О постановке задач в общей теории Кирхгофа-Лява неоднородных анизотропных пластин Текст научной статьи по специальности «Физика»

9. Шамолин М.В. Об интегрируемости в трансцендентных функциях // Успехи матем. наук. 1998. 53, вып. 3. 209-210.

10. Шамолин М.В. Многомерный маятник в неконсервативном силовом поле // Докл. РАН. 2015. 460, № 2. 165-169.

Поступила в редакцию 11.11.2015

УДК 539.4.25

О ПОСТАНОВКЕ ЗАДАЧ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КИРХГОФА-ЛЯВА НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН

В. И. Горбачёв1, Л. А. Кабанова2

В работе изучается процедура сведения трехмерной задачи теории упругости для тонкой неоднородной анизотропной пластины к двумерной задаче в срединной плоскости. Пластина находится в равновесии под действием объемных и поверхностных сил общего вида. Вводится понятие внутренних силовых факторов. Уравнения для силовых факторов (уравнения равновесия в срединной плоскости) получаются из усредненных по толщине трехмерных уравнений теории упругости. Для установления связи между внутренними силовыми факторами и характеристиками деформированной срединной поверхности используются априорные предположения о распределении перемещений по толщине пластины. Чтобы упорядочить эти предположения, перемещения точек пластины разлагаются в ряды Тейлора по поперечной координате с учетом физических гипотез о деформации материального волокна, первоначально перпендикулярного срединной плоскости. Подробно рассмотрена известная гипотеза Кирхгофа-Лява. Получена замкнутая система уравнений теории неоднородных анизотропных пластин, основанная на гипотезе Кирхгофа-Лява. Граничные условия выводятся из вариационного принципа Лагранжа.

Ключевые слова: пластины, композиционные материалы, теория упругости, неоднородные анизотропные пластины.

In this paper we study the procedure of reducing the three-dimensional problem of elasticity-theory for a thin inhomogeneous anisotropic plate to a two-dimensional problem in the median plane. The plate is in equilibrium under the action of bulk and surface forces of general form. A notion of internal force factors is introduced. Equations for force factors (equilibrium equations in the median plane) are obtained from the thickness-averaged three-dimensional equations of elasticity theory. In order to establish the relation between the internal force factors and the characteristics of the deformed middle surface, we use some prior assumptions on the distribution of displacements along the thickness of the plate. To arrange these assumptions in order, the displacements of plate points are expanded into Taylor series in the transverse coordinate with consideration of the physical hypotheses on the deformation of a material fiber that is originally perpendicular to the median plane. The well-known Kirchhoff-Love hypothesis is considered in detail. A closed system of equations for the theory of inhomogeneous anisotropic plates is obtained on the basis of the Kirchhoff-Love hypothesis. The boundary conditions are formulated from the Lagrange variation principle.

Key words: plates, composite materials, elasticity theory, inhomogeneous anisotropic plates.

1. Введение. Под пластиной понимается деформируемое твердое тело, ограниченное двумя плоскими лицевыми поверхностями £± и боковой поверхностью £5, перпендикулярной к обеим лицевым поверхностям. Плоская поверхность £о, равноудаленная от лицевых поверхностей, называется срединной плоскостью. Пересечение срединной плоскости с перпендикулярной к ней боковой поверхностью называется граничным контуром срединной плоскости пластины Г. Область, образованная пересечением пластины с плоскостью, проходящей через нормаль к срединной плоскости,

1 Горбачёв Владимир Иванович — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vigorbyQmail.ru.

2 Кабанова Любовь Александровна — студ. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: lkbl4Qyandex.ru.

называется поперечным сечением пластины. Пусть Н — толщина пластины, а Ь — характерный размер в средней плоскости пластины. Пластину называют тонкой, если Н/Ь < 1/5. В противном случае пластина считается толстой и расчет такой пластины проводится по трехмерной теории. В настоящей работе рассматриваются тонкие пластины. Начало декартовых координат расположим в срединной плоскости, а ось Жз направим по нормали к ней (рис. 1).

Сведение трехмерной задачи теории

ц+(х1,х2)

Ч-(хьх2)

упругости для тонкой пластины к двумерной возможно различными способами: разложением в степенные ряды по поперечной координате, приводящим к последовательности двумерных задач возрастающих) порядка [1 4|; асимптотическим методом, основанным на разложении решения трехмерной задачи в ряды по степеням малого параметра [5 7]; методом кинематических и статических гипотез о распределении перемещений и напряжений по толщине оболочки [8 11]. В работах [12 14] предложен операторный метод решения задач для неоднородного анизотропного слоя, в котором задача сводится к интегроднфференциальному уравнению для

Рис. 1. Координация пластины продольных напряжений, связанному с краевой задачей в срединной плоскости. В работе [15] отмечено, что тонкостенные балки и пластины из композиционных материалов в большинстве случаев можно рассчитывать по классическим теориям.

В предлагаемой работе рассмотрена теория неоднородной анизотропной пластины, основанная на гипотезе прямой недсформируемой нормали. Используются индексные обозначения величин: малые латинские индексы принимают значения 1, 2, 3, большие значения 1, 2. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование в соответствующих пределах. Индекс после запятой обозначает частную производную по декартовой координате, соответствующей значению индекса. На пластину действуют объемные силы Х(ж1, Ж2, Жз), на лицевых поверхностях £± — распределенные нагрузки 5±(ж1,ж2), а на боковой поверхности £5 — распределенные нагрузки Р°(ж1, ж2, ж3).

2. Внутренние силовые факторы и уравнения для них. На площадках, перпендикулярных координатной оси ж/, продольные напряжения о/з(Ж1 ,Ж2,Жз) (рис. 2) статически эквивалентны продольным силам Т/з(Ж1,Ж2) и изгибающим моментам М/з (Ж1,Ж2), а поперечные касательные напряжения о/з(ж1, Ж2, Жз) статически эквивалентны поперечным силам Я/(Ж1,Ж2) (рис. 3).

Функции Т/з, М/з, Я/ называются внутренними силовыми факторами, распределенными в срединной плоскости [16]:

^23,

с1хъ | —

* \

ст111

Рис. 2. Напряжения на координатных площадках

/1/2 /1/2

Т/з = J о/з(Ж1,Ж2,Жз) ^Жз = Н(о/з), М/з = J ЖзО/з(Ж1 ,Ж2,Жз) ^Жз = Н(ЖзО/з) ,

-//2

-//2

//2

Я/ = J о/з(Ж1,Ж2,Жз) ^Жз = Н(о/з) .

-//2

(1)

Жз

ке [—Н/2, Н/2]. Внутренние силовые факторы удовлетворяют уравнениям равновесия в срединной плоскости. Эти уравнения могут быть получены из условий равновесия элемента срединной плоскости [17, 18]. Предварительно необходимо свести все внешние нагрузки, действующие в объеме и

на поверхностях пластины, к статически эквивалентной системе нагрузок, распределенных в срединной плоскости. Другой способ получения уравнений для внутренних силовых факторов состоит в интегрировании по толщине пластины уравнений равновесия трехмерной теории упругости [7]. Запишем их, выделив индекс 3:

+о/з,з+Х/ = 0, 03^+033,3 +Х3 = 0. (2)

Умножим уравнения (2) на х§ (к = 0 к = 1) и проинтегрируем их но толщине. В результате получим 6 уравнений:

А '

/ ¿—к-к.

М.

М-

22

21

Рис. 3. Силовые факторы в срединной плоскости

где

Т/^ + д/ = 0 , ф/,/ + qзз = 0, Ми^ - ф/ + ш/ = 0, Б^ - К + шз = 0, к/2 к/2

(3)

Б.(Ж1,Ж2) = У Х303.(Ж1,Ж2,Ж3) (1x3 , К(Ж1,Ж2)= У 033(Ж1,Ж2,Ж3)

(х3

-к/2

-к/2

к/2

к/2

(4)

qi{xъx■2) = qi + qi + I Х^йхг, пг^хг, х2) = - qi ) + J xзXidxз.

-к/2 -к/2

Легко показать, что последнее уравнение в (3) удовлетворяется тождественно. А оставшиеся

пять сводятся к трем уравнениям

где

Т.. + д/ = 0 , Ми. + д = 0 ,

к/2

к/2 к/2

д{х1,х2) = дз + ти = qi + qз + ^ - Оаа) + J хз г1хз + J Хлхи •

(5)

(6)

-к/2 -к/2

В системе уравнений (5) не учитывается материал, из которого изготовлена пластина. Система одна и та же для однородных и неоднородных, упругих и неупругих материалов. Влияние материала пластины на ее поведение при нагружении учитывается определяющими соотношениями, представляющими собой зависимости между внутренними силовыми факторами и кинематическими параметрами деформированной срединной поверхности.

3. Кинематическая гипотеза Кирхгофа—Лява (К—Л). В кинематической гипотезе К Л утверждается, что материальное волокно пластины, прямолинейное и перпендикулярное к срединной плоскости до деформации, остается прямолинейным, неизменным но длине и перпендикулярным к деформированной срединной поверхности. Принятие этой гипотезы приводит к тому, что в каждой точке пластины перемещения имеют вид

Мг(х1 ,Х2,Х3) = -Шг(х1, Х2) - 5кХ3^3,К(Х1,Х2) ,

где Wi(xl,x2) — перемещения точек срединной плоскости, так что Wi(xl,x2) = щ(Х1,Х2, 0). Компонента Wз (Х1, Х2) называется прогибом пластины. Ненулевыми будут только три компоненты тензора деформаций:

ей(Х1,Х2,Х3) = A/JKLWK,L - Хзwз,/J = 7/. + Х3К/. , е/3 = 0, £33 = 0.

Здесь 7и и ки — кинематические характеристики деформированной срединной поверхности: 7и = Д/JKLWк,L — деформации срединной поверхности, ки = —Wз,/J — приблизительно кривизны срединной поверхности. Таким образом, в теории пластин Кирхгофа Лява искомыми являются три компоненты вектора перемещений точек срединной плоскости Wi (Х1,Х2).

Наряду с кинематической гипотезой в теории K-J1 используется статическая гипотеза, необходимая для того, чтобы установить связь между внутренними силовыми факторами в точке срединной плоскости и кинематическими характеристиками в этой точке. В соответствии с этой гипотезой предполагается, что в обобщенном законе Гука, связывающем деформации с напряжениями, можно пренебречь поперечными напряжениями стэг, тогда

= JjKLCTKL • (7)

Здесь ^¿ы(а:1,Ж2,жз) - компоненты тензора податлпвостей. В изотропном случае j = [- váj+ (1 + v)Ajfc¿]/E, гДе E — модуль Юнга, v — коэффициент Пуассона. Из (7) следует связь между продольными деформациями и продольными напряжениями, обратив которую, выразим продольные напряжения через продольные деформации, а следовательно, и через кинематические характеристики деформированной срединной поверхности:

CT/J = J-jK^KL = J-jkl(Ж1,Ж2,Жэ) Ykl(Xi,X2)+ ЖэКкь(Ж1,Ж2) • (8)

Под J-Jk¿ понимаются элементы матрицы, обратной к матрице (J/jkl) В изотропном случае

J-jkl = E [vá/j¿kl + (1 - v)A/jkl]/(1 - v2).

4. Прямые и обратные определяющие соотношения теории К—Л. Подставив напряжения (8) в формулы (1), выразим продольные усилия и изгибающие моменты через деформации и кривизны:

T/J = A/jklYkl + B/jklKkl = A/JKLwK,L — B/JKLw,KL ,

(9)

M/J = B/jklYkl + D/JKLKKL = B/JKLwK,L — D/JKLw,KL ,

где A/jkl — компоненты тензора продольных жесткостей, В/jkl — компоненты тензора жесткостей взаимного влияния, D/jkl — компоненты тензора изгибных жесткостей:

A/JKL = h(J/JKL) ' B/JKL(x1,x2) = h(x3J/JKL) ' D/JKL = h{x^JlJjKL>•

Для обращения прямых определяющих соотношений удобно прямые соотношения (9) записать в символьной форме: T = Ay + B к, M = By + Dk. Тогда обратные соотношения запишутся также очень просто: y = аТ + bM, к = bT + dM, где

а = (AD - ВВ)-1D, b = -(AD - BB)-1B, d = (AD - BB)-1A.

В компонентной записи обратные определяющие соотношения теории K-J1 выглядят следующим образом:

Y/J = а/JKLTKL + b/JKLMKL , к/J = b/JKLTKL + d/JKLMKL ,

где

а/JKL = n-jMNDMNKL , d/JKL = П—7MNAMNKL , b/JKL = П—JMN BMNKL ,

П/JKL = A/JPQDPQKL - B/JPQBPQKL •

Обратные определяющие соотношения удобны в случае статически определенных задач. Кроме того, с помощью обратных соотношений мы можем выразить продольные напряжения через внутренние силовые факторы:

СТ/J = f/JKl(X1,X2,X3)Tkl(X1,X2) + g/jkl(^1 , X2, X?)Mkl(x1 , Ж2) • (10)

Коэффициенты f/jkl и g/jkl имеют вид

f/JKL(x1,x2j Ж3) — J/JPQ(x1,x2í Жэ) Dpqmn(X1, Ж2) - X3BpQMN(Ж1, Ж2) nMNKL(x1, Ж2)

-1

g/JKl(X1 , Ж2, Ж3) = J/и1рд(Ж1,Ж2,Жэ) X3ApQMN(Ж1,Ж2) - BpQMN(Ж1,Ж2) П^^^, Ж2)•

-1

Очевидно, что (f/jkl) = A/jklA, (жэ//jkl) = 0 (g/jkl) = 0 (жэg/jkl) = A/jkl/Л..

5. Уравнения теории К—Л в перемещениях и граничные условия. Для получения связанной системы уравнений теории К-Л подставим определяющие соотношения (9) в уравнения (5), получим

{Аыкь'к,ь - Викь'э,кь) ^ + 41 = 0, {Викь'к,ь — Оикь'э,к^ JJ + ч(Ж1, Ж2) = 0, (12)

где 41 и ч выражаются по формулам (4) и (6) через объемные силы и распределенные нагрузки на лицевых поверхностях. В случае, когда упругие модули не зависят, от, координаты, Жэ, коэффициенты Бикь = 0, и уравнения (12) перестают быть связанными. Продольные перемещения ' и '3

(Аыкь'к,ь) ^ + = 0, (Аикь'э,кь) = 4 •

Если модули упругости зависят, только от, поперечной координаты, жэ и не зависят от продольных координат Ж1, Ж2 (слоистая анизотропная пластина), то жесткости будут постоянными, а уравнения (12) примут вид

Аикь'к^ь — Викь'э^кь + 41 = 0, Викь'к,иь — °икь'э,икь + 4 = 0 •

В однородном, изотропном, случае уравнения перестают быть связанными и уравнение для прогиба переходит в классическое уравнение Софи Жермен (см. [19]):

ОД2' = Ч(ж1, Ж2) •

Здесь О = ЕЛ,э/[12(1 — V2)] — цилиндрическая жесткость пластины, Д = (•),// = д2(-)/дж2 + д2(')/дж2 — двумерный оператор Лапласа, Д2 — бигармонический оператор.

Граничные условия, основные (кинематические) и естественные (статические) [20], выводятся из вариационного принципа Лагранжа. Записывая функционал Лагранжа для трехмерной смешанной краевой задачи теории упругости [21] и преобразуя его для случая пластины Кирхгофа-Лява, получаем

£ 1

2

£о

У (Аикь'^'к,ь — 2Викь'э,кь + О икь'э,и'э,кь) —

Яо

- I (<№ + ш/./гиз) йТ, - ^ + У°юз - М°{пуОТ . £о г

Величины М^ и V0 заданы на контуре пластины и выражаются через М° и которые в свою очередь выражаются через распределенные по боковой поверхности нагрузки Рг0:

М(°га) = М^п/ , У0 = - ш/п/ + ^ , Я° = ек1м°(8)пк(8),

Н/2 Н/2 Н/2

= J Р°(Ж1 ,Ж2,Жэ) ^Жэ , = У Рэ0(Ж1 ,Ж2,Жэ) ^Жэ , М_° = У ЖэР°(Ж1,Ж2,Жэ) ^Жэ•

-Н/2 -Н/2 -Н/2

Вариационный принцип Лагранжа [22, 23] применительно к пластине утверждает, что функционал Лагранжа достигает минимума на точном решении системы уравнений (12) при заданных граничных условиях на контуре срединной плоскости. Эти условия пока нам неизвестны. При выводе необходимых условий минимума мы должны получить уравнения, которым удовлетворяют искомые перемещения '(Ж1,Ж2) точек внутри срединной плоскости, а также все возможные типы граничных условий на ее граничном контуре. Для этого возьмем первую вариацию от £ и приравняем ее к нулю:

Ь£ =

£о

(А/зК^К.Ь - В/зКГ^З.Кь)Ь^/,з - (В/зК^К.Ь - А/Ьадз,/з - I (дгбиц + ш/./йгиз) ^ - / + - =

-

Т/з,з - М/зЬадз,/з

- / (дгЬадг + Ш/,/Ьадз) -

После преобразований и сбора коэффициентов при вариациях ¿«^ и приходим к следующему вариационному уравнению:

ЬС = -1 [(Т/з,з + 9/)Ьад/ + (М/з, /з + 9) Ьадз

+

¿Ьадз

(Г^ - + (У - - (М{п) -

¿Г = 0,

где М(п) — вращающий момент вокруг касательной к кон туру пластины; V — обобщенная поперечная сила на контуре:

М(га) = Мищп.] , V = Ми^щ + — , Я = еК1ПКМипз .

Учитывая независимость вариаций кинематических характеристик, получаем уже известные уравнения равновесия (5), а также основные (кинематические) граничные условия

ад/|г = ад° , адз|г = ад°

¿адз

= в°

и естественные (статические) граничные условия

Т/зпз|г = Т/0 , V|г = V0 , М(П) |г = М(°га) . Последние два условия сводятся к следующим:

й 1 й ЯШ! + — {екткМип^ = + — (елМ?ги) , М13щп3 \Г = М?щ.

В каждой точке граничного контура должны быть заданы два условия, содержащие так или иначе продольные перемещения -ш/, и два условия, содержащие прогиб адз.

6. Представление поперечных напряжений через кинематические и силовые факторы. Использование кинематической и статической гипотез позволило выразить продольные напряжения через деформации и кривизны срединной плоскости и построить замкнутую систему уравнений теории пластин. Этот факт в свою очередь дает возможность выразить касательные и поперечное напряжения через деформации и кривизны срединной плоскости. Для этого служат трехмерные

Жз

о з озз

о з=-

О/з,з(Ж1,Ж2,У) ¿У - Х(Ж1 ,Ж2,Жз) =

о

г

хз

-h/2

J

IJkl(x1,x2,y)(YKL + у*кь) j dy - Х|(Ж1,Ж2,Жз) =

хз

У //JPQ(Xl,X2,y)TpQ + g/jpg(xi, Ж2, y)MpQ J dy - Х|(Ж1,Ж2,Жз) , (13)

-h/2

хз

хз У

CT33 = - J CT/3,/(Ж1,Ж2,у) dy - = J dy J a/jjj(xi,x2,z)dz - ХТ(Ж1,Ж2,Ж3) =

-h/2 -h/2 -h/2

хз

(Ж3 - y) ^/171кь(ж1,Ж2,уК7кь + yKK^ /J dy - Х3*(Ж1,Ж2,Ж3) =

-h/2

хз

= J (Ж3 - y) //JPQ(Xl,X2,y)TpQ + g/JPQ(xi,X2,y)MpQ /J dy - ХГ(Ж!,Ж2,Ж3) , -h/2

где коэффициенты //jkl и g/jKL определяются по формулам (11), а

(14)

Х*(Ж1,Ж2,Ж3) = q- (xi ,Ж2)+ У Xi(xi ,X2,y) dy,

-h/2

хз

Х3**(Ж1,Ж2,Ж3) = Xg(xi,Ж2,Ж3) - У X,/(xi,x2,y) dy = q-(xi, Ж2) +

-h/2

хз хз

+ у X3(xi,x2,y) dy - (Ж3 + h/2)q-/(xi,x2) - J (Ж3 - y)X/,/(xi,x2,y) dy.

-h/2

-h/2

Непосредственной проверкой убеждаемся, что напряжения 0^3, представленные формулами (13), (14), удовлетворяют граничным условиям на лицевых поверхностях Ж3 = ±h/2. Кроме того, интеграл по толщине от правой части выражения (13) в точности равен поперечной силе Q/.

7. Заключение. Изложенная теория неоднородных анизотропных пластин построена чисто формально из трехмерных уравнений теории упругости на основе гипотез Кирхгофа-Лява. Она является самой простой теорией, учитывающей неоднородность материала пластины. Ее несложно обобщить на случай пластин переменной толщины. Имеется большое количество публикаций, где отмечена эффективность гипотезы K-J1 при расчетах на прочность многослойных пластин. Обширный обзор по этому вопросу приведен в книге [24]. Однако следует отметить, что метод гипотез дает большую погрешность, особенно при большой разнице в свойствах компонентов композита, образующих пластину. Это очевидно, поскольку в рамках единой кинематической гипотезы невозможно учесть все многообразие пространственного расположения компонентов, а также их механических и геометрических свойств. Попытка устранить этот недостаток сделана в работе [25], где вводятся так называемые структурные функции, для вычисления которых необходимо решать специальные краевые задачи в области неоднородности свойств.

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО "ТГПУ имени Л.Н. Толстого" при финансовой поддержке Минобрнауки РФ (грант № 14.577.21.0271, уникальный идентификатор проекта RFMEF157717X0271).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М.: Наука, 1982.

2. Кильчевский H.A. Основы аналитической механики оболочек. М.: Изд-во АН УССР, 1963.

3. Власов В.З. Избранные труды. Т. 1. М.: АН СССР, 1962.

4. Власов В.В. Метод начальных функций в задачах теории упругости и строительной механики. М.: Строй-издат, 1975.

5. Агаловяп Л.А. Асимптотическая теория анизотропных пластин и оболочек. М.: Наука, 1997.

6. Ворович И.И. Некоторые результаты и проблемы асимптотической теории пластин и оболочек: Мат-лы I Всесоюз. школы по теории и численным методам расчета оболочек и пластин. Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1975. 51-149.

7. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976.

8. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974.

9. Дудченко A.A., Лурье С.А., Образцов И.Ф. Анизотропные многослойные пластины и оболочки // Механика деформируемого твердого тела. Т. 15. М.: ВИНИТИ, 1983. 3-68.

10. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М.; Л.: Гостехиздат, 1947.

11. Григоренко Я.М., Василенко А. Т. Задачи статики анизотропных неоднородных оболочек. М.: Наука, 1992.

12. Горбачев В.И., Симаков В.А. Операторный метод решения задач о равновесии упругой неоднородной анизотропной плиты // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2004. 2. 55-64.

13. Горбачев В.И., Толстых О.Ю. Об одном подходе к построению технической теории неоднородной анизотропной балки // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2005. 6. 137-121.

14. Горбачев В.И., Фирсов Л.Л. Новая постановка задачи теории упругости для слоя // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2011. 1. 114-121.

15. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988.

16. Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Лекции по теории упругости. М.: Эдиториал УРСС, 1999.

17. Зубчанинов В.Г. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1990.

18. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М.: Изд-во МГУ, 1969.

19. Тимошенко С.П. История науки о сопротивлении материалов: С краткими сведениями из истории теории упругости и теории сооружений. М.: Либроком, 2009.

20. Гекторис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985.

21. Победря В.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1995.

22. Вердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983.

23. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: ГИТТЛ, 1957.

24. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины. Новосибирск: Наука, 2001.

25. Горбачёв В.И. Инженерная теория деформирования неоднородных пластин из композиционных материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. 2016. 22, № 4. 585-601.

Поступила в редакцию 28.03.2017

УДК 532.591, 531.5.031

ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВЕТРОВОЙ НАГРУЗКИ

А. В. Звягин1, К. В. Сапунов2

Изучается движение полупространства идеальной несжимаемой жидкости в поле сил тяжести под периодическим воздействием давления на ее поверхность. Задача решается в приближении волн малой амплитуды. Найдены аналитическое решение для потенциала скорости, поле скоростей и вид свободной поверхности. Получено выражение для горизонтальной силы в случае бегущей волны.

Ключевые слова: волновой движитель, волны малой амплитуды, идеальная несжимаемая жидкость.

The motion of the half-space of an ideal incompressible fluid is studied in the field of gravity under the action of periodic pressure on its surface. The problem is solved in the approximation

1 Звягин Александр Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: zvsashaQrambler.ru.

2 Сапунов Кирилл Вячеславович — аси. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kirsapQyandex.ru.