Внутренняя связность, ассоциированная с вполне интегрируемым лежандровым слоением Текст научной статьи по специальности «Математика»

3, Выгодчикова И. Ю. О единственности решения задачи наилучшего приближения многозначного отображения алгебраическим полиномом // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2006, Т. 6, вып. 1/2, С, 11-19,

4, Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление, М, : Наука, 1990, 432 с,

5, Дудов С. И. О двух вспомогательных фактах для исследования задач полиномиального приближения // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2007, Вып. 9, С, 22-26,

УДК 514.764

С. В. Галаев, А. В. Гохман

ВНУТРЕННЯЯ СВЯЗНОСТЬ, АССОЦИИРОВАННАЯ С ВПОЛНЕ ИНТЕГРИРУЕМЫМ ЛЕЖАНДРОВЫМ

СЛОЕНИЕМ

В работах [1,2] было показано, что симплектические связности на снмплектнческом многообразии (М2т,<) можно использовать для построения обобщенных классов Маслова лагранжевых подмногообразий Nт С М2т. Наиболее предпочтительной для этой цели является плоская связность, сохраняющая симплектическую структуру. В то же время в работе [1] В.В. Трофимов рассматривает связность с кручением, подчиняющуюся условиям следующей теоремы:

Теорема 1 [1]. Пусть (М2т,<) - симплектическое многообразие, на котором имеются такие п векторных полеи г>|, ...г^, что для любой точки х Е М2т векторы г>|(х),...,г^х) линейно независимы и , Уь) = 0,1 < а,Ь < т. Тогда, на М2т существует такая плоская связность абсолютного параллелизма V, что ковариантная производная Vа<Ьс относительно ее равна, нулю и распределение Ьх = = Брап(1^ (х),..., йт,(х) параллельно относительно V. В частности, если Ьх - интегрируемое распределение, то его интегральные подмногообразия вполне геодезические относительно V. Слоение Г на симплек-

М2т

дый его слой является лагранжевым подмногообразием в

М2т

Г называется интегрируемым, если существует такой набор векторных полей -и!, ...,'йт, что во всех точках х из области определения векторы V1 (х) образуют базис касательного пространства ТхГ к слою, проходящему через точку Г.

Следствие 1. Для любого интегрируемого лагранжева слоения Г

М2т

ноешь V абсолютного параллелизма, что Va<Ьc = 0 и все слои слоения,

р - вполне геодезические подмногообразия. В частности, М 2т - парал-лелизуемое многообразие. В настоящей работе идеи В. В. Трофимова используются для построения внутренней связности, ассоциированной с вполне интегрируемым лежандровым слоением. Лежандрово слоение является аналогом [4~6] лагранжева слоения в случае многообразия с контактной структурой. Для продолжения результатов, полученных В.В. Трофимовым, на случай контактного многообразия, мы используем, полученные ранее конструкции допустимых симплектических связ-ностей [7]. Следуя работе [6], мы вводим понятие контактного га-мильтонова векторного поля и интегрируемого лежандрова слоения, после чего формулируем и доказываем основной результат работы. Пусть Мп - гладкое многообразие нечетной размерности п = 2т + 1. Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса С

Пусть ((£, £ , г/, д) ~ почти контактная метрическая структура на Мп [7]. Пусть, далее, Б - гладкое распределение коразмерности 1, определяемое формой п, = Брап( £ ) - его оснащение. Если ограничение формы ш = (ц на распределении Б дает невырожденную форму, то в этом случае вектор £ однозначно определяется из условий п( £ ) = 1,кегш = Брап( £ ) и называется вектором Риба. Будем называть распределение Б распределением почти контактной метрической структуры.

Под внутренней линейной связностью на многообразии с почти контактной метрической структурой будем понимать отображение Г Б х Г Б — ГБ, удовлетворяющее следующим ус ловиям: 1) У =

= /хУ— + /2У—? где Г Б - модуль допустимых векторных полей. Коэффициенты внутренней линейной связности в адаптированных координатах [7, 8] определяются из соотношения У—— = ^ъ-с. Кручение Б и кривизна Я (по Схоутену) внутренней линейной связности представлены допустимыми тензорами Б(—, ¡V) = У—¡V — У—¡¡$[¡1 —], Я(-1, ¡V)— = УиУу— — У«Уи— — УрМ— — р[я[—, ¡V], — ], где р и д _ проекторы та распределения Б и соответственно. В адаптированных координатах имеем соответственно БсаЪ = ГаЪ - Г£а, Я3аЪс = = 2—[аГ^с + 2Г[ацецГ*]с. Внутренняя связность допускает следующую интерпретацию. Говорят, что задана связность над распределением Б, если распределение Б = п—1(В) где п : Б — X - естественная проекция, разбивается в прямую сумму вида Б = НБ 0 УБ, где У Б - вертикальное распределение на тотальном пространстве Б. Таким образом, задание связности над распределением эквивалентно заданию объекта

Са(ха, хп+а) такого, что ИВ = Брап(~У а), где ~У а = 5а — Тп$п — Оьа5п+ь (а, в, 7 = 1,..п). Легко проверить, что всякая внутренняя линейная связность определяет связность над распределением и, обратно, связность над распределением В определяет внутреннюю линейную связность, если имеют место равенство О^(ха, хп=а) = ТаЪс(х°,хп+а)хп+с.

Внутренняя связность определяет параллельный перенос допустимых векторов вдоль допустимых кривых. Продолженная связность осуществляет параллельный перенос допустимых векторов вдоль произвольных кривых. Продолженная связность может быть получена с помощью равенства ТВ = ИВ 0 УВ, где И В С И В. Таким образом, продолженная связность является связностью в векторном расслоении. Всякая продолженная связность отождествляется с парой (V,), где V - внутренняя связность, а У - векторное поле на В такое, что л*(~У) = 1 . В адаптированных координатах У = 5п — Оп$п+а- Легко установить, что объект Оп преобразуется по тензорному закону и, в частности, мы можем положить его равным нулю. Полученную таким образом продолженную связность обозначим V1 и до конца работы других продолженных связ-ностей рассматривать не будем.

Внутреннюю связность очевидным образом можно применять к любому допустимому тензорному полю [7, 8]. Будем называть внутреннюю связность симплектической, если V« = 0, где « = (ц. В отличие от го-лономного случая, замкнутость формы не эквивалентна существованию совместимой с ней симметричной допустимой связности (см. [7]).

Как известно [6], существует изоморфизм линейного пространства векторных полей, сохраняющих контактную структуру, на пространство гладких функций. Можно показать, что если при таком изоморфизме полю соответствует функция /, то в адаптированных координатах выполняется равенство ЬуУп = ($п/)п- Векторные поля, сохраняющие контактную структуру, называются контактными гамильтоновыми векторными полями. Всякое контактное гамильтоново векторное поле соответствующее функции /, пред ставимо в ви де [6] ~У = ~У х + / 1 , где у 1 _ допустимое векторное поле: ~Ух Е ГВ (в другой терминологии -горизонтальная часть поля "г"). Пусть Г - вполне интегрируемое лежан-дрово слоение [6] на многообразии с контактной метрической структурой.

т

дой точке определения векторных полей "У..., "Ут (горизонтальных частей соответствующих контактных гамильтоновых векторных полей) таких, что и(~У "У ^) = 0,1,] = 1,..т. Назовем эти поля допустимыми гамильтоновыми системами вполне интегрируемого лежандрова сло-

ения.

Теорема 2. Пусть — i,...,— m - допустимые гамильтоно-вы системы. Тогда существует такая внутренняя симплектиче-ская связность V, относительно которой распределение Lx = = Span{lf 1(x),..., 1 m(x)) параллельно.

Доказательство. Выполняя в каждом пространстве Dx процесс ор-тогонализацни Грамма Шмидта относительно допустимой метрики, получим ортонормированный базис — 1,..., — 2m такой, что g(lta, — ь) = = const, u(lta, ь) = const. Осталось определить связность V, полагая V-11 = (litva)11 a, 1 = Va~l a-

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Трофимов В. В. О связностях абсолютного параллелизма на еимплектичееком многообразии // УМН 1993. Т. 48, № 1. С. 191-192.

2. Трофимов В. В. Индекс Маелова лагранжевых подмногообразий еимплектиче-еких многообразий // Тр. еемин. по вект. и тенз. анализу. 1988. Вып. 23. С. 190-194.

3. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М, : Наука, 1979.

4. Воуег С. Completelv integrable contact Hamiltonian systems and toric contact structures on S2?S3 // SIGMA Symmetry Integrabilitv Geom. Methods Appl. 2011. Vol, 7. Paper 058, 22 pp. 53Dxx (37Jxx).

5. Khesin В., Tabachnikov S. Contact complete integrabilitv // Eegul. Chaotie Dvn, 2010. Vol. 15, № 4-5. P. 504-520.

6. Libermann P. Legendre Foliations on Contact Manifolds // Differential Geom. Appl., 1991, vol. 1, pp. 57-76.

7. Галаев С. В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многообразий // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 1. С. 16-22.

8. Галаев С. В., Гохмап А. В., Хромов А. П. Почти симплектические связности на неголономном многообразии // Математика. Механика : Сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 28-31.

УДК 517.51

Е. В. Гудошникова

ТЕОРЕМА НАСЫЩЕНИЯ ДЛЯ КЛАССА ОПЕРАТОРОВ

В работах [1, 2] была рассмотрена следующая последовательность операторов:

Ln (f; x) =

1

00

g(z(x)y

f

k=0 25

k

n

ak

z (x)

■Ф(z (x))

k