CC BY
6ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.
№3-4 (64-65) / 2018.
УДК 539.3
©2018. Г.М. Улитин, С.Н. Царенко
ДИНАМИКА ПРОДОЛЬНОГО УДАРА НЕОДНОРОДНОГО СТЕРЖНЯ ОБ ОГРАНИЧИТЕЛЬ
Рассматривается задача об ударе стержня с произвольной степенной неоднородностью продольной жесткости и линейной плотности о жесткий ограничитель. Математическая модель продольных деформаций стержня представлена в соответствии с волновой теорией плоского удара в виде дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами в частных производных. Решение уравнения получено методом Фурье в функциях Бесселя. Выполнены исследования ударного импульса для двух схем удара стержня о преграду торцом с меньшей и большей площадью. Получены значения коэффициента восстановления для рассматриваемых схем удара стержней различной геометрической формы.
Ключевые слова: продольный удар, неоднородный стержень, метод Фурье, функции Бесселя, коэффициент восстановления.
Введение. При частично упругом ударе импульс системы соударяющихся тел после удара меньше, чем был до удара. Для учета потерь энергии вводится т.н. коэффициент восстановления К, который в «классической» теории удара считается зависящим только от физических свойств материалов соударяющихся тел [1]. Коэффициентом восстановления учитываются такие следствия удара: как остаточные деформации, звуковые колебания, нагревание тел, изменение механических свойств материалов и пр. [1]. Проблеме определения коэффициента восстановления посвящены, как теоретические [2,3], так и экспериментальные работы [4,5].
Одним из основных критериев применения формул классической механики является условие, что время прохождения упругих волн деформаций через все тело много меньше времени удара, а в случае если эти величины сопоставимы, следует использовать волновую теорию удара [1]. Однако, как показали исследования удара упругих однородных стержней о жесткий ограничитель, выполненные на основе волновой теории [6,7], результат ударного взаимодействия стержня с ограничителем полностью согласуется с положениями классической теории об ударе абсолютно-упругого тела. Т.е. в процессе удара происходит переход кинетической энергии в потенциальную энергию деформации тела и последующее полное восстановление кинетической энергии = го). Тем не менее, при ударе ступенчато-неоднородного стержня [7,8] или конического [9] восстановление скорости происходит не в полной мере, часть энергии уходит на собственные колебания стержня после удара. Данное явление может приводить к снижению энергоэффективности силовых установок импульсного действия. Таким образом, коэффициент восстановления может служить одним из ключевых показателей для оценки эффективности использования неоднородных стержней в качестве бойков и волноводов в установках ударного действия, следовательно,
разработка метода определения коэффициента восстановления является актуальной научно-практической задачей.
1. Постановка задачи и основные соотношения. Рассмотрим две схемы удара упругого стержня с произвольной степенной неоднородностью (рис. 1): схема а) - удар стержня об ограничитель торцом с меньшей площадью, схема б) - удар торцом с большей площадью. Линейная плотность т и площадь сечения Р стержня изменяется по степенному закону от продольной координаты х
т = ; Е = ¥2га;
х Ь1
г = (1 - к) у + к, к = -^ (0 < к < 1), I Ь2
(1)
где 7 - плотность материала, Р2- площадь поперечного сечения большего основания стержня, Н\ и Ь-2 - параметры поперечных торцевых сечений, определяются геометрией сечения стержня (для конических конструкций - радиусы сечений), показатель степени а зависит от конфигурации стержня, например для плоского клина а = 1, а для конического стержня сплошного сечения а = 2.
Рис. 1. Схемы удара неоднородного стержня о жесткий ограничитель
Уравнение продольных перемещений и (х,г), с учетом принятых обозначений, будет иметь вид [10]
2
а д2и а-1 ди а д2и I
г д^+аг 1Б = Е^-к)2" + ЕЕ2(1-к)2
р (г, г)
(2)
где Е - модуль упругости, р(г,Ь) - внешняя нагрузка.
Решение уравнения (2) методом Фурье для случая свободных колебаний р (г, г) = 0 имеет вид [10]
<х
и (г,Ь) = ^ Яп (г) Тп (г) =
п=1 (3)
= У^ (и0пк иА (Хпг) + тгтгтт^-тт-^—В й1п (^ + Цп) ,
П=1 V Ер2 (1 - к) \п )
а выражение для продольных усилий представлено зависимостью
N (г, Ь) = ЕЕи'х =
п=1
1_гУ £ (и°пЕР'Л] к)к-"\пС (Хпг) + Мопк"-^ (Хпг)^ йп (шп1 +
где иоп, Non - продольное перемещение и усилие в нулевом сечении п-й формы колебаний, шп, цп - частота и фаза п-й формы колебаний, V = Хп = ^ -
собственные значения, с = - скорость продольных волн деформаций, также введены следующие обозначения функций:
п
А (С) = 2 Со Ыи (С) Ъ-1 (Со) -(С) Л-1 (Со));
п
В (С) = 2 Со (Хи (С) Л (Со) - Л (С) П (Со));
п
с (С) = 2 Со Ыи-1 (С) Ъ-1 (Со) - У-1 (С) Л-1 (Со));
п
о (С) = 2 Со (Хи-1 (С) Л (Со) - Л-1 (С) П (Со)),
где (^) и ({) - функции Бесселя - значение аргумента в начальной точке отсчета.
Для исследования динамики ударного процесса, решим задачу (2) с граничными условиями:
- для схемы а)
и (0,Ь) = 0; и'х (1,Ь) = 0, (5)
- для схемы б)
и'х (0,Ь)=0; и (1,Ь) = 0, (6)
и начальными условиями
и (х, 0) = 0; и(х, 0) = ^у0е (х), (7)
где у0 - скорость удара, е(х) - единичная функция.
Подставляя начальные условия (5) и (6) в зависимости (3) и (4), а также с учетом первого начального условия (7) получаем выражения для продольных перемещений и усилий:
- для схемы а)
X No l ku—i u(z,t) EF2n_ k)—B(\nz)Sinujnt; (8)
n=1
N (z, t) = Nonkv-1D (Xnz) sin Wnt, (9)
n=1
- для схемы б)
. (z, t) = zv^ u0nk-v A (\nz) sin wnt; (10)
n=1
U I
N(z,t) = zl~» jp uo„ EF'2 k) k~vXnC (Anz) sin СOnt, (11)
n=1
Удовлетворяя вторым граничным условиям (5) и (6), получим уравнения для нахождения собственных значений:
- для схемы а)
D (Xn) = 0;
- для схемы б)
A (Xn) = 0.
Выражение для квадрата нормы собственных функций ортогональных с весом р (z) = z1-2v для произвольного вида граничных условий имеет вид [10]
(z2 2vZ2 + —2" {z1 2vz'n) — [z1 2vZn) Znj
Xn Xn
— 2 ( z + "TT \z UZn) — — (z uZn) Zn
(12)
Принимая во внимание граничные условия (5) и (6), получим соответствующие выражения квадрата нормы: - для схемы а)
- для схемы б)
2 к^~2В(Хп)2-к^
2Лз , (13)
А 1 = -2(к-2»С(Хп)2-к2-2»). (14)
Из второго начального условия (7) по методу Фурье определяются начальные параметры:
1
k
для схемы а)
Non = (15)
- для схемы б)
,'|'|> Г'С(Л„) = (16)
Подставляя начальные параметры (15) и (16) с учетом зависимостей (13) и (14) в выражения (8) - (11) получаем окончательные выражения продольных перемещений и усилий:
- для схемы а)
Ivo ku— ^^ 1
u{z,t) = -2—--rzvy -т---г-В (\nz) sinu}nt-, (17)
c 1 " k n=i\2n [k2v-2B (Xn)2 - k2v)
ж
V0 ъ.v- 1Л-v
N (z, t) = -2EF2—kv-lzl-vY^-7-r-D (Xnz) sin ojnt, (18)
c n=iAn [k2v-2B (Xn)2 - k2v)
- для схемы б)
k-2v
.h_^ _
í=i\2n (k-2vC (Xn)2 - k2-2v)
v k-2v ж C (X ) u(z,t) = 2 -Щ--A(Araz)sinW„i; (19)
c 1 - k n=ixn k-2vс (Xn)2 - -
N(z,t) = 2EF2—k-2lJzl-vY-7--TC{Xnz) sin üjnt. (20)
c n=iXn [k-2vс (Xn)2 - k2-2v)
2. Исследование параметров импульса в ударном торце стержня.
Рассмотрим взаимодействие стержня с преградой с позиции элементарной теории удара [7]
ЫУ\ - Ыщ = Б, (21)
где - импульс реакции опоры, Ыщ, Ыщ - количество движения тела до и после соударения,
Г1 г1 , . 7^21 (1 - к2-2")
М = / тЛх = / г1'2^^ = [ _ -
, , ~ , ,, , , масса стержня.
1-Й Л- 2(1-к) (1-й)
Взяв проекции на ось х для векторных величин в равенстве (21) получим зависимость для определения скорости стержня после соударения
1,1=Ытр{г)м~1,°- (22)
Введем следующие обозначения величин: безразмерное усилие в ударном сечении - Р = -^р-^, безразмерное время - т = Ьс/1. С учетом введенных обозначений, выражение (22) примет вид
где го - относительное время удара (для однородного стержня то = 2 [11]). Из формулы (23) следует зависимость для нахождения коэффициента восстановления
Уо (1 - к2-2^) ,]о Выражения для определения усилий в ударном торце получим из зависимостей (18) и (20):
- для схемы а)
Р (г) = = £ —--. вт ((1 - к) Хпг);
ЕР1 Уо П=1 К (к2"~2В Л)2 - к2")
(25)
- для схемы б)
р (г) = = 2к-*> £ —-^-т йп ((1 - к) Хпг). (26)
Ер2 ^ П=1 Лп [к-2-С (Лп)2 - к2-2-)
Подставив выражения усилий (25), (26) в формулу (24) в окончательном виде получим зависимости для определения коэффициентов восстановления:
- для схемы а)
= ?{1Г2-1 Е —7-1—2-V (1 - сов ((1 - к) Хпто)) - 1; (27)
1 - к П=1ЛП (к2--2В (Лп)2 - к2-)
- для схемы б)
К2 = Е / С(ЛгаГ-V (1 - ((1 - *0 Апто)) - 1. (28)
1 - к п=1 Л2п [С (Лп)2 - к2)
На рис. 2 показаны импульсы в ударном торце конического стержня с отношением размеров торцевых сечений й1 : й2 = 1:5 (к = 0, 2) для схем удара а) и б) соответственно.
Продолжительность удара то определяется численно из условия сохранения знака усилия в ударном торце (неудерживающая связь). Для рассматриваемого
Рис. 2. Зависимость относительного усилия в ударном торце конического стержня (й1 : й2 = 1:5) от безразмерного времени для схемы удара а) и б) соответственно
примера значения т0 будут: т0 = 3, 94 - для схемы а), т0 = 1, 25 - для схемы б), соответственно значения коэффициентов восстановления по формулам (27). (28) будут: K2 = 0, 96 - для схемы а), K2 = 0, 5 - для схемы б).
Заключение. По разработанной методике выполнены исследования динамики продольного удара для стержней различной формы. Результаты исследования показали, что расход энергии на упругие колебания не значителен для стержней с большим отношением размеров торцевых сечений (k = 0, 7 + 1). С уменьшением параметра k, при ударе стержня по торцу с минимальной площадью, происходит вначале увеличение доли энергии на собственные колебания стержня, а за тем ее снижение. При этом наблюдается увеличение продолжительности контактного взаимодействия стержня с опорой, и при значениях то > 3 - более 90% потенциальной энергии идет на восстановление кинетической. Это в свою очередь подтверждает положение о том, что если время прохождения упругих волн через все тело меньше времени удара, то влиянием упругих колебаний можно пренебречь [1]. В случае удара стержня по торцу с максимальной площадью, при уменьшении параметра k происходит только усиление волновых процессов в стержне, на которые уходит значительная доля энергии, при этом время удара существенно сокращается. Так стержень гиперболического очертания близкий к остроконечной форме можно рассматривать, как абсолютно-неупругое тело. Аналогичный эффект получен в работе [12] при рассмотрении поперечных колебаний заостренного стержня, и связывается данный эффект с отсутствием отраженных волн со стороны заостренного конца.
1. Кочетков А.В. Некоторые вопросы теории удара / А.В. Кочетков, П.В. Федотов // Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ». - 2013. - № 5. Ст. 110ТВН513. - URL: https://naukovedenie.ru/PDF/110tvn513.pdf (дата обращения 05.05.2018)
2. Лашков В.А. Коэффициент восстановления скорости при ударе под углом / В.А. Лашков // Вестник СПбГУ. Серия 1. - 2010. - Вып. 2. - С. 31-38.
3. Кадомцев И.Г. Определение коэффициента восстановления при упругопластическом соударении тел / И.Г. Кадомцев // Механика твердого тела. - 1991. - № 6. - С. 89-91.
4. Лашков В.А. Об экспериментальном определении коэффициентов восстановления скорости частиц потока газовзвеси при ударе о поверхность / В.А. Лашков // Инж.-физ. журнал. - 1991. - Т. 60, № 2. - С. 197-203.
5. Кангур Х.Ф. Экспериментальное и расчетное определение коэффициента восстановления при ударе / Х.Ф. Кангур, И.Р. Клейс // Изв. АН СССР. МТТ. - 1988. - № 5. - С. 182-185.
6. Манжосов В.К. Моделирование продольного удара в стержневых системах неоднородной структуры / В.К. Манжосов, В.В. Слепухин // Ульяновск: УлГТУ, 2011. - 208 с.
7. Александров Е.В. Прикладная теория и расчеты ударных систем./ Е.В. Александров, В.Б. Соколинский. - М.: Наука, 1969. - 199 с.
8. Санкин Ю.Н. Продольные колебания упругих стержней ступенчато-переменного сечения при соударении с жёстким препятствием / Ю.Н. Санкин, Н.А. Юганова // ПММ. - 2001. - Т. 65, № 3. - С. 444-450.
9. Ул1т1н Г.М. Удар кошчного стрижня об жорстку перешкоду / Г.М. Ултн, С.М. Царенко // Ошр матер1ал1в i теор1я споруд. - 2014. - Вип. 93. - С. 56-63.
10. Stepanov R. Dynamics of Longitudinal Impact in the Variable Cross-Section Rods / R. Stepanov, D. Romenskyi, S. Tsarenko // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. - 2018. -Vol. 317-P. 012029 URL: http://iopscience.iop.org/article/10.1088/1757-899X/317/1/012029 (дата обращения: 19.09.2018)
11. Улитин Г.М. Метод усреднения в задачах о продольном ударе стержней переменного сечения / Г.М. Улитин, С.Н. Царенко // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика». - 2016. - Т. 8, № 1. - С. 43-48.
12. Миронов М.А. Точные решения уравнения поперечных колебаний стержня со специальным законом изменения поперечного сечения // Акустический журнал. - 2017. - Т. 63, № 1. - С. 3-8.
G.M. Ulitin, S.N. Tzarenko
Dynamics of longitudinal impact of an inhomogeneous rod on limiter.
The problem of the impact on a rod with an arbitrary degree of inhomogeneity of the longitudinal stiffness and mass distribution of the hard limiter is considered. The mathematical model of the longitudinal deformations of a rod in accordance with the wave theory of a flat impact is presented in the form of a second-order differential equation with variable coefficients in partial derivatives. The solution of the equation is obtained by the Fourier method in Bessel functions. The analysis of the impact impetus for two schemes of impact a rod against an obstacle with an end face with a smaller and larger area was performed. Values of recovery factor for the corresponding schemes of impact for rods of different geometric shapes have been obtained.
Keywords: longitudinal impact, inhomogeneous rod, Fourier method, Bessel functions, recovery coefficient.
ГОУ ВПО "Донецкий национальный технический университет", Получено 23.11.18
Донецк
tzarenko@gmail.com
