CC BY
6
УДК 539.3
DOI: 10.24412/2071-6168-2022-3-391-396
ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В УПРУГО ДЕФОРМИРУЕМОМ СТЕРЖНЕ ПРИ ПРОНИКАНИИ В ПЛОТНЫЕ СРЕДЫ
В.В. Аверин
Рассматривается задача о проникании в грунт упруго-деформируемого однородного стержня. Сила сопротивления прониканию задается квадратичной зависимостью от скорости проникания. В предположении, что при ударном взаимодействии в стержне возникают волны продольных деформаций, с помощью уравнений Лагранжа второго рода сформирована система уравнений относительно глубины проникания стержня и деформаций в любом его сечении. Система решается численным методом. Результаты расчетов наибольших глубин проникания хорошо согласуются с результатами экспериментальных исследований.
Ключевые слова: проникание, грунт, стержень, упругие деформации, волновые эффекты.
Со стороны грунта на стержень действует продольная нагрузка, которая задана квадратичной зависимостью нормальных напряжений на контактной поверхности от скорости проникания головной части стержня в грунт. Исследуется зависимость глубины проникания и деформаций стержня от начальной скорости соударения.
Пусть упругий стержень длиной l кругового поперечного сечения диаметром d встречает плоскость полупространства, заполненного грунтом. Головная часть стержня имеет коническую форму с углом раствора конуса 2q). Скорость встречи V перпендикулярна плоскости полупространства и совпадает с продольной осью стержня. Начало системы координат совместим со свободным торцом стержня и направим ось ОХ вдоль его продольной оси в направлении скорости движения. Материал стержня характеризуется модулем Юнга E и плотностью р.
Площадь сечения миделя S = ^ постоянна по длине цилиндрической части стержня.
4
Будем предполагать, что глубина проникания стержня в грунт превосходит длину его конического участка. Тогда со стороны среды на стержень будет действовать продольная нагрузка, модуль которой определяется соотношением [1]:
F = S(k0 + кхйc + k2ii2c) , Uc>0, (1)
где йс(0-перемещения точек контакта (х=1) стержня со средой, k0, М, k2-параметры, зависящие от свойства среды и угла конусности головной части стержня. Точкой обозначено дифференцирование по переменной t. Учитываются только продольные деформации стержня.
В силу сделанных допущений, зависимость перемещений по длине стержня представляется выражением:
х
u(x, t) = u0(t) + je(g, t )d£, (2)
0
где зд(0-перемещения сечения х=0, £(х,^-продольные деформации стержня.
Перемещения сечения, контактирующего с грунтом найдем из (2), полагая x=l.
fi
йс (t) = й(1, t) = й0 (t) + [ s(£ t )d£,
откуда
) = и с (X) -{0 е(£, X Ж. (3)
Из выражений (3) и (2) следует:
г1
и(х, X) = ис (X) -\е(£, X Щ. (4)
Чтобы исследовать влияние волновых эффектов, возникающих при ударном взаимодействии стержня с грунтом, предположим, что деформации стержня в любой момент времени X являются собственными функциями решения волнового уравнения, удовлетворяющего однородным граничным условиям
ли
и(/, ?) = — (0, ?) = 0,
дх
то есть
N 2£ — 1
£ (X, 0 = £ £ к (?)ЗШ—— Ж . (5)
к=1 21
Тогда
и(х,0 = ис(?)— ]Т £к(Г)-—2—-^^-1Жх . (6)
к=1 (2к — 1)ж 21 Для решения задачи проникания упруго деформируемого стержня в грунт воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода. В качестве обобщенных координат примем ис(?) и £к(?) (к=1,2,...^.
Поле скоростей стержня определяется из (6) формулой
... , ди . . . ^ . . . 2/ 2к — 1 .-,4
V (х, 0 = — = ис (?) — ^ ^к (0(27 1) С08—:— жх, (7)
д? (2к — 1)ж 2/
а поле деформаций-зависимостью (5).
Найдем кинетическую энергию стержня.
Т = -
2\pV2 —П , (8)
2 П
где и объем стержня. С учетом того, что —0=5—х и формулы (7), получим
т Р5 г / • ^ • ✓ ч 2/ 2к — 1 .2 ,
2 о (2к — 1)ж 2/
(9)
к=1
т (. 2 • 8/ ^ . (. (—1)к—1 2/2 А £2(?) )
=7("-- и- ж £ (' +ж
где т=р5/-масса стержня.
Потенциальная энергия-энергия деформации стержня определяется известной форму-
лой:
жа
и = Е | £ 2( х, 0—П = Е5 | (£ £к (? ^т2-^ жх)2—х = -4 £57 £ £2(?). (10)
2 П 2 0 к=1 2/ 4 к =1
Лагранжиан
£ = Т — и (11)
В него не входит работа обобщенных сил, зависящих от скорости. Уравнения Лагран-
—(—) —— = ; и = 0,..., N) (12)
Здесь ^0=ио, #1=£1, ^2=£2,...,^= ^т. Обобщенные силы ^ определяются соотношениями, полученными в [8]:
Q = —5 (к 0 + кА + к2 и2) ^. (13)
ч
Тогда 20 = —5(к0 + к1ис + к2ис), Q1 = Q2 = ••• = QN = 0, если ис>0; и Qo=Ql=...=QN=0, если и < 0.
с
Далее найдем:
д£ дТ 4/ N - , ч (—1)к—\ — ,.. 4/ N ■■ / ч (—1)к—\
-=-= т(и--- > £, —-), —(-) = т(и--- > £, —-),
дис дис Кс ж2 £ кК (2к — 1)2Л Кди/ Кс ж и к (2к — 1)2^
д£ ди д£ дТ . . 8/ (—1)к—1 4/2 £, (?) .
-=--= 0, -=-= т(—ис ' у—-+ —---^-г),
дис ди с д£к д£к с ж (2к — 1)2 ж2 (2к — 1)2
— д£ , .. 8/ (—1)к—1 4/2 £ к (?) , д£ ди 1
--= т(—и ———-—- + —---к 2), -=--= —
д£к с ж (2к — 1)2 ж2 (2к — 1)2 д£к д£к 2
Сформируем систему уравнений Лагранжа: 41 ы (-1)к-1
т(ис--Г1Л2 ёк ^ = (к0 + к1ис + к2ис2)
л к=1 (2к -1)
( .. 41 (-1)к 1 212 ёк (X) ) 1
т(-ис——-—-—- + —--к^-г) = — Е81ек.
с л (2к -1)2 л (2к -1)2 2 к
(14)
Введем обозначения:
, Е „ к0 к, к2 а й а й т„ V
ис = м>с1, а = —, С0 = —С = С2 = г = —X, — =--, Ж = —. (15)
\ р ра ра р I dX I йг а
Система получит безразмерный вид:
4 " (-1) к-1е"
кк - Л I ^к"^ = -(С0 + + с 2 кк2)
Л к=1 (2к -1)
4(-1)к-1 + 2 £„= 1 £
К +-ТГ^ ек = -~ек.
(16)
г=0:
(2к - 1)2л (2к - 1)2л 2
В системе (16) штрихом обозначено дифференцирование по безразмерному параметру
Сформулируем начальные условия для переменных, входящих в систему (16). При
ек(0) = 0, е'к(0) = 0, wc(0) = 0, w'c(0) = Ж, (к=1,2,...Щ где Ж= Ь-. (17)
а
В частном случае проникания в грунт абсолютно жесткого недеформируемого стержня, полагаем в системе (16) ек=0 и отбрасываем второе уравнение, соответствующее обобщенной координате ек. Приходим к дифференциальному уравнению
wk' = -(Co + с wк+ С 2 wк2), (18)
которое допускает аналитическое решениев виде двух табличных интегралов: для наибольшей глубины проникания
0 цйц
— I
ЖС 0 + С\П + С2П2
и для продолжительности проникания
0 йц
ЖС0 + С\Л + С2^2
(19)
(20)
Формулы (19) и (20) использовались в дальнейшем для тестирования решения задачи. Для решения системы (16), удовлетворяющей начальным условиям (17), воспользуемся численным методом интегрирования нормальной системы дифференциальных уравнений. Вводя обозначения
У0 = wc , Ук =ек , УN+1 = Кс , Ум+к+1 = ек, (к = N),
приходим к системе уравнений
4 N (-1)к-1 2
У N+1 2 7\2 У N+к+1 = -(С0 + С1УN+1 + С2УN+1 )
л2 (2к -1)2
4 (-1)к-1 У к + 2 У к = 2 (С + СУ + СУ 2 ) Ук_ (21)
л2 (2к -1)2 УN+1 +л2(2к -1)2 УN+k+1 (2к - 1)лС + СlУN+1 + С 2УN+l) 2 , (к = 1,2,..., N)
Разрешим систему (21) относительно производных Для этого сфор-
мируем матрицу А коэффициентов системы, вектор-столбец Ь свободных членов и вектор-столбец У неизвестных:
А=
■4 4
(—1) N 4
ж 2
ж 4
(3ж)2
(—1) N 4
(3ж)2
(3ж)2
((2 N — 1)ж)2
2
((2N — 1)ж)2 Тогда система (21) примет вид:
((2 N — 1)ж)2
ЛУ = ь,
ь=
—/
— А 2
—
2
УN
У=
У N+1
УN+2 УN+3
У2 N+1
а ее решение:
У = Л—1Ь, (22)
где Л_1-обратная матрица, образует систему в нормальной форме, которая интегрируется численным методом при начальных условиях:
У0(0)=У1(0)=.. =У40)=0, У№1(0)=^; Ул+2(0)=Ул+3(0)=. =У2дм(0)=0. (23)
Продолжительность вычислений (длительность проникания) определяется условием
УN+1=0.
Предложенная модель расчета процесса проникания в грунт упруго деформируемого стержня была апробирована на результатах экспериментальных исследованиях [3], в которых измерялись глубины проникания ис.тах в бетон стальных ударников с плоским торцом диаметром й= 7.6мм и длиной /=22,8 мм в диапазоне скоростей стрельбы Vo=100...500 м/с.
Согласно решению, полученному для несжимаемой упруго пластической среды [4], можно принять
3р0 2
4
О,
V^т2 а + — т5 (1 + 1п—) , 3 т5
(24)
где р0-плотность среды, О-модуль сдвига, Т5-предел текучести материала среды при сдвиге, а - угол между образующей конической поверхности и продольной осью стержня: Тогда коэффициенты квадратичного закона (1)
к0 = —т
0 3 *
о
1 + 1п(1 + —)
к1 = 0,
к 3 .2 к 2 = 2 Р0^п а
(25)
где р0-плотность среды, О-модуль сдвига, т5-предел текучести материала среды при сдвиге, которые постоянны и не зависят от скорости.
В расчетах принималось: плотность бетона р0=2250 кг/м3, О=16,7 ГПа, т=21,7МПа; плотность стального ударника р=7850 кг/м3, модуль Юнга Е=210 ГПа, а=п/2, количество членов разложения (5) N=50. При скорости соударения Vo =403 м/с расчетное значение глубины проникания, отнесенное к длине стержня,^ тах=1,45. На рис.1 представлен график перемещения переднего среза wc стержня в зависимости от безразмерного времени т
1
4
2
ж
2
2
т
* ;
Рис.1. Перемещение контактного сечения ^,
Значение этого параметра, полученное в эксперименте, равно 1,51. Расхождение результатов не превышает 4%, что подтверждает корректность предложенной математической модели исследуемого процесса. На рис.2 представлен график изменения скорости стержня в зависимости от безразмерного параметра т, а на рис.3-график контактных деформаций.
394
0 1, 3 4 5 6 7 8 9
_ 1_ - riJ
-
Г
Рис.3. Контактные деформации на начальном этапе проникания (т < 10).
Величина контактной деформации на начальном этапе ударного взаимодействия (т<2) £(1,т)=-0,0034. Продолжительность проникания t=209^w. Изменение скорости и деформации во времени происходит ступенчато, что свидетельствует о волновом характере процесса проникания. Длина каждой ступеньки одинаковая и соответствует времени пробега волны упругих возмущений по длине стержня в обоих направлениях.
Список литературы
1. Сагомонян А.Л. Проникание. М. Изд-во МГУ, 1974. 299 с.
2. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Изд-во Физматлит, 1961. 824 с.
3. Коняев А.А., Толкачев В.Ф., Платова Т.М. Экспериментальная проверка закономерностей разрушения бетонных и железобетонных плит при ударе // ПМТФ. 2015. Т. 56, №6 С. 111-118.
4. Фомин В.М., Гулидов А.И., Сапожников Г.Ф. и др. Высокоскоростное взаимодействие тел. Новосибирск: Изд-во СО Ран, 1999. 600 с.
Аверин Валерий Владимирович, канд. техн. наук, доцент, AverinWW@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
WAVE PROCESSES IN ELASTIC DEFORMABLE ROD WHEN PENETRATING IN DENSE MEDIA
V.V. Averin
The problem of penetration into the soil of an elastically deformable homogeneous rod is considered. The penetration resistance force is given by a quadratic dependence on the penetration rate. Assuming that waves of longitudinal deformations arise in the rod during impact interaction, a system of equations is formed with the help of the Lagrange equations of the second kind regarding
395
the penetration depth of the rod and deformations in any of its sections. The system is solved numerically. The results of calculations of the greatest penetration depths are in good agreement with the results of experimental studies.
Key words: penetration, soil, rod, elastic deformations, wave effects.
Averin Valery Vladimirovich, candidate of technical sciences, docent, Aver-inWW@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 629.7
DOI: 10.24412/2071-6168-2022-3-396-403
МЕТОДИКА ОБОСНОВАНИЯ СОСТАВА ОПЕРАТОРОВ ПУНКТА УПРАВЛЕНИЯ МНОГОФУНКЦИОНАЛЬНЫМИ КОСМИЧЕСКИМИ ИНФОРМАЦИОННЫМИ СИСТЕМАМИ НА БАЗЕ МАЛЫХ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
Л.В. Пилипенко, В.А. Пирухин
В статье рассмотрена методика обоснования рационального состава операторов пункта управления орбитальной группировкой космических аппаратов, на основе декомпозиции многомерной задачи формирования состава расчётов, участвующих в подготовке и проведении сеансов управления многофункциональными космическими информационными системами на базе малых космических аппаратов.
Ключевые слова: орбитальная группировка, космический аппарат, оператор, расчёт, наземный автоматизированный комплекс управления.
В соответствии с [1, 2] Госкорпорацией «Роскосмос» разработан проект подпрограммы «Комплексное развитие космических информационных технологий на 2021-2030 годы», в соответствии с которой состав орбитальной группировки (ОГ) к 2030 году должен превысить 600 космических аппаратов (КА). Создаваемая ОГ будет основываться на создании многофункциональных космических информационных систем (МКИС) на базе малых космических аппаратов [3].
Эффективность функционирования МКИС напрямую зависит от качества решения задач управления КА. В данном контексте под управлением КА подразумевается управление его бортовыми системами с использованием средств наземных автоматизированных комплексов управления (НАКУ). Наращивание объема ОГ КА обуславливает необходимость развития средств НАКУ за счет их дальнейшей автоматизации и внедрения передовых технологий (искусственного интеллекта, технологии высокоскоростной космической лазерной связи и др.). Данное обстоятельство подтверждает актуальность решения задачи обоснования численного состава операторов для этих средств.
Для обоснования состава расчётов НАКУ КА необходимо оценить возможности средств НАКУ КА по решению трёх основных задач управления КА [4]:
- определение положения КА в пространстве;
- получение данных о состоянии бортовых систем КА;
- формирование команд управления КА и выдачу их на борт.
Первая задача решается наземными средствами траекторных измерений, которые определяют координаты КА, его ориентацию и вектор скорости. По этим данным определяется орбита КА и даётся прогноз его движения на определённый период времени, зависящий от точности траекторных измерений и высоты его рабочей орбиты.
Состояние бортовых систем КА определяется с помощью телеметрической системы, которая включает в себя бортовые датчики и подсистему сбора и передачи данных на Землю.
Решение указанных основных задач на Земле может осуществляться специализированными станциями траекторных измерений, телеметрическими и командными станциями с выделением для каждой станции специального радиоканала.
Средства НАКУ можно подразделить по функциональному признаку на следующие основные группы [4]:
