Распространение трещины гидроразрыва под напором неньютоновской жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №6

33

Механика

УДК 539.546

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТРЕЩИНЫ ГИДРОРАЗРЫВА ПОД НАПОРОМ НЕНЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ

В. Р. Тагирова1

Рассмотрена задача о распространении трещины гидравлического разрыва в пористой среде под напором несжимаемой вязкой жидкости со степенной реологией псевдопластического типа. Фильтрация жидкости описывается в гидравлическом приближении уравнением, обобщающим закон Дарси. Показано, что система основных уравнений имеет степенное автомодельное решение, а в предельных режимах малой и большой пропитки жидкости в породу допускает классы решений либо степенного, либо экспоненциального типа. Построено полное автомодельное решение задачи, изучено влияние нелинейной реологии жидкости гидроразрыва на поведение решения. Найдено аналитическое решение задачи для произвольного граничного условия на входе в трещину, когда вязкие напряжения в неньютоновской жидкости близки к постоянным.

Ключевые слова: трещина, гидроразрыв, неньютоновская жидкость, фильтрация.

The fluid driven fracture problem in a porous medium is considered. The fracture is driven by injecting an incompressible viscous fluid with a power-law rheology. The fluid filtration is described under the hydraulic approximation by an equation generalizing the Darcy's law. It is shown that the system of governing equations has a power-law self-similar solution, whereas, in the case of small or large fluid leak-off into the porous medium, there are the classes of power-law or exponential self-similar solutions. The complete self-similar solution is constructed and the effect of the nonlinear rheology of the fracturing fluid on the solution behavior is studied. The analytical solution to the problem is found for an arbitrary boundary condition at the crack inlet when the viscous stresses in the non-Newtonian fluid are close to a constant.

Key words: crack, hydraulic fracture, non-Newtonian fluid, filtration.

Введение. В работе исследована задача о распространении трещины гидроразрыва в пористой среде в предположении, что жидкость гидроразрыва неньютоновская. При этом выполняется ряд допущений: ширина трещины много меньше ее длины и высоты, течение несжимаемой жидкости безынерционно, массовые силы отсутствуют, напряженное состояние в сечениях, перпендикулярных линии распространения трещины, описывается в рамках гипотезы плоских сечений. В качестве модели неньютоновской жидкости взята жидкость со степенной реологией, в которой тензор вязких напряжений связан с тензором скорости деформации по степенному закону так, что кажущийся коэффициент вязкости убывает с ростом скорости деформации. Эволюция трещины характеризуется шириной раскрытия, средней по сечению скоростью жидкости внутри трещины и глубиной просачивания жидкости гидроразрыва в породу. Система уравнений имеет автомодельное решение, когда на входе в трещину заданы расход жидкости как квадратичная функция либо давление жидкости как линейная функция от времени. В приближении малого или большого просачивания жидкости в пласт задача имеет однопараметрическое семейство автомодельных решений двух видов: степенные и экспоненциальные. В качестве параметра задается показатель в степенном либо экспоненциальном законе изменения расхода или давления со временем на входе в трещину. Экспоненциальные решения становятся предельными к степенным автомодельным решениям, когда параметр стремится к бесконечности.

Технология гидроразрыва является одним из эффективных методов повышения нефтеотдачи скважины в нефтесодержащем пласте. Трещины раскрываются под напором вязкой жидкости гидроразрыва и распространяются от скважины в толщу пласта, что позволяет увеличить полезную площадь поверхности, сквозь которую возможно вытеснение нефтесодержащей жидкости. Задаче о распространении трещины

1 Тагирова Василина Рифовна — мл. науч. сотр. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

34

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №6

гидроразрыва посвящен ряд теоретических работ [1—10]. Жидкость гидроразрыва, заполняющая трещину, обычно имеет нелинейную реологию. Формирование трещины гидроразрыва в рамках модели [3, 4] со степенной реологией жидкости псевдопластического типа рассмотрено в [5-7]. В [8] представлено течение тиксотропной жидкости в пористой среде.

В настоящей работе исследуется течение псевдопластической жидкости со степенной реологией [1, 5-7, 11] в рамках модели [1, 2]. Семейства автомодельных решений данной задачи для ньютоновской жидкости были рассмотрены в [9, 10]. В данной работе получено расширение этих семейств автомодельных решений для случая нелинейно-вязкой жидкости гидроразрыва. Исследовано влияние указанной нелинейной реологии жидкости на поведение решения. Также решена задача в предельном случае, когда вязкие напряжения в неньютоновской жидкости близки к постоянным для течения с простым сдвигом.

Постановка задачи. Рассмотрим процесс распространения трещины в пористой среде в рамках модели [1, 2, 9]: ширина трещины и много меньше ее длины Ь и постоянной высоты Н: и ^ Н ^ Ь; выполнена гипотеза плоских сечений, основанная на том, что напряженные состояния в двух сечениях, перпендикулярных линии распространения трещины, независимы. Окружающую трещину породу полагаем в каждом поперечном сечении упругой и пористой средой. Трещина, уже существующая как разрез, раскрывается в направлении оси Ох. Вблизи боковой поверхности трещины предполагаем локально одномерное приближение вдоль оси Оу для фильтрации жидкости. Будем отсчитывать избыточное давление жидкости от величины горного давления вдали от трещины. Жидкость гидроразрыва полагаем несжимаемой, массовыми силами и инерционностью течения пренебрегаем.

В силу гипотезы плоских сечений можно считать [1, 2], что связь между избыточным давлением жидкости и шириной трещины, осредненной по высоте, линейная [9]:

Р = Ъи, Ъ= 4/х* , (1)

п(1 - )Н

где Р(Ь,х) — избыточное давление жидкости внутри трещины; и(Ь,х) — ширина раскрытия трещины, осредненная по высоте; — коэффициент Пуассона; ¡а — модуль сдвига материала.

Закон сохранения массы принимает вид

ди дии . .

где п(Ь, х) — осредненная по ширине скорость жидкости вдоль трещины, ь(Ь, х) — скорость фильтрации жидкости в пористую среду.

Трещина распространяется под напором неньютоновской жидкости, которая описывается соотношением т^ = ¡ае^, где тч — компоненты тензора вязких напряжений, еч — компонента тензора скорости деформаций, ¡а — кажущийся коэффициент вязкости, зависящий от второго инварианта тензора скорости деформаций. В частности, для модели жидкости со степенной реологией [11]

= , /2 = е^е

ч

где М — константа с размерностью Па • св, в — безразмерная константа, характеризующая показатель степени в реологическом соотношении. Для ньютоновской жидкости в = 1, а М = где л — динамический коэффициент вязкости жидкости. В приложении к нефтяной индустрии жидкость гидроразрыва обычно описывается как псевдопластическая, лишенная предельного напряжения текучести, т.е. кажущийся коэффициент вязкости ¡а убывает с ростом скорости сдвига, 0 < в < 1.

Тогда закон движения несжимаемой жидкости в проекции на ось Ох в гидравлическом приближении описывается уравнением [11]

дР

дР

дх

где М' = фМ, ф = (2в + 1)в2в+1/вв, для ньютоновской жидкости М' = 12^.

Из физических соображений полагаем дР/дх ^ 0, следовательно, средняя скорость жидкости может быть записана так:

^ - ^ ^ (3)

и ~ М> Ох' (3)

Отток жидкости из трещины рассмотрим в рамках локально одномерного приближения. Для описания течения жидкости в пористой среде за основу берется гидравлическое приближение уравнения движения неньютоновской жидкости в узкой щели, осредненное по ширине щели (3). Аналогично запишем уравнение движения неньютоновской жидкости в пористой среде, представленной, например, как совокупность тонких маленьких трещин (с характерной шириной й), расположенных перпендикулярно оси распространения трещины. Иными словами, считаем, что величина скорости оттока у(Ь, х) в размерном виде удовлетворяет уравнению

в дРг ду

IV аГ0, (4)

где Рг(Ь,х,у) — избыточное давление жидкости в пористой среде.

Считаем, что для ньютоновской жидкости коэффициент проницаемости среды к пропорционален й2/12 (при в = 1 уравнение (4) сводится к закону Дарси). Тогда закон фильтрации неньютоновской жидкости принимает вид

и - м> -&Ц- (5)

Окружающий пласт изначально пропитан нефтесодержащей жидкостью, вязкость которой пренебрежимо мала по сравнению с вязкостью жидкости гидроразрыва. Пренебрегая сопротивлением менее вязкой жидкости по сравнению с сопротивлением более вязкой, из условия непрерывности давлений получаем, что избыточное давления фильтрующейся жидкости гидроразрыва равно нулю на границе вытеснения.

Истинную относительную скорость движения жидкости в пористой среде также определим как у(Ь,х) = дГ/дЬ, где Г(Ь,х) — глубина просачивания жидкости в породу, отсчитываемая от берега трещины. Здесь к = к/т2в/(1+в, где тг — пористость среды, величина к имеет ту же размерность, что и проницаемость среды. Интегрируя (5) по области просачивания и/2 ^ у ^ Г + ш/2 и подставляя условия на границах области Рг (Ь,х,и/2) = Р(Ь,х), Рг (Ь,х, Г + ш/2) = 0, получим

Тогда из (1), (2), (6) получим полную систему уравнений, описывающую распространение трещины (разреза) в пористой среде под действием расклинивающего потока неньютоновской жидкости:

Ш + 2Г + (ии)х = 0,

(7)

„/?_ ь ,,1+р., г/г _ Чт^+Р/2

и — — муСи — -м7-

В конце трещины х = Ь(Ь) ее ширину, глубину просачивания жидкости и относительный расход полагаем нулевыми: и(Ь,Ь) = 0, Г(Ь,Ь) = 0, и(Ь)и(Ь) = 0. На входе в трещину х = 0 выбираем либо объемный расход, либо давление жидкости Q = Ниш, Р = Ьи.

Безразмерный вид уравнений.

Пусть (Ь/М')1/в = к', (12к)(в+1)/2 = 12к'. Тогда система (7) дает

(и + 2Г) + К' {и2+1/в(-их)1/в)х = 0,

Х (8) и = К'и1+1/в (-их)1/в, Г(Гь)в = (К')в 12к'и.

Уравнения содержат только два размерных параметра [К'] = 1/(Ь*(Ь*)1/в^ и [к'] = (Ь*)в+1. Характерный масштаб длины

Ь* = л/Ш ~ 10 6 м. Пусть характерный масштаб времени Ь* = (фМ/(ЬЬ*)) /в ~ 10"2 с. Для описания процессов при х ~ 102 м введем коэффициент сжатия е = 10_8. Выполним замену переменных, делающую все члены уравнений (8) порядка единицы и приводящую систему к безразмерному виду:

£ г у/ё. - у/ё

х = —х, ¿ =—со = —— и.

Ь* Ь* Ь*

Г = #Г, и = ^и, Ъ = Ь.

Ь* Ь* Ь*

Система (8) дает

(й + 2Г)4- + (t 2+1/ß (-t x)W) =0,

U = t1+1/ß — x)1/ß, Г (Гt)ß = t.

(9)

В конце трещины x = L имеем ш = 0, Г = 0, ш2+1/в —ш= 0. На входе в трещину заданы либо расход Q = иш, либо давление жидкости P = ш.

Для отыскания автомодельных решений граничное условие будем задавать как функцию Q(t) = Qo$(t) либо P(t) = Р0Ф(1), гДе безразмерный закон времени имеет степенной Ф(£) = (t-^/e/t*)a либо экспоненциальный Ф(£) = eatVc/t* вид. Здесь a — безразмерный параметр задачи, характеризующий изменение закона закачки жидкости в трещину со временем. Коэффициент пропорциональности Qo или Po характеризует интенсивность закачки жидкости в скважину. При этом безразмерные коэффициенты имеют вид

6t* - t* л/в

В безразмерных переменных граничное условие степенного вида ставится как Q = Qota либо P = PqÏ01, а экспоненциального — как Q = Qoeat либо P = Poeat.

Для каждого решения в плоскости (t, x) можно построить линию Г = и. В зависимости от порядка отношения Г/и область решения задачи также можно разбить на три случая: процесс малого просачивания жидкости в пласт Г/и ^ 1, большого просачивания Г/и ^ 1 и конечного Г/и ~ 1. В последнем случае система (9) не изменяется. В двух предельных режимах малого и большого просачивания уравнение баланса масс соответственно имеет вид

ttt + ( t2+1/ß (-tt)1/ß )t = 0 или 2Г + ( 12+1/ß (-üt)1/ß )t = 0.

Далее по умолчанию черту над безразмерными переменными не пишем.

Анализ системы уравнений (9) показывает, что в каждом предельном режиме пропитки существует однопараметрическое семейство автомодельных решений степенного либо экспоненциального вида. Параметр семейства а задается в граничном условии на входе в трещину. Для режима конечного просачивания существует только степенное автомодельное решение — одно для каждого подходящего граничного условия на входе в трещину.

Построение автомодельных решений. Будем искать автомодельные решения в степенном виде: £ = x/tm, u(t,x) = tr U (£), ^t,x)= tsY (£), u(t,x) = tnD(0. (10)

В случае конечного просачивания (Г/и ~ 1) степенные автомодельные решения существуют только, когда n = r = s = 1, m = 2, т.е. граничное условие на входе в трещину изменяется со временем как Q(t) = t2 (тогда а = 2) либо P (t) = t (тогда а =1). Система уравнений (9) в автомодельном виде принимает форму

/ \Vß

nD-mÇD' + (DU)' + 2(£L\ =0, (n)

Uß = -D1+ßD', Y(sY - m£Y')ß = D.

В случаях малого (Г/и ^ 1) или большого (Г/и ^ 1) просачивания жидкости в породу уравнение баланса масс изменяется и определяется одним из следующих уравнений соответственно:

( D \1/ß

riD -mÇD' + (UD)' = 0 или ([/£>)'+ 2Î — J =0. (12)

В конце трещины £о = L/tm выполняются условия: D(£o) = 0, Y(£о) = 0, lim D3D' = 0. В начале тре-

î^îo

щины е = 0, когда заданы расход либо давление жидкости, граничное условие соответствует выражению D(0)U(0) = Qo либо D(0) = Po. При этом полагаем, что граничное условие в начале трещины задается как степенная функция вида Q(t) = Qo ta либо P (t) = Pota.

Зависимости степеней n, m, r, s от параметров а и ß представлены в табл. 1.

Таблица 1

Граничное условие Ф Параметры модели

те гп г s

r/w<l, Ф = Г

Q а(1+/3) + 1 а(/3 + 2) + 2/3 + 2 а(/3 + 2) - 1 а+ 2/3 + 1

2/3 + 3 2/3 + 3 2/3 + 3 2/3 + 3

Р а а(/3 + 2) + /3 а(/3 + 2) - 1 а + ¡3

/3 + 1 /3 + 1 /3 + 1

r/w>l, Ф = Г

Q а(1+/3)2 + 1 За(1 + /З)3 + 1 + /3 а(/32 + 2/3 + 2) + 1 а(1 +/З)2 + 2/32 + 4/3 + 4

2/32 +4/3 + 3 2/32 +4/3 + 3 2/32 +4/3 + 3 (1+/3)(2/32 +2/3 + 4

Р а а(2 + /3)+/3 а(2 + /З)2 + 1 а + ¡3

(1+/3)2 (1+/3)2 1 + /3

Для режимов малого и конечного просачивания жидкости в пласт в окрестности конца трещины приведем асимптотическое приближение для ширины трещины, глубины просачивания и скорости жидкости вдоль трещины:

D(C) - (mio)e/(2+e) ((2 + в)(Со " О)^^

В случае большого просачивания асимптотическое приближение решения имеет вид

1/(2в2 +3в+2)

т^г,1)в(1+в) f>H2 4- AM 4- •)\в(2+в) _ .

Щ)

-Ч^ГГ^о ~0Р

Y (С)

U (С)

(в2 + в + 1)1+в (2в2 +2в + 1)

_2^(2132 + 3/3 + 2)2/?2+2/?+1_

(mfr)^1*2^2 + Р + 1)(2 /З2 + 2/3 + 1)2/?(/з+1)

2в(1+в) т£о

(Со - о2вЧ2в+1

1/(2в2 +3в+2)

2+в

(в2 + в + 1)(2в2 + 3в + 2)(в3+2в2+в-2)/в

(2в2 +2в + 1)в2 +в-1

(Со - С)в(1+в)

1/(2в2 +3в+2)

Решения задачи в общем случае конечного просачивания (11), когда в начале трещины задан расход жидкости Q(t) = Qot2, продемонстрированы на рис. 1-3. Для этого случая значения автомодельной координаты конца трещины £о, определяемые численно при выполнении условий в конце трещины, соответственно равны 0,2066, 0,2108 и 0,2156 при в = 1, 1/2 и 1/3. В случае малой пропитки (12) имеем £о = 0,4265, 0,4516 и 0,4639 при тех же значениях в. Автомодельная координата £о определяет длину трещины Ь = £оЬт. Тогда безразмерное значение длины трещины возрастает с уменьшением в.

На графиках представлено изменение безразмерного автомодельного решения в зависимости от показателя в. Для жидкости с нелинейной реологией (в < 1) скорость жидкости вдоль трещины и больше, а ширина трещины О меньше (это видно, если сопоставить кривые относительно конца трещины), чем в случае ньютоновской жидкости (в = 1), при одинаковом граничном условии на входе в трещину (рис. 1,3). Поведение глубины просачивания У с ростом в неоднозначно, по крайней мере в начале трещины она увеличивается (рис. 2).

Безразмерная скорость неньютоновской жидкости внутри трещины становится больше скорости ньютоновской жидкости. Иными словами, при данном условии на входе в трещину использование неньютоновской жидкости может способствовать увеличению скорости распространения трещины в отличие от ньютоновской жидкости. Это же верно при заданном на входе в трещину линейном по времени возрастании давления.

Замечание. Параметр в неявно участвует в процесс обезразмеривания, так как масштаб времени Ь* зависит от в. Влияние в на поведение размерного решения определяется совокупностью ряда параметров:

а, t, Qo или Ро. Общую зависимость решения от параметров можно исследовать, анализируя асимптотическое поведение решения вблизи конца трещины, полученного при формальном удовлетворении граничному условию задачи в начале трещины. Тогда можно показать, что выводы о влиянии в на поведение размерных автомодельных решений для ширины трещины и скорости жидкости согласуются с поведением безразмерных решений при соответствующих параметрах а = 2, Qо = 1. При заданном давлении жидкости Р = t размерная скорость жидкости и длина трещины также убывают с ростом в.

Экспоненциальные автомодельные решения. В режимах малой и большой пропитки задача (9) имеет только семейства степенных и экспоненциальных автомодельных решений с параметром а. Данные решения экспоненциального вида иначе называются предельными к автомодельным решениям [12, 13]. Покажем, что из семейства степенных автомодельных решений с помощью предельного перехода а ^ ж можно получить семейство экспоненциальных автомодельных решений.

Рассмотрим семейство степенных решений вида (10) со значениями п, т, г, в из табл. 1. Пусть х = хе, t = 1 + ШеЬе/т (сдвиг и растяжение по направлению где те — константа. Эти преобразования сохраняют вид уравнений. При а ^ ж и фиксированном в степень т ^ ж, тогда при фиксированных хе, те имеем

Рис. 1. Зависимость автомодельной ширины трещины Б при Т =1 от автомодельной координаты Q(t) = Ь1, при следующих значениях параметра в: 1 — в =1; 2 — 1/2;

3 — 1/3

s tm

Xe

((1 + mete/m)m/(me te >)

, me te

Ze =

te

Рис. 2. Зависимость автомодельной глубины просачивания У при t = 1 от автомодельной координаты Q(t) = Ь2, при следующих значениях параметра в: 1 —

в = 1; 2 — 1/2; 3 — 1/3

Рис. 3. Зависимость автомодельной скорости жидкости и при t = 1 от автомодельной координаты Q(t) = Ь1, при следующих значениях параметра в: 1 — в = 1; 2 — 1/2; 3 — 1/3

X

e

—

Рассмотрим, например, ньютоновскую жидкость ß = 1 и режим малой пропитки при заданном объемном расходе жидкости на входе в трещину. Тогда в силу равенства lim n/m = 2/3 (см. табл. 1) при

а —> оо и фиксированных te, D справедлив предельный переход

и = tnD ((1 + mete/m)m/(mete))nmete/m D — Ue = e2met'/3D. (13)

Из табл. 1 следует, что lim s/m = 1/3, lim r/m = 1, lim а/m = 5/3. Аналогично (13) из выраже-

а^ж а^ж а^ж

ний (10) и граничного условия для расхода при фиксированных te, Y, U, Q для а — ж получим

Г — Te = eme te/3Y, u — Ue = eme te U, Q — Qe = e5me te/3Q.

Введем параметр ae = 5me/3 и показатели степени ne = 2ae/5, se = ae/5, re = 3ae/5. Тогда семейство функций вида Ze = xe/emete, ue = eneteD, Te = eSeteY, ue = ereteU с нижним индексом "e" является семейством экспоненциальных автомодельных решений системы (9) при граничном условии в начале трещины Qe = Qoeаete.

Значения степеней ne, me, se, re для задачи с неньютоновской жидкостью 0 < ß < 1 при заданном расходе или давлении на входе в трещину в режимах малого и большого просачивания представлены в табл. 2.

Таблица 2

Граничное условие Ф Параметры модели

п гп г s

Q а( 1+/3) а(/3 + 2) а(/3 + 2) а

2/3 + 3 2/3 + 3 2/3 + 3 2/3 + 3

Р а а(/3 + 2) /3 + 1 а(/3 + 2) /3 + 1 а /3 + 1

Q а(1 + /3)2 За(1 +/3)3 а(/32 + 2/3 + 2) а(1 + /З)2

2/32 +4/3 + 3 2/32 +4/3 + 3 2/32 +4/3 + 3 (1+/3)(2/32 +2/3 + 4)

Р а а(2 + /3) (1+/3)2 а(2 + ßf (1+/3)2 а 1+/3

Решение для постоянных вязких напряжений. Рассмотрим систему уравнений (7) с граничными условиями, когда вязкие напряжения в жидкости при простом сдвиге постоянны: тху = М и кажущаяся вязкость жидкости равна ¡ла = М ^/2//2(еу) = М/еху, т.е. при (3 = 0.

Будем искать приближенное решение этой системы в окрестности в = 0 в следующем виде:

ш(Ь, х) = Шо(^ х) + вШ х), Г^, х) = Го(^ х) + вГ^, х),

(14)

п(Ь, х) = ио(^ х) + вЩ^, х).

Подставим (14) в (9), используя представление показательной функции в виде отрезка ряда ав ~ 1 + в 1па, в ~ 0. Приравняем сомножители при нулевой и первой степени в (слагаемыми большего порядка малости пренебрегаем), тогда из третьего уравнения (9) получим

Го = шо, Г1 +Го 1пГо>4 = Ш1. (15)

Таким образом, в нулевом приближении ширина трещины и глубина просачивания равны. Второе уравнение (9) дает

= у/2(Щ-х), (с^0)ж+1п(^ =0. (16)

Из первого уравнения (9) следует

ио = 31, (и 1 + 2Г1 + (ш 1 ио + и1Шо)х = 0. (17)

Выражения (15), (16) дадут

Подставляя (18) в (17), найдем

ui = 2L ln

L W0

\L J 6L

Заданная на входе в трещину функция расхода Q(t) либо давления жидкости P (t) позволяет найти длину трещины L(t):

Q) Q(t) = u0(t, 0)u0(t, 0), ^ = Щ.

P 2(t)

Р) P(f)=u0(t, 0), L(t) = -±+.

Функции Wo, Го, uo, L — безразмерное решение системы (7) при ß = 0. Они определяются через краевое условие произвольного вида Q(t) или P(t), что является преимуществом данного решения.

Заключение. Для рассматриваемой модели в рамках гидравлического приближения и гипотезы плоских сечений выведена система уравнений, описывающая распространение развитой трещины гидроразрыва в пористой среде под напором неньютоновской жидкости со степенной реологией псевдопластического типа. В предельных режимах просачивания жидкости в пласт данная система уравнений допускает существование класса автомодельных решений только степенного либо экспоненциального вида. Полное автомодельное решение задачи при конечном просачивании существует, когда на входе в трещину заданы либо расход жидкости как квадратичная функция, либо давление жидкости как линейная функция от времени.

В работе построено точное автомодельное решение задачи при заданном расходе жидкости на входе в трещину и показано, что использование неньютоновской жидкости гидроразрыва может увеличить скорость распространения трещины гидравлического разрыва.

Аналитически показано, что семейство решений экспоненциального вида является предельным к семейству автомодельных решений степенного вида, когда параметр стремится к бесконечности.

В пределе, когда компоненты тензора вязких напряжений в неньютоновской жидкости постоянны для течений с простым сдвигом, дано полное решение задачи с произвольными условиями закачки, что позволяет построить и исследовать приближенные решения для класса псевдопластических жидкостей с малым показателем степени в реологическом соотношении.

Автор выражает благодарность Н.Н. Смирнову и А.Н. Голубятникову за обсуждение и ценные рекомендации.

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ (№ 06-08-00009, 09-08-00265).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Perkins T.K., Kern L.R. Widths of hydraulic fractures //J. Petrol. Technol. 1961. 13, N 9. 937-949.

2. Nordgren R. Propagation of vertical hydraulic fractures // Soc. Petrol. Eng. J. 1972. 12, N 4. 306-314.

3. Желтов Ю.П., Христианович С.А. О гидравлическом разрыве нефтяного пласта // Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. 1955. № 5. 3-41.

4. Geertsma J., De Klerk F. A rapid method of predicting width and extent of hydraulic induced fractures //J. Petrol. Technol. 1969. 246. 1571-1581.

5. Adachi J.I., Detournay E. Self-similar solution of a plane-strain fracture driven by a power-law fluid // Int. J. Numer. and Anal. Methods Geomech. 2002. 26, N 6. 579-604.

6. Garagash D.I. Evolution of a plane-strain fracture driven by a power-law fluid // Proc. ASCE Eng. Mech. Conf. Washington, 2003. 219-234.

7. Garagash D.I. Transient solution for a plane-strain fracture driven by a shear-thinning, power-law fluid // Int. J. Numer. and Anal. Methods Geomech. 2007. 30, N 14. 1439-1475.

8. Pritchard D., Pearson A. Viscous fingering of a thixotropic fluid in a porous medium or a narrow fracture //J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2006. 135, N 2-3. 117-127.

9. Ивашнев О.Е., Смирнов Н.Н. Формирование трещины гидроразрыва в пористой среде // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2003. № 6. 28-36.

10. Смирнов Н.Н., Тагирова В.Р. Автомодельные решения задачи о формировании трещины гидроразрыва в пористой среде // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2007. № 1. 70-82.

11. Economides M.J., Nolte K.G. Reservoir Simulation. N.Y.: Wiley, 2000.

12. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1981.

13. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Л.: Гидрометеоиздат, 1982.

Поступила в редакцию 20.07.2007

УДК 539.3

ПЛОСКАЯ НЕОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ВЯЗКОУПРУГОГО ЦИЛИНДРА С УЧЕТОМ ЕГО ФИЗИЧЕСКОЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ

Д. Л. Быков1, С.Н. Голиков2

Рассматривается решение неосесимметричной плоской задачи нелинейной теории вяз-коупругости для цилиндра, армированного круглой упругой оболочкой и имеющего внутренний вырез типа "мальтийский крест". Проводится идентификация нелинейной эндо-хронной теории стареющих вязкоупругих материалов методом генетического алгоритма на основе немонотонной экспериментальной зависимости напряжений от деформаций. Приведены результаты численного расчета напряженно-деформированного состояния данного цилиндра при действии внутреннего давления с одновременным учетом указанной физической нелинейности и конечных логарифмических деформаций.

Ключевые слова: вязкоупругость, генетический алгоритм, логарифмическая мера деформаций, эндохронная теория.

The solution to the nonaxisymmetric plane problem in the nonlinear theory of viscoelasticity is examined for a cylinder reinforced by a circular elastic shell and having an internal cut of the "maltese cross" type. The authentication of the nonlinear endochronous theory of aging viscoelastic materials is conducted by the genetic algorithm method on the basis of nonmonotonic experimental dependence of stresses on strains. Some numerical results for the stress-strain state of this cylinder under the action of internal pressure are given with consideration of the above physical nonlinearity and the finite logarithmic deformations.

Key words: viscoelasticity, genetic algorithm, logarithmic strain measure, endochronous theory.

1. Введение. Современные наполненные полимерные материалы обладают механическими свойствами, зависящими от процентного содержания и соотношения жесткостей связующих и наполнителей, а также от адгезии между ними. Это приводит к необходимости учитывать в определяющих соотношениях одновременно физическую и геометрическую нелинейность материалов. При расчете конструкций на прочность необходимо использовать соответствующую теорию вязкоупругости, прошедшую экспериментальную проверку и полную идентификацию входящих в нее материальных функций [1]. В настоящей статье для описания физической нелинейности применяется нелинейная эндохронная теория стареющих вязкоупругих материалов (НЭТСВУМ) [2]. Для ее идентификации используется экспериментальная немонотонная зависимость напряжений от деформаций, характерная для материалов с низкой адгезионной прочностью соединения наполнителей и связующих. Оптимальное соотношение между искомыми материальными функциями, наилучшим образом аппроксимирующими экспериментальную зависимость и входящими в НЭТСВУМ, ищется методом генетического алгоритма. Аналогичные характеристики в дальнейшем используются при расчете напряженно-деформированного состояния вязкоупругого цилиндра с одновременным учетом НЭТСВУМ и геометрической нелинейности материала.

1 Быков Дмитрий Леонидович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

2 Голиков Сергей Николаевич — асп. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].