CC BY
30
УДК 531/534: [57+61]
О ВЛИЯНИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ АРТЕРИИ НА СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПУЛЬСОВОЙ ВОЛНЫ
Л.Г. Мурадян, С.В. Саркисян
Кафедра механики сплошной среды Ереванского государственого университета, Армения, 375049, Ереван, 49, ул. А. Манукяна, 1, e-mail: vasp@ysu.am
Аннотация. В гемодинамике для определения степени упругости кровеносных сосудов важное значение имеет понятие скорости распространения пульсовой волны. В этом направлении проведены многочисленные исследования [1-5]. В [5] рассматривается вопрос распространения пульсовой волны в артериях с учетом влияния окружающей тканевой среды. Получены простые формулы и показано влияние окружающей среды на скорость распространения пульсовой волны. Целью настоящей работы является изучение влияния напряженного состояния артерии (оболочка) на скорость распространения пульсовой волны.
Ключевые слова: гемодинамика, пульсовая волна, скорость пульсовой волны, тканевая среда.
Представим артерию в виде бесконечно длинной ортотропной упругой цилиндрической оболочки радиуса ^ и толщины Ъ, работающей в условиях моментного напряженного состояния. Жидкость (кровь) предполагается ньютоновской и несжимаемой, а ее движение - ламинарным и осесимметричным. Окружающую тканевую среду будем представлять как упругое бесконечное пространство с цилиндрической полостью, где помещена артерия. Среда препятствует движению артерии только в радиальном направлении [5].
Согласно принятым предположениям вопрос распространения пульсовой волны сводится к исследованию следующих уравнений [5-8].
Уравнения движения артерии
_ 52и | _ dw д2и 4vP1 V Bw~^l+ B\2^T _р—------ТТГ V,
1
дх2 1Z Rdx ' dt2 hR
(1)
л du w h2 д4 w 1 . . д2 w
B, 2-------I B22 -2T I-B| , --T _ -(p + z) — P-2T .
12 Rdx 22 R2 12 11 дх4 h dt2
Уравнения движения и неразрывности жидкости
1 др дУ 8v тл
— +-----------------------^ V _ 0,
р1 дх дt R (2)
ду + 2 _ 0
дх R дt
© Л.Г. Мурадян, С.В. Саркисян, 2004
Уравнения движения окружающей среды
Л
V
1 1 а
ф = о,
2 ^
(3)
V2 -------
2 2^2 г V д )
У словия контакта между оболочкой и внешней средой
= Ж; аг = 2 ; т = 0 при г = Я .
(4)
В приведенных уравнениях Б^ - коэффициенты упругости, р и р1 - плотность артерии и крови; и(х, t) и ^(х, t) - осевое и радиальное перемещение, р - давление жидкости на стенку сосуда; 2 - нормальное давление окружающей среды на оболочку сосуда; V - скорость движения крови; V - кинематическая вязкость; ф(х, г, t) и
у(х, г, t) - потенциальные функции; v1 =
2^о (1 - Д о ) (1 - 2д о )_
Ро
и„ =|Со
Ро
скорость
волны расширения и волны сдвига окружающей артерию среды (G0 - модуль сдвига, д о - коэффициент Пуассона, ро - плотность).
Радиальное перемещение Ж (г, х, t) и компоненты напряжения а г (г, х, ^, т(г, х, {) среды выражаются через потенциальные функции ф, у следующим образом:
Ж =аф-ау^ дг дх
^-Ф + 2у|р0
а ф а у
дг дгдх
(5)
1 - Д о дt
Решение систем уравнений (1)-(3) будем искать в виде бегущих волн:
(и, V, w, р, г, ф, у) = « ,Vо, Wо, ро, Го, Фо, V о У(0-к°, (6)
где к - волновое число, 0 = 0! + ,'ю2; ш1 - частота колебаний всей системы, ш2 -коэффициент, характеризующий затухание колебания.
Удовлетворяя решение (6) уравнениям (1)-(3) с учетом условий контакта (4), для определения относительной скорости пульсовой волны получаем следующее дисперсионное уравнение :
(7)
0
где V = — - скорость пульсовой волны, с = к
3 / Л
V 1 \ V
-1 + а5\ -
с ) V с У
Е
Р(1 -Д1Д 2 )
скорость продольной волны
в оболочке, д1, д2 - коэффициенты Пуассона ортотропной оболочки, Е1 - модуль упругости оболочки,
6
5
4
2
V
V
V
V
2
3
4
6
7
с
с
с
с
„і = с« |р 2к2 + ^ к 2 МЯ
[ кЯ кт 1 -ц 0 31 (тЯ)]
5
а2 = с
16іурр1
ИкЯ3
а3 = с4 ік2
кт 1 -ц0
(2р^2 + В11)
Л 0 (тЯ )
J1 (тЯ)
- 4у^ I р2к2 +
2РР1
ИЯ
(
- В11рк
2
к2 1 + — к 12
В22 о р1В11
р Я2 - 2-кГ
2 Ю
где J0, J1 - функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядка, т = —— - к
2 VI
2
2 Ю .2 Л = —- к .
Отметим, что уравнение (7) можно исследовать численно в зависимости от кинематической вязкости и от физико-механических и геометрических параметров как сосуда, так и тканевой среды.
В дальнейшем для получения обозримого результата упростим поставленную
задачу.
Окружающую тканевую среду примем в виде упругого основания Винклера с заданным коэффициентом постели К [5]:
(8)
Заменяя в (1) выражение нормального давления окружающей среды на оболочку сосуда через (8), представляя решение полученных уравнений через (6), получим следующее дисперсионное уравнение
(
(
Ві.+2рЯ
V Вп ри
+ к2 Я2
рИ
2;.2 'А
у 44
с) кЯк р ^
к2Я2 + 2р1Я V У У , ШУр1
1 -Ц1Д2 р| V Е
1 + -
к2к
12
ЯЕп
2
V А 8іу р1 2В11 + В12
V У Vі 1 Г0
2 4 2 2
к
+
к1 к4 Я2 В122 + В22
(1 + ц0) ИВ11 Д с ) кЯк р В11 ^
1 -Ц1Ц2 р| V ,+
Е
(9)
12
В
2
11
В
1 +
ЯЕп
(1+ Ц0) кВ2,
= 0.
Уравнение (9) дает две скорости волн: меньшая скорость соответствует волнам давления, распространяющимся в жидкости, а большая - в оболочке, с учетом влияния окружающей тканевой среды.
Численным исследованием уравнения (9) выясним влияние напряженного состояния оболочки на скорость распространения пульсовой волны.
На рисунках построены кривые изменения относительной скорости распространения волны V / с для различных отношений тканевой среды и оболочки при следующих параметрах, более или менее соответствующих действительности [5]:
— = 2; — = 5; = 0,96; д = 0,5; д2 = 0,25; д0 = 0,5; Я = 1,4 см;
Бп к р
д = 0,035 П ; д = ур1; р1 = 1,056 г/см; с = 18,5 см/с.
По оси абсцисс отложена безразмерная величина X / 2Я, где X - длина волны.
2
3
с
V / с 0 0,2 0,5
Рис. 1. Зависимость скорости распространения пульсовой волны от отношения X /2К (X - длина волны, К - радиус артерии) при различных значениях Е0/Е2 (Е0 - модуль Юнга среды, Е2 - модуль оболочки), цифры около линий - значения Е0/Е2. Безмоментное
напряженное состояние артерии
Рис. 2. Зависимость скорости распространения пульсовой волны от отношения X /2К
(X - длина волны, К - радиус артерии) при различных значениях Е0/Е2 (Е0 - модуль Юнга среды, Е2 - модуль оболочки), цифры около линий - значения Е0/Е2. Моментное напряженное состояние артерии
Рис. 1 соответствует случаю, когда вязкость жидкости отсутствует, а для артерии принимается безмоментное напряженное состояние [5].
В этом случае получаем две скорости. Окружающая тканевая среда увеличивает значение скорости пульсовой волны, причем эта скорость увеличивается существенно с увеличением Е0/Е2 , Е2 = В22(1 -д д2). Большая скорость почти не изменяется и
приблизительно равна единице. Цифры у линий - значения Е0 /Е2 .
Рис. 2 соответствует случаю моментного напряженного состояния артерии. Как и в предыдущем случае, получаются две скорости. Большая скорость почти не изменяется и приблизительно равна единице. Меньшая скорость, в отличие от безмоментного напряженного состояния, при малых значениях относительной длины волны достигает больших значений (больших, чем большая скорость). Далее при определенных значениях относительной длины волны (например X/2К«0,7 при
Е0 /Е2 = 0,2) принимает минимальное значение, затем, как и при безмоментном напряженном состоянии, увеличивается.
Проведены исследования и при наличии вязкости жидкости. В обоих случаях (безмоментное и моментное напряженное состояние артерии) поведение кривых изменений скорости распространения волн мало отличается от кривых, приведенных на рисунках 1 и 2. Вязкость жидкости незначительно влияет на скорость распространения пульсовой волны. Наличие окружающей среды приводит к уменьшению влияния вязкости жидкости [5]. Вязкость жидкости в обоих случаях приводит к тому, что волна распространяется с затуханием. Величина скорости является комплексной величиной, действительная часть которой совпадает со значением скорости распространения пульсовой волны, а мнимая часть характеризирует затухание колебаний.
Из рисунков видно также, что, начиная от X/2К = 6, меньшая скорость распространения пульсовой волны достигает своего асимптотического значения.
Список литературы
1. Кокс, Р.Г. Сравнение моделей артериального движения крови, основанных на линеаризованных теориях распространения волн /Р.Г. Кокс // Г идродинамика кровообращения. - М., 1971. - 269 с.
2. Ольшак, В. О влиянии индивидуальных упругих свойств человеческого тела на результаты
измерений артериального давления / В. Ольшак, Е. Завидский // Проблемы механики
деформированного тела (к 60-летию акад. В.В. Новожилова). - Л., 1970. - 512 с.
3. Рашевски, Н. Некоторые медицинские аспекты математической биологии /Н. Рашевски. -
М: Медицина, 1966. - 243 с.
4. Ударные волны в математических моделях аорты / Радинжер // Прикл. механика. Сер. Е (США). -1970. - Т. 37. - № 1. - С. 36-40.
5. Амбарцумян, С.А. К вопросу распространения пульсовой волны / С.А. Амбарцумян, Л.А. Мовсисян // Механика полимеров. - 1978. - № 4. - С. 696-701.
6. Амбарцумян, С.А. Общая теория анизотропных оболочек /С.А. Амбарцумян. - М., 1974. - 446 с.
7. Вольмир, А.С. Устойчивость деформируемых тел /А.С. Вольмир. - М., 1967. - 984 с.
8. Новацкий, В. Теория упругости /В. Новацкий. - М., 1975. - 872 с.
THE INFLUENCE OF STRESS-STRAIN STATE IN ARTERY ON THE SPEED OF PULSE-WAVE PROPAGATION
L.G. Muradyan, S.V. Sarkisyan (Yerevan, Armenia)
In hemodynamics the concept of speed of pulse-wave propagation is important for determination of blood vessels elasticity. There are numerous investigations in this domain [1-5]. In [5] the pulse-wave propagation was considered taking into account the influence of ambient tissues. The simple relations were derived and the influence of ambient tissues on the speed of pulse-wave propagation was shown. The aim of presented paper is to investigate the influence of stress-strain state in artery (shell) on the speed of pulse-wave propagation.
Key words: hemodynamics, pulse-wave, speed of pulse-wave, ambient tissue.
Получено 1 декабря 2004
