CC BY
1346 ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1. МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №4
сходится к нулю при и ^ Гладкую функцию можно с любой точностью приблизить ступенчатыми.
Значит, существует ступенчатая функция g(x), для которой I(g) не сходится к нулю при и ^ Но на
Xi+1 Xi+1
каждой ступеньке имеем g(x) = „ = CODSt, x, < x < x,+1. Поэтому / g(xh0«) «x = g, f 7(u-)* . 0
при и ^ Мы пришли к противоречию.
Свойство 7. Пусть в(x), x Е R, — T-периодическая функция, тогда в(ux) слабо сходится к
1 rT
1 Г
— / ß{x) dx при uj —+оо на любом фиксированном отрезке [а, Ь]. T J о
1 Г
Доказательство. Утверждение вытекает из свойства 6 для 7(ж) = ß{x) ß(x) dx.
T Jo
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 07-01-00663, 08-01-00042 и 06-0801574).
Авторы весьма признательны И.Л. Антонову, Ю.Ф. Голубеву и А.В. Карапетяну за полезные обсуждения данной работы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Льюин Б. Гены. М.: Мир, 1987.
2. Benham C.J. Geometry and mechanics of DNA superhelicity // Biopolymers. 1983. 22, N 11. 2477-2495.
3. Попов Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней. Л.; М.: ОГИЗ, 1948.
4. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.
Поступила в редакцию 13.09.2006 После доработки 16.04.2008
УДК 539.546
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ГИДРОРАЗРЫВА В ВИДЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ
В. Р. Тагирова1
Получены решения типа бегущей волны для системы уравнений, описывающей распространение трещины гидроразрыва в пористой среде. Единственным искомым решением является сепаратриса интегральных кривых на плоскости "глубина просачивания -ширина трещины". Найдены необходимые зависимости расхода и давления жидкости, задаваемые на входе в трещину. В предельных случаях, когда преобладает процесс распространения трещины либо процесс фильтрации, ширина трещины и глубина просачивания жидкости в грунт связаны между собой степенными законами.
Ключевые слова: гидравлический разрыв, бегущие волны, фильтрация.
Solutions to the system of equations describing the propagation of hydraulic fracture cracks in a porous medium are obtained in the travelling wave form. The only sought solution is the separatrix of integral curves on the "penetration depth-crack width" plane. Some necessary dependencies that should be given at the crack inlet are found for the fluid flow rate and the fluid pressure. The crack width and the penetration depth are related by power laws in the limiting cases when the crack propagation processes or the penetration processes are dominant.
Key words: hydraulic fracture, traveling waves, fluid penetration.
Технология образования трещины гидроразрыва в грунте широко применяется в нефтяной и газовой промышленности. Основные модели распространения трещины под напором жидкости приведены в [1—4].
1 Тагирова Василина Рифовна — асп. каф. волновой и газовой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vtaghirova@gmail.com.
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №4
47
В данной работе рассмотрена одна из постановок задачи формирования трещины гидроразрыва [5], основанная на гипотезе плоских сечений [3]. Согласно этой модели, величина раскрытия трещины значительно меньше ее высоты, а высота трещины много меньше ее длины. Трещина формируется в пористой среде под напором вязкой несжимаемой ньютоновской жидкости. В данной работе исследовано решение типа бегущей волны для модели [5]; автомодельные решения были изучены в [6].
1. Постановка задачи. Рассмотрим систему уравнений, описывающую распространение трещины гидроразрыва в пористой среде:
(и + 2Г) - К(и3их)х = 0, u = -Ku2ux, ГГ4 = 12кКи, (1)
где и — ширина трещины; u(t, x) — скорость движения жидкости гидроразрыва вдоль трещины; r(t, x) — глубина просачивания жидкости в окружающий пласт, отсчитываемая от берегов трещины; k — коэффициент проницаемости, деленный на пористость грунта; К = ¡л,а/(3п(1 — va)Нц), h = const — высота трещины, va — коэффициент Пуассона, fia — модуль сдвига среды, ц — вязкость жидкости гидроразрыва; x — продольная координата, t — время. Объемный расход жидкости в трещину есть Q(t, x) = huu, распределение избыточного давления в трещине над давлением в грунте определяется по следующей формуле [5]: P(t,x) = 12^Ки.
В систему (1) входят только два размерных параметра [К] = 1/(t*L*), [k] = (L*)2. Выберем характерный масштаб длины L* = yj\1 k ~ 10_6 м и времени t* = 1/(Ку/12к) ~ Ю-4 с. Эти масштабы достаточно малы. Для описания процессов при x ~ 102 м введем коэффициент сжатия е = 10_8. Выполним замену переменных, делающую все члены уравнений порядка единицы и приводящую систему к безразмерному виду
£ т V? , - у/ё г ^-р х = —х, t = —t, u) = -—u), Г = —— Г,
L* t* L* L*
U-^U Q-^Q Р-^Р
Система (1) дает
(и + 2r)t — (и3и)х = 0, U = —и 2их, ГГ i = и. (2)
В бегущей волне имеется параметр скорости c = const. Тогда можно составить единственную безразмерную величину П = ci*y/e/L* = су/ё/(12кК), определяющую интенсивность протекания процесса. Далее черту над безразмерными величинами убираем.
Рассмотрим решение в виде бегущей волны и(Ь,т) = f ((), r(t,x) = д((), где ( = x — П ^ 0. Тогда скорость жидкости выражается через введенные функции как u(() = —f2f'. Система (2) сводится к уравнениям
n(f + 2g') + (f 3f')' = 0, f + Пдд' = 0. (3)
Интегрируя первое уравнение, получаем
n(f + 2g) + f 3f = D. (4)
Уравнение (4) представляет собой интегральный закон сохранения массы, в левой части которого стоит изменение массы жидкости n(f + 2д), рассчитанной на единицу длины трещины, и отток массы через ее поперечное сечение f3f'. Выставим на конце трещины при ( = 0 следующие граничные условия: f = 0, д = 0 и (f4)' = 0. Последнее условие связано с отсутствием потока массы u(u — П) =0. Тогда константа интегрирования D = 0.
Для реализации данного решения необходимо задавать на входе в трещину при x = 0 либо подходящий ненулевой объемный расход жидкости Q(t) = huи/L*, либо давление P(t) = и в безразмерном виде.
2. Решение. Рассмотрим второе уравнение (3) и уравнение (4). Будем искать решение в виде f = f (д). Тогда получим обыкновенное дифференциальное уравнение
df П2д
= + (5)
Качественное исследование решений уравнения (5) в области f > 0, д > 0 показывает, что существует сепаратриса, выходящая из точки (0, 0) как f (д) ~ (2П2д1/2 и уходящая на бесконечность с асимптотикой f (д) ~ (10П2/3)1/ъд3/5. Остальные решения не удовлетворяют сформулированным краевым условиям.
Рис. 1. Зависимость ширины трещины У от глубины просачивания жидкости в грунт д при П = 1
Рис. 2. Ширина трещины У), глубина просачивания жидкости в грунт д(£) и скорость жидкости и(£) в зависимости от продольной координаты при П = 1 и
г = 1
Таким образом, указанная сепаратриса является искомым единственным решением. На рис. 1 представлена картина интегральных кривых, построенная численно. Все решения находятся в квадратурах. Графики функции У ((), д((), и(() при ( < 0 приведены на рис. 2.
Исследование асимптотики решения при ( — 0 показывает, что параметры гидроразрыва ведут себя как
у ~ -(ЗП)1/3(1/3, д » 32/3(2/3/(^2П1/3);
и
П.
(6)
При этом граничное условие на входе в трещину при х = 0 должно быть выбрано в виде функции д(г) = —у3(—пг)х У'(—Пг)Ь/Ь* или Р(г) = У(—Ш) для заданного расхода или давления жидкости соответственно.
С физической точки зрения при малых значениях ГО решение всюду, а вблизи носика трещины и всегда соответствует случаю относительно малого просачивания: д ^ У.
При малом просачивании жидкости в грунт расход жидкости либо давление на входе в трещину ( = — ГО должны расти со временем как функции кубического корня: Я(г) = (лг)1/3, Р(г) = (М)1/3, где Л > 0 — заданная произвольная константа, которая определяет П. Тогда приближенные аналитические решения (6) существуют при заданном расходе или давлении, когда соответственно
П
Ь*\3/5/)Л 1/5
или
П
В случае большого просачивания жидкости в грунт: У ^ д, которое осуществляется вблизи начала трещины при больших ГО, граничное условие на входе в трещину должно быть выбрано в виде функции Q(г) = (лг)5/7 либо Р(г) = (лг)3/7. Тогда приближенное аналитическое решение системы есть
1/7
С3/7, д(() =
_(7Щ
543 )
1/7
П-3/7^ 5/7,
4П \3/7
где параметр П согласуется с краевым условием заданного расхода или давления соответственно как
5/3 ( Л \ 5/9 / 543 N 1/9 /\\3/4 ^ \ 1/4
п='т] ^ ^
или
П
$т
Заключение. Получен и исследован класс решения типа бегущей волны для системы уравнений, описывающей распространение трещины гидроразрыва в пористой среде. Показано, что единственным искомым решением является сепаратриса интегральных кривых на плоскости "глубина просачивания-ширина трещины". Проведены численные расчеты. Найдены необходимые зависимости расхода и давления жидкости, которые должны быть заданы на входе в трещину. Исследованы предельные случаи, когда преобладает либо процесс распространения трещины, либо процесс фильтрации. В этих случаях ширина трещины и глубина просачивания жидкости в грунт связаны между собой степенными законами.
Автор приносит благодарность А.Н. Голубятникову за обсуждение и полезные рекомендации.
Работа выполнена в рамках грантов РФФИ № 06-08-00009, 09-08-00265.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Желтов Ю.П., Христианович С.А. О гидравлическом разрыве нефтяного пласта // Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. 1955. № 5. 3-41.
2. Geertsma J., De Klerk F. A rapid method of predicting width and extent of hydraulic induced fractures //J. Petrol. Technol. 1969. 246. 1571-1581.
3. Perkins T.K, Kern L.R. Widths of hydraulic fractures // J. Petrol. Technol. 1961. 13, N 9. 937-949.
4. Nordgren R. Propagation of vertical hydraulic fractures // Soc. Petrol. Eng. J. 1972. 12, N 4. 306-314.
5. Ивашнев О.Е., Смирнов Н.Н. Формирование трещины гидроразрыва в пористой среде // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2003. № 6. 28-36.
6. Смирнов Н.Н, Тагирова В.Р. Автомодельные решения задачи о формировании трещины гидроразрыва в пористой среде // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2007. № 1. 70-82.
Поступила в редакцию 06.06.2007
УДК 533.6.0115+539.3.534
К ПОСТАНОВКЕ ЗАДАЧИ О ФЛАТТЕРЕ КОНИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ МАЛОГО РАСТВОРА
И. А. Кийко1, М. А. Наджафов2
В большинстве работ по панельному флаттеру оболочек используется формула поршневой теории для избыточного аэродинамического давления. В предлагаемой работе применено уточненное выражение для избыточного давления, учитывающее неравномерность параметров невозмущенного потока. Подробно исследован случай умеренных сверхзвуковых скоростей. Задача о критической скорости потока приводится к новой (в теории панельного флаттера) задаче на собственные значения.
Ключевые слова: коническая оболочка, внутреннее обтекание, неравномерность потока, флаттер.
The well-known piston theory formula for the excessive aerodynamic pressure is used in the majority of works devoted to the panel flutter of shells. In this paper a refined expression for the excessive pressure is proposed to take into account the irregularity of undisturbed flow parameters. The case of moderate supersonic velocities is studied in detail. The critical velocity problem is reduced to a new eigenproblem in the panel flutter theory.
Key words: conical shell, internal flow, irregularity of flow, flutter.
Задача о панельном флаттере конической оболочки при внешнем или внутреннем обтекании потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью рассматривалась многими авторами (см. [1-10]). Обстоятельный обзор исследований в этой области содержится в [11], исчерпывающая библиография приведена в монографии [12]. Во всех практически без исключения работах для избыточного аэродинамического давления используется формула поршневой теории, иногда с некоторыми модификациями типа поправки Крум-хаара. Исследования [13] показывают, однако, что поршневая формула во многих случаях оказывается довольно грубым приближением, в особенности когда параметры основного потока в области, занятой оболочкой, неравномерны. В работе [14] приведено уточненное выражение для избыточного давления в случае больших сверхзвуковых скоростей потока; в предлагаемой статье результаты [14] обобщены на случай умеренных сверхзвуковых скоростей.
1 Кийко Игорь Анатольевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: 666krok@rambler.ru.
2 Наджафов Максуд Агакулиевич — канд. физ.-мат. наук, доцент, декан матем. ф-та Азерб. ун-та, e-mail: bnaj afov@physics.ab. az.
