CC BY
23
УДК 517.988.52
КОРРЕКТНОСТЬ УРАВНЕНИЙ С ОБОБЩЕННО ВОЛЬТЕРРОВЫМИ ОТОБРАЖЕНИЯМИ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
© Е.С. Жуковский, Т.В. Жуковская, М.Ж. Алвеш
Ключевые слова: метрическое пространство; вольтеррово отображение; корректная разрешимость уравнений; локальное решение.
Исследуются условия разрешимости и корректной разрешимости уравнений с вольтер-ровыми операторами в метрических пространствах. Вольтерровость понимается как сохранение оператором цепочки отношений эквивалентности. Данное понятие при соответствующем выборе системы отношений эквивалентности включает в себя известные трактовки свойства вольтерровости, эволюции, причинности и т. д.
В работах [1, 2] для отображений банаховых пространств было предложено понятие вольтерровости на системе отношений эквивалентности и исследованы уравнения с операторами, обладающими данным свойством. При соответствующем выборе системы отношений предложенное понятие равносильно различным известным трактовкам свойства эволюции, причинности операторов, в том числе классическому определению вольтерровости по А.Н. Тихонову. В работе [3] начато исследование разрешимости уравнений с вольтерро-выми на системе отношений эквивалентности операторами в метрических пространствах. Здесь мы продолжаем эти исследования и рассматриваем проблему корректности таких уравнений.
Пусть для каждого 7 € [0,1] в метрическом пространстве (X, р) определено отношение эквивалентности и(7). Предположим, что совокупность V = { и(7) | 7 € [0,1] } рассматриваемых отношений удовлетворяет трем условиям:
1) и(0) = X2 (т.е. при 7 = 0 любые два элемента являются и(0) -эквивалентными);
2) 7 = 1 соответствует отношение равенства (т.е. никакие два разных элемента не вступают в отношение и(1));
3) если 7 > п, то и(7) С и(п) (любые два и(7) -эквивалентных элемента х, у € X будут и(п) -эквивалентными, если 7 > п).
Обозначим х7 — класс и(7) -эквивалентности элемента х € X. Всюду далее также предполагается, что при любом 7 € [0,1] каждый класс эквивалентности замкнут, а в фактор-множестве X/u(7) равенство
^(х7,й7) = _1п^ _ р(х,и) (1)
определяет расстояние, относительно которого X/u(7) является полным метрическим пространством. Условия, обеспечивающие это, могут быть получены из утверждения 1 о метризации фактор-пространств работы [3].
Определение 1 [1]. Оператор ^ : X ^ X будем называть вольтерровым на системе V, если для каждого 7 € (0,1) и любых х, у € X из (х, у) € и(7) следует
1669
(Fx, Fy) € u(y). Таким образом, вольтерровый оператор сохраняет отношение эквивалентности u(y) при каждом 7 € (0,1), отображая эквивалентные элементы пространства X в эквивалентные.
Отметим общность приведенного определения. Ему, например, удовлетворяет линейный оператор, действующий в линейном метрическом пространстве X, обладающий упорядоченной по вложению системой инвариантных подпространств Х7, 7 € (0,1). Для такого оператора следует определить отношение эквивалентности и(7) следующим образом:
(x,y) € u(y) ^ x — y € XY.
Вольтерровость по А.Н. Тихонову оператора, действующего в пространстве функций, заданных на отрезке [a, b], равносильна вольтерровости на системе отношений
(x,y) € u(y) ^ x(t) = y(t), Vt € [a, a + 7(b — a)]. (2)
При соответствующем выборе системы отношений эквивалентности из приведенного определения могут быть получены и другие известные определения вольтерровости.
Определим при любом 7 € (0,1) каноническую проекцию П7 : X ^ X/u(y) равенством П7 x = xY. Для вольтеррового на системе V оператора F : X ^ X обозначим
Fy : X/u(y) ^ X/u(y), FyxY = П7Fx,
где x - любой элемент класса . Это определение корректно, поскольку, вследствие вольтерровости оператора F, образы любых двух и (7) -эквивалентных элементов x,y € X принадлежат одному классу u(y) -эквивалентности, т. е. П7 Fx = П7 Fy.
Рассмотрим уравнение
x = Fx, (3)
с вольтерровым на системе V оператором F : X ^ X.
Определение 2. Если для некоторого 7 € (0,1) существует класс эквивалентности ZY € X/u(y), удовлетворяющий равенству ZY = FY ZY, то уравнение (3) будем называть локально разрешимым, а класс ZY - его и (7) -локальным решением. Элемент Z € X, удовлетворяющий уравнению (3), назовем глобальным решением. Отождествляя элемент z € X с классом и(1) -эквивалентности Zi = {z}, содержащим лишь один этот элемент, будем глобальным решением считать также класс Zi. Если 0 < £ < 7 ^ 1 и если Z7, Zg - соответственно и (7) -локальное (или глобальное при 7 = 1) и и(£) -локальное решения, удовлетворяющие включению Z7 С Zg, то будем называть решение Z7 продолжением решения Zg , а решение Zg частью решения Z7. Заметим, что для произвольного локального или глобального решения Z7 при любом £ € (0, 7) существует единственный класс Zg € X/u(£), для которого имеет место ZY С Zg. Класс Zg будет частью решения Z7. Этот факт позволяет отождествить каждое локальное или глобальное решение Z7 с отображением, ставящим в соответствие числу £ € (0,7] такой класс Zg € X/u(£), что ZY С Zg. Имея в виду это отображение, будем говорить, что решение ZY определено на (0,7]. Отображение £ € (0,7) ^ Zg € X/u(£), удовлетворяющее условиям:
V п, £ 0 <n<£<7 ^ Zg С Zn , V y € X lim d(Zg ,yg ) = то,
g^T-0
будем называть предельно продолженным решением, определенным на (0, 7). Любое сужение такого отображения на (0, п] С (0,7) (конечно, являющееся локальным решением) будем называть частью предельно продолженного решения.
Определенные здесь понятия локального, глобального, предельно продолженного решений являются естественным обобщением понятий решений дифференциальных уравнений,
1670
интегральных уравнений Уо^егга, функционально-дифференциальных уравнений эволюционного типа, других уравнений с вольтерровыми по А.Н. Тихонову операторами. Для перечисленных уравнений решение ищется в каком-либо множестве функций, определенных на [а, Ь]. Под локальным решением понимают функцию гс, определенную на [а, с], с < Ь, и удовлетворяющую на этом отрезке заданному уравнению. Функция может считаться классом функций, являющихся всевозможными ее продолжениями на весь [а, Ь]. Таким образом, «классические» определения решений эволюционных уравнений равносильны приведенным выше, если на соответствующем множестве функций определить систему отношений (2).
Пусть операторы ^, ^ : X ^ X являются вольтерровыми на V. Будем предполагать, что последовательность операторов {^} 'равномерно сходится к оператору ^, т. е. для любой сходящейся последовательности {Хі} С X, жг ^ X выполнено ^ Жг ^ ^ж. Нас будут интересовать условия разрешимости уравнений
Хг = ^ Хі, (Зі)
и сходимости последовательности решений уравнений (Зі) к решению уравнения (3). Такую сходимость часто называют непрерывной зависимостью решений уравнения (3) от параметров, или корректностью этого уравнения. Проблема непрерывной зависимости решений уравнения от параметров возникает при обосновании математических моделей. Поскольку в прикладных задачах константы функции могут быть найдены лишь с некоторой точностью, то необходимо, чтобы малые погрешности в определении параметров уравнения не приводили к большим отклонениям решений.
Определение 3. Оператор ^ : X ^ X назовем 'равномерно локально сжимающим на системе V, если существуют такие числа д < 1, т > 0, что при всех ж, у Є X выполнены условия:
1. V 7 Є (0, т) ^(П7^ж, П^у) ^ д ■ ^(П7ж, П7у)
2. V £,7 Є (0,1] £<7<£ + т ж Є ^ ^ П7 #х, П7 ^у) ^ д ■ П7 ж, П7 у).
Класс равномерно локально сжимающих на системе V операторов достаточно широк. Ему, конечно же, принадлежат не только сжимающие операторы. Свойством локальной сжимаемости могут обладать операторы, не являющиеся непрерывными и ограниченными.
Определение 4. Операторы ^ : X ^ X, і = 1, 2,..., назовем равностепенно локально сжимающими на системе V, если существуют такие числа д < 1, т > 0, что для каждого натурального і при всех ж, у Є X выполнены условия:
1. V 7 Є (0, т) 4П7^ж, П^у) ^ д ■ 4П7ж, Пу)
2. V £,7 Є (0,1] £<7<£ + т ж Є у^ ^ ^(П7 ^ж, П7 ^іу) ^ д ■ ^(П7 ж, П7 у).
Отметим, что, если последовательность вольтерровых равностепенно локально сжимающих на V операторов ^ : X ^ X, і = 1,2,..., поточечно сходится к оператору ^ : X ^ X ( т. е. при каждом ж Є X выполнено ^ ж ^ ^ж), то оператор ^ будет 'равномерно локально сжимающим на V.
Теорема. Пусть последовательность вольтерровых, равностепенно локально сжимающих на системе V операторов ^ : X ^ X, і = 1, 2, ... , непрерывно сходится к оператору ^ : X ^ X. Тогда при каждом і уравнение (Зі) имеет единственное глобальное решение , всякое локальное решение этого уравнения будет частью глобального решения гг; уравнение (3) также имеет единственное глобальное решение г, а всякое локальное решение будет его частью, и имеет место соотношение гг ^ г.
1671
Из приведенного утверждения можно получить условия однозначной разрешимости уравнения (3), достаточно положить Fj = F при всех i.
Следствие. Если оператор F : X ^ X вольтерровый 'равномерно локально сжимающий на системе и, то уравнение (3) имеет единственное глобальное решение, а всякое локальное решение будет его частью.
ЛИТЕРАТУРА
1. Жуковский Е. С. Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтера // Математический сборник. 2006. Т. 197. № 10. С. 33-56.
2. Жуковский Е.С., Алвеш М.Ж. Абстрактные вольтерровы операторы // Известия вузов. Математика. 2008. № 3 (550). С. 3-17.
3. Жуковский Е.С. Обобщенно вольтерровые операторы в метрических пространствах // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2009. Т. 14. Вып. 3. С. 501-508.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 0901-97503); АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» (проект № 2.1.1/1131); ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы» (государственные контракты № П688, № 14.740.11.0349, № 14.740.11.0682); темплана 1.5.10.
Поступила в редакцию 20 августа 2010 г.
Zhukovskiy E. S., Zhukovskaya T. V., Alvesh M. Zh. Correctness of equations with generalized Volterra mappings of metric spaces.
The conditions of solvability and correct solvability of equations with Volterra operators in metric spaces are under discussion. Volterra property is understood as preservation by an operator of a series of equivalence relations. This concept, with appropriate choice of equivalence relations system, includes the known interpretations of Volterra property, evolution, reasoning etc.
Key words: metric space; Volterra mapping; correct solvability of equations; local solution.
1672
