Волновые уравнения структурно-аналитической мезомеханики Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕРИАЛОВЕДЕНИЕ

УДК 539.4.011

В.Г.Малинин

ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ СТРУКТУРНО-АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕЗОМЕХАНИКИ

The paper deals with the wave equations describing process of plastic current on meso-scale and macro-levels.

Как известно [1,2], особенностью движения мезополос в деформируемом твердом теле является сложный характер взаимодействия эффективных сдвиговых напряжений с подсистемой структурных несовершенств, что в заданных граничных условиях (определяемых направлением главных осей напряженного состояния в пространстве напряжений при «мягких» траекториях нагружения или соответствующими направлениями в пространстве деформаций при жестких режимах нагружения) приводит к волновому характеру распространения пластического течения.

Примем в качестве обобщенной координаты на масштабном уровне мезо-2 [3] сдвиговую компоненту тензора дисторсии ф31. Для построения волнового уравнения необходимо ввести тензорный параметр Д Q ф315 i3§ k1 (Д Q — оператор Лапласа). Однако более целесообразно рассмотреть соответствующий аналог по компоненте ^В^ в виде параметра

Д п(вН^ § i3 § и- Такой прием является непоследовательным для процессов переноса, описываемых в рамках одного масштабного уровня. В нашем же случае многоуровневого анализа он оказывается естественным и методически оправданным, так как позволяет организовать дополнительную связность процессов эволюции деформационных структур на мик-ро-, мезо- и макромасштабных уровнях. C учетом сказанного введем в рассмотрение тензорный параметр dik в виде

dik = Дп(В31)^г3^к1 = d31^i3^k1. (1)

Волновое уравнение для сдвиговой компоненты деформации на мезоструктурном уровне мезо-2 можно представить следующим уравнением:

т2ф31 (Q) + т1ф 31 (Q) + тоФ31 (Q) - Ав d31 (Q) +

+ J f (Q')A(Q, Q')| [а ^3 [) а „1 (Q') + а И1 (Q') а „3 (Q')] D ] ]„) dQ' +

{q2}

+ J f (Q'')B(Q, Q'')| [а ^3 (Q'')a „1 (O') + a ^ (O') а „3 (Q')] D (]„ )dQ'', (2)

{Q'2}

здесь ДQ — оператор Лапласа для гидродинамического ориентационного пространства {Q2} , m0, m1, m2, АВ — константы материала. Наличие зависящих от ориентационных координат и времени составляющих правой части уравнения (1) свидетельствует о сильном затухании волн пластического течения в структурно-неоднородной среде. Специфика инициирования колебаний мезоструктуры в процессе деформации позволяет характеризовать ее, как активную возбудимую среду [1,2].

Имеющиеся экспериментальные данные [1,2] убедительно свидетельствуют об авто-волновой природе сдвигов мезополос деформации на мезоструктурном уровне. Уравнение (2) является естественным обобщением уравнения (25) в [3] и учитывает волновой характер процесса деформации.

Учет описания автоволновых процессов на масштабном уровне макро-1 приводит к появлению в уравнении для расчета компонент тензора неупругой деформации производных как первого, так и второго порядка, что естественным образом описывает осциллирующий характер распространения бегущего импульса в активной упругопластической среде [2].

Выполнив ориентационное усреднение соотношений (2) мезомасштабного уровня, получим искомые волновые уравнения на макромасштабном уровне в виде

ш2ё* {ш2 } + ш1ён {ш2 } + Щ)4 {Уш2 } = АВ°гк {Кш2 } + Агкшп° "шп + Вгктп°"тп . (3)

Здесь параметр Бк {Уш2} вычисляется с помощью формулы

^гк {^ш2 } = ^ ^{П2 }[агк (П)ак1 (П) + аг1 (П)ак3 (П)]31 (П)йП2.

{П2 }

В уравнения (3) входят тензорные параметры, характеризующие эволюцию структуры на макромасштабном уровне: Акшп — кинетические коэффициенты структурной податливости, Вкшп — кинетические коэффициенты структурной неоднородности, с *шп — эффективное напряжение. Обозначенные параметры являются функционалами, зависящими от истории нагружения во времени и в пространстве напряжений (или деформаций), и рассчитываются по методике, изложенной в [3] при выводе определяющих соотношений для макромасштабного уровня.

Представленная модель может быть использована при анализе напряженнодеформационного состояния для выбора оптимальных условий пластического деформирования.

1. Панин В.Е. // Физическая мезомеханика. 1998. №1. С.5-22.

2. Панин В.Е. // Физическая мезомеханика. 2000. Т. 3. №6. С. 5-36.

3. Малинин В.Г., Малинина Н.А. // Вопросы материаловедения. 2002. №1(29). С.123-143.