Полупространственная теория кручения композиционного слоистого стержня произвольного сечения Текст научной статьи по специальности «Физика»

Расчет конструкций из композитных материалов

ПОЛУПРОСТРАНСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ КРУЧЕНИЯ КОМПОЗИЦИОННОГО СЛОИСТОГО СТЕРЖНЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ

А.У. НУРИМБЕТОВ, канд. ф.-м. наук, доцент

«МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского, Москва

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: цилиндрический стержень, слоистая структура сечения

Метод расчета стержней произвольного сечения, в основе которых лежала классическая теория тонких изогнуто-закрученных стержней Кирхгофа- Клеб-ша, разрабатывались и развивались многими авторами [1]-[5], и другими. Однако, в настоящее время не до конца разработаны методы расчета слоистых стержней произвольного сечения. Поэтому, рассматривается цилиндрический стержень из слоистого материала с поперечным сечением произвольной формы, находящийся под действием усилий, распределенных по концам стержня и приводящихся к скручивающему моменту М{, изгибающим моментам М1 ,М2 и

растягивающей силе Р. Область сечения предполагается конечной и односвяз-ной. Оси х, у совпадают с главными осями инерции рассматриваемого текущего сечения и проходят через центр тяжести сечения. Текущая ось г нормальна к сечению (рис.1).

1. Геометрическая характеристика стержня. Стержень можно представить в виде тела, которое образуется при движении плоской фигуры вдоль одной пространственной кривой Г. Если при этом движении плоская фигура дополнительно вращается вокруг оси Г, то образуется естественно-закрученный стержень (рис.2). Одной важной особенностью стержня является то, что основная нагрузка имеет направление, практически совпадающее с осью стержня.

Криволинейный естественно-закрученный стержень изучают в некоторой прямоугольной неподвижной системе координат К0 0Х^ ( = 1,2,3) (на рис. 2 система 0хуг). Уравнение оси Г недеформированного стержня задается в виде

~ 0(д) = х0(д)Э1,(/ = 1,2,3), _ (1)

в котором х0 (д) является координатами текущей точки Р; Э1 - единичные орты

-у

/г X

Рис. 2. Естественно-закрученный стержень Кр относительно К0 определяется из равенства

системы К0; s - скалярный параметр, соответствующий длине дуги, отчитываемой от начальной точки 0.

Наряду с неподвижной системой координат К0 может быть использована связанная с осью стержня подвижная система координат (Кр) рх1 (1 = 1,2,3)

(на рис. 2 система Р^г/С ). Ортогональный триэдр ё единичных векторов в системе Кр предполагается совпадающим с направлениями касательной (ё2)

и бинормали (ё). Положение системы

е =а (д)Эг,

в котором

а3} - х0,д; а1} - РХ},дд';

а2 ] Решп]Х0ш, ]Хп,дд;

Р =

1дд

~о ~0 ~ Г1д ' Г1дд ' Г1ддд

/ Р

(2)

(3)

Здесь р - радиус кривизны; Т0- начальное кручение оси стержня; етп]- -

элементы кососимметрического тензора [6]. Нетрудно видеть, что компоненты, метрического тензора аявляются функциями длины дуги 5.

Произвольная точка М в поперечном сечении в точке Р (Р-сечение) стержня имеет координаты

гм - г0 (5) +р'м - Г0 (5) + ха (М)ё(5) . (4)

Здесь ~рм - радиус вектор точки М в подвижной системе координат Кр греческие индексы принимают значения 1, 2 и по одинаковым индексам подразумевается суммирование. Если стержень незакрученный, то значениями параметров х'1, х'2 определяются координаты произвольной точки М.

Закрученный стержень образуется путем поворота Р-сечения относительно оси стержня на угол у, равный

у= ф). (5)

Здесь параметр т в общем случае является функцией длины дуги и характеризует относительный угол закрутки [3], [4], [5].

При указанном повороте местная система координат Кр преобразуется в новую систему координат Кх с ортами п [6]. Единичные векторы п определяются из равенств

пг = вг,е,; взз =1; Аз = вз1 = Аз = вз2 =0;

Ри = $22 = ^(ет); ^21 = в 12 = - Яп(®). (6)

С помощью соотношений (з), и (6) устанавливается связь локальной Кх и неподвижной К0 систем координат пг - аЭ, - выат:Э,.

Координаты произвольной точки М в Р-сечениях закрученного стержня определяются из равенства гм - ГрО(5) + ха(М)па, через длину дуги 5 и независимые параметры Х\(М), х2(М).

Если размеры сечений изменяются пропорционально скалярному параметру %(С), то координаты произвольной точки М Р-сечения определяется из равенств

о

То -

ГМ = г0(5) + %(э)ха(М)па . В этом случае вместо (5ц удобно использовать учитывающие изменения размеров нормирующие множители

1 в = Х(з)Ра; 13] = 13 = в] ;(а, к = 1,2; ] = 1,2,3).

При этом единичные орты местной системы координат Кх определяются из п] = gi]Э] = 1 тат]-Э], а радиус-вектор произвольной точкиМв системе К0 из

Гм = К (О + Ха (М)g0] ; Э] = X] Э] , X] = х0 + Ха (М)gщ .

Для стержней, изготовленных из неоднородного в сечениях материала (например, композиционного), целесообразно использовать локальную систему координат, связанную с физико-геометрическими характеристиками сечения. Здесь необходимо отметить некоторые особенности строения поперечного сечения изготовленных из композиционных материалов стержней.

2. Слоистая структура сечения. Стержни из композиционных материалов могут изготавливаться из отдельных жгутов, слоев ленты или ткани. В этих случаях сечения стержня имеет слоистую регулярную структуру. В связи с этим для стержней постоянного и переменного сечения возникает специфическая для армированных стержней задача - задача укладки в сечении слоев постоянной толщины. Так как размеры сечений могут меняться вдоль длины стержня, то и число слоев в каждом сечении будет различным. В плоскости, содержащей ось стержня, отдельно слои представляются в виде лепестков. В связи с этим возникает технологическая задача раскроя таких лепестков. Расположение отдельных слоев в сечении стержня определяется толщиной монослоя ленты или ткани и наружной конфигурацией сечения. Входными параметрами программы являются координаты линии, ограничивающей отдельное плоское сечение. Эта линия разбивается на две части (условно называемые впредь "спинка", "корытце"), к которым прилегают два наружных в сечении слоя. Координаты наружной поверхности слоя заданы. Строится геометрическое место точек удаленных от наружной линии на величину, равную толщине монослоя. Построенные координаты считаются наружной линией следующего слоя и вновь повторяется процесс построения координат внутренней линии текущего слоя. Так продолжается до тех пор, пока не выбирается вся толщина плоской фигуры. Движение идет с двух сторон - со стороны "спинки" и со стороны "корытца". Это предопределяет появление коротких слоев внутри сечения. Наиболее сложным в алгоритме является процесс построения начала и конца каждого слоя. Такие построения проводятся для ряда следующих друг за другом сечений. Взятые из разных сечений координаты начала и конца одного слоя образуют координаты одного лепестка, т.е. позволяет решить сформулированную задачу раскроя слоев ленты, ткани [7]. Каждый слой представляет собой трансверсально-изотропное или ортотропное тело. Так как направление осей симметрии материала не совпадает с осями координат стержня и может меняться от слоя к слою, то физико-механические свойства слоев могут отличаться друг от друга. В связи с этим возникает необходимость определения приведенных механических характеристик поперечного сечения.

3. Расчет характеристик сечения слоистого стержня. Наиболее часто используются следующие геометрические и физико-геометрические характеристики сечения стержня

Г0 < п < 4

II = |Нк (х,у)xnymdxdy, \ ' (0 < п + т < 4). (7)

> [0 < т < 4,

Здесь физико-механические свойства Нк(х,у) содержат различные парамет-

ры (например, модуль упругости, коэффициент Пуассона, модуль сдвига, коэффициент линейного расширения и т.д.) в зависимости от номера к. При к = 0 Н0(х,у) = 1 и интеграл (7) определяет геометрические характеристики сечения

стержня. При к = т = п = 0 интеграл 100 равен площади поперечного сечения, т.е. ^ Р.

В разд. 2 показывалось каким образом сечения стержня представляется в виде отдельных слоев. Ниже описан алгоритм численного интегрирования соотношений (7). Предполагается, что материал каждого слоя может отличаться от материала других слоев своими физико-механическими характеристиками Нк(х,у). Возможные при этом разрывы подынтегральной функции в (7) обуславливают представление интеграла (7) в виде суперпозиции интегралов, взятых по площади каждого слоя. При этом интеграл (7) представляется в виде

П = 1Нк(х,у) • гпп, гтп = лхпутахау. (8)

г=1 р

При этом

i dlblm+1+k (x1+k+1 - x1+k+1) l =1

(9)

M 1 m+1 Ck ,

J1 = i Qg Qg =_-_ у m+-\

mn s^mn , л ^ ,7,1

i=1 m + 1 k =0 n+k+1

в котором Скгп+1 - число сочетаний из m + 1 элементов по k;

dI = (yt+1 - Уе)/(xf+1 + xe), bi = yt - dI xe ,(l = 1,2,3).

Здесь Кс - число слоев и интегрирование осуществляется по площади Fj текущего слоя стержня, в котором Hjk = const.; Mj - количество треугольников в i-том слое. Отдельный треугольник АВС имеет координаты вершин А(х1,у1), В(х2,у2), С(хз,уз) , которые выбраны так, что при обходе А^В^С^А треугольник остается слева. Если индекс у координаты превышает 3, то его следует заменить на 1.

Численная реализация описанного алгоритма осуществляется с помощью специально составленной программы на алгоритмическом языке Fortran. Сравнение численных результатов геометрических характеристик J mj n стержня с ромбовидным (dj = 120 мм, d2 = 20 мм) и прямоугольным (a = 120мм, h = 20 мм) сечением вычисленные по формулам (9), отличаются от точных их значений не более чем на 0,0001%.

После вычисления на ЭВМ физико-геометрических характеристик сечения

находят центр тяжести сечения по формуле x* = 101/1°0, y * = 10° /100 , а также направление главных осей. Если а* - угол между осью х и одной из главных осей сечения, то cos2a*=(1 - cos2a*)/2 и sin2a*=(1 + cos2a*)/2 определяется из равенства cos2a* = 1/^1 + tg22a* , tg2a* = 21202 /(1002 - 1200) .

В последующем анализе может использоваться новая, местная система координат х' у' связанная со старой следующей зависимостью

х=(х - x*)cosa*+(y -у*)sina*, у = -(х - x*)sina*+(y - y*)cosa* (10)

C изменением координатной системы (параллельный перенос в центр тяжести и поворот относительно осей х и у) геометрические и физико- геометрические характеристики стержня произвольного сечения меняют величину. Физико-геометрические характеристики слоя в системе координат х', у' z (10) находятся по формулам

с = (cos* a) m+nQn

I I СС (-1)к (ца-)х* у * • _**> д=° ^ (11)

• (/020) (07^) /е01) • (* / у *)

1=0

где - значения вычисленные для слоя 1 по формуле (9). Формула (11) характеризует, что в новой, местной системе координат физико-геометрические характеристики сечения могут отличаться от значения (7).

В случае продольно-поперечной укладки слоев ^ = 0 или ^ = 90°, в этих слоях физические соотношения между деформациями и напряжениями [8] упрощаются из-за отсутствия связанности сдвиговых и продольно-поперечных деформации и напряжений. В этом случае а'5 = а46 = 0, (] = 1,2,3) и кручение

стержня является чистым [9], [10]. Если угол армирования у/1 в некотором слое 1 отличен от нуля, то исследуемая деформация стержня является "обобщенной" и кручение стержня, в частности, обуславливает появление эффектов изгиба при кручении.

4. Обобщенное кручение композиционного стержня. При "обобщенном" кручении компоненты перемещения точек 1-го слоя отыскивается в виде

и1 = -а33М! (1 - г) /(2.71) - т(1 - г)у + и1 (х, у),

У1 = °.5а35М< -4М2 (1 - г) + - г)х + у1 (х, у), (12)

2 7 2

' 2

0.54Mt - 4M2 у - 4Mt v - аз _

У 1 х n P

'- z) + W1 (x, y).

J1 J1 F

J 2 J 1 г

Здесь U1 ,V' ,W' - некоторые подлежащие определению функции координат сечения х, у; т- относительный угол закручивания на единицу длины стержня; l - длина стержня ; J^ (j = 1, 2) - главные моменты инерции поперечного сечения г-го слоя; Fi - площадь сечения 1-го слоя; P, M1, M2, Mt - силы и моменты, действующие в поперечном сечении стержня. Как правило, последние ( P, M1, M2, Mt ) являются известными величинами, однако иногда встречаются случаи, когда их следует определить в ходе решения задачи.

Используя геометрические соотношения Коши из (12) можно получить выражения для компонент тензора деформации при "обобщенном кручении" для слоя г в виде

^ = dU1 /Эх; 42 = dV1 /Эу; е'2 =диг /Эу + dV1 /Эх; 2е(3 =ту + dW^dx

4 = OÎ p + О! x + a33 M 2 - 00-^a33Mt y ; 4з = т + э^1/эу. (13) F1 J1 J1

Следует заметить, что в (13) все компоненты тензора деформации не зависят от координат z. Если учесть представления (13), то уравнения равновесия

cr'j j + x'k = 0 (k, j = 1,2,3), где индекс после запятой означает дифференцирование по соответствующей координате, могут быть приведены к виду

Э2и1 + 4 Э2и1 + 2с12 + 4 ЭУ1 = .( )

Эх2 2а(1 ЭУ2 24 1( , УЛ (14)

d2V1 + 4 dV + 2с[2' + 4 dV = ^ (ху)

Эу2 2с 22 Эх2 2с 22 ddy

w =

Здесь функция (х, у) (/ = 1, 2) определяются следующими соотношениями сАа'3\ _ 1 „. д2Жг „■ д2Жг

11 (х, у) = ^ м 1 - — (с''^- + с46 ),

1 у /г тг 1 'г у 15 Л 2 46 Л 2

сп сп дх ду

г (х у) = 0.5а35м, - а'3ъм2с23 - (с25 - с4б) т д2Жг

2 ^ ' У ' /г Гг /г I-

С2212 с 22

д2Жг с44 д2Жг г, ч

-- +п -- = 1 з ( х, у),

дх с55 д

13 (ху)=- М дШ - скдШ. - (15)

сй-Л' 1 с55 дх2 4 ¿у2 4 дхду

Специальная форма уравнений равновесия (14), (15) относительно составляющих V, V, Жг перемещений и1,у1,(г = 1,2,...,выбрана с целью перенести направо члены, обусловленные взаимодействием сдвиговых и продольно-поперечных деформаций Действительно, если с'г5 = с46 = 0(] = 1,2,3), что

реализуется при углах армирования слоя г / = 00 или у/ = 900, то / =00 13 = 0, а 11, 12 зависят только от изгибающих моментов М1, М2 обуславливая возможность по раздельного определения Ж1 функции и функции V, V'.

Дифференциальные уравнения (14), (15) должны быть решены при заданных условиях на боковой поверхности стержня, а также на его торцах. В сечениях стержня должны выполняться условия непрерывности перемещений Жг при переходе от слоя к слою.

5. Условия на боковой поверхности. Пусть на цилиндрической поверхности неоднородного анизотропного призматического стержня заданы усилия Х;,Г;, 1;. Тогда в рассматриваемом сечении ъ условия на контуре Ь слоистой области запишутся в виде

СV 1 +0-121 2 = ^ , С1211 + С221 2 = Г; , С1311 + С231 2 = 1; . (16)

Здесь V - направление нормали к ограничивающему рассматриваемое сечение контуру Ь (рис.1); 11 = С08^, х) = ду / дд, 12 = cos(v, у) = -дх I дд- направляющие косинусы, которые написаны в предположении, что положительный обход области осуществляется так, что область при обходе всегда находится слева. Если в соотношения (16) подставить физические зависимости между напряжениями и деформациями [8] и, при этом, учесть выражения для компонент тензора деформации (13), то граничные условия на боковой поверхности запишутся в виде

и 11 + <6.V,22 + с6, V,2 + ^V, 1 = XV,

1 2 2 1 V?

дх 2с" ду 2с" дх 2с" ду

и 11 + ^ V 12 дИ 11 +д! 12 = г;

2с2г2 ду 1 2с2г2 дх 2 2с2г2 дх 1 ду 2 ;

(17)

22 22 22

Ж Л+ ^ ж 12=1;, (18)

дх 2с'г 55 ду в котором приняты обозначения

± [[

X; =-7-[х; -с13м; 11 - 0.5(С5у11 - с46х12)Т-

- 0.5

дЖ'

'15

д

11 + с

дЖ' д

-в^г

у = ■

[у -4м; 12 - 0.5(4 у12 - 4б 1 )т—

- 0.5

дЖ'

25

I + с с

1 2 т с 40^25

дЖ'

11

-) 2 40 25 1

д д \ ^ У

21 2 -с1ы\11 -0.5(с'5у11 -с44х!2)т-

в221 2Т ],

55

ди'

дх

11 +

40

ди'

2 ду

дУ' ду

11 +

40

дУ'

2 д

-РУТ ].

Здесь, кроме того, обозначено

Л/Г' Г1 . Р м 1 м2 ч Г1 м( МI = аз3(-0- + х + у) - 0.5°з5 -0-у,

1 ПП 1 ОП 1 ПО 1 (Л

(19)

[ 00 -1 20 02 02 а также - тензор тепловых расширений и Т - температуры слоя '. Специальная форма граничных условии (18), (17) относительно составляющих и,, V Ж', (1 = 1,2,... К), выбрана с целью перенести направо члены, обусловленные взаимодействием сдвиговых и продольно-поперечных деформаций. Действительно, если параметры упругости с'5'5 и 4 равны нулю (' = 1,2,3) что реализуется при ф = 00 или ф = 900 (1 = 1,2,...,К), то X * и У* зависят только от изгибающих моментов М1, М2, и тем самым, обуславливают возможность по раздельного определения граничных условии для функции и', V и Ж'. Левые части условий (17), (18) характерны для задачи изгиба [11] и кручения анизотропных стержней [9], [10].

6. Условия на поверхностях контакта анизотропных слоев составного стержня. Из условия сплошности равновесия бесконечно малого элемента, находящегося в окрестности линии раздела Ь^ анизотропных слоев Як и Я]-, следуют кинематические

ик = и1, Ук = V1, Жк = Ж1, (20)

и статические соотношения

(21)

К - о^ )11 + (о* - о/2)12 = 0; (о2к2 - о{2)12 + (о* - о/2)11 = 0; (43 -о1з)11 + (02кз -о2з)1 2 = 0. Разрешающие уравнения метода приближенных решений. В тех случаях, когда отношение 40 /с55, с'г5 /с55 (' = 1,2,...N0 оказывается

меньшим 1, то, следуя работам [3], [11] в которых использовано разложение в ряд по малому физическому параметру, можно ввести один малый параметр

а = 8ир{а^} (22)

при данном значении угла. В (22) параметр жесткости с55 является эффективным параметром упругости сечения. В случае, когда значения параметра меньше 1, решение уравнений (4), (5) при граничных условиях (17)-(21) и (12) удобно отыскивать для каждого слоя ' в виде степенного ряда

и' = Ъа!и), V' = ^а/У' , Ж' = ^¡Ж]. 1=0 1=0 1=0

I

2

с

I

I

с

с

2

2

Если принятую форму решения (23) подставить в уравнение (5), то оно принимает вид

д 2 'г д 2

ВЖ'г = д + = Я., (24)

1 1 V с55 ду2 11

в котором

с35а3 3 м1 ,1 д2 с46 д2 ~ г с46 + 2с55 д2У;

3 = 51 - (2^^ + —_—)иг, - ^ ' ^-. (25)

с55 с55 дх2 с55 ду2 1 с55 дх ду

В равенстве (25) 51 символ Кронеккера. Если функции VI, VI были предварительно определены, то уравнение (24) является неоднородным дифференциальным уравнением относительно Ж0г. Если же , = 0, то 30 = 0 и для определения Ж0г получается однородное уравнение. Из принятой формы решения (23) находится условие

N д( уЖ~г ) д с'г ~

IЯ ьд1- -д Йт хЖ~г = мг, (26)

г =1 ( дх ду с55 1 1

которому должно удовлетворять найденное решение уравнения на контуре Ь. На линиях раздела Ьг5 слоев Я! и Я5 должны выполняться условия Ж' = Ж5,

, дЖг , дж5 . дЖг 5 дж5 ~, ~, (с55-д--с'5к5—т~)11 + (с44д--с%д-)12+~ -~5 = 0, (27)

дх дх дх дх

в которых приняты обозначения

. . . . д\~ 1 1 . дуг 1

К = с'5 м'211 + 0.5(с'5 у11 - с44 х12)то + (с^ + с 25 1 )11 +

дх д у

ди 1 1 д~ 1

+ 0.5с46 ( + -1)12.

ду дх

Здесь, мг2 - определяется из выражения (19), 11, 12- направляющие косинусы нормали V к линии раздела Ь слоев Яг и Я5. В условии (26) правая часть определяется равенством

.И, ____г с

И

мч = [-+ - 0.5(12 + Гх )т-в3БХГ]50-с'м5) ~

с'5 с'5 (28)

д сг ~ д сг ~ сг ~ д сг ~

(^1-1)-Ту(хи- (1(Цт 1 -Ту(% ^ •

где м'гг определяется после интегрирование выражения (19). Правая часть условия (26) также как и правая часть уравнения (24) может быть найдена, если будут предварительно определены функции и'- и Vj_1 для каждого слоя г. При

1 = 0 выражение м0 зависит от заданного крутящего момента М параметра кручения т. Таким образом, при 1 = 0 должно быть найдено решение задачи о чистом кручении (15).

Если решение отыскивается в виде (23), то функции и1, V1 в соответствии

с уравнениями (4) и (5) должны быть определены в результате решения системы неоднородных уравнений

d2UJ с66 d2Uj c'i + с66 д2у; __ + 66___ + 12 66__J —Q

dx2 2сЦ dy2 2сЦ dxdy J

с'г + Сг d2Uг Сi d2Vi d2Vi

l2 66 J 66 J J

+ 66__+___j

2с22 dxdy 2с22 dx2 dy2 J в которых правые части определяются из равенств

,■2

с"а' м с' с' д Ж' с" д Ж' ,

= С 13^33 - 55 ( 55 1 + С40 1 -1 )

1 сЦ 1 2сЦ с55 дх2 с55 ду2х2

о' 'М - 2а 'М с ' с' - с' с ' д2Ж~'

Т =и35Ш г ¿"33Ш _' ^0 - 55 ( 25 40 - С40 1 -1 )

1 2с22 1 с^' 2с55 1 2с55 дх ду

Таким образом, если функции предварительно определены, то уравнения (29) должны быть решены при следующих граничных условиях: а. На контуре Ь:

dUJ ¿Л dV. c'' dUJ dV.

(-_ + —_-)f 1 +(-_ + —-)12 — Ml,,

dx c[j dy сЦ dy dx

¿66 df~i c'i dUj

— (—_ + —-)f 1 + (——_ + —-)f2 — m 2,,

cil dy dx ¿22 dx dy J

(30)

в которых введены дополнительные обозначения

'l >l >l ' i

m Ij — -(^m; f1 + P22t1 f2)^0 - ¿ff ( yf 2 - ^ xi _

c'1 с 1 dW ' 1 с 1 dW1

- c55 (c25 U' J-1 f + c45 J-1 f )

>Л /in 1 2 ^ /in 1

c 22 c55

dx cff

c1 c1 c1 c1

-c13 Л si , а'П^й xo с15 Д15 л t-46 * ЧС1,

M 1j _-(^Ml +в\Г )f 1^0 (-^yf 1 xf 2)*Jt-

c" c" dW' 1 c" dW' 1 - ffl f 1 + ^-J± f 2).

(31)

c11 c55

dx cff

В (31) f 1 — cos(v, x) и f 2 — cos(v, у) - направляющие косинусы нормали к контуру L.

б. На поверхностях контакта:

. dU i , dU k . dvi , dVk . . , ,

(c1l - c1k —_ + c12 —^ - 4 -y-)£ 1 - (c1lM 1j - cif M _ ) + dx dx dx dy

. dU J , dU k . dVl. , dV_

+ 0.5(c66 -_- - c66 + c66 —± - c66 d~)f 2 — 0, (32)

dy dy dx dx

dU J dU k dv; f. dVk f. . k k

0 5(c" __ - c'k_J- + c" _J- - с k_J-)f + (c" m1 - c Mk ) +

66 66 66 66 l 2 22 1 66 2 dy dy dx dx

n dU\ fk dûk fk dV .; fk dvk —

+ (c12 ^ c12 ^ + c22 c22 )f 2 — 0, dx dx dy dy

где f 1 — cos(uik ,x), f 2 — cos(uik,y) - направляющие косинусы нормали к линии раздела Lik слоев R. и Rk . Правые части условии (29) будут полностью опре-

делены, если предварительно был установлен вид функции Ж1г-1. Вместе с тем, при 1, равном нулю, как правые части уравнений (29), так и правые части условий (30) определяются независимыми от Ж1г-1 факторами. Это обстоятельство

совместно с замечаниями, касающимися уравнения (24) и соответствующих им граничных условий (26), говорит, что полученная разрешающая система уравнений (24), (29) является рекуррентной системой уравнений.

Действительно, при 1 = 0 правая часть уравнения (24) равна нулю и при граничных условиях (26) должно быть найдено решение задачи о чистом кручении

(4.16), т.е. находится решение Ж0г для каждого слоя г. При 1 = 0, как правые части уравнений (29), так и правые части условий (30) определяются значения V(0, V0! для каждого слоя г. После подстановки предварительно определенные функции и0, V0г для каждого слоя ! в правые части уравнения (24) и (26), из решения неоднородного дифференциального уравнения (24) относительно Ж1г,

находится значение Ж/ для каждого слоя . Так как функции Ж0г предварительно определены, то из решения неоднородного дифференциального уравнения (29) относительно и1г, V/ находится значение V, V/ для каждого слоя г. Таким образом, по найденным функциям и1г, V/ , Ж1г - система уравнений (24), (29) совместно с граничными условиями (26), (27), (30) и (32) позволяет математически сформулировать задачу для определения отдельно функции иг, V1, и

отдельно функции Ж! для каждого слоя г при следующем 1 + 1-ом приближений. В работе [11] описан аналогичный способ для решения системы уравнений. Для решения системы уравнений используется метод последовательных приближений. Расчет заканчивается при достаточной близости результатов соседних приближений.

При а<<1 ряд (23) быстро сходятся к пределу. Поэтому принятая форма решения (23) выгодно отличается от решения предложенной в [11] тем, что позволяет непосредственно получить решения в перемещениях.

Л и т е р а т у р а

1. Голубев О.Б. Обобщение теории тонких стержней //Труды ЛПИ им. М.И. Калинина, №226, 1963 г. - С. 83-92.

2. Магомаев Л.Д. К теории кручения стержней с криволинейной осью// Прикладная механика, т.20, №4, 1984г. - С. 68-74.

3. Воробьев Ю.С., Шор Б.Ф. Теория закрученных стержней. - Киев: Наукова Думка, 1983г. - 186с.

4. Саркисян В.С. Метод решения задачи обобщенного кручения стержней// Механика. - Вып.3., 1983г. - С. 27-31.

5. Биргер И.А. Пространственное напряжение состояние в лопатках начальной закруткой //Тр. ЦИАМ, 1982, №996. - С. 7-23.

6. Финников С.П. Дифференциальная геометрия. - М.: Изд. МГУ, 1961. - 158 с.

7. Нуримбетов А. У. Раскрой стержня произвольного слоистого поперечного сечения// Механика и моделирование процессов технологии. - Тараз, 2005, №1. - С. 63-72.

8. Лехницкий С.Т. Теория упругости анизотропного тела. - М.: Наука, 1971. - 415 с.

9. Лехницкий С.Т. Кручение анизотропных и неоднородных стержней. - М.: Наука, 1971. - 240с.

10. Арутюнян Н.Х., Абрамян Б.Л. Кручение упругих тел. - М.: Физматгиз, 1963. -636 с.

11. Саркисян В. С. Некоторые задачи теории упругости анизотропного тела. - Ереван : Изд. ЕрГУ, 1970. - 443 с.