Обобщенно вольтерровые операторы в теории функционально-дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

• если 0 < £ < j < £ + т и если x(t) = u(t) при t £ [a, a+£], то имеет место (5);

5) коэффициенты qF ,qv удовлетворяют условию qF (qv + 1) < 1.

Тогда для любого T £ [a,b] задача Коши (1, 2, 3) имеет единственное глобальное решение w £ ACS([a, b], Rn, To), любое локальное решение является сужением w; если последовательность Ti сходится к To, то для соответствующих решений задачи (1, 2, 3) выполнено Pacs(wi,w) ^ °

ЛИТЕРАТУРА

1. Жуковский Е.С. Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтерра // Матем. сб. М., 2006. Т. 197, №10. С. 33-56.

Жуковская Татьяна Владимировна Тамбовское высшее военнное авиационное инженерное училище радиоэлектроники Россия, Тамбов e-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 23 апреля 2007 г.

ОБОБЩЕННО ВОЛЬТЕРРОВЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ТЕОРИИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1

© Е.С. Жуковский, M. J. Alves

Будем пользоваться следующими обозначениями: Rn — пространство векторов, имеющих n действительных компонент, с нормой | • |; ц — мера Лебега на отрезке [a, b]; L([a, b], ¡і, Rn) — пространство измеримых суммируемых функций y : [a, b] ^ Rn с нормой \\у\\ь = fa |y(s)| ds; AC ([a, b], і, Rn) — пространство таких абсолютно непрерывных функций x : [a,b] ^ Rn, что x Є L([a,b], і, Rn), с нормой ||ж|Цс = |x(a)| + \x\\L-

Работа продолжает исследования [1,2] обобщенно вольтерровых операторов.

Определение 1. Пусть каждому 7 Є [0,1] поставлено в соответствие отношение эквивалентности и (7) на множестве B, и пусть совокупность V = { и(7) | Y Є [0,1] } заданных отношений удовлетворяет условиям: и(0) = B2; Y > П ^ v(l) ^ v(v)'; и(1) = = { (x,x) x Є B }. Оператор F : B ^ B будем называть вольтерровым на системе V, если для каждого 7 Є (0,1) и любых x,y Є B из (x, у) Є v(j) следует (Fx, Fy) Є v(j).

Получены условия, гарантирующие непрерывную зависимость решений уравнений с вольтерровыми на системе и операторами от параметров. Проблема непрерывной зависимости решений уравнения от параметров возникает при обосновании математических

хРабота выполнена при поддержке РФФИ (проект №07-01-00305) и темплана №1.6.07.

Supported by Sida-Sarec Global Research in Mathematics, Statistics and Informatics.

моделей, так как в прикладных задачах константы, функции могут быть найдены лишь с некоторой точностью. Модель считается корректной, если погрешности в определении параметров процессов не приводят к большим отклонениям решений моделирующих уравнений. Понятие корректности введено в математику Ж. Адамаром (1923 г.). Проблеме корректности абстрактных операторных и конкретных интегральных, дифференциальных, функционально-дифференциальных уравнений посвящены многие работы (описание результатов и библиография содержатся в обзоре Г.М. Вайнико [3]). Использование известных результатов в случае вольтерровых операторов встречает серьезные затруднения, связанные с тем, что решения, соответствующие разным значениям параметра, могут иметь разные области определения. В то же время, возможность рассмотрения решений на малых промежутках аргумента - «времени» позволяет получать специфические утверждения о корректности, имеющие место только для уравнений Volterra.

Результаты исследования абстрактных уравнений Volterra применены к нахождению условий непрерывной зависимости решений эволюционных функционально-дифференциальных уравнений от параметров (начальных условий, возмущений операторов, величин запаздываний, и т.д.). В качестве примера рассмотрим утверждение о непрерывной зависимости решений системы дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием от величины запаздывания.

Пусть функция f : [a, b] x Rn x Rn удовлетворяет условиям Каратеодори: измерима по первому аргументу, непрерывна по совокупности второго и третьего аргументов, и для любого r > 0 существует такая функция gr G L([a, b], ц, R), что при всех x,y G Rn, удовлетворяющих условию \x\ ^ r, \y\ ^ r, выполнено \f (t,x,y)\ ^ gr(t). Далее, пусть функция ф :

(—œ, a) ^ Rn измерима и ограничена в существенном, отклонения аргумента Ti : [a, b] ^ R при любом i = 1, 2,... измеримы, Ti(t) ^ 0 при почти всех t G [a, b], и vraisup \Ti(t) —t(t)\ ^ 0.

tE[a,b]

Сформулируем условия сходимости последовательности решений задач Коши

X i (t) = f (t,Xi(t),Xi(t — Ti(t))), t G [a,b], i = 1, 2,...

xi(£) = ф(0, если tG [a,b], (1i)

xi(a) = a,

к решению задачи ( )

x(t) = f(t,x(t),x(t — t(t))), t G [a,b],

x(è = <p(0, если tG [a, b], (1)

x(a) = a.

Определение 2. Локальным решением задачи (1) или (1i) считаем абсолютно непрерывную функцию — элемент пространства AC([a, п], i, Rn), удовлетворяющую соответствующему уравнению при почти всех t G [a,n], a < п < b, и начальному условию. Глобальным решением уравнения задачи (1) или (1i) называем абсолютно непрерывную функцию, принадлежащую AC ([a, b], i, Rn), удовлетворяющую соответствующему уравнению при почти всех t G [a, b] и начальному условию. «Начальное» значение решения в точке a может отличаться от ф(a — 0).

Обозначим E = {t \ t — t (t) = a, 3 ik ^ œ t — Tik (t) < a}, T (e) = {t \ t (t) < e }.

Т е о р е м а 1. Пусть l(E) = 0; пусть существуют такое положительное e и такое q, что для любых x\, x2, yi, У2 G Rn при почти всех t gT(e) выполнено неравенство \f(t,xl,yl) — f(t,x2,y2)\ ^ q(\xl — x2\ + \yl — y2\), а для любых xl, x2, y G Rn при почти всех t G [a,b] — неравенство \f(t,xi,y) — f(t,x2,y)\ ^ q\xi — x2\. Тогда для любого a найдется такой номер I, что при каждом i > I задача (1i) имеет единственное глобальное решение xi G AC ([a, b], i, Rn), являющееся продолжением всякого локального решения; последовательность этих решений сходится к единственному глобальному решению x G AC([a,b], i, Rn) задачи (1), которое будет продолжением всякого локального решения этой задачи, то есть \\xi — x||^c ^ 0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Жуковский Е.С. Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтерра // Матем. сб. М., 2006. Т. 197, №10. С. 33-56.

2. Жуковский Е.С. Alves M.J. О единственности решений уравнений Volterra // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. Тамбов, 2006. Т. 11. Вып. 3. С. 262-267.

3. Вайнико Г.М. Регулярная сходимость операторов и приближенное решение уравнений // Математический анализ (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР). М., 1979. Т. 16. С. 5-53.

Жуковский Евгений Семенович Тамбовский государственный ун-т Россия, Тамбов e-mail: [email protected]

Manuel Joaquim Alves Eduardo Mondlane University Maputo, Mozambique e-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 30 апреля 2007 г.

LYAPUNOV REDUCIBILITY AND STABILIZATION OF NONSTATIONARY

SYSTEMS WITH OBSERVER 1

© V. A. Zaitsev

Consider a linear control system with observer

x = A(t)x + B(t)u, y = C(t)x, (t,x,u,y) £ , (1)

with measurable bounded coefficients. Let us construct the estimator x of the state x for system (!);

x = A(t)x + V(t)(y(t) — C(t)x) + B(t)u, x <£ R™.

Let the control law be u = U(t)x. Then closed-loop 2n-dimensional system is

f A(t) B(t)U (t) \ (x

%) = \v(t)c(t) A(t) + B(t)u(t) - v(t)c(t)) •

Let X = x — x. If we replace (x, X) by (x, æ) in (2), we obtain

X \ = /A(t) + B (t)U (t) —B (t)U (t) \ /x

x) \ 0 A(t) — V (t)C (t) J l^X

(2)

(3)

Theorem 1. Suppose system, (1) is uniformly completely controllable and uniformly completely observable (when u = 0). Then for any numbers X, fi £ R there exist measurable bounded control functions U(t),V(t) and a bounded piecewise continuous matrix S(t) such that

^The work is supported by RFBR (grant №06-01-00258).