О постановке задач в общей теории Бернулли–Эйлера неоднородных анизотропных стержней Текст научной статьи по специальности «Физика»

Используя (12), приходим к соотношению

pLg -\—— sin + pv2{sin 02 — sin0i) = 0,

откуда сразу получаем (13). Заметим, что из уравнения баланса сил в проекции на горизонтальную ось Ох следует соотношение (11).

Оценим высоту подъема d стационарного участка, т.е. максимальное значение у (в). В наивыс-

dy

шей точке стационарного участка — = 0, т.е. в = 0. Используя (9), (10), будем иметь

d = 2heos02 ( —- 1 ) = h( 1 -cos6»i).

\ COS 01 /

При фиксированном значении начального угла наклона цепи в\ высота стационарного участка растет вместе с глубиной h фонтана. Это согласуется с наблюдаемым в опытах ростом высоты цепного фонтана при увеличении h.

Таким образом, в предлагаемой модели форма стационарного участка цепи качественно совпадает с наблюдаемой в эксперименте. Кроме того, соотношения, получающиеся из физически оправданных предположений, совпадают с соотношениями, выведенными в настоящей работе.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 15-01-03747.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Biggins J.S., Warner М. Understanding the chain fountain // Proc. Roy. Soc. A. 2014. 470: 20130689, http://dx.doi.org/10.1098/rspa.2013.0689.

2. Herrmann F. The chain fountain with momentum currents // Karlsruhe Institute of Technology. 2015, http: / / www.physikdidaktik.uni-karlsruhe.de / publication / Chain_fountain.pdf.

Поступила в редакцию 27.03.2017

УДК 539.4.25

О ПОСТАНОВКЕ ЗАДАЧ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ БЕРНУЛЛИ-ЭЙЛЕРА НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ СТЕРЖНЕЙ

В. И. Горбачёв1, Т. М. Мельник2

В работе изучается процедура сведения трехмерной задачи теории упругости для прямолинейного стержня из неоднородного анизотропного материала к одномерной задаче на оси стержня. Стержень находится в равновесии под действием объемных и поверхностных сил общего вида. Уравнения для внутренних силовых факторов выводятся из условий равновесия части стержня от торца до любого поперечного сечения. При установлении связи между внутренними силовыми факторами и характеристиками деформированной оси стержня используются априорные предположения о распределении перемещений по сечению стержня. Для упорядочения этих предположений перемещения точек стержня разлагаются в двумерные ряды Тейлора по поперечным координатам. При этом используются физические гипотезы относительно поведения поперечного сечения при деформации. Подробно рассмотрены известные гипотезы Бернулли-Эйлера, Тимошенко и Рейснера. Получена замкнутая система уравнений теории неоднородных анизотропных стержней, ос-

1 Горбачёв Владимир Иванович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vigorbyQmail.ru.

2 Мельник Татьяна Михайловна — асп. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: melnik.tatyanaQyahoo.co.uk.

нованная на гипотезе Бериулли Эйлера. Граничные условия выводятся из вариационного принципа Лагранжа. Рассмотрены частные случаи.

Ключевые слова: стержень, композиционные материалы, теория упругости, неоднородные анизотропные стержни.

A procedure of reducing the three-dimensional problem of the elasticity theory for a rectilinear rod made of a nonuniform anisotropic material to a one-dimensional problem on the rod axis is studied. The rod is in equilibrium under the action of volume and surface forces. The internal force equations are derived on the basis of equilibrium conditions for the rod's part from its end to any cross section. The internal forces are related to the characteristics of the deformed axis under the prior assumptions on the distribution of displacements across the cross section of the rod. To regulate these assumptions, the displacements of the rod's points are expanded in two-dimensional Taylor series with respect to the transverse coordinates. Some physical hypotheses on the behavior of the cross section under deformation are used. The well-known hypotheses of Bernoulli Enler, Timoshenko, and Reissner are considered in detail. A closed system of equations is proposed for the theory of nonuniform anisotropic rods on the basis of the Bernoulli Enler hypothesis. The boundary conditions are formulated from the Lagrange variational principle. A number of particular cases are discussed.

Key words: rod, composite materials, elasticity theory, nonuniform anisotropic rods.

1. Введение. Под стержнем понимается деформируемое твердое тело, длина которшх) L мншх) больше характерно!^ поперечншх) размера [1]. В инженерных теориях стержня вместо трехмерных систем дифференциальных уравнений в частных производных решают системы обыкновенных

дифференциальных уравнений.

Предполагается, что центры тяжести каж-дшх) сечения расположены на прямой линии, которая принимается за ось хз правой декартовой системы координат. Начало декартовых координат расположим в одном из крайних торцов стержня. Оси Х\ и Х2 направим но главным осям инерции (рис. 1). Предполагаем, что главные оси инерции всех сечений одинаково направлены. В рамках этих ограничений площадь поперечных сечений может быть переменной, т.е.. F = F(x3). где F площадь поперечного сечения.

2. Напряжения и внутренние силовые факторы в поперечном сечении стержня. Стержень находится в равновесии иод действием внешних объемных X(.Ti, Х2, Хз), а также поверхностных сил, распределенных но боковой и торцевым поверхностям. Силы реакции опор стержня относятся к внешним силам. В ответ на действие внешних сил происходит изменение формы стержня и соответственно нонеречншх) сечения. В поперечных сечениях возникают продольные и касательные напряжения <73*, препятствующие wo деформации. Мысленно проведем поперечное сечение через какую-либо точку 0 < Х3 < L и отбросим правую часть стержня. Действие отброшенной части заменим вектором сил (вектором напряжения S3), распределенным но поперечному сечению:

S3 = СГ Зг^г = 03161 + (Т32е2 + Оззвз-

Вектор напряжений (рис. 2) приведем к статически эквивалентной силе С^(жз) и моменту М(жз), приложенным в центре тяжести выбранншх) сечения3:

Рис. 1. Координация стержня

Q(x3) = Qi&i = J S3 dF = J<j3idFei, Qi{x3) = J a3idF,

f

f

f

М(ж3) = J r x S3 dF = J xjej x екязк dF = J xj< .//,;0..rr:;/, dF, МДж3) = eiJk J xja3k dF.

(1)

f

f

f

f

л Момент приложенного вектора силы относительно некоторой точки равен векторному произведению вектор-расстояния от этой точки до точки приложения силы па вектор силы [2. с. 224].

Здесь и далее нижние индексы, обозначенные большими латинскими буквами, принимают значения 1 и 2, через г = х Je J обозначен радиус-вектор точки в выбранном сечении, а величины е^д. символы Леви-Чивиты [3]. Последняя формула расписывается следующим образом:

М\\ХЛ) Jx^2<Tзз с№, М2(Ж3) =-^1(733 ^,

F

F

Мз{хз) = ! (ж 1(732 - Ж2О-31) №.

Рис. 2. Напряжения в поперечном сечении стержня

F

Будем рассматривать только продольную деформацию и изгиб стержня. Кручение отсутствует. В этом случае крутящий момент в каждом поперечном сечении должен быть равен нулю, т.е. касательные напряжения в каждом поперечном сечении стержня должны быть распределены так, чтобы имело место равенство

J [х1(Тз2{Х1,Х2,Хз) - Ж2(731(Ж1,Ж2,Хз)]с№ = 0.

F

Именно внутренние силовые факторы являются основными искомыми величинами в сопротивлении материалов и в строительной механике стержневых конструкций. Заметим, что но известным напряжениям однозначно находятся все внутренние силовые факторы. Однако обратная задача восстановления напряжений в поперечном сечении стержня но внутренним силовым факторам в общем случае не имеет однозначного решения. Чтобы разрешить эту проблему, необходимо использовать гипотезы о распределении напряжений по сечению. Последние должны содержать достаточное число неизвестных функций координаты х-з, которые можно было бы однозначно выразить через внутренние силовые факторы. Этой задачей займемся чуть позже.

Действующие на стержень объемные Х(ж1,ж2,жз) и поверхностные Рь(ж1,ж2,жз) силы приводятся к векторам силы q(жз) и момента т(жз), распределенным вдоль оси стержня:

Ч(,3> = + /т(,3> = /,. х + х

F Г

т/(ж3) = е1К

F

F

(2)

Крутящий момент внешних сил гпз(хз) во всех точках оси должен быть равен нулю, ибо в противном случае в сечении возникают касательные напряжения а 13, приводящие к ненулевому внутреннему крутящему моменту, т.е.

тз{Хз) = I (Х2Х1-Х1Х2)<1Р + ! Х2{8)Р\{8,Хз) - (5,Ж3)

йв = 0.

F

В этом случае внешние объемные и поверхностные силы на не приводят к кручению стержня.

К внешним силам относятся силы инерции, а также реакции опор, которые представляют собой сосредоточенные силы и моменты на концах стержня. Компонента д^ вектора силы считается положительной, если соответствующий вектор q, = д^е^ направлен в положительную сторону оси х^. Компонента внешних) вектор-момента пц положительна, если она вращает сечение против часовой стрелки при взгляде с положительного направления оси х^. Соответственно вектор т, = т^щ направлен в положительную сторону оси Хг и изображается стрелкой с двумя наконечниками (рис. 3).

Сила дз продольная сила, приводящая к продольному растяжению (сжатию) оси стержня. Она же дает изгиб оси в координатных плоскостях, если только ось х-з не проходит через центры тяжести поперечных сечений. Силы д\ и д2 поперечные силы. Они приводят к прогибу оси стержня

Рис. 3. Положительные внешние силы

и моменты

хз

в направлении осей Х\ и х2 соответственно. Они же дают кручение стержня в том случае, когда поперечные силы не лежат в плавных плоскостях инерции поперечных сечений стержня.

3. Уравнения для внутренних силоввгх факторов. Отрезок стержня [0, Жз] находится в равновесии иод действием распределенных силы q(жз) и момента т(жз), а также концевых сил и моментов М° и 0,(х3), М(жз). Составим векторные уравнения равновесия перечисленных сил и моментов относительно начала координат:

<3° + СЦх3) + J q{у) йу = 0, М° + М(ж3) + J ш{у) йу + ж3е3 х СЦх3) + J уе3 х ф) <1у = 0. 0 0 0

Если продифференцировать но х3 эти выражения, то в левых частях исчезнут все неизвестные постоянные реактивные силы и моменты М° от опор, а уравнения равновесия запишутся в дифференциальной форме (штрих означает производную но х3):

Q/ + q = 0, М' + т + езхС^О. (3)

Уравнения равновесия в развернутой форме имеют вид Я'г = -91, С?2 = -92, Яг = ~Чз] М[ = -т1+Я2, М'2 = -т2-Яъ М^ = -т3 = 0. (4)

Из формул (4), в частности, следуют выражения для поперечных сил через изгибающие момен-

ты:

Я1 = -euiM'j + mj).

Здесь e/j двумерные символы Леви-Чивиты. Продифференцируем но х-3 уравнения для изгибающих моментов и воспользуемся уравнениями для перерезывающих сил. В результате дифференциальные уравнения равновесия в теории Бернулли Эйлера (В Е) сводятся к следующим трем уравнениям:

Я'3 = ~д з, М'/ = -m'I-eIjqj. (5)

Уравнения (3), как отмечено в книге [4, с. 118], называются дифференциальными уравнениями Журавскохх). Эти уравнения можно также получить как условия равновесия элементарно!^ отрезка оси [5, с. 125]. Отметим еще один способ получения уравнений равновесия оси стержня, состоящий в прямом интегрировании но сечению трехмерных уравнений теории упругости. Достоинство этого способа заключается в том, что он позволяет автоматически получать выражения для приведенных внешних сил и моментов через внешние объемные и поверхностные силы, приложенные к стержню. Запишем трехмерные уравнения равновесия, выделив индекс "3":

+ 073,3 + Xi = 0, <7з JJ + <7 ззз + Хз = 0.

Проинтегрируем эти уравнения по поперечному сечению в точке 0 < х3 < L:

(6)

J иij,j dF + J <7/3,3 dF + j X/ dF = 0, j <73j,j dF + j 733,3 dF + j X3 dF = 0. (7)

f f f f f f

У читывая соотношения

J (Tijj dF = J (Tijnj ds = J Pi(s,x3)d,s, j ai3:3dF = Q[,

f

f

получим из (7) уравнения, которым удовлетворяют поперечные силы <5/ и продольная сила Яз, а также формулы для приведенных нагрузок, распределенных вдоль оси стержня:

Я'г + Qiixз) = 0, qi(x3) = J Xi{xi,x2,x3) dxidx2 + J Ff{s,x3)ds.

f г

Умножая второе уравнение (6) на хк и интегрируя по поперечному сечению, находим

J xк(rзJ,JdF + J xк(тзз,зdF + J xкX3dF = 0. (9)

^ ^ ^

Учитывая, что

I= J [(xкcrзJ)tJ-crзк]dF = ^хкР3ЛР - J xкcrзз,зdF = -eкJMJ,

^ ^ г ^

получаем из (9) уравнения для изгибающих моментов:

м[ = - ! Х2Х з(Х1,Х2,Хз) йх\йх2 ~ J Ж2 ^Р^в, Х3) йв = —ЧЩ + (¿2,

^ г

Сравнивая эти выражения с формулами (4), получаем формулы, по которым приведенные моменты выражаются через внешние объемные и поверхностные силы, а также явные выражения (2) для внешних моментов т/(жз) — через внешние объемные силы и поверхностные силы, приложенные к стержню как трехмерному телу.

4. Кинематические гипотезы инженерных теорий стержней. Пусть под действием внешних сил стержень находится в равновесии и щ(х1,х2,хз) — перемещения в точках стержня. Перемещения точек оси стержня будем обозначать через иц{хз). При этом и>з — продольное перемещение, а, Ш)1 и ш)2 — поперечные перемещения, или, иначе, прогибы оси стержня в плоскостях Х\Х3 и Х2Х3 соответственно. Очевидно, что ъи^х3) = щ(0,0, Жз). Представим перемещения щ в точке х(х\,х2,хз) через перемещения щ в точке ж*(0, 0,хз) с помощью двумерного ряда Тейлора:

щ(х1,х2,х3) =щ\х=х, + хК1Щ,К1\х=х* + ХК1у К2 щ>К1к2\х=х* +■■■ =

= у}°\жз) + ж^^(жз) + У$1К2{хз) + ...= (10)

оо оо

<7=1 д=0

где Т1к1...кч — полиномы от координат Ж1,Ж2, а У^ к — непрерывные функции от продольной координаты Ж3:

Учитывая, что из (10) получаем

Пк1...кч(х1,х2) = Хк1 ХКд, ...Кд(хз) = щ,к1...к„(0,0,х3).

= ^...К^гУик^.к^ = ^ ПК1...КчУик1г...Кч1 43 = I] • • ^¿Й..

д=1 д=0 д=0

Далее найдем деформации

£и = 2^У'1''7 ^ и^ = ^иммим>м = = ^-к1...Кд^иммУмРк1 ...к,'

д=0

1 °° 1

-/з = \ ы + «з,/) = £ 4?, 4? - пК1...Кч \ + ,кд);

д=0

оо

езз = «з,з = 5>зз> 45 ее иК1...КдУ^(11)

9=0

Кинематические гипотезы теории стержней и принцип их выдвижения. Для того чтобы трехмерную задачу теории упругости для стержня свести к одномерной задаче, необходимо сделать некоторые предположения о том, каким образом перемещения в каждом поперечном сечении зависят от координат Х\,Х2- С этой целью будем выдвигать различные предположения (гипотезы) о деформации поперечного сечения, которое до этого являлось плоским и перпендикулярным к оси стержня. При этом будем получать различные приближенные теории. Чем более простыми будут предположения, тем более простой получится теория. Естественно, что каждая из теорий должна содержать в качестве искомых величин три компоненты Юг(хз) вектора перемещений точек оси стержня. Кроме этих величин в инженерную теорию могут входить и другие величины, зависящие от продольной координаты.

Гипотеза плоских сечений Бернулли-Эйлера. В гипотезе В-Е утверждается, что плоские до деформации сечения остаются плоскими, неизменными по форме и перпендикулярными к деформированной оси. При воздействии внешних сил стержень претерпевает продольную деформацию и изгиб (кручение не рассматриваем), при этом сечение смещается вдоль оси хз на величину ъиз(хз) и поворачивается вокруг осей х\ и х2 как жесткое целое, вызывая дополнительное осевое перемещение точек стержня и соответственно дополнительную продольную деформацию волокон [6, с. 221].

Для того чтобы поперечное сечение оставалось плоским, недсформированным и перпендикулярным к изогнутой оси, необходимо, чтобы в каждом сечении все компоненты тензора деформаций, кроме продольной £33, обращались в нуль. Отсюда и из (10) и (11) получаем

Ум+мк..кч = 0, У^к1.кч = -уЦ...^,з при 5 = 0,1,2,... . (12)

Из (10) и (12) следуют соотношения

уг{0) = ьц(хз), = = -гу/)3(ж3). (13)

Все остальные функции ^ (жз), кроме указанных в (13), тождественно равны нулю. Итак, получаем окончательно математическое выражение кинематической гипотезы В-Е в виде следующей формулы:

щ(х 1,Ж2,Ж3) =ъи^хз) - 6гзхки)к,з(%з)-

Из всех шести компонент тензора деформаций ненулевой будет только продольная компонента

£зз(ж1,ж2,ж3) = 103,3 -хкь)к,33 = 7 + ^1^2 + х2хъ 7 = ^3,3, = -1У2,зз, = —гУ1,зз, (14)

где 7 — продольная деформация оси хз, а и к2 — кривизны проекций изогнутой оси хз на координатные плоскости х2хз шх\хз соответственно. Предполагается, что прогибы «;/ оси в каждой точке малы по сравнению с характерным размером поперечника. Кроме того, предполагается также малость углов поворота поперечного сечения, т.е. |гу/;з| <С 1.

Неизвестными величинами в теории В-Е являются три компоненты ь]\{х3), IV2(хз), IVз(жз) вектора перемещений осевой линии стержня.

Аналогично можно рассмотреть гипотезу Тимошенко и гипотезу Рейснера. В теории Тимошенко неизвестными являются пять функций продольной координаты: три компоненты вектора перемещений оси ъи^Хз) и два угла поворота 71 (жз), 72(жз), появляющиеся вследствие дополнительного поворота сечения вокруг осей ж/ за счет сдвиговой деформации. В теории стержней Рейснера необходимо определить уже 8 кинематических величин: три компоненты перемещений оси стержня ъи^хз), два угла поворота 7/(жз) и три функции ^ы(хз), характеризующие деформации в плоскости поперечного сечения.

5. Определяющие соотношения теории стержней Бернулли-Эйлера. Определяющие соотношения в теории Б-Э связывают внутренние силовые факторы Т, М/ с кинематическими характеристиками 7, XI деформированной оси стержня. Для их построения используется статическая

гипотеза, в которой предполагается, что продольные волокна стержня (под волокном в данном случае понимается материальная линия, параллельная оси стержня) деформируются независимо друг от друга. Иными словами, на волокно не оказывается поперечных воздействий, препятствующих его свободной продольной деформации. Это означает, что напряжениями а и и 073 в законе Гука можно пренебречь.

В соответствии со статической гипотезой и обратным законом Гука деформации в стержне определяются только через продольное напряжение 033:

= ^-ззазз, ^33 = </3333(733 =

Отсюда получаем

азз = ■13333е33 = Е3е33 = £3(7 + х\к2 + х2яг), (15)

где Е3(х\,х2,х3) — модуль Юнга неоднородного анизотропного материала стержня в направлении оси Хз-

Подставим напряжение 033 из (15) в интегралы (1) и получим прямые определяющие соотношения

Т = I аззгШ = А1 + В1я1, М/ = ВП + (16)

Здесь М1 = М\, М| = —А — продольная жесткость, В/ — коэффициенты жесткостей взаимного влияния, Ии — компоненты тензора изгибной жесткости стержня:

А(х3) = 1е3гШ, Вг{х3 ) = 1х2Е3гШ, В2(х3) = ^ ххЕ3 гШ, ^ ^ ^

Вп(х3) = I х22Е3гШ, В22(х3) = I х1Е3гШ, 012{х3) = 021{х3) = ! хгх2Е3йЕ.

Обратные соотношения 7, ~ Т, ММ2 имеют такой же вид, как и соотношения (16):

7 = аТ + Ъ1М*1, щ = ЪтТ + (1иМ}, (17)

где

1 znr> bl = ~aDjjBj, du = DJ} + aDj^BKBLD-Llj = Dj} +

Величинами DIJ обозначены коэффициенты матрицы, обратной к матрице изгибной жесткости

А — BkDklBL Величинами DJ

Du.

Выражение продольного напряжения через силовые факторы. Воспользуемся формулой (15), в которую следует подставить соотношения (17). После приведения подобных найдем

озз = 1{х1,х2,хз)Т{хз) + gi{xi, х2,хз)М^{хз),

где

f(x 1,х2,х3) = E3(xi,x2,x3)[a(x3) + xib2(x3) + x2bi(x 3)], gi(xi,x2,x3) = E3(xi,x2,x3) [Ь/(ж3) + xid2I(x3) + х^ц(хз)]. Функции / и gj обладают следующими свойствами:

J f(xi,x2,x3)dF = 1, J xjf(xi,x2,x3) dF = 0; Jgi(xi, x2, x3) dF = 0, J xjg1(xi,x2,x3) dF = 5и.

f f f f

В случае постоянного продольного модуля Юнга Е3 = const и главных центральных осей координат А = E3F, Bi = 0, Dl2 = D2l = 0, Du = E3Jn, D22 = E3J22, a = 1/A, 6/ = 0, dLJ = Djj. В результате для продольной деформации и кривизн получаются простые выражения:

Т Ml м2

E3F' E3Jn' E3J22

Продольное напряжение также будет определяться по простой формуле [6, с. 225]: Т(ж3) , Мг(х3) М2(ж3) т _ [ 2

Сзз

Р + Ж1 - > ^11 = J,122 = Jх\(1Р.

6. Дифференциальные уравнения и граничные условия простейшей теории неоднородного анизотропного стержня. Подставляя теперь формулы (16) в уравнения (5), учитывая кинематические соотношения (14), получим связанную систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно компонент вектора перемещений оси сопутствующего стержня

(А*/3)' - (Вци^У - (Я2Ц')' = -?з,

(В^У - - (АгО" = -т'1 - 92, (18)

+ (£)210" + (£>22«;?)" = ~тп'2 + 91-

Система уравнений (18) записана для общего случая стержня с переменным по сечению и по длине модулем Юнга Е(х 1,ж2,жз) и переменной по длине площадью поперечного сечения ^(ж3). В случае главных центральных осей и постоянного по сечению модуля Юнга система расщепляется на три независимых уравнения

{ЕРи,'3У = -дз , (^пЦ')" = ~т1 ~ 42, = -т'2 + 9ь

Здесь .]и — компоненты тензора инерции сечения.

Уравнения (18) являются системой связанных обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Уравнение для и>з — уравнение второго порядка, а уравнения для прогибов 1X1 — четвертого порядка. Для выделения единственного решения необходимо на концах стержня задать по одному граничному условию для продольного перемещения и>з и по два условия для каждого из прогибов и>1, ъи2 — всего 10 условий. В теории дифференциальных уравнений граничные условия подразделяются на основные (устойчивые) и естественные (неустойчивые) [7]. В МДТТ они называются соответственно кинематическими и статическими условиями. В случае стержня кинематические граничные условия содержат ограничения на перемещения концевых точек оси стержня и на поворот концевых сечений, а статические являются условиями равновесия на концах стержня. Выведем эти условия из вариационного принципа Лагранжа. Попутно еще раз получим систему дифференциальных уравнений теории стержней В-Е. Вначале рассмотрим функционал Лагранжа для стержня при наличии гипотезы В-Е. В общем случае функционал Лагранжа для второй краевой задачи теории упругости имеет вид [8, 9]

С = У \VdV- J ХЩгйУ- ! РгЩ<т.

v v £

Здесь \¥ = (ТцЕц/2 — упругий потенциал, Х^ — компоненты вектора объемной нагрузки, Р.\ — компоненты вектора нагрузки на всей поверхности тела.

Для стержня с боковой поверхностью и торцевыми поверхностями Но и Е£ лагранжиан можно расписать подробнее:

С = \\ йУ ~ / йУ ~ / 2 + / ~ / Р'ЬЩ <т' v v £о

Здесь Р.Р®, Р^ — соответственно компоненты векторов распределенных нагрузок на боковой и торцевых поверхностях. В случае теории В-Е лагранжиан преобразуется к виду

ь ь

С = \ ! + М^х^йхз - ! (9iWi - т2и} 1;3 + т1ъи2гз)с1хз -

о о

->0„.,_ , гг0„„_ „ЛТ, . , Л/Г0„

+ Тиад3 - Щы 1>3 + 3 - ЯГ+ Тьюз - м^и) 1,3 + М?и)2,3

х3=0

хя=Ь

Здесь функции д^Хз) и т/(Жз) — приведенные силы и моменты, распределенные вдоль оси стержня и выраженные через объемные и поверхностные на силы по формулам (8) и (2). Новыми для нас являются приведенные внешние силы Т° = фд, <5/, Т1, = 3, <3/ и внешние моменты и М^, приложенные в начале и в конце осевой линии стержня. Они выражаются через распределенные на торцевых сечениях нагрузки Рг°(Ж1,Ж2) и Р^(х\,х2) следующим образом:

= J xi, х2) (1x1(1x2, = ! Р^{х\,х2)\,(1х1(1х2,

М° = e^J J х.]Р3 {х\, жг) <1х1<1х2, М^ = еи J х.]Р3{х\, ж2) йх\йх2-

Воспользуемся определяющими соотношениями (16) и запишем окончательный вид лагранжиана в теории стержней В-Е:

£ £ С = \ ! И^2 + 2Б/Х/7 + Д^х/х./]^ - J (qiWi + eIJmIWJíз)dxз +

+

+ + e^JM>J> 3

жз=0

иц + + е^М/ги ^з

хз=Ь

Вариационный принцип Лагранжа. Вариационный принцип Лагранжа применительно к стержню утверждает, что функционал Лагранжа достигает минимума на точном решении системы уравнений (18) при заданных граничных условиях на концах стержня, т.е. 5С = 0. Варьируются только независимые кинематические переменные, к которым относятся перемещения оси ии^ и углы поворота сечений -ш^з и гу2,з вокруг осей ж2 и х\. При выводе необходимых условий минимума получаются уравнения равновесия, а также все возможные типы граничных условий на его концах. Вначале проведем вспомогательные преобразования

^ 5 [-Ат2 + + Риж1ж3] = (А-у + В1ж1)57 + (Б/7 + Бик^ёх! =

= Т$7 + М/йх/ = Т5ги3>з + 33 ■

Возьмем первую вариацию от С и приравняем ее к нулю: £ £ ^ = У [ГОгУз.з + е^М/йгу^зз] (¿Жз - J {д^г + eIJmI5wJyз)dxз -

С>1(хз)5и}1 + Р(хз)5юз + еиМ1(хз)5и}з>з

0.

(19)

Здесь у функций, помеченных волной, используются только крайние значения, т.е. Т(0) = Т°, Р{Р) = Рь. Тогда, например, можно положить Т(жз) = Т° + (Т1, — Т°)жз/Ь, равно как и для остальных функций с волной. Далее воспользуемся формулами

J Р5ъиз;з dxз = Р(хз)5ъиз — ^ Р'5ъиз dxз,

еиМ15ютзз dxз = еи

М15ют3

+ / M"5wJdxз

еигптби) 73 dxз = e^J

mI5wJ

- М'^гиз

I

— J т'15и)з dxз

и перепишем уравнение (19):

(:Т' + q3)öwз dxз + / [eIJ(M¡' + m'j) - qi

öwj dx3 +

+ { [Т - Т(хз)]5гиз + [-еи(М,1 + гщ) - + - М/(ж3)]^ ЛЬ = 0.

I ч-^-' J о

Яз

Чтобы первая вариация лагранжиана обратилась в нуль, во-первых, следует положить равными нулю коэффициенты при независимых вариациях 5wj на интервале 0 < х3 < Ь. Получим

Т' + дз = 0, ей (М'{ + Ш/) - (?/ = 0,

что совпадает с уравнениями (5). Во-вторых, на концах стержня должны быть заданы либо кинематические условия, и тогда вариации концевых перемещений и поворотов сечений будут нулевыми

I 0 :ь I 0 :ь I по:ь /опч

либо статические граничные условия вида

тЦ=о;ь=т°;Ь> я.1 ,л „,, я:/1-, и, ,л „,, к1-. (21)

либо любые комбинации из условий (20) и (21), обращающие в нуль первую вариацию функционала.

7. Заключение. По сути дела, теория, изложенная выше, является простейшей теорией неоднородного стержня, основанной на классической гипотезе плоских сечений и на гипотезе о независимости деформирования продольных волокон стержня. Все базовые уравнения могут быть выведены как из метода сечений, так и из трехмерных уравнений равновесия теории упругости. Последний способ может быть применен при получении замкнутой системы уравнений более сложных теорий, использующих другие гипотезы, отличные от гипотез простейшей теории. В случае композита с изолированными включениями теория, основанная на кинематических и статических гипотезах, учитывает лишь модуль Юнга фаз и их объемные доли. Следует отметить, что метод гипотез дает большую погрешность, особенно при большой разнице в свойствах компонентов композита, образующих стержень. Это очевидно, поскольку в рамках единой кинематической гипотезы невозможно учесть все многообразие пространственного расположения компонентов, а также их механических и геометрических свойств. Более сложная инженерная теория неоднородных стержней, учитывающая взаимное расположение, геометрию фаз и анизотропию эффективных характеристик материала стержня, предложена в работе [10].

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО "ТГПУ имени Л.Н. Толстого" при финансовой поддержке Ми-нобрнауки РФ (грант № 14.577.21.0271, уникальный идентификатор проекта НКМКК 157717X0271).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Светлицкий В.А. Механика стержней. Ч. 1 (Статика). М.: Высшая школа, 1987.

2. Бухгольц H.H. Основной курс теоретической механики. Ч. 1. М.: Наука, 1965.

3. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. 2-е изд. М.: Изд-во МГУ, 1979.

4. Ильюшин A.A., Ленский B.C. Сопротивление материалов. М.: Изд-во МГУ, 1979.

5. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999.

6. Работное Ю.Н. Сопротивление материалов. М.: ФИЗМАТГИЗ, 1962.

7. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985.

8. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1995.

9. Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Лекции по теории упругости. М.: Эдиториал УРСС, 1999.

10. Горбачев В.И. Инженерная теория сопротивления неоднородных стержней из композиционных материалов // Вести. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6. 56-72.

Поступила в редакцию 28.04.2017