображений метрических пространств функций [а, Ь\ —* Мп вводятся определения накрывания и условного накрывания на фиксированном элементе при £ Е С [а, Ь]. Предложенные понятия используются для

исследования нелинейных уравнений УоКегга, не разрешенных относительно неизвестной функции. Доказываются утверждения о существовании и продолжении решений.

В математическом моделировании процессов различной природы широко используются отображения, обладающие свойством вольтерровости. Начало подробному изучению вольтерровых отображений положила работа А.Н. Тихонова [1]. В большинстве исследований рассматриваются уравнения Уо^егга второго рода в функциональных банаховых пространствах. Использование методов теории накрывающих отображений позволяет рассмотреть не разрешенные относительно неизвестной функции уравнения Уокегга в метрических пространствах. Для таких уравнений в работах [2, 3] получены условия локальной разрешимости и корректности. Здесь продолжаются исследования свойств вольтерровых накрывающих отображений и предлагаются утверждения о продолжаемости решений уравнений Уокегга.

1. Определение, свойства накрывающих отображений

Пусть заданы метрические пространства (X, рх), (У,ру). Будем обозначать через Вх(щг), Ох(щг) - замкнутый и, соответственно, открытый шар пространства X с центром в и радиуса г > 0. Пусть заданы множества [/ С I, \¥ С У и отображение F : X -> У. В работах [4, 5] предложены определения свойств накрывания и условного накрывания отображения Р относительно множеств [/, IV. В этих исследованиях предполагается, что множество и — шар в X. В этом частном случае определение накрывания может быть уточнено.

Пусть заданы числа а > 0, Д >0 и элемент г>о € X.

Определение 1. Отображение Р : X -Л У назовем а-накрывающим множество \У СУ относительно шара II — Вх{уо5-Д)> если для любых таких и £ Ох (усь^)? г > 0, что

Р(и) е\у, г + рх{и, Уо) < я, (1)

имеет место включение Ву(Р(и), аг) Р| Ш С Р(Вх(и, г)) • Отвбражение Р : X —> У назовем условно а -накрывающим множество \¥ относительно шара С/, если оно является а -накрывающим множество И^П^С/) относительно и.

Отметим, что если отображение Р является (условно) а-накрывающим относительно множеств II = Вх(уо1 Л), IV (согласно определению [4, 5]), то это отображение будет удовлетворять определению 1, обратное не верно.

При исследовании уравнений удобно использовать следующее очевидное утверждение — критерий накрываемости отображений.

Предложение 1. Отображение Р : X У тогда и только тогда является а -накрывающим (условно а-накрывающим) множество С У относительно шара С/ = Вх(^о>-й),

когда для любых и Е Oxiyo^R), г > 0, удовлетворяющих условию (1), и произвольного у Е W (соответственно, произвольного у Е Wf]F(U) ) , если ру(у, F(u)) < аг, то найдется такой х EU, что F(x) = у, рх(х,и) < г.

В дальнейшем мы систематически используем следующее утверждение о липшицевых возмущениях накрывающих отображений, непосредственно следующее из [6, теорема 1].

Теорема 1. Пусть пространство X является полным. Пусть заданы: отображение Т : X х X —> У, элементы vq Е X, wo = 1l(vo,vo). Предположим, что существуют такие положительные числа а, i?i, R2 и неотрицательное число ß < а, что:

• при любом Х2 Е U = Bx{vo, Ri) отображение Т(*,Ж2) является условно а-накрывающим множество W(x2) = Ву (Т(г>о,#2)?<^-Й2) относительно [/;

• при любом Xi е U отображение T(rri,-) удовлетворяет на множестве U условию Липшица с константой ß\

• для всех и Е U, {щ} С U, у £ By(wo,aR2), если выполнены равенства lim иk = гл,

/с—»оо

lim Т(щ,и) = у, то Т(и,и) = у.

/с—^оо

Для произвольного у Е У положим х(у) ~ (а — /3)_1ру (^г^о), ®(у) — -Вх(^о?*(у))- Гогда для любого у е У, при котором выполнено неравенство

г (у) ^ min{i?i, i?2}, (2)

и имеет место включение

у в f| Т (U,x2), (3)

существует решение х EU уравнения

Т(х,х) = у, (4)

удовлетворяющее оценке px(x,vо) < (а — ß)~lpy(у, wq).

Замечание 1. Если отображение Т(-,Ж2) - X У является "безусловно" а-накрывающим множество W{x2) относительно шара С/, то включение (3) становится следствием неравенства (2) и а— накрываемости [6, замечание 1], и, следовательно, в формулировке теоремы 1 его можно опустить.

2. Определение, свойства вольтерровых отображений

Пусть заданы множества Я, G и пусть определены некоторые множества Х([а,Ь],Н) и У([а,6],С) отображений или классов отображений, определенных на [а,Ь] и имеющих значения, соответственно, в Н и G. Для отображения (или совокупности отображений) х Е Х([а, 6],Я) обозначим ж7 - его сужение (совокупность их сужений) на [а, 7], 7 Е (а, Ъ). Определим отображение П^ : ж 4 ж7. Аналогично, зададим отображение Пу, ставящее в соответствие каждому

у Е У([а,Ь],(т) его сужение у7 на [0,7].

Определение 2. Отображение F : Х([а, Ь],Я) У([а, 6],G) называют вольтерровым

(по А.Н. Тихонову), если для любого 7 Е (а,Ь) и произвольных х,и Е Х([а,Ь],Я), удовлетворяющих равенству П^ж — П^п, имеет место TlyFx = Пу^г/,. Если элементами множеств

Х([а,Ь],Я) и y([a,6],G) являются отображения, то приведенное определение означает, что из равенства аргументов x(t) = u(t) при всех t Е [а, 7] следует равенство образов (Fx)(t) = (Fu)(t) также при всех t Е [а, 7].

В дальнейшем будем пользоваться следующими сокращениями обозначений:

X = Хь = Х([а,Ь],Н), Х^Х([а,7\,Н)=1РхХь,

Y = Yb = Y ([a, b\,G), Y7 = Y([a, 7], G) = П7 У6.

Приведем известные свойства вольтерровых отображений, непосредственно следующие из определения 2 [7, 8].

1. Если отображения F : X -» У, G : У —» Z вольтерровы, то их композиция GF : X —> Z также обладает свойством вольтерровости.

2. Пусть заданы: вольтеррово отображение F : X —»• У, число 70 € (а, Ь), элементы и € X, w = Fu Е У Обозначим

йх((7>Ь]) = {> е Х\\Гхх = П^и}, wY((~/o,b}) = {у €Y\Ulpy = П1[?и)}. (5)

Тогда имеет место включение F(v,x(('y,b])) С wy((70, Ь]), и сужение F : йх((7,6]) —> гоу((70,6]) также будет вольтерровым отображением.

3. Для вольтеррова отображения F : X —> У и числа 7 £ (а, 6) определим отображение F7 : X7 —> У7 равенством

F7cc7 = n^Fx, (6)

где х - любой такой элемент, что П^х = х1. Тогда отображение F7 : X7 —>> У7 также является вольтерровым.

Важным частным случаем вольтерровых операторов являются запаздывающие или т-воль-терровые операторы.

Определение 3. Пусть дано т > 0. Отображение F : Х([а,Ь],Н) —> У([а, 6],G) называют т-вольтерровым, если для любых ж, и £ Х([а,Ь],Н) имеет место соотношение Пу“т^х = Пp~TFu, и при каждом 7 Е (а,Ь) из равенства П^ж = П^, выполненного при всех £ € (а, 7), следует Пу+Г^ж — Пp~rFu.

3. Метрическое пространство X1

Везде далее будем предполагать, что X = Х([а, b],ii) и У = У ([а, b],G) - метрические пространства. Для исследования свойств вольтеррова отображения F : X У нам потребуется, чтобы при любом 7 G (а, Ь) формулы

px-iix1 ,и<) = inf рх{х,и); (7)

\/ж,м |

рут (у7, w7) = inf py(y,w) (8)

I Пу2/=гЛ,

определяли метрики в множествах X7 — X([a,7],if), У7 = y([a,7],G).

Приведем вспомогательные утверждения — аналоги соответствующих результатов работ [2, 3]. П р едложение 2. Если (Х,рх) является полным метрическим пространством, и при некотором 7 € (a,b) формула (7) определяет метрику на множестве XI, то для любого и £ X заданное равенством (5) множество йх((7>&]) замкнуто.

Доказательство. Выберем любую сходящуюся последовательность {щ} С X, для которой при всех г выполнено равенство П= и] = и1. Пусть z, и П\z = z7. Тогда

рх-r(и1, Z7) = px^iu]^1) < рх(щ,г) ->• 0.

Таким образом, рх7(и7,27) = 0, г1 = и1.

Предложение 3. Для того чтобы при произвольном 7 Е (а, Ъ) формула (7) определяла метрику на множестве X7, достаточно, чтобы для любого и Е X определенное равенством (5) множество йх{{1,6]) было замкнутым и выполнялось условие

\ZuEl Vе > 0 Ух7еХ7 ЗхеХ П^х — х7, рх{х, и) < Рх^{х1, и1) + е. (9)

В этом случае если пространство (X, рх) полное, то пространство (X7 ,рх~*) также полное.

Доказательство. Проверим выполнение свойств метрики для функции (7). Пусть Рху(%~*^и1) = 0. Выберем некоторое продолжение и Е X элемента и7 Е X1. Вследствие условия (9), для любого натурального г существует такой элемент х* Е X, что ТС%Х{ — х7, рх{х^и) < Так как множество хх((7>&]) замкнуто, то и Е хх((7>4)- Следовательно,

х1 — и1. Доказательство свойства симметрии очевидно. Для проверки неравенства треугольника возьмем любые х7, гб7, V1 Е X7. Для произвольных е > 0 и элементов х7, гг7 найдем х, и, удовлетворяющие неравенству рхОе?^) < Рх^(х7, и1) + £* Далее, для гг7, г;7, и существует такой V, что рх(^?и) < РхЧи7>у1) + £• Таким образом,

р^х7,^7) + рх7^7,?;7) > рх{х,и) + рх(и,у) -2е> рх{х,ь) -2е> рХ7(х7,г;7) - 2г. Отсюда, вследствие произвольности е, получаем нужное неравенство

р^(х7,г/7) + рх7(гх7,г;7) > рх7(х7,г>7).

Возьмем любую фундаментальную последовательность {х7} С X7. Найдем хх, Х2 £ X так, чтобы П^хх — х7, П^Х2 = х] и Рх(яъяг) < + 2“1. Затем найдем продолжение хз,

для которого рх(х2,^з) — Рх^(®2»жз) + 2“2, и т. д. В результате построим фундаментальную последовательность {х*} С X, которая сходится к некоторому элементу х. Отсюда получим Рх^(х],х'у) < рх(х{,х) —> 0. Итак, пространство X7 полное.

Замечание 2. Усилением условия (9) является условие

\/иеХ Vх7 Е X7 Эх Е X П^х = х7, рх(х,и) = р^(х7,и1). (10)

Если выполнено условие (10), то формула (7) задает метрику на множестве X7. Соответственно, требование замкнутости множества их ((7, Ь]) можно опустить в формулировке предложения 3. Действительно, это предположение использовалось лишь при проверке первого свойства метрики. Но при выполнении условия (10) из равенства рхт(х7, и1) — 0 следует существование таких х, гг, что рх(х,и) = 0. Следовательно, х = и, и х7 = и1.

Приведем примеры метрических пространств, удовлетворяющих условиям рассмотренного предложения 3.

Пример 1. Пусть X является банаховым пространством. Определим стандартную метрику рх{х,и) = ||х — гх||. Для любых 7 Е (а, 6), е > 0, для произвольных х7, г¿7 Е X7 найдутся такие продолжения Хо, од, что рх{%о,щ) < рх7(х7,гх7) + е. Для элемента и такого, что П^гг = г/7, положим х = хо+и — щ* Тогда рх{х,и) — рх{хТаким образом, условие (9) выполнено при любом 7. Для того чтобы расстояние в X7 определялось формулой (7), достаточно потребовать, чтобы множество йх((7>4) было замкнутым в X. А это равносильно замкнутости нулевого класса

0х((7,Ь]) = {хеХ|П^ = П70},

что является [9, глава IV, §1.8] известным условием нормируемости и полноты фактор-пространства Х/дх(Ь,Ь}), изоморфного и изометричного пространству X1.

Пример 2. Пусть дано замкнутое множество М Ç Rn. В множестве Lp([a, Ь],М) измеримых суммируемых в р-ой степени, 1 < р < оо, функций х : [a,b] -> М определим расстояние формулой

ь

PLp(\a,b],M)(X’U) = (У 1®(*) “ Р-

а

Заметим, что в случае М — Мп рассматриваемое пространство превращается в «классическое» банахово пространство Lp([a,6],Rn). Для пространства Lp([a, 6],М) при любом 7 € [а,Ь] выполнены условия предложения 3, и, более того, имеет место свойство (10). Формула (7) для элементов х1, и1 множества Lp([a,7],M) принимает вид

7

PLp([a,7],M)(^75 U1)=[J |*7(Î) - li7(i)|P dt) /P

a

и, очевидно, определяет метрику. Относительно этой метрики пространство Lp([a,7],M) является полным.

Аналогично, легко установить, что условие (10) при любом 7 G [a, 6] выполнено для пространства Loo ([а, 6], М) измеримых существенно ограниченных функций х : [а, Ь] -» М с метрикой

PLoo([a,b},M){x^u) = vrai SUP И*) - иШ>

и для пространства С([а, Ь],М) непрерывных функций х : [a, ft] М,

PC([a,6],M)(*.w) = max |x(i) - u{t)\.

11 tG[a,6]

Приведем важное для нас свойство метрических пространств, удовлетворяющих условию (9) или (10).

П р едложение 4. В пространстве (X, рх) выполнено условие (9) тогда и только тогда, когда для любых и G X, R > 0 имеет место равенство

0X4(u\R) = lPx0x(u,R). (11)

Для выполнения условия (10) необходимо и достаточно, чтобы при всех и G X, R > 0 обеспечивалось равенство

BXl(u\R) = lPxBx(u,R). (12)

Доказательство. Возьмем произвольный элемент х7 G Од--. (н~:'. R). Положим е = 2~l(R — рх~ (ж7, w7))• Если выполнено условие (П7), то существует такой элемент х G X, что рх(х,и) < рх~<(®71 и7) + е < R. Следовательно, х € Bx-/{u'1,R). Таким образом, доказано включение Ох-t(*t7, Д) Ç П^Ох(и, Л). В силу определения (7) метрики в пространстве X7 всегда имеет место включение 0х^(м7,Л) 2 П^Ох(^, Д). Итак, равенство (11) доказано.

Обратно, предположим, что имеет место (11). Выберем любые е > 0, х1 € X7, и Е X.

Примем Л = рх7 (ж7, и7) + е. Имеем ж7 G Оху(иу, R)- Тогда из (11) следует, что существует

такой элемент х G Ox~f{u7>-R), что = ж7. Таким образом, рх(х, и) < pX't(x~f, и1) + е.

Условие (9) выполнено.

Аналогично устанавливается равносильность условия (10) равенству (12).

4. Разрешимость уравнений Volt erra

Пусть заданы элемент у G У и вольтерровый оператор F : X —> Y. Рассмотрим уравнение

Fx = y (13)

относительно неизвестного х G X. Для каждого 7 G (а, Ь) определим равенством (6) оператор F7 : X1 У7 и положим у7 — Пуу.

Определение 4. Если для некоторого 7 G (а,Ь] существует элемент х7 G X7, удовлетворяющий равенству

F7x7 = у7,

то уравнение (13) будем называть разрешимым, а класс х7 G X7 - его решением, определенным на [а, 7]. Если при этом 7 < Ь, то будем говбрить о локальной разрешимости уравнения (13), называя решение х7 локальным.

В случае, когда X - банахово пространство, вольтерров оператор F : X —> X имеет представление F = / — К , где I - тождественный оператор, разрешимость уравнения (13) подробно исследована [7, 10]. Теорема 1 позволяет нам рассмотреть уравнение (13) в гораздо более общей ситуации.

По-прежнему считаем X, Y метрическими пространствами и предполагаем, что равенства (7),(8) задают метрики в пространствах X1, У7. Для исследования разрешимости уравнения (13) нам потребуется связать накрываемость и липшицевость оператора F7 : X7 У7 со свой-

ствами исходного вольтеррового оператора F : X У Следующий пример, приведенный в [2], показывает, что возможна ситуация, когда оператор F : X —» У является а-накрывающим, а оператор F7 : X7 —» У7 этим качеством не обладает.

Пример 3. Пусть элементами пространства X = Х([0,1], {0,1}) являются функции

/.ч Г 0, если íGÍ0,c], если f € (с> !],

а расстояние задано формулой px{xCl,xC2) = |ci — C2I- Оператор F : X —> X определим равенством

(Fxc)(t) = xc(t2) = æ^t).

Так как t2 < t на [0,1], то этот оператор вольтерров. При отображении F образом шара Bx{xCq , г) = { хс | с € [со—г, со+г] } является шар { жс | с € [\/со — г, л/cq + г] }, диаметр которого д/со + г — у/со — г, согласно теореме Лагранжа, равен (2v/c)_12r, где с е [со — г, со + г] С [0,1]. Поэтому отображение F является 2-1 -накрывающим. Теперь выберем любое 7 € (0,1) и рассмотрим шар W = {xi, | с G [72,7] } С X7. Так как для с € [j2,7] выполнено \/с > то F1U1 = {æ7 = 0}. Таким образом, при любом 7 6 (0,1) отображение F1 : X1 -> X7 здесь не является а-накрывающим ни при каком положительном значении а.

Пусть 6 € (0,6 — о]. Предположим, что в пространстве *X выполнено условие (10) при

7 = а + 5. Для vq G X, R > 0 обозначим U = Bx(v0,R), Ua+S = U^SBx(vo,R)- Согласно предложению 4 выполнено Ua+S = BXa+s(v%+5,R).

Пусть заданы числа а > 0 /3 > 0 и множество W С У

Определение 5. Вольтеррово отображение F : X -* У назовем (условно) а-накрывающим множество W С У относительно шара U при t G [a,a + Æ], если отображение Fa+<5 : Ха+5 —у Ya+Ó будет (условно) а-накрывающим множество Wa+S = Пу^И^ С Ya+S относительно шара Ua^~s.

Следующее определение является обобщением понятия локального сжатия, введенного и использовавшегося в работах [10, 11] для случая банахова пространства X, /3 < 1, U = X.

Определение 6. Вольтеррово отображение F : X —у Y назовем ß -липшицевым относительно U при t G [а, а + <5], если для любых Х\,Х2 G U выполнено неравенство

Pya+6(IIy+5Fxi, Пу+<^ж2) < ß ■ рх(хi, ж2).

Определенное здесь свойство липшицевости сохраняется при уменьшении отрезка, т. е. если вольтерров оператор F является /3-липшицевым при t G [а, а + 5], то для произвольного а G (0,5), оператор F будет /3-липшицевым при t G [а, а + <т].

Отметим, что в отличие от классического условия Липшица определенное здесь свойство не влечет за собой непрерывность соответствующего оператора. Так, например, т-вольтерров оператор является ß -липшицевым относительно всего X при t G [а, а + т], причем для него константа /3 — 0. При этом т -вольтерров оператор конечно не обязан быть непрерывным. В [10] приведен пример оператора, удовлетворяющего определению 6 и разрывного в каждой точке.

Сформулируем признак локальной разрешимости уравнения (13) в случае, когда рассматриваемое уравнение может быть записано в виде (4) с вольтерровым отображением Т : X х X —> Y.

Будем предполагать, что метрические пространства X, Y при любом 7 Е (а, Ь) удовлетворяют условию (10) кроме того, что пространство X полное.

Теорема 2. Пусть заданы: отображение Т : X х X -+ Y, являющееся вольтерровым по каждому аргументу, и элементы г>о Gl, г^о = Предположим, что существуют

такие положительные числа R\, Ä2, ^2 > <$ъ а и 'неотрицательное число ß < а, что:

• при любом Х2 G U = J3x(^o>Äi) отображение Т(-,Х2) условно а-накрывает map W(x2) = = Бу(Т (^0,^2) ,0^2) относительно шара U при t G [а, а + ¿1];

• при любом х\ G U отображение Т(жх,-) является ß-липшицевым относительно U при t G [а, а + ¿2]?

• для всея; и G С/, {u/J С С/, уа+(51 G Вуа+б! (го^1, ai?2) из следующих двух равенств lim Uk — и, П^1 lim T(ufc,n) = уа+51 вытекает Пу+5хТ(гг, и) = уа+<51.

/с->оо /с—>оо

Для произвольного у EY положим

t(ya+s') = (а - /TV-Hi (ya+5l,^+Ä1),

®(2/а+51) = { х G X I П^ж € B*«+il (<+51, г(г/а+<51)) }.

Тогда для любого у 6 F, при котором выполнено неравенство v(ya+Sl) ^ min{i?i, Д2}, и имеет место включение

ya+Sl € П“+51 f| Т([/,ж2), (14)

Я2е®й/а+|51)

существует определенное на [а, а + ^i] решение xa+Sl € f/a+Ä1 уравнения (4), удовлетворяющее оценке

ßx*+sx{xa+5\<Sl) < (a-^)-Vy0+il(ya+5l,^+51)-

Доказательство. Условия этого утверждения обеспечивают выполнение соответствующих предположений теоремы 1 для отображения Ya+äl : Xa+Ä1 х Xa+<Sl —> Ya+Sl, задаваемого равенством Та+|51 (ж“+<51, Жз+51) = Пу+<51Т(ж1, ж2), где ху.х2 € X - произвольные продолжения функций Жд+Й1,Ж2+Й1 € Ха+&1. При этом, согласно предложению 4, в силу (10) множества Ua+Sl, Wa+Sl(ж2 ) являются шарами Bxa+s1 {vq+Si, -Ri), Bya+s1 (T°+<51 (vq+<51 ,), aД2)•

5. Продолжаемость решений уравнений Уокегга

Приведем определение важнейшего свойства продолжаемости решений уравнения (13) с воль-терровым отображением Р : X —> У.

Пусть даны числа г) Е (а, Ь), 6 Е (0, Ъ — г\].

Определение 7. Решение хЕ Х77“^ уравнения (13) называем продолжением решения х77 Е X77, а решение х11 Е X77 - частью решения х11+6 Е Х77-^, если существует такой элемент х Е X, что х77 = П^х, х77“^ = П^^х.

Сформулируем условия продолжаемости решения уравнения (4). По-прежнему считаем заданными ^ЕХ, Д > 0, и = Вх(уо> Л).

Определим равенством (5) множество ^ох((77»Ч). Считаем ЩхИ'Пч^7 + ^]) метрическим пространством с метрикой пространства Далее, ПОЛОЖИМ

ййКМ]) = {ж € с/ I = П^г/0} = ¿7ПЩх((т?,6]).

Так как и = Вх(уо, Я), то г}ос/((77, Ь]) также будет шаром радиуса Д в пространстве ^о^((т7, Ь]), т. е. ?%((?/, 6]) = 5Щх((77>ь])(г;о,Л).

Предположим, что в пространстве X выполнено условие (10) при 7 — г) + 5. Тогда в пространстве ЩхИ1!^}) также будет выполнено условие (10) при 7 = 77 + 5. Положим

«0*((»7.»7 + <5]) =П^5г^л-((7.Ь]), + <Ч) = П-х~%и((г), &])•

Согласно предложению 4, имеем + <Ч) — Вщх(('п,'п+й})(у°11+6> &)-

Аналогично, для элемента г^о = Руо зададим множества

™оу(0?> Ь]) = {у е У | Ну у = П», Ь]) = \¥П Щу{{г), Ь]),

Щу({17, г/ + <5]) = Щ^6Щу((г],Ь]), Щщ((г],г1 + 6]) ^Щ^6ЩПг{('п,Ь]).

Считаем Щу((г},г) + 6]) метрическим пространством (с метрикой пространства У71^6). Множество + $]) является подмножеством этого пространства.

Определение 8. Вольтеррово отображение Р : X —> У назовем (условно) а-накрывающим множество \¥ относительно шара II — Вх(уо^Щ на элементе Уо при

t Е (77,77 + <5], если отображение Р77+5 : ЩхИ'П^7] + $]) ЩуЦ7!^ + $]) будет (условно)

а-накрывающим множество гйо^/((т7, V + 5]) относительно шара V + <Ч)-

Определение 9. Вольтеррово отображение Р : X -* У назовем /3 -липшицевым относительно шара ¡7 на элементе и при Ь Е (77,77 + <5], если для любых хх,х2 £ йх((77,Ь]), (т. е. для XI, Х2 Е и, удовлетворяющих условию П^Х1 = П^Х2 = П^и), выполнено неравенство

Руа^Тф^хи Тф*Гх2) < Р • рх{хI, Х2).

Будем предполагать, что метрические пространства X, У при любом 7 Е (а, Ь) удовлетворяют условию (10) кроме того, что пространство X полное.

Теорема 3. Пусть заданы: отображение Т : X х X —» У, являющееся вольтерровым по каждому аргументу, элементы Е X, гио = Т(г>о,^о) и число 77 Е (а,Ь). Предположим, что существуют такие положительные числа Дх, /?2? ^2 > ¿ъ ^ и неотрицательное число

/3 < а, что:

• для любого Х2 Е vöu((Vib}) = Вщх^Г)^(уо, R\) отображение Т(-,Х2) является условно

а-накрывающим шар W(x2) = Ву (Т(г?о, £2)? CXR2) относительно шара U = Bx(vq, Ri) на

элементе vq при iE (77,77 + 61};

• при любом х\ £Щи({77, Ь]) отображение T(xi,-) является ß -липшицевым относительно шара U на элементе vq при t Е (77,77 + ¿2] ;

• для всех и € üöt/((j7,b]), {«*} С 7%((т7,6]), у77-1"51 G ß^y((iJi7;+äl])(y;2+'5l,a;Ä2) из следующих

двух равенств lim щ = и, Пу+<51 lim Т(щ,и) = y^+5i вытекает Пу+<51Т(и,и) =

к—>00 /с—>оо

Для произвольного у Е Щу((г],Ь]) положим

<У,+*) = (О - ßr'l'yn^ (у”и‘, «Г*),

»(¡/”+й) = (« ®м((ч,Ч) I П?АХ £ Вщх((м+Л1)(»о’'+''‘.'(!<’,+Л)) }'

Тогда для любого у Е Щу((77, Ь]) , Л/ш которого выполнено неравенство

t{yv+51) ^mm{Ri,R2},

и имеет место включение

yv+sl€ щНг Р| т{v5x((V,b]),X2), (15)

Х2 (yr)+Sl)

существует определенное на [а, 77 + ii] решение х11+01 Е Щи((г1,г] + <5i]) уравнения (4) (очевидно, являющееся продолжением решения vq1 ), удовлетворяющее оценке

Pxv+Si (xv+Sl, V(P+6') ^ (а- ß)~XpY>1+Si (fl+Sl, WQn+h ).

Доказательство следует из выполнения условий теоремы 1 для отображения Тч+51 : Щх((V,V + ¿1]) xvöx((v,v + öi]) ->%((г|,») + У)'

Замечание 3. В формулировках теорем 2, 3 условия (14), (15) становятся излишними и могут быть опущены, если отображение Т(*, Х2) является мбезусловно1’ а-накрывающим множество У/{х2) относительно шара и при £ Е [а, а+ 61} и, соответственно, при £ Е (77,77 + ^1] (см. замечание 1).

ЛИТЕРАТУРА

1 . Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применениях к некоторым зада-

чам математической физики // Бюл. Моск. ун-та. Секц. А. 1938. Вып. 8. Т. 1. С. 1—25.

2 . Arutyunov A.V., Zhukovskii E.S., Zhukovskii S.E. Covering mappings and well-pos£dness of nonlinear

Volterra equations // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. 2012. V. 75, I. 3. P. 1026-1044.

3 . Жуковский E. С. Обобщенно вольтерровые операторы в метрических пространствах // Вестник Там-

бовского университета. Серия Естественные и технические науки. 2009. Т. 14. № 3. С. 501-508.

4 . Arutyunov A., Avakov Е., GeVman В., Dmitruk A., Obukhovskii V. Locally covering maps in metric spaces

and coincidence points // J. Fixed Points Theory and Applications. 2009. V. 5. № 1. P. 105-127.

5 . Арутюнов А.В., Аваков Е.Р., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к диф-

ференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.

6 . Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О корректности дифференциальных уравнений,

не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 1523-1537.

7 . Жуковский Е. С. Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтерра // Мате-

матический сборник. 2006. Т. 197. № 10. С. 34-56.

8 . Жуковский Е. С., Алвеш М.Ж. Абстрактные вольтерровы операторы // Известия вузов. Математика.

2008. № 3. С. 3-17.

9 . Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 с.

10 . Жуковский Е.С. Нелинейное уравнение Вольтерра в банаховом функциональном пространстве //

Известия вузов. Математика. 2005. № 10 (521). С. 37-48.

11 . Бурлаков Е.О., Жуковский Е.С. Непрерывная зависимость параметров решений уравнений Вольтер-

ра с локально сжимающими операторами // Известия вузов. Математика. 2010. № 8. С. 16-29.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 11-01-00645) и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 гг.» (контракт № 16.740.11.0426 от 26 ноября 2010 г.).

Поступила в редакцию 11 апреля 2012 г. Zhukovskaya T.V. On continuation of solutions of nonlinear Volterra equation.

For the Volterra (in the sense of A.N. Tikhonov) mappings in metric spaces of functions [a, b] —>• Rn the definitions of covering and conditional covering on a fixed element for t Є [¿1,^2] С [a, b) are presented. The considered concepts are used for studying nonlinear Volterra equations unsolved for the unknown function. The statements on existence and continuation of solutions are proved.

Key words: conditionally covering Volterra mappings in metric spaces; Volterra equation; existence of solutions; continuation of solutions.