Техническая теория кручения композиционного слоистого стержня произвольного сечения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.1

ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КРУЧЕНИЯ КОМПОЗИЦИОННОГО СЛОИСТОГО СТЕРЖНЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ

© 2009 А.У. Нуримбетов

"МАТИ" - Российский государственный технологический университет, г. Москва

Поступила в редакцию 23.07.2009

Используя геометрические соотношения Коши, получено выражения для компонент тензора деформации при "обобщенном кручении" для слоя 1 многослойного стержня произвольного сечения. Решение уравнений при заданных граничных условиях отыскивается для каждого слоя 1 в виде степенного ряда. Получено разрешающие уравнения метода приближенных решений. Ключевые слова: кручение, слоистый стержень, композиционный материал, обобщенное кручение.

В технике широкое применение находят многослойные конструкции, так как они, зачастую, наилучшим образом обеспечивают удельные жесткости и прочности, звуко и теплоизоляционные свойства, демпфирующие и вибро поглощающие характеристики изделий. Многослойную конструкцию изготавливают из таких компонентов, которые в совокупности обладают необходимыми физическими, химическими, электрическими и магнитными свойствами. Одним из распространенных составных тел являются многослойные стержни, образованные из п слоев. Многослойные стержни могут служить расчетной моделью многих реальных конструкций. Следовательно, изучение напряженно-деформированного состояния (НДС) многослойных стержней имеет практический интерес. Метод расчета стержней произвольного сечения, в основе которых лежала классическая теория тонких изогнуто-закрученных стержней Кирхгофа-Клебша, разрабатывались и развивались многими авторами [1]-[5], и другими. Однако в настоящее время не до конца разработаны методы расчета слоистых стержней произвольного сечения. Поэтому, рассматривается цилиндрический стержень из слоистого материала с поперечным сечением произвольной формы, находящийся под действием усилий, распределенных по концам стержня и приводящихся к скручивающему моменту М1, изгибающим моментам М1з М2 и растягивающей силе Р. Область сечения предполагается конечной и односвязной. Оси х, у совпадают с главными осями инерции рассматриваемого текущего сечения и проходят через центр тяжести сечения. Текущая ось ъ нормальна к сечению (рис. 1).

Нуримбетов Алибек Усипбаевич, кандидат физико-математических наук, научный стажер кафедры "Механика машин и механизмов". Б-най: аНЪек [email protected].

СЛОИСТАЯ СТРУКТУРА СЕЧЕНИЯ

Оптимальные потенциальные возможности конструкций из композиционных материалов могут быть получены только тогда, когда получены объективные оценки НДС конструкции и соответствующих технологических процессов. Изучения НДС элементов конструкций, получение достоверной информации позволят не только оценить работоспособность конструкции, но внести необходимое изменения в технологический процесс. Наряду с экспериментальными методами исследования значительную роль играет в этом математическое моделирование поведения конструкции из композиционного материала в условиях, близких к реальным условиям функционирования. Математические модели, ориентированные на использование вычислительной техники, во многом способствуют рациональному проектированию и отработке конструкции. Применение трехмерных моделей позволяет с единой позиции рассмотреть каждый отдельный слой многослойного стержня.

1

.т

Рис. 1. Слоистый стержень.

Одной из тенденций развития в решении прикладных задач является учет в расчетах реальных свойств компонентов, образующих композиционный материал, и реальные условия эксплуатации конструкции. Одним из факторов, которые следует учесть, является неоднородность материалов, как естественная, так и технологическая. Возможность более детального учета геометрии конструкции, действительных граничных условий, особенностей физического поведения материалов, а также зависимостей физико-механических характеристик от различных факторов появилась благодаря широкому развитию математических методов как аналитических, так и численных, повсеместному внедрению их в практику расчета.

В связи с этим для стержней постоянного и переменного сечения возникает специфическая для армированных стержней задача - задача укладки в сечении слоев постоянной толщины. Так как размеры сечений могут меняться вдоль длины стержня, то и число слоев в каждом сечении будет различным. В плоскости, содержащей ось стержня, отдельно слои представляются в виде лепестков. Взятые из разных сечений координаты начала и конца одного слоя образуют координаты одного лепестка, т.е. позволяет решить сформулированную задачу раскроя слоев ленты, ткани. В связи с этим решена технологическая задача раскроя таких лепестков [6].

Каждый слой представляет собой трансвер-сально-изотропное или ортотропное тело. Так как направление осей симметрии материала не совпадает с осями координат стержня и может меняться от слоя к слою, то физико-механические свойства слоев могут отличаться друг от друга. В связи с этим возникает необходимость определения приведенных механических характеристик поперечного сечения.

РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИЯ СЛОИСТОГО СТЕРЖНЯ

Наиболее часто используются следующие геометрические и физико-геометрические характеристики сечения стержня

II = J H (х, y) xnymdxdy

F

[О < n < 4, О < m < 4,

(О < n + m < 4)'

(1)

Здесь физико-механические свойства Нк(х,у) содержат различные параметры (например, модуль упругости, коэффициент Пуассона, модуль сдвига, коэффициент линейного расширения и т.д.) в зависимости от номера к. При к=0

Н0(х,у)=1 и интеграл (1) определяет геометрические характеристики сечения стержня. При k=m=n=0 интеграл ¡0о равен площади поперечного сечения, т.е. ¡0О =F.

В пункте 1 показывалось, каким образом сечения стержня представляется в виде отдельных слоев. Численное интегрирование соотношений (1) реализовано с помощью специально составленной программы на алгоритмическом языке Fortran. Сравнение численных результатов геометрических характеристик J'mn стержня с ромбовидным (d1=120 мм, d2=20 мм) и прямоугольным (а=120мм, h=20 мм) сечением вычисленные по формуле (1), отличаются от точных их значений не более чем на 0,0001%.

После вычисления физико-геометрических характеристик сечения находятся центр тяжести сечения по формуле x * = I0i/l00,y* = l0i/l0O , а также направление главных осей. В последующем анализе используется новая, местная система координат ху, уу, связанная со старой следующей зависимостью х'=(х-х*)ео8а *+(у-у*)8та *, у'=-(х-х*)8та *+(у-у*)ео8а *

cos2a* = 1/^1 + tg22a* , tg2a* = 2l22/(l02 -I20). (2)

C изменением координатной системы (параллельный перенос в центр тяжести и поворот относительно осей х и у) геометрические и физико-геометрические характеристики стержня произвольного сечения меняют величину.

В случае продольно-поперечной укладки слоев у1 =0 или у1 =90, в этих слоях физические соотношения между деформациями и напряжениями [7] упрощаются из-за отсутствия связанности сдвиговых и продольно-поперечных деформации и напряжений. В этом случае аj5 = а4б = 0, (j = 1,2,3) и кручение стержня является чистым [8-10]. Если угол армирования у1 в некотором слое i отличен от нуля, то исследуемая деформация стержня является "обобщенной" и кручение стержня, в частности, обуславливает появление эффектов изгиба при кручении.

ОБОБЩЕННОЕ КРУЧЕНИЕ КОМПОЗИЦИОННОГО СТЕРЖНЯ

При "обобщенном " кручении компоненты перемещения точек i-го слоя отыскивается в виде

u1 = -а3i3M1 (l - z) /(2J1) - т(1 - z)y + U1 (x, y), i 0.5a315Mt - а31зМ2

v =-

2J12

-(£ - z) +T(1 - z)x + V1 (x, y), (3)

W =

0.5a3'5Mt -а3зМ2 y a^ x а3з p -y--x--P

J2 J1 F

j1

?- z) + W1(x,y).

Здесь и^У1^1 - некоторые подлежащие определению функции координат сечения х, у; I -относительный угол закручивания на единицу длины стержня; 1 - длина стержня; 0=1,2) -главные моменты инерции поперечного сечения 1-го слоя; Е - площадь сечения 1-го слоя; Р, Мь М2,Мг - силы и моменты, действующие в поперечном сечении стержня. Как правило, последние (Р, М1, М2, Мг ) являются известными величинами, однако иногда встречаются случаи, когда их следует определить в ходе решения задачи.

Используя геометрические соотношения Коши из (3) можно получить выражения для компонент тензора деформации при "обобщенном кручении" для слоя 1 в виде

81г1 =диг / дх; е122 = дУг / ду; е\2 =диг / ду + дУг / дх;

а

33

833 Р + X +

33 Е т1 1 т1

а

33

аУ3М2 - 0.5а3^Мг _

у; (4)

28'13 = ту + д^/дх , 8'23 = -ТХ + дw7дy.

Следует заметить, что в (4) все компоненты тензора деформации не зависят от координат ъ. Если учесть представления (4), то уравнения равновесия стку +хк = 0 (k,j = 1,2,3), где индекс после запятой означает дифференцирование по соответствующей координате, могут быть приведены к виду

¿Ц с'66 ¿и 2с12 + С6 д2Уг

+

дХ2 2еЦ дУ

+

12 1 "66

2с,"

дхду

= 7(х, У),

дУ с66 ¿"У 2с12'' + с66 дУ

дхду

+

ду2 2с22 дх2

+

12

2с''

= 72(ХУ).

(5)

Здесь функция 21(х,у) 0=1,2) определяются следующими соотношениями

21 (х, у)=- ^М, +с4б

г'1 Т1 с11т

ахх

2*2 (х, у) =

0.5а 3^ - а^с '¿, (с '¿5 - с 46) г ¿2W^

с 22т2 д2W1 с44 д2W1

с22

дУ

дх

2

55

ду

2

= 23 (х, у),

йхду (6)

2с'га'г 2с'г д2Пг 73 (х, у) = м - ^

3\ / гг тг 1 _гг ¿х2

с'г Гг

55 1

с

с46 ¿и

с46 + 2с32 д2г

с55 ду2 с55 дхду

Специальная форма уравнений равновесия

(5), (6) относительно составляющих и1, У1, W1 перемещений и^у1^^ = 1,2,...,М выбрана с целью перенести направо члены, обусловленные взаимодействием сдвиговых и продольно-поперечных деформаций Действительно, если с '5 = с 416 = 0 (j = 1,2,3) [7], [10], что реализуется при углах армирования слоя 1 у1 =00 или у1 =900, то у1 =00 23 = 0 , а 21, 2 2 зависят только от изгибающих моментов М1, М2 обуславливая возможность по раздельного определения w1 функции и функции И1, У1.

Дифференциальные уравнения (5), (6) должны быть решены при заданных условиях на боковой поверхности стержня, а также на его торцах. В сечениях стержня должны выполняться условия непрерывности перемещений Wi при переходе от слоя к слою.

a. Условия на боковой поверхности

Пусть на цилиндрической поверхности неоднородного анизотропного слоистого стержня заданы усилия Х у ,Уу ,2У. Тогда в рассматриваемом сечении ъ условия на контуре Ь слоистой области запишутся в виде стп11 +СТ121 2 = XV , СТ1211 +ст221 2 = Уу , (7)

СТ1311 +ст 2312 = 2 V . (8)

Здесь V - направление нормали к ограничивающему рассматриваемое сечение контуру Ь (рис. 1). 11 = соб^, х) = ду / дд, 12 = соб^, у) = -дх / дд - направляющие косинусы, которые написаны в предположении, что положительный обход области осуществляется так, что область при обходе всегда находится слева. Если параметры упругости [7] с 55 и с 46 равны нулю (1=1,2,3), что реализуется при р '=0° или р1 =900 (1=1,2.....К), то

XV и УV зависят только от изгибающих моментов М1, М2, и тем самым, обуславливают возможность по раздельного определения граничных условии для функции и., V. и Левые части условий (7), (8) характерны для задачи изгиба [10] и кручения анизотропных стержней [8-10].

b. Условия на поверхностях контакта

анизотропных слоев слоистого стержня

Из условия сплошности равновесия бесконечно малого элемента, находящегося в окрестности линии раздела Ц. анизотропных слоев Ик и К, следуеть кинематические

Ик = И->, Ук = У>, Wk = Wj!

и статические соотношения

(9)

(СТ! + (стк-ст<2у 2 = 0; (СТк2 -СТ;2)1 2 + (СТ2 - СТ/2 )11 = 0; (СТ3 - )11 + (ст* -СТ3Х 2 = 0.

+

РАЗРЕШАЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДА ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ

В тех случаях, когда отношение с46 / с55, с]' / с(1=1,2,...,К) оказывается меньшим 1, то, следуя работам [4], [12] в которых использовано разложение в ряд по малому физическому параметру, можно ввести один малый параметр

а=8ир{а^} (11)

при данном значении угла. В (11) параметр жесткости С55 является эффективным параметром упругости сечения. В случае, когда значения параметра меньше 1, решение уравнений (5), (6) при граничных условиях (7)-(8) и (3) удобно отыскивать для каждого слоя 1 в виде степенного ряда

ТО • ~ . • ТО • ~ • • ТО

и1 = 2а]И], V1 = 2а]У] , = (12)

]=0 ]=0 ]=0 4 '

Если принятую форму решения (12) подставить в уравнение (5), то оно принимает вид

д 2 с' 1 д 2 В,^1 = (—+ ^ —)Т~1 = Б: (13)

1 ] дх2 с£ ду ] ], (13)

в котором

5 = -2 с35а3з М 8 п С д2

г ■л

± 81 - (2^

I 4 Г1

с'' д2 ~

+ % )и] -

с'5'5 дх с'5'5 ду

с'' + 2с'' д V'

(14)

с'' дх ду

В равенстве (14) 51 символ Кронекера. Если функции V], И- были предварительно определены, то уравнение (13) является неоднородным дифференциальным уравнением относительно . Если же ]=0, то 80=0 и для определения \~о получается однородное уравнение.

Р М

М

Из М^ = а31з^-р- + МЬ + МОгУ) - 0.5а ?5 ^У и д 2 и

I

01

I

I

I0

ь00 А20 А02 А02 принятой формы решения (12) находится условие

N д(у^) д с'1

-д^х^1)]^ М] (15) 1=1Р1 дх ду с'1' ]

в которых приняты обозначения %=1+0.5(с55 у1 - с44х12)то+

+ (с^-.1 + с'^-] + 0.5с46^-^1 + -] )12.

ду

Ж-1 ]

дх

ду дх

Здесь, 11, 12 - направляющие косинусы нормали V к линии раздела Ь слоев И. и Ик. В (15) правая часть определяется равенством

М. = М-0.5(Г + 4 г; )т-/^Г 8?-с3М8 -

1ГЕ

55

д с'1,

й П

д (% ] -ду е хц^щ -

дх с'' ду с''

~ д с" ~ к с'' ^ ду с'' ^ "

(17)

101 101

где М^ = а31з(-^Р + - 0.5а 3^ . Пра-

100 120

вая часть условия (15) также как и правая часть уравнения (13) может быть найдена, если будут предварительно определены функции И]- и У]- для каждого слоя 1. При ]=0 выражение Мш зависит от заданного крутящего момента М4 параметра кручения т . Таким образом, при ]=0 должно быть найдено решение задачи о чистом кручении (6). Решение задачи о чистом кручении анизотропных слоистых стержней можно получить аналитическими (для регулярных сечении) [10] и численными (метод конечных элементов) [11] методами.

Если р~ешен~ие отыскивается в виде (12), то функции И], V] в соответствии с уравнениями (4) и (5) должны быть определены в результате решения системы неоднородных уравнений

д 2и'

д

дх2 2сЦ' ду2

с' + с' д ц]

2 сЦ дхд у

д 2V,'

2 с 22' д хд у 2 с 22' д х 2

д

д у 2

■= Т.

(18)

в которых правые части определяются из равенств

которому должно удовлетворять найденное решение уравнения на контуре Ь. На линиях раздела слоев К и Ик должны выполняться усло-

вия,

=

дЖ'

(с' '

гк

дх

к дЖк

- с"к-]-)11 +

дх

дЖ'

(16)

дЖк

+ (с4' -' к ]

дх

-с

дх

■)12 + 2П -7к = 0

я, = -

с!3а33 м1

Сл 1 Г л

8 -

-'' д Ж'.'

'55 ]

2с"

С

дх2

■ + •

С

= а'з'5М< - 2а33М ] 2с'1

46 д2Ж'. .

46 _]-1 )

ду х

80 -

"2^ ]

- С55 ( С25 С4 п'' 9 п''

Ст 1 ¿С гг

-т8\ -•

д2Ж.

]-1

] 2с'5 дх ду'

К

с

12 + с66

с

с

+

с

+

С

(

С

С

Таким образом, если функции И^, V] предварительно определены, то уравнения (18) должны быть решены при следующих граничных условиях:

ди] с12 У С6 ди] У

дх еЦ ду еЦ ду дх 1

с! Ж У

С ди1 дУ]

Г66(-1 + -!-)£ + р2-1 = М\ 1,

с11 ду дх с22 дх ду 1

а. На контуре L

с" с с с

М] =-(е17М, м - е1г(е1г уе, - % х*]

с„

1с с

41 ^55

с" с" дР с" дР

п к п ^ 1 н -л 2/

(19)

с11 с55 дх 1 с5 5 ду

в которых введены дополнительные обозначения

М2] =-(^23 мг11 +^22^12)^? - у12 - % х<1)^1т-

о- г г У*-2

с с с с

55 ^25 1-1 1 + с45 ' 1-1

с22 с55 дх

с55 ду

11)

(20)

В (20) 11 = соб(у,х) и 12 = соб^, у) - направляющие косинусы нормали к контуру Ь. б. На поверхностях контакта

■ ¿И к дИк . дУ1 к дУ . . к , (с?^-сЦ-] + с112^-с'12 ду] )11 -(с111М1] -с1к1Мк) +

■ ди1 к ди к

+ 0.5(с66 д - с66 д-+с66 ду ду

гк

дУ] . дУ] _1_ - с'к_1

66 2

дх

дх

)12= 0,

г у . д~к . ¿у , у . . . .

05&-у -к-у <дг л-д у+т -см>

ду ду дх дх

¿Ц к Ц к У к У = (21)

+«2 ~ (12~ -спгЪ =0, дх дх ду ду

где 11 = соб(у 1к,х), 12 = собС^ 1к,у) - направляющие косинусы нормали к линии раздела слоев Я и Як. Правые части условии (18)будут полностью определены, если предварительно был установлен вид функции Л]-. Вместе с тем, при ^ равном нулю, как правые части уравнений (18), так и правые части~условий (19) определяются независимыми от Wj1_1 факторами. Это обстоятельство совместно с замечаниями, касающимися уравнения (13) и соответствующих им граничных условий (15), говорит, что полученная разрешающая система уравнений (13), (18) является рекуррентной системой уравнений.

Действительно, при ]=0 правая часть уравнения (13) равна нулю и при граничных условиях

(15) должно быть найдено решение задачи о чистом кручении, т.е. находится решение Л0 для каждого слоя 1. При ]=0, как правые части уравнений (18), так и правые части условий (19) определяются значения И'0, У0 для каждого слоя 1. После подста~новк~и предварительно определенные функции И'0, У0 для каждого слоя 1 в правые части уравнения (13) и (15), из решения неоднородного дифференциального уравнения (13) относительно , находится значение для каждого слоя 1. Так как функции предварительно определены, то из решения неоднородного дифференциального уравнения (18) относительно И1, У1 находится значение И1, У1 для каждого слоя 1.

Таким образом, по найденным функциям И, У11, - система уравнений (13), (18) совместно с граничными условиями (15), (16), (19) и (21) позволяет математически сформулировать .задачу для определения отдельно функции И], V], и отдельно функции Л] для каждого слоя 1 при следующем ]+1-ом приближений.

В работе [12] описан аналогичный способ для решения системы уравнений. Для решения системы уравнений используется метод последовательных приближений. Расчет заканчивается при достаточной близости результатов соседних приближений.

При а <<1 ряд (12) быстро сходятся к пределу. Поэтому принятая форма решения (12) выгодно отличается от решения предложенной в [12] тем, что позволяет непосредственно получить решения в перемещениях.

Однако, все же получение решения в такой схеме затруднено (получение численных результатов потребует большого объема машинного времени и памяти). Поэтому отдельно рассматривается задача о кручении слоистого анизотропного стержня [10, 11] и в рамках определенных кинематических предположении задача о НДС естественно-закрученных слоистых стержней произвольного сечения, находящихся в поле центробежных сил.

В качестве примера для решения задачи чистого кручения была рассчитана НДС компрессорной лопатки из композиционного материала. Лопасть, исследуемая в данной работе, представлена восемью сечениями. Корневое сечение лопатки состоит из 12 слоев одинаковой толщины ^=0,4 мм, а периферийное сечение из 6 слоев, т.е. толщина лопатки смах к периферийному сечению уменьшается, а хорда в увеличивается (рис. 3). Относительный угол закрутки на единицу длины лопатки т 0 равен 0.006 рад/мм

На рис. 2. приведен раскрой слоев ленты, ткани для этой лопатки в виде лепестков.

Было проведено исследование - для трех различных вариантов сочетаний упругих постоян-

Рис. 2. Лепестки компрессорной лопатки (а), спинки (в), корытца (с) (Я - радиус сечения, в - длина хорды) из 8 сечении

ных в пакете слоев композиционной лопатки. В первом варианте рассматривалась лопатка, состоящая из чередующихся со стороны спинки и корытца слоев бороалюминия (BAL) и чистого алюминия. В этом случае относительное объемное содержание бороалюминия в пакете слоев составляло v t=0,55, а алюминия - v 2=0,45. Во втором варианте рассматривалась лопатка, состоящая из чередующихся со стороны спинки и корытца слоев бороалюминия (BAL, v t=0,45), керамики (Sic, v 2= 0,45) и чистого алюминия (v3=0,1). В третьем варианте рассматривалась лопатка, состоящая из чередующихся со стороны спинки и корытца слоев бороалюминия, уложенных под углами ±45°, ±30°, ±15° к оси лопатки. В этом случае относительное объемное содержание слоев бороалюминия, уложенных под углами ±45° к оси лопатки, составляло v 1=0,4, а при ±30° - v2=0,4 и ±15° - v3=0,2.

По результатам расчетов на рис. 3 построено семейство кривых, отражающих зависимости жесткости на кручение по Сен-Венану C0 (линии 1-3), а также распределения касательного напряжения о , о и перемещения W для четвертого сече-

ния (рис. 4). Как показывают численные результаты максимальные значения перемещения Ш в лопатке достигаются на четвертом сечении.

На рис. 5. приведена поверхности распределения перемещений Ш в сечении лопатки с чередующими слоями бороалюминия уложенных под углами (+45о,-45°,+30о,-30°, +15о, -15о) и алюминия к оси стержня. В этом случае происходить неравномерное распределение перемещении во внутренних слоях бороалюминия армированных волокнами с различными углами армирования. Здесь наибольшие перемещение достигается в слоях кромки из бороалюминия армированных волокнами под углами +45о, -45о. В этом случае наибольшие касательные напряжения (точки А, В, С, D), по сравнению с значениями распределения касательного напряжения в слоях составленного из чередующих слоев бороалюминия и алюминия (рис. 4), достигает своего значения вдали от входной и выходной кромки. Таким образом, можно избежать от опасных касательных напряжений у входной и выходной кромки лопатки с помощью армирования тонких слоев кромки волокнами под различными углами.

С0, 10.]

3 г

2 Г

1

с)лах:

F,K}/?

R

Рис. 3 Изменение жесткости на кручение С0 , хорды в, площади ¥ и смах по длине (И - номер сечения) лопатки, составленных из чередующихся слоев из: 1- бороалюминия и чистого алюминия; 2 - бороалюминия, керамики и алюминия; 3 - бороалюминия и алюминия, улаженных под углами (+4&,-45о,+30о,-30°, +15о,-15о) к оси стержня

Рис. 4. Распределения перемещения W и напряжения uyz точек лопатки, составленных из слоев Bal-Al к оси лопатки

Рис. 5. Распределения перемещения \У и напряжения стуг точек лопатки, составленных из слоев Ва1(+45°,-45°,+30°, -30°,+15°,-15°)-Л1 к оси лопатки

Как видно из рис. 3 жесткость на кручение С0 лопатки, составленной из чередующихся слоев однонаправлено-армированного бороалюминия и чистого алюминия (кривая 1) в 2.5 раза меньше жесткости С0 лопатки, состоящей из чередующихся слоев бороалюминия, уложенных под углами ±45°, ±30°, ±15° к оси лопатки (кривая 3). Очевидно, варьируя углами укладки более жестких волокон, можно достичь еще более высоких уровней жесткости на кручение пера лопатки и равномерного распределения касательных напряжений.

Таким образом, в исследованных примерах показано, что путем выбора материала отдельных слоев или способа армирования в них можно в широких пределах управлять уровнями напряжений и деформаций при одних и тех же физических оборотах ротора.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Голубев О.Б. Обобщение теории тонких стержней // Труды ЛПИ им. М.И. Калинина. 1963. №226. С. 83-92.

2. Магомаев Л.Д. К теории кручения стержней с криволинейной осью / / Прикладная механика. 1984. Т.20. №4. С. 68-74.

3. Воробьев Ю.С., Шор Б.Ф. Теория закрученных стержней. Киев: Наукова Думка,1983. 186 с.

4. Саркисян В. С. Метод решения задачи обобщенного кручения стержней. //Механика. Вып. 3. 1983. С.27-31.

5. Биргер И.А. Пространственное напряжение состояние в лопатках начальной закруткой //Тр. ЦИАМ. 1982. №996. С. 7-23.

6. Нуримбетов А.У. Автоматизированное проектирование раскроя деталей произвольного поперечного сечения из слоистых композиционных материалов // Вестник РУДН. Серия "Инженерные исследования". 2009. №4. С.57-66.

7. Лехницкий С.Т. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1971. 415 с.

8. Лехницкий С.Т. Кручение анизотропных и неоднородных стержней. М.: Наука, 1971. 240 с.

9. Арутюнян Н.Х., Абрамян БЛ. Кручение упругих тел. М.: Физматгиз, 1963. 636 с.

10. Нуримбетов А.У. Кручение многослойного призматического анизотропного стержня, составленного из ор-тотропных материалов //Вестник РУДН. Серия "Ма-

тематика. Информатика. Физика". 2009. № 4. С. 64-76.

11. Нуримбетов А. У. Решение задачи кручения слоистых композиционных стержней произвольного сечения методом конечных элементов // Строительная механика и расчет сооружений. 2009. №4. С.24-30.

12. Саркисян В.С. Некоторые задачи теории упругости анизотропного тела. Ереван: ЕрГУ, 1970. 443 с.

THE TECHNICAL THEORY OF TORSION OF A COMPOSITE LAYERED CORE OF ANY SECTION

© 2009 A.U. Nurimbetov

"MATI" - Russian State Technological University, Moscow,

Using geometrical parities Koshi it is received expressions for a component tenzor deformations at "the generalised torsion" for a layer i a multilayered core of any section. The decision of the equations under the set boundary conditions is found for each layer i in the form of a sedate number. It is received the resolving equations of a method of the approached decisions.

Keywords: torsion, a layered core, the composite material, the generalised torsion.

Alibek Nurimbetov, Candidate of Physics and Mathematics, the Scientific Trainee at the Mechanics of Machines and Mechanisms Department. E-mail: [email protected].