Мезомеханика многоуровневой системы структурных напряжений Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.4.011

Н.А.Малинина МЕЗОМЕХАНИКА МНОГОУРОВНЕВОЙ СИСТЕМЫ СТРУКТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

The paper deals with the mesomechanics model construction technique, to calculate the multilevel system of structural pressure based on the effective field method.

В процессе деформирования материала в местах торможения пластических сдвигов в объемах кристалла, где имеются препятствия для скольжения дислокаций или мезополос, может произойти вскрытие микро- и мезотрещин. В результате возникают структурные концентраторы, которые инициируют формирование дополнительных ориентированных напряжений, связанных с возникновением и эволюцией микро- и мезотрещин. Кроме поля напряжений ст*, на макромасштабном уровне существуют встречное поле напряжений pik и поле дополнительных напряжений rik . Поэтому любой закон, связывающий неупругие деформации ej* с напряжениями ст*, не будет фундаментальным физическим законом поведения кристалла. Действительно, устойчивая физическая связь должна существовать не между е^ и ст*, а между ен и эффективным напряжением ст*к . Данное утверждение в физике прочности и в механике деформируемого твердого тела принято уже давно [1-3]. Таким образом, движущим стимулом инициирования и развития пластической деформации в средах с взаимодействующими структурными элементами является эффективное поле напряжений ст *к :

CTik ~1Кст ik -pik + rik + X4k, где \ К — коэффициент концентрации макромасштабного уровня [4]; pik и rik — ориентированные микронапряжения; X ik — суммарные неориентированные структурные напряжения, вызванные различными физическими обстоятельствами (о них подробно см. в [1]).

Естественно, что для описания пластического течения и повреждаемости на микро- и мезоструктурном уровнях также необходимо вводить соответствующие эффективные напряжения, отражающие специфику массопереноса конкретного масштабного уровня.

1. Ориентированные напряжения, возникающие на структурных концентраторах, инициируемых ансамблем мезополос деформации

Эффективное напряжение 2*k , действующее на структурном уровне мезо-2, состоит из компонент тензора Tik от внешних нагрузок, ориентированных напряжений у31, 2 pik, 2rik (см.формулу (9) в [5]):

2ik =23\(Si\§k3 + ^kA'3); ¿31 =1К 2KT31 - 2К 2р 31 + 2К 2r31 - ¥ 31- (1)

Важным обстоятельством в формировании локальных структурных напряжений в активной мезополосе является инициирование в процессе сдвига структурных напряжений ¥31. Величина ¥31 определяется из следующего кинетического критериального условия [5]:

н [тт (q)- тот («)]=1. (2)

С учетом соотношений (9) — (12) работы [5] отсюда следует интегральное уравнение для

о

расчета скорости генерации «встречных» структурных напряжений у31, возникающих в локальной системе сдвига на границе образующихся мезополос деформации и окружающе-

го материала. Выражение для расчета у31 согласно формуле (10) из [5] целесообразно представить в виде

Ш2

V 31 = Г2 \ ¥ 0 1 (í2)cos(co - ю 0 )ю = г2 |¥ 01 (^ )cos(co - ю 0 )ёоо. (3)

{ю} Ю!

С учетом (3) из формулы (2) следует:

Ю!

Г 2 | ¥з°1 (£2)с0^Ш - ю0 )ю = (1 К2КЬтп - 2 К2р тп + 2К2Гтп >Х3

а1п -

- Р[01I Т (/)] + Wm ехр

ит У тТтт (^)|

кТ

( -Т10)тИ(Т( -Т10). (4)

В полученном интегральном уравнении (4), кроме искомой функции ¥°1, неизвестны границы области сдвигов мезополос ю1 и ю2, которые являются функциями углов а и в (см.[5]), задающих положение нормалей к плоскостям сдвигов мезополос ориентационного пространства { 2}

Уравнение (4) — интегральное уравнение Фредгольма первого рода с вырожденным ядром. Учитывая, что в правой части этого уравнения имеется инвариантное слагаемое

Р[/(/), т, (1)] без множителя, а направляющие косинусы а3та1п являются функциями углов

а, в, ю, это уравнение, как и в [6], в классе непрерывных функций решения не имеет. В

классе разрывных функций его решение выглядит следующим образом:

¥ °1 = ¥31§(ю 0 - С1 X (5)

где ¥з1 — неизвестная функция углов а, в, ю; 5 — функция Дирака; с1 — неизвестный

угол. Из этого решения видно, что ¥31 ^ 0 только при ю0 = с1, т.е. сдвиги мезополос в данной плоскости локализованы и могут происходить только в одном направлении:

®1 ®2 ®0 С1.

Подставляя (5) в уравнение (4) и учитывая свойства дельта-функций Дирака, найдем:

Г2¥31 =(1 К2(тп -2К2ртп + К2Гтп )“3та1п - РI1 (4 Т, (0] +

+Wm ехр(-ит^Тт^](тт -Т10)ти(тт -Т10). (6)

В формулы (5) и (6) входит неизвестный угол ю0, указывающий ориентацию направления сдвига мезополосы в плоскости. Его значение определяется с помощью последнего сомножителя в критерии (6) из [5], который имеет вид

И \№31 (й) - тах W31 («)] = 1. (7)

Согласно этому уравнению сдвиг мезополосы инициируется в направлении максимальной мощности диссипации энергии. С целью определения искомого направления сдвига мезо-полосы необходимо исследовать на экстремум функцию Wзl (й), заданную формулой (10) в [5].

Таким образом, кинетическое критериальное условие (2) и термодинамический критерий (7) позволяют рассчитать направление сдвига мезополосы и вывести самосогласованное интегральное уравнение для определения скорости генерации структурных напряжений ¥31. Необходимо отметить, что компонента ¥31 «встречного» поля структурных напряжений в локальной системе сдвига обеспечивает в каждый момент времени локальное равно-

2

весие напряженного состояния в активной мезополосе, т.е. в локальной системе, где Нф = 1 [5]. В мезообъеме мезо-2 таких активных систем может быть значительное количество (оно зависит от истории нагружения и вида напряженно-деформированного состояния), поэтому необходимо учесть их взаимовлияние и воздействие интегрального напряжения 2 pik на

процесс сдвига в рассматриваемой мезополосе. Для решения поставленной задачи применяется метод эффективного поля [1], развитый в работах [7,8].

Для расчета структурных напряжений 2 рik используется модифицированное уравнение Кренера [9], которое позволяет для структурного уровня мезо-2 найти тензор структурных напряжений 2 qik. Тензор 2 qik определяет кинетику формирования ориентированных макронапряжений р ik, а значит и ориентированных напряжений 2 р ik , которые вычисляются из соотношения

2 р ik (й 2 )= а pi (й)а qk (й)р pq ■

В результате можно сформулировать следующие эволюционные уравнения для расчета 2 qik:

2 qik = 2 q31 ^ii 5 k з;

2 q3i (й) = f f (й'^(й, й')1 [a ) a „i (й') + а mi (й')а ^(й')]] («] ^й' -

2

- ff(й'' )R(a, й'' )2[атз [)а„i (й'' ) + аmi (й'' )а„3 (й'' )](ртп)¿й'';

{й 2}

в(й,й') = Gi [3i (й) sgn^3i (й)] • [у3i (й') sgn^i (й')];

Г [ыр -ТрГх* (й)] [ир -ТрГх* (й- )] 1

R(й, й'' ) = Ri je kT [\j/3i (й) sgn^3i (Q)]x e kT [\j/ 3i (й'' ) sgny 3i (й'' )].

Здесь G(Q,Q') и R(Q, й'') — функции влияния, имеющие смысл структурной неоднородности пластического течения и структурной релаксации соответственно.

2. Ориентированные напряжения, возникающие на структурных концентраторах, инициируемых ансамблем мезотрещин

Особую роль в поврежденной среде играют ориентированные напряжения 2 rik, которые характеризуют эффект возникновения структурных напряжений за счет появления концентраторов в виде трещин на масштабном уровне мезо-2.

С целью вывода эволюционного уравнения для ориентированных напряжений rik, введем тензор мезоструктурных напряжений 2 Pik, локализованных в окрестности мезотрещин и рассчитываемых на основе метода эффективного поля. Используя результаты работ [i0-i2], математическую модель для расчета рассматриваемых структурных напряжений можно предоставить в следующем виде:

2 Pik = 2 P335 i35 k 3 + 2 P3i5 i35 k1 ;

2 р33(йr) = f f (й 'r )П(йr, й'r )aт3(йГ )a„3 (й'r )D (аГп) ¿йГ -

{йГ}

- ff(й"r)Z(йr, йr) am3 (йr)a„3 (й r )D(rmn)dй r;

{й r}

2 ¿31 - (й Г) = 1/ (й Г )П(Й Г,й Г )|[а т3(й Г )а щ(й Г ) +

{йГ}

+ ат1(ПГ)ап3(йГ)]О (ьЦ) СйГ - |/(йГ)2(й„йГ^[^(йГ) х

{й}

х а п1(й Г ) + а т1 (й Г )а п3 (й Г )] О (Гтп ) Сй Г;

Ир (й г ) = И [ (й г [ (й Г)-¿22 ]• И (п 0 - П , )• И [п 0^ - П' ]

При формулировке рассматриваемых уравнений на основе метода эффективного поля [8] учитывается эволюционирующая в процессе нагружения протяженность мезоконцен-траторов в виде границы между сплошной и поврежденной структурами, а также степень раскрытия мезотрещин в поле эффективных напряжений 2** . Функции влияния П(Ц., й Г), 2(0.г, й Г) имеют смысл структурной повреждаемости и структурной релаксации концентраторов повреждений материала соответственно.

3. Ориентированные напряжения, возникающие на макроструктурном уровне

Для расчета структурных напряжений макромасштабного уровня выполним ориентационное усреднение структурных напряжений мезомасштабного уровня, используя ориентационное пространство {й 2}. Простые вычисления приводят к формулам

Выполнив необходимые преобразования с учетом соотношений для мезоструктурного уровня мезо-2 и введя соответствующие обозначения, получим следующую систему уравнений для расчета параметров, характеризующих структурные напряжения на макромасштабном уровне макро-1:

В эти соотношения входят тензорные параметры в виде кинетических коэффициентов структурной неоднородности 0,кт„, структурной релаксации Я,ктп, структурной повреждаемости П,ктп и структурной релаксации концентраторов повреждений 2ктп. Все названные коэффициенты представляют собой функционалы в виде тензорных объектов четвертого

Р,к = 1 [ /(й2)[аг3(й)ак1(й) + а,1(й)ак3(й)]сй2; 2 {й2 }

{й2}

{й2 }

ранга, наряду с коэффициентами упругой податливости С^ктп они отражают нетривиальные механические свойства макрообъемов с учетом структурных изменений на микро-, мезо- и макромасштабных уровнях.

Расчет рассматриваемых кинетических коэффициентов с помощью соотношений ме-зоструктурного уровня [5] можно представить в виде следующих аналитических соотношений:

х-

2'

Glkmn = j /(й) j/(й')2[«,[)<xи(й) + ая(й)аkз(й)]]^)х

{й2} {й} є i

1 [а m3 (й > ni (й') + а m (й')а *з (й')] Z Z

= j /(й) j/(й")1[а,-з(й)аи(й) + ап (й)аtз(й)]^(й2, ) х

{й2} {й2} Р г

х -2- [а тз (й" )а ni (й" ) + а и1(й" )а и (й" )]й" ];

П ikmn = j /(й г ) j f (й г )агз(й г )акз(й г ) ^ . »» ^ а тз (й г )апз (й г )^й г^й г +

{й} {й г} .

j /(й'г ) j /(й г )^2 [(й г )аИ(й г ) + Мй г )а k з(й г )]П(йг„,„й г ) х

+

{йг} {йП

1 [агз(йг )а и(й г) + а,, (й ; )ак з (й ; )] Z г;

z (й г, й г)

'тз(й г )апз(й г )ий гий г ■

г

{йг } {йг }

Z (й г, й ] )

Z,kmn = j /(й г) j / (й'г )а,з(й г )а к з (й г)Z (й-; й г) атз(й'г )апз(й'г ^й'^й г +

+ j /(йг) j/(й'г)1 [а,з(йг)аki(йг) + а,і(йг)акз(йг)]

{йг} {йг}

х І [агз (й [ )а ki (й г) + аг1 (й "г )а к з (й Т )] '^й г.

Выпишем для удобства восприятия, в качестве примера, необходимую систему эффективных напряжений, действующих на макро-, мезо- и микромасштабных уровнях.

Для физических объемов, в которых возникает пластическая деформация, имеем следующую систему эффективных напряжений:

°ik =1 ik - р ik + гік ;

'¿ik = ^з1 (^i1^kз + 8k1^i3); ¿з1 = 1К 2KTз1 - 2К 2рз1 + 2К2 гз1 - ¥з1;

Tik = 0K1K2Ktik + 0Vik ;

Tik = 0K1K2Ktik + 0vik - 0K1K2pik - 0K0qik ;

Tik = 0K1K2Ktik + 0vik - 0K2K0pik + 0K2K0^ik - 0K0 qik + 0K0Pik.

Для физических объемов, где инициируется процесс повреждаемости материала, система эффективных напряжений имеет вид:

°ik = 1К°ik + р ik - ^k;

i k = i з!(8я5 k з + 8 ,з§ k1) + і з*з§ ,з§ k з;

^з1 = 1К 2Ктз1 - 2К 2рз1 + 2К2гз1; ^ зз = 1К 2Ктзз - 2К2 гзз;

Tik = 0K1K2Ktik + 0 Vfk + 0K2K0pik - 0K2K0гіk + 0K0qik - 0K0Pik .

г

В заключение отметим одно важное обстоятельство. Система структурных напряжений, действующая на рассматриваемых масштабных уровнях, не должна удовлетворять уравнениями равновесия макромасштабного уровня У1. Как эффективные поля они относятся как бы ко всему объему усреднения У1, хотя на самом деле действуют только в относительно сильно деформированных объемах У0 и Ут. В то же время структурные напряжения в объеме У1 уравновешены напряжениями противоположного знака в слабо деформирующихся объемах У0 и Ут. В этом основное отличие напряжений с к и структурных напряжений р к гк. Естественно, расчет макроупругих деформаций необходимо проводить по закону Гука, учитывая только напряжения с к . В силу линейности закона Гука суммарная макроскопическая деформация не зависит от рк и Гк .

Учитывая важную роль ориентированных напряжений при обработке металлов давлением, предложенная модель позволяет оптимизировать режимы пластической обработки.

1. Лихачев В. А., Малинин В.Г. Структурно-аналитическая теория прочности. СПб.: Наука, 1993. 471с.

2. Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. // Инж. журн. МТТ. 1968. №3. С.82-91.

3. Новожилов В.В., Кадашевич Ю.И. Микронапряжения в конструкционных материалах. Л.: Машино-

строение, 1990. 223 с.

4. Малинина Н.А., Малинин В.Г. // Науч. тр. VI Междунар. симпозиума «Современные проблемы прочности» им. В.А.Лихачева. Старая Русса, 2003. Т.1. С.3-10.

5. Малинина Н.А., Малинин В.Г. // Там же. С.22-28.

6. Кунеев В.И., Русинко К.Н. // Тр. Фрунзенского политехн. ин-та. Математика. Фрунзе, 1969. Вып.38.

С.21-39.

7. Малинин В.Г. // Вестник НовГУ. Сер.: Естеств. и техн. науки. 1997. №5. С.35-38.

8. Малинина Н.А., Малинин В.Г. // Вестник НовГУ. Сер.: Естеств. и техн. науки. 1998. №10. С.22-30.

9. Kroner Е. Kontinuumstheorie der Versetzungen und Eigenspanungen. Springen-Verlag, 1958. 463 р.

10. Малинин В.Г., Малинина Н.А. // Вестник НовГУ. Сер.: Естеств. и техн. науки. 2001. №19. С. 18-27.

11. Малинин В.Г., Малинина Н.А. // Вопросы материаловедения. 2002. №1(29). С.123-143.

12. Малинина Н.А. // Изв.вузов. Физика. 2002. №3. С.72-82.