ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ УДАРНОГО УСТРОЙСТВА СТЕРЖНЕВОГО ТИПА РАЗНОСТНЫМ МЕТОДОМ Текст научной статьи по специальности «Физика»

DOI 10.36622/VSTU.2020.16.5.010 УДК 519.8:622.2315

ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ УДАРНОГО УСТРОЙСТВА СТЕРЖНЕВОГО ТИПА

РАЗНОСТНЫМ МЕТОДОМ

А.М. Слиденко1, В.М. Слиденко2

воронежский государственный технический университет, г. Воронеж, Россия 2Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт», г. Киев, Украина

Аннотация: приводится анализ механических колебаний элементов ударного устройства с помощью модели стержневого типа. Ударник и инструмент связаны упругими и диссипативными элементами, которые имитируют их взаимодействие. Аналогично моделируется взаимодействие инструмента с рабочей средой. Сформулирована начально-краевая задача для системы двух волновых уравнений с учетом переменных поперечных сечений стержней. Площади поперечных сечений определяются параметрическими формулами при сохранении объемов стержней. Параметрические формулы позволяют получать различного вида зависимости площади поперечного сечения стержня от его длины. Начальные условия отражают физическую картину взаимодействия инструмента с ударником и рабочей средой. Краевые условия описывают контактные взаимодействия ударника с инструментом и последнего с рабочей средой. В качестве модельной задачи рассматривается соударение ударника и инструмента через элемент большой жесткости. Начально-краевая задача исследуется разностным методом. Проводится сравнение решений задачи, полученных с помощью двухслойной и трехслойной разностных схем. Такие схемы реализованы в общей компьютерной программе в системе Mathcad. Показано, что при вычислениях распределения нормальных напряжений по длине стержня лучшими свойствами относительно устойчивости обладает двухслойная схема

Ключевые слова: ударные нагрузки, разностные методы, метод Фурье, колебания, краевые условия, переменное сечение

Введение

Исследование механических ударных устройств стержневого типа приведено в работах [1-4]. Одной из актуальных задач является определение напряжений в сечениях ударника, инструмента и корпуса ударного устройства при различных геометрических формах этих элементов. В работах [5,6] при исследовании начально-краевых задач применялись аналитические методы, метод Даламбера и метод Фурье для стержневых систем без учета дис-сипативных связей. Эти методы неприменимы при переменной площади поперечного сечения стержней. В работе [6] приводится обзор моделей продольного удара. Изучаются задачи контактного взаимодействия стержней. Разностные методы решения начально-краевых задач не рассматриваются. Стержневые системы рассматриваются только с упругими связями. Результаты этой работы использовались авторами только в отношении постановки начально-краевых задач. Авторы монографии [7] исследуют ударные механизмы и математические модели импульсных процессов. Рассмотрены методы анализа устойчивости. Раз-

ностные методы для решения задач не применялись.

Исследование только методом Фурье или Даламбера не позволяет эффективно решить проблему определения напряжений в сечениях стержней. Применение численных методов можно считать необходимым звеном моделирования систем такого типа. В работе [8] применялся разностный метод для системы, в которой ударник и инструмент представлены как стержни постоянного сечения. Использовалась только двухслойная разностная схема. Метод Фурье служил для оценки точности и достоверности полученных результатов.

Целью данной работы является сравнение разностных смешанных схем для случая стержней переменного сечения. Изучается модель элементов ударного устройства стержневого типа с учетом взаимодействия ударника с инструментом и внедрения инструмента в рабочую среду. Математическая модель представлена системой волновых уравнений в частных производных, упругие и диссипатив-ные связи моделируются краевыми условиями. Для применения методов управления колебаниями (гашение или интенсификация) необходимо исследовать свойства методов численного решения разностных задач. С этой целью сравниваются смешанные разностные схемы,

© Слиденко А.М., Слиденко В.М., 2020

обладающие лучшими свойствами устойчивости и экономичности [9,10]. Проводится сравнение двухслойной и трехслойной разностных схем при различных формах зависимости площади поперечного сечения от длины ударника и инструмента.

Математическая модель

Схемы ударного устройства при различных видах нагрузок представлены на рис. 1. На рис. 1(а) представлена модель для учета действия реакции рабочей среды (грунт, щебень, горная порода и т.п.) на корпус устройства (2) через инструмент-ударник (1).

Схема на рис. 1(б) представляет процесс взаимодействия ударника (1) с инструментом (2) и последнего с рабочей средой. Переменные сечения стержней позволяют оценить нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях. Применение стержневой модели устройства основано на гипотезе о плоских сечениях при импульсных нагрузках [1, 2]. Следует отметить, процессы колебаний устройства при различных модельных схемах нагрузки описываются аналогичными начально-краевыми задачами.

Переменные площади поперечных сечений определялись параметрическими формулами с целью обеспечения равного объема при различных формах стержней.

Рис. 1. Схема устройства стержневого типа. (а) Зоны взаимодействия: С - инструмента (1) с рабочей средой; А - инструмента с корпусом ударного устройства; В - корпуса ударного устройства с корпусом машины; (б) С - зона приложения импульса к ударнику (1); А - зона контакта ударника (1) с инструментом (2); В - зона взаимодействия инструмента с рабочей средой

Для волнообразного профиля применялись зависимости радиуса и площади поперечного сечения от координаты х:

лой

( Ь

Щ = ь

R(х) =

л/

^2 Г/2

% тжх 3 ) , сое--+ — I dх ,

4

Ь 4

тж 3

1 — + - и

Ь 4 V

5(х) = тгЯ(х)2.

Конусный профиль определялся форму-

Я(х) = Щ - х-

Ь

Параметры Я0, Я1, а , % , Ь, т определяют характер изменения площади поперечного сечения стержня по длине. Характер изменения площадей поперечного сечения представлен на рис. 2.

Пусть и ^, х) - смещение сечения х первого стержня (1) от положения равновесия; V (?, у) - смещение сечения у второго стержня (2) от положения равновесия.

2 5', м2

ч л

\ г к /

/, \ . \ »

1 \ /

X, м

0.03

0.024

0.018

0.012

0.006

1.2

0.96

0.72

0.48

0.24

Рис. 2. Изменение площади поперечного сечения

ударника и инструмента: (1) -цилиндр; (2) -конусный профиль; (3) - волнообразный профиль

Запишем уравнения колебаний для стержней

%

4

л

8 2и (г, х) _ 2 Г_1_dS 1 (х) 8и (t, х) 8 2и (t, х)

8t2 " 1 [ S1 (х) dx 8х 8х2 ^

0 < х < L1 , (1)

8^(г,у) _ а2Г 1 dS2(у) 8Г(г,у) +8Мт^у)"

8t2 а 2 [ S 2 (у) dy 8у 8у2 /

0 < у < L2, г е [о, т ]. (2)

Здесь а,- _ - скорость распростра-

нения упругой волны в материале стержня; р, - плотность материала, Е , - модуль упругости; (х) - площадь поперечного сечения --го стержня, , _ 1,2 .

Начальные условия заключаются в том, что первый стержень нагружается импульсом (задается распределение скорости по сечениям [1, 8]), а второй - неподвижен до момента контакта стержней. После контакта стержней происходит их совместное движение:

и (0, х) =

0, 8-и (0, х) =

8г

8 V

V(0, у)_ 0 , — (0,у)_ 0.

W 0

если 0 < х < в,

если х > в.

8г

, (3)

(4)

Краевое условие для левого торца первого

стержня имеет вид

51 (0)Е1 8и(г,0)_ 0.

8х

(5)

Условие (5) означает, что левый торец первого стержня свободен (на нем отсутствует напряжение). На правом торце первого стержня учитываем сопротивление пружины и диссипативного элемента.

8Ц (г, L1)_

ох

_ ^ (V (г,0)-и (г, 4))+О, (г,0)-^Ц (г, ^Н

8и,

8г

8г

(6)

Для левого торца второго стержня запишем аналогичные условия, откуда следует равенство

52(0)е2 ^(г,0)_ (4Е 8Ц(г,¿1). (7)

су 8х

Условия на правом торце второго стержня моделируют процесс взаимодействия стержня - инструмента с рабочей средой (рис. 1(б)) или корпуса ударного устройства с корпусом машины (рис. 1(а)):

8V

5 2 (¿2 )Е 2^- (г, ¿2 (г, ¿2)-

8х

- О1 I ('■ ¿2 »

(8)

Разностная задача (смешанная разностная схема)

Введем сетку в каждой из систем координат с параметрами:

Л _, х0 _0,х, _х,-1 + , _ 1,2,..., N1; N1

¿2 _ ¿Ч у0 _ 0, _ у-1 + Й2 , 1 _ 1,2,...,N2 ;

N2 т

т _ —, г0 _ 0, гп _гп-1 +т,п _ 1,2,..., м . м

Запишем разностные уравнения (для аппроксимации дифференциальных уравнений выбрана смешанная разностная схема со вторым порядком по т и Л [9, 10]).

ип+1 - 2Цп + ип

>1"1

Щх) АЦп+1 +А2ип+1 Мх)

-(1 -?СТ1)а12

А^(х) ^(х)

АЦп +А2Цп

1а1

Аип-1 +А2ип-1 51 (х-) - 2 -

(9)

Vn+1 - 2Vn + V'1-1 2 - _

т

2

^ AVn+1 +А2^п+1

"(1-?СТ2 )я:

А5!,п

А^" +А1у'п

А?2( уу )

•А^п-1 + А2у

(10)

При д _ 1 получаем двухслойную схему, при д _ 2 - трехслойную. Весовые коэффициенты т1 и ст2 подбираются по результатам анализа решений модельных задач для обеспечения устойчивости схемы и приемлемой точности. Аппроксимация начальных условий принята в виде:

и0 _0, V0 _ 0.

и1 - и0 если 0 < х1 < в,

(11)

0, если х > в.

/_1,2,..Д -1,

V1 - V0 1 1

_ 0, 1 _1Д...Д2 -1 .

Аппроксимация краевых условий:

т т П+1 т т П+1

51 (0)Е1 и 1 - и 0 _ 0,

(12)

+

т

+

0

+

+

а

т

т

и-1 -и"+1, 5 ь е Н1 , ^1 = к0 ки+1 - и"н1)+

а

1 = К ^ -и-1)+

+ Со

^+1 ^ и"+1 -и" ^

К0 - У0 N1 #1

5 2 (0Е

тгП+\ ТгП+1

V - V,-

А,

= (Ь1

Т- Т "+1 Т" 7- "+1 и# - ^ -1

А

(14)

(15)

Аппроксимация краевых условий на правом торце второго стержня

5 2 (¿2 Е

vn+1 ^^

V«+l ^п

N N

А2

п = 1,2,...,М .

(16)

Алгоритм решения разностной задачи

Системы уравнений приводятся к стандартному виду:

[дий1 - ¿ЦТ1 + си+ =-ц, - Ь, + с/н11 = 4'..

Уравнение (9) записывается в виде

(и^х)+Лип+11+2СТ1^01)_ I ^(х,) 1 ^ 1 17

^Л^х,) -^ 451 (х,) J

(х,)

(17)

- ип:1^01

+ип-1^

= 2ип - ип-1 +

+ (1 - ^ )Р01А1 + (д -1)^1

-ди,п + д ип

451 (х,)

(х,) _ 451 (х,)

I = 1,2,..., N1 - 1. (18)

Уравнение (10) записывается аналогично

-лиг1 + д 2и"-1

- ^'+11а2 • F02

А2Л52(у,)

( (

+ V

. -1

452 (у,

А2 Л? 2 (у,) 45 2 (у. )

+1

+ ^п+1(1 + 2а2 • F02) +

-1

= 2У" - V"-1 +

Д5

+ (1 - ?ст2 )р02А:

+ (5 - 1)ст22 А .= 1,2,..., N2 - 1 .

2 у 'д^ + Л2^п

452 (у, ) ' 2 '

^ 2 (у,■)„ ,п-1 452 (у, )

Д]V,"-1 + Д 2V]

п—1

(19)

В приведенных уравнениях (18) и (19):

2 2

Fok = Jk^-, k = 1,2; Д5 (х, )=

. 51 (х,+1 )- 51 (х,-1 )

2А

¿5 2 (у,^

52 (у;+1 )-52 (у;-1 )

2Ао

п и"+1 - 2и,п + и" 1

Д 2и,п = --^

Д V =

, - IV п + V.-1

Вводятся обозначения коэффициентов для первой системы (18):

А, = -а1Ео1

+1

С, = -01—01

^(х,) 451 (х,) ' ^(х,) +1

--7—\--+ 1

, 451 (х,) ,

Б, =-1 - 2alFol,

Б, = -2Цп + ип"

-(1 -?сп )^01А12

Д?1 (х,)

лип+Д2ип

451 (х,) Д51 (х,)

451 (х,)

дип-1 + Д 2и,п-1

Для второй системы (19):

= -ст2Ро 2

= -СТ2 -Р^0 2

А2 ^ 2 (у1 )+ 1

45 2 у )

^ А2Д52 (у, ) ^ +1

, Ь. = -1 - 2^2-02 .

452 (у, )

1}] =-2vn + ^

-(1 - 5Г2 )А22-0 + (?- 1)°2А2Р02

Д5 2 (у,)

452 (у, )

^2 (у, Кт,п-1

. ДV;n + Д 2К;п

-, ДV,n-1 +Д7V"-1

452 (у,) ; 2 ;

На каждом временном слое системы (18) и (19) решаются методом последовательной прогонки. Подробно метод прогонки для аналогичных систем приведен в работе [8].

Запишем коротко алгоритм метода прогонки.

1. Вычисляются начальные значения коэффициентов прогонки для системы (18) а0 = ^ Ро = 0 .

2. Из систем уравнений (18) и (19) определяются коэффициенты А, БЬС1, Б, и

а ,Ь. с, ^.

3. Находятся коэффициенты метода прогонки а, Р :

а = Аг (Б, - С а-1 )-1,

X

X

А

А

т

+

+

2

&2-02

+

Р _ (С, А-1 + Dl )(В,- - С«-1 )-1, - _ 1,2,..., N1 .

4. Из краевых условий на правом торце второго стержня находятся Зщ _1 и ум _1.

5. С помощью рекуррентных формул вычисляются остальные коэффициенты для второй системы уравнений (19)

З1 -1 _(ьа- а1 Хз1с1)-1,

У1 -1 _уу (ьу - сА -1)-dl Ис1)-1,

у _ N2 - 1, N2 - 2,..., 2,1 .

6. Вычисляются значения сеточных функций в области контактных торцов стержней:

и

п +1 тт п+1 Т/П+1 т/ N1 , -1, к0 , К1

п+1

7. Для вычисления остальных значений сеточных функций используются формулы:

и"-! _ «^иГ1 + Р-1, ,_ N1 - 1, N1 - 2,..., 2,1 ,

Т/П+1 1 т гП+1 Уу

Г"1' 11 - 57

1 _ 0,1,2,.

, N ,

1

Функциональная схема, реализующая алгоритм решения разностной задачи при наличии решения методом Фурье модельной задачи, представлена на рис. 3. Описание метода Фурье приведено в работах [1,8,11,12]. Программа разработана в системе Mathcad [13].

Рис. 3. Функциональная схема программы: / (х), /1 (х), F (х), F1 (х) определяют распределения начальных перемещений и скоростей стержней по сечениям; (х), (х) - площади поперечных сечений стержней; Root(...) - находит собственные значения краевой задачи; tg1(а, Ь, с, d, N1, Z 0, Z1, ZN, N2,51, А,д) - реализует метод последовательной прогонки; DN(N1,N2 ,Т,М,F,/,51,£2,А,д) - управляет программными блоками

Результаты вычислений

В первой тестовой задаче осуществляется имитация движения первого стержня при наличии упругого и диссипативного сопротивления на правом торце первого стержня. При этом задаются большая площадь поперечного сечения и длина второго стержня. В этом случае второй стержень играет роль неподвижной стенки. Решение начально-краевой задачи получено с помощью двухслойной разностной схемы и представлено на рис. 4. На рис. 4(а) показаны высокочастотные колебания (относительное движение сечений стержня), на рис.

4(б) - низкочастотные колебания сечений. Графики на рис. 4(б) не должны совпадать, так как методом Фурье решается упрощенная модельная задача без учета диссипативных элементов, связывающих стержни при постоянных поперечных сечениях стержней. Решения близки только на малом промежутке времени. Далее сказывается демпфирование с помощью диссипативных элементов. При исключении этих элементов решения практически совпадают, что показано в работе [8]. Метод Фурье здесь служит для контроля вычислений и оценочного выбора параметров разностных схем.

Рис. 4. Колебания контактных торцов стержней (двухслойная схема) (1) - инструмент; (2) - корпус устройства; (3) - решение Фурье модельной задачи; параметры: Р=450Нс; ¿=1 м, ¿2=10м; К0=600000Н/м; 5=0.014м2, 5=0,429м2

В этом случае колебания первого стержня (1) аналогичны колебаниям стержня с упругим и диссипативным сопротивлением на торце. Колебания второго стержня (2) практически отсутствуют. Удар производится по левому торцу первого стержня и моделируется известным способом: начальная скорость приписывается малой части стержня и определяется

г в л-1

по

формуле

Wо _ Р

р^ (х )з?х

Здесь,

например, Р = 1005Нс, в = (0,1 - 0,2) • ¿1. Выбор значения параметра в определяется сравнени-

ем решений, полученных разностным методом с решением методом Фурье модельной задачи для первого стержня при наличии только жесткого сопротивления на правом торце [8].

Особенности двухслойной и трехслойной схем представлены на рис. 5. Решение, полученное при использовании трехслойной схемы, характеризуется наличием колебаний высокой частоты и малой амплитуды по времени с быстро убывающей амплитудой (рис. 5 а). Такие колебания приводят к существенным колебаниям напряжений (рис. 5 б). Применение двухслойной схемы сглаживает колебания высокой частоты.

Рис. 5. (а) колебания по времени; (б) распределение напряжений по длине стержня; 1 - двухслойная схема; 2 - трехслойная схема

Напряжения в сечениях инструмента и ударника определялись формулами

• у 1+1 у 1 -1 2И-,

а" _ Е-

1 _ 1,2,...,N2 -1;

а" _Е-

иП+1 - и

г -1

2Л1

I _ 1,2,...,N1 -1.

Влияние переменного сечения (ударник конусного типа) демонстрирует рис. 6. Меняется форма высокочастотных колебаний сечений стержня (рис. 6а). Следует отметить уменьшение напряжений в сечениях второго стержня при передаче импульса через абсолютно жесткий элемент (рис. 6б).

Рис. 6. Передача импульса через жесткий элемент (ударник конусного типа): Р=550 Нс; К0=600000000 Н/м; (а) высокочастотные колебания ударника (1) и инструмента (2); (б) распределение напряжений по сечениям второго

стержня в различные моменты времени

В рассмотренной математической модели ударного устройства стержневого типа вид зависимости площади поперечного сечения ударника и инструмента существенно влияет на форму высокочастотных колебаний (относительное перемещение поперечных сечений). С другой стороны, применение волнообразного профиля стержня позволяет тестировать смешанные разностные схемы относительно их вычислительной устойчивости.

Заключение

1. Проведено сравнение двухслойной и трехслойной разностных схем для приближенного решения начально-краевой задачи, описывающей импульсное взаимодействие ударника и инструмента с переменными поперечными сечениями. Трехслойная разностная схема позволяет фиксировать дополнительные высокочастотные колебания поперечных сечений стержня, что приводит к существенному изменению напряжений в поперечных сечениях ударника и инструмента. Применение двухслойной схемы приводит к сглаживанию высокочастотных колебаний.

2. Представленная схема позволяет исследовать импульсное взаимодействие ударника с инструментом, а также влияние реакции рабочей среды через инструмент на корпус ударного устройства. При таких вычислениях на каждом временном слое применяется идентичный метод последовательной прогонки.

3. Предложенный алгоритм позволяет исследовать влияние переменной площади поперечного сечения ударника и инструмента на процесс распространения волн перемещений

сечении и нормальных напряжении в поперечных сечениях.

Литература

1. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1969. 288с.

2. Василенко М.В., Алексейчук О.М. Теорiя коли-вань i стшкосл руху: Шдручник. К.: Вища школа, 2004. 525с.

3. Иванов А.П. Динамика систем с механическими соударениями. М.: Международная программа образования, 1997. 336 с.

4. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Сирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высш. шк., 1970. 712с.

5. Манжосов В.К., Слепухин В.В. Моделирование продольного удара в стержневых системах неоднородной структуры. Ульяновск: УлГТУ, 2011. 208 с.

6. Манжосов В.К. Модели продольного удара: монография. Ульяновск: УлГТУ, 2006. 160с.

7. Манжосов В.К., Новиков Д.А. Моделирование переходных процессов и предельных циклов движения виброударных систем с разрывными характеристиками: монография. Ульяновск: Ул ГТУ, 2015. 236с.

8. Slidenko А.М., Slidenko V.M. Numerical research method of an impact device model // J. Phys.: Conf. Ser. 1203 (2019). D0I:10.1088/1742-6596/1203/1/012086.

9. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656с.

10. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. 432с.

11. Слвденко В.М., Слвденко О.М. Математичне моделювання ударно-хвильових процеав пд^мпульс-них систем прничих машин: монографiя. Кшв: КП1 iм. 1горя Сiкорського, Вид-во «Полггехтка», 2017. 220 с.

12. Слиденко А.М., Слиденко В.М. Исследование дискретно-непрерывной модели адаптивного ударного устройства//Математическое моделирование. Т. 27. № 1. 2015. С. 54-64

13. Охорзин В.А. Прикладная математика в системе MATHCAD: учеб. пособие. 2-е изд., исп. и доп. СПб.: Издательство «Лань», 2008. 352 с.

Поступила 28.03.2020; принята к публикации 22.10.2020 79

Информация об авторах

Слиденко Александр Михайлович - канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры нефтегазового оборудования и транспортировки, Воронежский государственный технический университет (394026, Россия, г. Воронеж, Московский проспект, 14), тел. 8(905) 053-74-07, е-mail: alexandr.slidenko@yandex.ru

Слиденко Виктор Михайлович - д-р техн. наук, доцент кафедры электромеханического оборудования энергоемких производств, Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт» (03134, Украина, г. Киев, проспект Победы, 37), тел. 38(098) 478-29-45, е-mail: viktorslidenko@gmail.com

RESEARCH OF THE IMPACT DEVICE MODEL OF THE ROD TYPE BY DIFFERENCE

METHOD

A.M. Slidenko1, V.M. Slidenko2

Voronezh State Technical University, Voronezh, Russia 2National Technical University of Ukraine «Kyiv Polytechnic Institute», Kyiv, Ukraine

Abstract: the article gives the analysis of mechanical vibrations of the impact device elements using the model of the rod type. The hammer and the tool are connected by elastic and dissipative elements that simulate their interaction. The interaction of the tool with the processing medium is simulated in a similar way. An initial boundary-value problem is formulated for a system of two wave equations taking into account the variable cross sections of the rods. Cross-sectional areas are determined by parametric formulas maintaining the volume of the rods. Parametric formulas allow one to obtain various dependence types of the cross-sectional area of the rod on its length. The initial and boundary conditions reflect the physical phenomenon of the tool interaction with the processing medium, and also describe the contact interactions of the hammer with the tool. The impacting of the hammer and the tool through an element of high rigidity is considered as a model problem. To control the limiting values, the solution of the model problem by the Fourier method is used. The initial-boundary-value problem is investigated by the difference method. A comparison of solutions obtained for the two-layer and three-layer difference schemes is given. Such schemes are realized in a common computer program in the Mathcad. It is shown that the two-layer scheme has the best properties in relation to stability while calculating the distribution of normal voltage along the length of the rod

Key words: impact device, pulsed loads, difference methods, the Fourier method, oscillations, boundary conditions, variable section

References

1. Aramanovich I.G., Levin V.I. "Equations of mathematical physics" ("Uravneniya matematicheskoy fiziki"), Moscow, Nau-ka, 1969, 288 p.

2. Vasilenko M.V., Alekseychuk O.M. "Теорiя коливань i стшкост руху: Шдручник", Kyiv, Вища школа, 2004, 525 p.

3. Ivanov A.P. "System dynamics with mechanical collisions" ("Dinamika sistem s mekhanicheskimi soudareniyami"), Moscow, International Education Program, 1997, 336 p.

4. Koshlyakov N.S., Gliner E.B., Sirnov M.M. "Equations in partial derivatives of mathematical physics" ("Uravneniya v chastnykh proizvodnykh matematicheskoy fiziki"), Moscow, Vysshaya shkola, 1970, 712 p.

5. Manzhosov V.K., Slepukhin V.V. "The modeling of longitudinal impact in frameworks of heterogeneous structure" ("Mod-elirovanie prodol'nogo udara v sterzhnevykh sistemakh neodnorodnoy struktury"), Ul'yanovsk, Ul.STU, 2011, 208 p.

6. Manzhosov V.K. "Longitudinal impact models" ("Modeli prodol'nogo udara"), monograph, Ulyanovsk, Ul.STU, 2006, 160 p.

7. Manzhosov V.K., Novikov D.A. "Modeling of transient motions and limit cycles of vibro-shock systems with discontinuous characteristics" ("Modelirovanie perekhodnykh protsessov i predel'nykh tsiklov dvizheniya vibroudarnykh sistem s razryvnymi kha-rakteristikami"), monograph, Ulyanovsk, Ul.STU, 2015, 236 p.

8. Slidenko А.М., Slidenko V.M. "Numerical research method of an impact device model", J. Phys.: Conf. Ser., 2019, 1203, D0I:10.1088/1742-6596/1203/1/012086.

9. Samarskiy A.A. "Theory of difference schemes" ("Teoriya raznostnykh skhem"), Moscow, Nauka, 1977, 656 p.

10. Samarskiy A.A., Gulin A.V. "Numerical methods" ("Chislennye metody"), Moscow, Nauka, 1989, 432 p.

11. Slidenko A.M., Slidenko V.M. "Mathematical modeling of vibro-shock processes of hydro pulse system of mining machines", monograph, Kyiv, KPI after Igor Sikorski Publishing house "Polytechnic", 2017, 220 p.

12. Slidenko A.M., Slidenko V.M. "The study of a discrete-continuous model of an adaptive impact device", Mathematical Modeling (Matematicheskoe modelirovanie), 2015, vol. 27, no 1, pp. 54-64

13. Okhorzin V.A. "Applied Mathematics in the MATHCAD system: textbook" ("Prikladnaya matematika v sisteme MATHCAD: ucheb. posobie"), St. Petersburg, Lan', 2008, 352 p.

Submitted 28.03.2020; revised 22.10.2020

Information about the authors

Alekcandr M. Slidenko, Cand.Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Voronezh State Technical University (14 Mos-kovskiy prospekt, Voronezh 394026, Russia), tel. +7 (905) 053-74-07, e-mail: alexandr.slidenko@yandex.ru

Viktor M. Slidenko, Dr. Sc. (Technical), Associate Professor, National Technical University of Ukraine "Kiev Polytechnic Institute" (37, Victory Avenue, Kiev 03134, Ukraine), tel. +38(098) 478-29-45, e-mail: viktorslidenko@gmail.com