CC BY
65. Агаловяп Л.А. Асимптотическая теория анизотропных пластин и оболочек. М.: Наука, 1997.
6. Ворович И.И. Некоторые результаты и проблемы асимптотической теории пластин и оболочек: Мат-лы I Всесоюз. школы по теории и численным методам расчета оболочек и пластин. Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1975. 51-149.
7. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976.
8. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974.
9. Дудченко A.A., Лурье С.А., Образцов И.Ф. Анизотропные многослойные пластины и оболочки // Механика деформируемого твердого тела. Т. 15. М.: ВИНИТИ, 1983. 3-68.
10. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М.; Л.: Гостехиздат, 1947.
11. Григоренко Я.М., Василенко А. Т. Задачи статики анизотропных неоднородных оболочек. М.: Наука, 1992.
12. Горбачев В.И., Симаков В.А. Операторный метод решения задач о равновесии упругой неоднородной анизотропной плиты // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2004. 2. 55-64.
13. Горбачев В.И., Толстых О.Ю. Об одном подходе к построению технической теории неоднородной анизотропной балки // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2005. 6. 137-121.
14. Горбачев В.И., Фирсов Л.Л. Новая постановка задачи теории упругости для слоя // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2011. 1. 114-121.
15. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988.
16. Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Лекции по теории упругости. М.: Эдиториал УРСС, 1999.
17. Зубчанинов В.Г. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1990.
18. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М.: Изд-во МГУ, 1969.
19. Тимошенко С.П. История науки о сопротивлении материалов: С краткими сведениями из истории теории упругости и теории сооружений. М.: Либроком, 2009.
20. Гекторис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985.
21. Победря В.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1995.
22. Вердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983.
23. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: ГИТТЛ, 1957.
24. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины. Новосибирск: Наука, 2001.
25. Горбачёв В.И. Инженерная теория деформирования неоднородных пластин из композиционных материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. 2016. 22, № 4. 585-601.
Поступила в редакцию 28.03.2017
УДК 532.591, 531.5.031
ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВЕТРОВОЙ НАГРУЗКИ
А. В. Звягин1, К. В. Сапунов2
Изучается движение полупространства идеальной несжимаемой жидкости в поле сил тяжести под периодическим воздействием давления на ее поверхность. Задача решается в приближении волн малой амплитуды. Найдены аналитическое решение для потенциала скорости, поле скоростей и вид свободной поверхности. Получено выражение для горизонтальной силы в случае бегущей волны.
Ключевые слова: волновой движитель, волны малой амплитуды, идеальная несжимаемая жидкость.
The motion of the half-space of an ideal incompressible fluid is studied in the field of gravity under the action of periodic pressure on its surface. The problem is solved in the approximation
1 Звягин Александр Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: zvsashaQrambler.ru.
2 Сапунов Кирилл Вячеславович — аси. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kirsapQyandex.ru.
of the theory of small-amplitude waves. An analytical solution for the velocity potential, the velocity field, and the form of the free surface are found. An expression of the horizontal force is obtained in the case of a traveling wave.
Key words: wave actuator, small-amplitude waves, ideal incompressible fluid.
1. Введение. Одной из актуальных инженерных задач является создание новых водных движителей, энергетически более выгодных, чем традиционные реактивные движители, в основном винтовые. Теория подводных крыльев и новых парусных движителей достаточно развита. Вместе с тем не прекращаются попытки создания волновых движителей. Данный термин применяют для двух совершенно разных моделей: первые используют энергию волновых колебаний жидкости [1 3] (НИИ механики МГУ), оставаясь при этом неподвижными; вторые пытаются имитировать поведение рыб и водных млекопитающих. Примером последней модели является экспериментальная работа сотрудников университета Комсомольска-на-Амуре [4|.
Для изучения движения жидкости, описанного в [4|, предлагается рассмотреть следующую постановку: на бесконечную гибкую ленту мембраны шириной 21 действует внешнее неравномерное задаваемое давление. Это можно реализовать, например, некоторой воздушной струей контролируемого расхода. На свободной поверхности идеальной несжимаемой жидкости, глубина которой полагается бесконечной, действует постоянное атмосферное давление. В дальнейшем возможно рассмотреть случаи, когда закон движения поверхности мембраны будет задаваться явно, а также для других граничных условий и свойств среды.
Задача о движении тяжелой жидкости иод действием некоторого заданного ноля давлений на поверхности исследовалась многими авторами (см., например, работы [5, 6]). Целью настоящей работы является построение решения для ноля избыточного давления, действующих) на охраниченном участке свободной поверхности. Впервые подобные проблемы обсуждались в работах Г. Лэмба [7] и Дж. Стокера [6]. В [7] приведена постановка задачи о движении жидкости иод действием периодического но времени и координате давления, заданного на всей поверхности. Решение построено путем введения некоторой силы трения, пропорциональной скорости, для ограничения пространства решений. Однако такая постановка проблемы затрудняет механическую интерпретацию, на что указано в работе [6]. Дж. Стокер для достижения единственности решения требует выполнения условий излучения (условий Зоммерфельда) и получает приближенные результаты в случае поля давления вида р = Р cos at на отрезке.
В работе построено точное аналнти- У \
ческое решение для распределения гармонического по пространству и перно- р=ра ¡ Po(x,t)=p-pa ¡ Р=Ра ^g
дичеекого по времени давления, которое -1-1-1-►
0 х
действует на охрани ченнон части поверхности жидкости. Рассмотрены основные особенности движения жидкости, найдена средняя по времени горизонтальная сила. Рис. 1. Граничные условия па поверхности жидкости
2. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о колебаниях тяжелой несжимаемой идеальной бесконечно глубокой жидкости иод действием периодического неравномерно распределенного давления (рис. 1). Пусть давление на интервале |x| < I меняется по заданному периодическому закону, а вне его равно атмосферному.
Основные уравнения. Потенциальное плоское течение идеальной несжимаемой жидкости описывается уравнениями [8, 9]:
уравнением неразрывности V2^ = 0; (1)
Р — Pa дю V2
интегралом Кошн Лагранжа -1 = —-— ду, (2)
где ю(х, y, t) — потенциал скорости v = —V^, р — плотность жидкости, p — давление в жидкости, д — массовая плотность сил тяжести, pa — атмосферное давление.
Уравнения (1), (2) дополняются следующими храничными условиями.
1. Условие равенства давления вне отрезка [—1,1] атмосферному давлению:
, . . . , дю V2 , .
y = r]{x,t), \х\>1, — - — -gr¡{x,t) = 0,
где n (x,t) — поверхность жидкости.
2. Условие на части поверхности, подвергнутой действию избыточного давления:
Po(x,t) dp v2
y = r]{x,t), \х\<1, -= —- - — -gy,
p dt 2
где po — разница приложенного и атмосферного давлений.
3. Условие убывания скорости жидкости с глубиной:
y ^ —œ, |v| = |Vp| ^ 0.
4. Условия излучения на поверхности жидкости определяются требованиями: для больших значений |x| ^ œ на свободной поверхности y = n(x,t) должны модулироваться волны, бегущие от пластины, т.е. для значений x ^ +œ решение должно быть представлено волнами, бегущими в сторону возрастания x. И наоборот, для значений x ^ — œ решение должно быть представлено
x
Решение. Ограничимся колебаниями малой амплитуды, когда граничные условия можно линеаризовать и снести на невозмущенную поверхность жидкости n(x,t), пренебрегая квадратом скорости. В результате получим уравнение свободной поверхности:
1 др g dt
1 dp g dt
В рамках малых возмущений справедливо соотношение
dp dn(x,t) dn(x,t) vy = —=-~-
dy
У = 0, У = 0,
|x| > l, n(x,t) = |x| < l, n(x,t) =
dt
y=o
y=0
dt
Po(x,t)
gp
(3)
Учитывая этот факт, можно после дифференцирования по времени переписать условия (3) в форме
У = 0,
У = 0,
| x| > l, | x| < l,
dp 1 dp2
dy g d2t
dp 1 dp2
dy g d2t
y=o
y=o
0;
J_ dp0(x,t)
gp dt
(4)
Уравнение Лапласа (1) имеет решения в виде стационарных колебаний
У2Ф = 0, р = Кв(Ф(х,у)в^),
где ш — частота вынужденных колебаний. Поэтому можно искать общее решение в комплексной форме р = Ф(x,y)eгшt, po(x,t) = Pвгш1. Его подстановка в (4) приводит к следующим граничным условиям:
ГдФ
ду
y = 0,
y = 0,
| x| > l, | x| < l,
дФ dy
ш2
ф
g
2
ш2 ф
g
0;
y=o
y=o
= l-^P{x). gp
Выберем в качестве характерного размера и характерного времени величины ¿и 1/ш. Введем безразмерные координаты х = х1, у = у и безразмерное время t = 1/ш. Перейдем к безразмерному потенциалу Ф = ш12Ф и давлению р = рш212р в граничном условии (4):
y = 0,
y = 0,
|x| > 1, |x| < 1,
<9Ф dy
<9Ф dy
— ko Ф
— ko ф
у=0
= 0;
= ik0 P(x),
у=0
ko =
Ш21
g
В дальнейшем обозначение " для безразмерных переменных опустим, понимая, что все величины в безразмерной форме. В результате задача свелась к определению аналитической функции Ф(г) комплексной переменной г = х + гу для полуплоскости у < 0 по заданным граничным условиям:
у = 0, |х| > 1, у = 0, |х| < 1,
- ко Ф
ду
- ко Ф
ду
у=0
(5)
= гк0Р (х).
у=о
Функции Ф = Ф1 + ¿Ф2 и Р = Р1 + ¿Р2 являются комплекснозначными. Перепишем (5) для функций Ф1 и Ф2, выделив мнимую и действительную части:
дФ1 дФ2 У = 0, \х\>1, —--Л0Ф1 = 0, —
ду ду
дФ1 дФ2
У = 0, \х\<1, —--А:0Ф1 = -к0Р2, -т—
ду ду
— йоФ2 = 0;
(6)
- &оФ2 = ЛоР1.
Поскольку задачи отыскания функций Фг(х,у),г = 1, 2, схожи, остановимся подробно на определении функции Ф1(х,у). Будем искать ее как действительную часть аналитической в нижней полуплоскости у < 0 функции комплексного переменного Ф1(х,у) = И,е(ад1 (г)). В таком случае условие (6) примет вид (в силу выполнения условий Коши-Римана):
у = 0, |х| > I, И,е
у = 0, |х| < I, И,е
гад' —
гад' — й0ад1
= 0;
= —
(7)
Введем функцию Ш(г) = гад' (г) — ^0^1, для которой очевидным образом формулируется задача
у=0
| х| < 1
1
гпУ С — г
-1
(8)
На действительной оси значения функции (8) задаются формулами Сохоцкого:
, _ к0 } Р2(С) _ |0, если |х| > 1;
\¥(х, 0±) = ±Р2(х) - - / Р2{х) = {
ш- С г I Р2(х), если |х| < 1.
Используя (7), (8), можно записать уравнение для определения ад!(г):
1
■ш^г) + гйоадСг) = -— [ ^^ С1 е С. п ] С — г
-1
(9)
С помощью известного представления Фурье (1т(,г) < 0, = |0+м е'^ Х\Ы) решение (9) преобразуется к следующему виду:
г
ад1(г) = С1е
Р2 (С)
-1
к — к0
^к
0
Рассмотрим более подробно интеграл = /0+°° ейк, считая, что контур, по ко-
торому ведется интегрирование, состоит из отрезков действительной прямой и полуокружности, обходящей особую точку к = ко сверху:
ж > 1, J(£, г,к0) = - I -—77- йк - 2ттгегк°^~г);
к — гко
о
х < —1, 3г, ко) = — J
е-к(Ц-г)
к + гко
йк.
Аналогично разрешая уравнение для W2 (г), можем записать выражения для потенциала и уравнения свободной поверхности:
д
Г](х, ¿) = ко[ — -(р- Ра)
= ко
У=0
Re(wl) — Р2 ) 8т t + (И,е^2) — Р1) еов I
(10)
У=0
Для определения констант О1, С2 обратимся к условиям излучения. Представив поверхность, задаваемую выражением (10), в виде суммы бегущих волн и обнулив соответствующие коэффициен-
х
х
О1 = ко (Г1 — ¿Г2), О2 = ко (Г2 + ¿Г1),
где
Г," = ] Р,(С)егко? йС, з = 1,2. -1
Общее решение будет выглядеть следующим образом:
р = Re(Фeгt), Ф(г) = Ф1(х,у) + гФ2(х,у), Ф, = Re wj, з = 1,2;
Wl(z) = ко (Г1 — ¿Г2) е
-гког ко
П
Р2(С )
-з
Г е®к(£-*)
-1
= ко (Г2 + ¿Г1) е"^ + ^ [ Р^)
о
П
-1
к — ко
егк(^-г) к — ко
йк
йк
йС;
йС;
1
Г, = |Р, (С)егк0? йС.
-1
Полное выражение для потенциала имеет вид
1
<р = ко 11е - ^ ^ 1т (Р(£)ей) ко)
1
__Г_ ., . Г
Г(Р(ОМ) = I Р(ОегкоСй(, Цг,Ш= I —Ь* -1 о о
йк.
3. Случай бегущей волны давления. В качестве примера рассмотрим задачу о движении жидкости, когда давление на поверхности задано в виде ро(х^) = р1ег$хегшЬ. Параметр / имеет
1
смысл волнового числа для волны давления. Графики свободной поверхности и скорости жидкости в безразмерных параметрах приведены на рис. 2 и 3 соответственно.
Рис. 2. Графики свободной поверхности жидкости (кривые 1-4) в случае давления p0(x,t) = pielfxelux приложенного на отрезке [-1,1], в моменты времени t = 0; п/2; п; 3п/2 соответственно
/'V у \/ "ч / г \ / \ / V 1 / /' \i \ /1 \ Г / /V V 0,04 .........2 .... 5 \ -4
|\ -0,04 m
Рис. 3. Графики профиля скорости (кривые 14) в случае давления р0(х,£) = р1вг'хвгшх, приложенного на отрезке [-1,1], в моменты вре мени £ = 0; п/2; п; 3п/2 соответственно
Функция ро(х,£) = р\вг^хзадает волну давления, бегущую влево. Это приводит к тому, что волны, бегущие в сторону увеличивающихся значений х, имеют заметно меньшую амплитуду, чем волны, распространяющиеся в противоположном направлении. Ту же разницу между волнами, исходящими от отрезка, можно видеть и на графике скорости (рис. 3). В концах отрезка — точках — 1 и 1 — значения скорости стремятся к бесконечности одного знака с обеих сторон в каждый момент времени. Физически это будет приводить к образованию почти вертикальных струй [5]. Также это указывает на несовершенство теории в допущениях теории малых волн.
Для инженерных приложений важно знать выражение и для горизонтальной силы. Для бегущей волны давления, определенной выше, среднюю по времени силу можно найти по следующей формуле:
1 2п
X = -
1
2ж
дп(х, t) дх
Re(P(х, t)) dtdx =
-1 о
sin(fc0 - /)\2 ko~f )
sin(fc0 + /) ko + f
То есть движущая сила за период не равна нулю и вынуждает мембрану двигаться вперед.
4. Заключение. Рассмотрена задача о движении тяжелой идеальной несжимаемой жидкости под действием неравномерного периодического давления на отрезке [—1,1]. Построено решение, позволяющее найти скорость жидкости, вид свободной поверхности. Найдено значение средней по периоду горизонтальной силы, действующей на гибкую поверхность со стороны жидкости.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Прокофьев В.В., Такмазьян А.К., Филатов Е.В. Испытание и расчет движения модели судна с прямоточным волновым движителем // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2017. № 4. 24 38.
2. Чикаренко В.Г. Сравнение эффективности работы прямоугольного и треугольного подводных парусов // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 3. 32 35.
3. Прокофьев В.В., Такмазьяп А.К., Филатов Е.В., Чикаренко В.Г, Якимов А.Ю. Судовой волнодвижитель. Патент РФ № 2528449. М., 2014.
4. Беляев В.А., Кузнецов Д.С., Чижиумов С.Д. Проекты плавниковых движителей // Мат-лы Междунар. науч. форума студентов, аспирантов и молодых ученых стран АТР. Ч. 1. Владивосток, ДВФУ, 2012. 885-887.
5. Сретенский Л.П. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977.
6. Stacker J.J. Water waves. The Mathematicial Theory with Applications. N. Y.: Interscience Publishers, Inc., 1957.
7. Lamb H. On deep water waves // Proc. London Math. Soc. 1905. 2, N 1. 371-400.
8. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. M.: Наука, 1977.
9. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1970.
10. Кочин П.Е., Кибель И.А., Розе П.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 1. М.: Физматгиз, 1963.
Поступила в редакцию 20.10.2017
