О задаче приближения двузначной функции алгебраическим полиномом Текст научной статьи по специальности «Математика»

5, Трофимов В. В. Фоменко А. Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильто-иовых дифференциальных уравнений, Москва; Ижевск; Горки : Факториал : Изд-во Удм, ун-та: Проеперуе, 1995, 448 е.

УДК 517.518.82, 519.65

И. Ю. Выгодчикова

О ЗАДАЧЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ДВУЗНАЧНОЙ ФУНКЦИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ПОЛИНОМОМ

!• Пусть Т = {¿о < ¿1 < ... < ¿ж} Ф(£к) = {У1,к; У2,к} к = = 0, N _ образы двузначной функции Ф(-), А = £(а0, а1,..., ап) Е Кп+1, рп(А, ¿) = а0 + + ... + ап£п (п > 0). Рассмотрим задачу:

где c(A,tk) = |(pn(A,tk) - yi,k)(Pn(A,tk) - y2,k)|k = 0,N.

Для определенности считаем y2,k > y1jk, k = 0, N. В [1] доказан факт существования решения задачи (1). Там же рассмотрен случай, когда N < n + 1. Пусть далее N > n + 1.

Обозначим C* = minAGRn+i C (A). Ясно, что C* > 0. Задача (1) является обобщением известной задачи П. Л. Чебышева [2, с. 14] и сводится к ней в случае y1;k = y2,k, k = 0,N [см. 1]. Задача П. Л. Чебышева является частным случаем еще одной задачи (напр.,[3]):

p(A) = max max{y2,k - Pn(A,tk),pn(A,tk) - yi,k} —> min . (2)

k=0,N AGM-+1

Обозначим p* = minAGRn+i p(A).

Целью статьи является характеризация решения задачи (1). 2. Далее под coB и intB понимаем соответственно выпуклую оболочку и внутренность множества B, 0n+1 = (0,..., 0) Е Mn+1.

C(A) = 0 A

чи (1). Эта ситуация является тривиальной для анализа. Интерес представляет случай C(A) > 0. Тогда множество

C(A) = max c(A,tk)

k=0,N

min ,

AgR"+1

(1)

I(A) = {k Е 0, N : C(A) = c(A, tk)} можно представить как I(A) = I +(A) U I-(A), где

I ±(A) = {k Е I (A): ±((pn(A,tk ))2-

2

-рп(Д )(ух)Л + У2,*) + У2,*) > 0}. (4)

Дифференциальную характеристику функции С (А) дает следующая теорема.

Теорема 1. Функция С (А) является су б дифференцируемой (в смысле определения В. Ф. Демьянова - А. М. Рубинова в [4, с. 128]) в любой точке А Е Кп+1. Если при, э том С (А) > 07 то её су б дифференциал может быть выражен в виде

дС(А) = со{С(А, ^)(М*,... ,£*п) : к Е I(А)}, (5)

где

с(А £ ^ Г2Рп(А,£*) - (Ш,* + У2,*),к Е С( , \ —2рп(А,) + у1,* + у2,*,к Е I-(А). ()

Доказательство. Отметим, что функция с(А,£) как функция максимума двух гладких функций является (см. [4, с. 132]) субдифференци-

А С(А)

симума от таких функций также является субдифферецируемой (см. [4, с. 135]). Если С (А) > 0 т0 в точках £ = для к Е I (А) функция с(А,£)

А

с/(А £ ) = Н2рп(А,£*) — (у1,* + у2,*))(1,£*,...,£*"),к Е 1+(А), С ( , *) \(—2рп(А,£*)+ у1,* + у2,* )(1,£* ,...,£*"),к Е I—(А).

Далее, чтобы получить (5-6), осталось воспользоваться правилом субдифференциального исчисления (см. [ 4, с.136]).

Теорема 1 доказана.

3. В [5] доказана следующая лемма.

Лемма 1. Пусть п > 1, ж0 < ... < жп+ъ А = 0п+1; рп(А,ж?) = 07 д = 1, П 3 й Е 1, п + 1 3 Е (ж5-1; такие, что (—1)врп(А, 2^) < 0. Тогда (—1)9рп(А, ж) < 0 при любом ж Е (жд—1; х)7 д = 1, п + 1.

Обозначим через

(А) = {к Е I (А) : рп (А, ) Е (—то; ш,*) и ((ум + у2,*) /2; У2,*)}, ^2 (А) = {к Е I (А) : рп (А, ) Е (У1,*; (ш,* + у2,*) /2) и (у2,*; +то)}, 4 (А) = {к Е I (А) : рп (А, ) Е (—то; )}, 4 (А) = {к Е I (А) : рп (А, ) Е (у2,*; +то)}.

Как и в [1], базисом назовем множество а = < ... < £,„+1} С Т.

Теорема 2. Пусть С (А) > 0 Для того чтобы вектор А Е Кп+1 являлся решением задачи (1), необходимо, чтобы для некоторого базиса

а = {< ... < £?п+1} С Т выполнялось условие

П Е Д1(А)(Д2(А)) ^ ;'к+1 Е ^(АХЯДА)), к = М, (7) ■м достаточно, чтобы выполнялось условие

П Е й 1(А)(Я2(А)) ^ ;'к+1 Е Й2(А)(Й 1(А)), к = 0,П. (8) А

Доказательство. Необходимость. В соответствии с [4, с. 247], необходимым условием решения задачи (1) является 0п+1 Е дС(А).

1. Пусть рп (А, ¿к) = (У1,к + У2,к) /2 ^к Е / (А). Из формулы (5) и [5, теор.1] вытекает, что существует а = {< ... < £?„+1} С Т, где Е Е I (А) к = 0, п + 1 £ (А, ) £ (А, ¿,к+1) < 0 к = 0, п. Запишем множества (4) в виде

/±(А) = {к Е /(А) : ±(рп(А,*к) - У1,к)(Рп(А, ¿к) - У2,к) > 0}, тогда, ввиду (6) для к Е /(А) имеем

£ (А Iк) = |2Рп(А,£к) - (У1,к + У2,к), Рп (А,^к) Е (—то; У1,к) и (У2,к ;+то

, | — 2рп(А,¿к) + У1,к + У2,к, Рп(А,¿к) е (У1,к;У2,к).

(9)

Пусть £ (А, ¿к) > 0. Ввиду (9) либо 2рп (А, ¿к) — (У1,к + У2,к) > 0, Рп (А, ¿к) Е (—то; У1,к) и (У2,к;+то), либо 2рп (А, ¿к) — (У1,к + У2,к) < 0, Рп (А, ¿к) Е (У1,к; У2,к ), то есть л ибо Рп (А, ¿к) > У2,к, либо Рп (А,^к) Е (У1,к;(У1,к + У2,к) /2)-

Пусть £ (А, ¿к) < 0. Ввиду (9) либо 2Рп (А, ¿к) — (У1,к + У2,к) < 0, Рп (А, ¿к) Е (—то; У1,к) и (У2,к; + то), либо 2Рп (А, ¿к) — (У1,к + У2,к) > 0, Рп (А, ¿к) Е (У1,к; У2,к ), то есть л ибо Рп (А, ¿к) < У1,к, либо Рп (А, ¿к) Е ((У1,к + У2,к) /2; У2,к)• Тем самым получено (7).

2. Пусть 3 ко Е /(А), Рп (А, ¿ко) = (У1,ко + У2,ко) /2. Если при этом 3 а = {¿,о < ... < £?„+1} С Т\ {¿ко}, для которого выполняется (7), необ-ходимпсть доказана. В противном случае 3 50и.. .и5г = / (А) 0 < г < п, 5 = {к^д < ... < ' Я = 0,г кч4ч < к?+м, Я = 0,г — 1 такие, что если 5 С (А) (#2 (А)), то С #2 (А) (#1 (А)), я = 0,г — 1. Возьмем хо < ¿о, Е (¿к^,*к,+м), Я = 0,г — 1 х = ¿ко, Я = 1,г,

Х > ¿ж Я = г + 1,п, Хп+1 > Хп Если 5о С #1 (А) (#2 (А)), для малого е > 0 решаем относительно Ае систему Рп (Ае — А, х) = 0, Я = 1,п, Рп (Ае — А,¿ко0 = е (Рп (Ае — А,¿ко0 = —е). По лемме 1, (—1)9Рп (Ае — А, ¿к) > 0 ((—1)9Рп (Ае — А, ¿к) < 0 ^к Е я = 0,г.

Отсюда и из ([4], л ем. 2), вытекает C (Ae) < C (A), что противоречит оптимальности A Следовательно, (7) выполняется и в данном случае.

Достаточность. Утверждение (8) доказано в [1].

Теорема 2 доказана.

Пример 1. Пусть на дуопольном рынке с лидирующим производителем объем спроса за три последовательных периода соответственно 7, 5 и 7. Объемы выпуска лидера соответственно 6, 5, 5. ПустьT = {1 < 2 < 3}, У1,0 = 1 У1,1 = 2 У1,2 = 2 и У2,0 = 6 У2,1 = 5 У2,2 = 5 п = 1- Решением задачи (1) является (6.376, 0.589) (например, (0,2) тоже удовлетворяет (7), но не является решением).

Замечание 1. Ввиду [5, теор.2], 0n+1 е dC(A) ^ 0n+1 е intdC(A), ife теоремы 2 и [4, с. 247J вытекает, что решение задачи (1) является точкой строгого локального (а при единственности и глобального) минимума функции C(•) на Rn+1.

Замечание 2. Задача (1) имеет конечное множество решений ввиду конечного числа вариантов выполнения (7).

4. Положим m = max (y2 k — y1 k)/2. Из теоремы 2 и [3] вытекает

k=0, N ' '

следствие.

Следствие. Пусть а = {j < ... < ¿^J С Т, y2 Jfc — У1 j = 2m, k = 0,n + 1. Тогда, A7 удовлетворяющее (8), является единственным решением задач (1) и (2), при этом р* > 2m.

Пример 2. Пусть в игре двух игроков общий выигрыш (проигрыш) 10 (-10) по четным (нечетным) дням. Выигрыши (проигрыши) доминирующего игрока: 9, (-1), 9, (-0,5). Возьмем Т = {1 < 2 < 3 < 4} y1 ,0 = 1,

У1, 1 = —9 У1 ,2 = 1 У1 , 3 = —9.5 и У2 ,0 = 9 У2 ,1 = —1, У2,2 = 9 У2 , 3 = —0.5, п = 1. По теореме 2 и следствию решением задач (1) и (2) является (0,0). Полученное решение показывает, что почти весь выигрыш достается доминирующему игроку, а проигрыш — его компаньону.

5. Пусть yk = y1,k + y2,k, k = 0,n + 1 A - решение задачи (1). Приближенными значениями величин y2,k и y1,k (с точки зрения задачи (1)) являются соответственно = max {pn (A,tk) , yk — (A,tk)} и

= min {pn (A, tk), — (A, tk)}• Это может быть полезно, например, в целях сжатия объёма исходных данных.

Работа выполнена при, финансовой поддержке гранта, РФФИ (проект Ms 13-01-00175).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Выгодчикова И. Ю. О среднегеометрическом приближении сегментной функции алгебраическим полиномом // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2007. Вып. 9. С. 11-15.

2. Демьянов В. Ф., Малоземов В. Н. Введение в минимакс. М. : Наука, 1972. 368 с.

3, Выгодчикова И. Ю. О единственности решения задачи наилучшего приближения многозначного отображения алгебраическим полиномом // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2006, Т. 6, вып. 1/2, С, 11-19,

4, Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление, М, : Наука, 1990, 432 с,

5, Дудов С. И. О двух вспомогательных фактах для исследования задач полиномиального приближения // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2007, Вып. 9, С, 22-26,

УДК 514.764

С. В. Галаев, А. В. Гохман

ВНУТРЕННЯЯ СВЯЗНОСТЬ, АССОЦИИРОВАННАЯ С ВПОЛНЕ ИНТЕГРИРУЕМЫМ ЛЕЖАНДРОВЫМ

СЛОЕНИЕМ

В работах [1,2] было показано, что симплектическне связности на симплектическом многообразии (М2т,<) можно использовать для построения обобщенных классов Маслова лагранжевых подмногообразий Nт С М2т. Наиболее предпочтительной для этой цели является плоская связность, сохраняющая симплектическую структуру. В то же время в работе [1] В.В. Трофимов рассматривает связность с кручением, подчиняющуюся условиям следующей теоремы:

Теорема 1 [1]. Пусть (М2т,<) - симплектическое многообразие, на котором имеются такие п векторных полей г>1, ...г^; что для любой точки х Е М2т векторы г>1 (х),...,г^х) линейно независимы и , г>Ь) = 0,1 < а, Ь < т. Тогда на М2т существует такая плоская связность абсолютного параллелизма V, что ковариантная производная Vа«бс относительно ее равна, нулю и распределение = = 5Рап(г>1 (х),...,г^х) параллельно относительно V. В частности, если - интегрируемое распределение, то его интегральные подмногообразия вполне геодезические относительно V. Слоение Г на симплек-

М2т

дый его слой является лагранжевым подмногообразием в

М2т

Г называется интегрируемым, если существует такой набор векторных полей г>1,..., 'глт? что во всех точках х из области определения векторы 1 (х) образуют базис касательного пространства ТХГ к слою, проходящему через точку Г.

Следствие 1. Для любого интегрируемого лагранжева слоения Г

М2т

ность V абсолютного параллелизма, что Vа<6c = 0 и все слои слоения,