Когомологии оснащенных распределений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.764

А. В. Букушева

КОГОМОЛОГИИ ОСНАЩЕННЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Задание оснащенного распределения на гладком многообразии позволяет рассмотреть линейное пространство внешних форм, замкнутое относительно операции внешнего дифференцирования. Для таких форм можно естественным образом ввести аналоги групп когомологий. Подобные конструкции рассматривались ранее в работах [1-3]. В настоящей работе показывается, что когомологии оснащенных распределений могут быть отождествлены с «обычными» когомологиями некоторых пространств, естественным образом возникающих на многообразиях с оснащенными распределениями. Указанное отождествление, в частности позволяет исследовать вопрос существования контактной структуры.

Пусть Ы - гладкое многообразие нечетной размерности и, Е(Ы) -ОЖ(Ы)-модуль гладких векторных полей па Ы, ё - оператор внешнего дифференцирования. Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса ОДля упрощения изложения тензорное поле в дальнейшем иногда называется тензором.

Определим совокупность (£,п) тензорных полей на Ы, где £ и п соответственно вектор и ковектор так, что п(£) = 1, ёп(X, £) = 0 для всех X, У е Е(И).

Пусть Б - гладкое распределение коразмерности 1, определяемое формой п, = йрап(£) - его оснащение. Будем полагать, что ограничение формы ш = ёп па распределении Б является невырожденной формой. В этом случае вектор £ однозначно определяется из условий п(£) = 1, кегш = йрап(£) и называется вектором Риба.

Карту К(ха) (а, в, 7 = 1,..., и) (а, Ь,с,е = 1,..., и — 1) на многооб-Ы

зию Б, если Б± = Браи().

Пусть Р : ТЫ ^ Б - проектор, определяемый разложением ТЫ = = Б 0 и К(ха) - адаптированная гарта. Векторные поля Р(да) = = еа = да — ГЩдп линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают систему Б: Б = зрап(еа) [4]. Таким образом, мы имеем па многообразии Ы неголономное поле базисов (еа,дп) и соответствующее ему поле кобазисов (ёха,Оп = ёхп + ГП^жа). Адаптированным будем называть также базис еа = да — ГПдп как базис, определяемый адаптированной картой.

Тензорное поле, заданное на почти контактном метрическом многообразии, назовем допустимым (к распределению Б), если оно обращается в нуль каждый раз, когда его векторный аргумент принадлежит оснащению а ковекторный аргумент коллинеарен форме п- Координатное представление допустимого тензорного поля типа (р, д) в адаптированной карте имеет вид £ = 0 ... 0 еар 0 dxЪl 0 ... 0 ¿х6«.

Назовем допустимое тензорное поле интегрируемым, если найдется такой атлас адаптированных карт, что в каждой из карт этого атласа компоненты поля постоянны. Необходимым условием интегрируемости допустимого поля £ является обращение в нуль производных дп£ [4].

Пространство замкнутых форм степени к па многообразии М обозначим Zк (М), пространство точных форм - Вк (М).

Под допустимой полубазисной форм,ой (к распределению Б) будем

М

в нуль каждый раз, когда ее векторный аргумент принадлежит оснащению 2) оператор ^дифференцирования Ли вдоль поля<У от формы равен нулю.

Теорема 1. Внешний дифференциал допустимой полу базисной формы является допустимой полубазисной формой.

Доказательство. Если Л - допустимая полубазисная форма, то в адаптированных координатах Л = Ла1 .. . ар¿ха1 Л ... Л ¿хар. Рассмотрим дифференциал ¿Л = ¿Ла1 .. . арЛ¿ха1 Л...Лdxap. Так как по условию теоремы дпЛа1...ар = 0, то ¿Л = даЛа1...ар¿ха Л ¿ха1 Л ... Л ¿хар.

Теорема доказана.

Теорема 2. Если внешний дифференциал допустимой формы равен нулю, то она интегрируема.

Доказательство.

^(Х У, у) = ^Х^У, у) + Уы(у, X) + уы(Х, У) - ы([Х У], у)-

-^([У, у], X) -^([у, X, У)). (1)

Сделаем замену в (1):

а) X = дп, У = еа, Z = еЪ, получим

^(дп, ва, 6» = 3дп^, ^ = 0 ^ дпЩ = 0;

б) X = еа, У = въ, Z = ес, получим

^ = 1(да^с + дъ и«, + дсМ*) = 0.

Последнее равенство означает, что выбирая подходящим образом адаптированную систему координат, утверждение теоремы можно свести к известному результату из геометрии симплектических многообразий. Теорема доказана.

Замечание. В частности, из теоремы 2 следует, что для допустимых дифференциальных форм, понятие интегрируемости в обычном смысле и понятие интегрируемости в нашем смысле совпадают.

Факторпространство замкнутых допустимых полубазисных форм по точным назовем группой когомологий оснащенного распределения, Z k (D)/B k (D).

Пусть F - слоение, определяемое оспагцением D^. Предположим, что множество слоев F этого слоения образует компактное многообразие. Рассмотрим естественную проекциюp : M ^ F, p : x ^ Fx. Очевид-

F

гообразия с формой Q : p*^ = w.

Следующая теорема (см., напр., [5]) дает необходимое условие существования симплектической структуры на компактном многообразии на языке групп когомологий.

Теорема 3. Если, на компактном многообразии M2k существует симплектическая структура, то все четномерные группы, когомологий H 2s(M2k, R) многообразия M2k отличны от н у ля, s = 0,1,..., k.

F

группе когомологий оснащенного распределения: Zk(M)/Bk(M) = = Zk(D)/Bk(D). Этот изоморфизм позволяет сформулировать теорему, которая является следствием теоремы 3.

F

форм,ой, Q, то все четные когомологии оснащеннмх распределений, отличны от нуля.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Balan V., Manea A. Leafwise 2-jet eohomology on foliated Finsler manifolds // Proceedings 16. The Int. Conf. of Diff, Geom. and Dynamical Systems and The V-th Int. Colloq, of Mathematics in Engineering and Numerical Physics - math, sections. August 29 - September 2. 2008. Mangalia, Romania. P. 28-41.

2. Bejancu A., Farran H. R. Finsler geometry and natural foliations on the tangent bundle // Reports on Mathematical Physics. 2006. Vol. 58, № 1. P. 131-146.

3.Manea A. Cohomologv of foliated Finsler manifolds // Bulletin of the Transilvania University of Brasov. Series III: Mathematics. Informatics. Physics. 2011. Vol. 4(53), JV2 2. P. 23-30."

4. Галаев С. В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многооб-разований // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 1. С. 16-22.

5, Трофимов В. В. Фоменко А. Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильто-иовых дифференциальных уравнений, Москва; Ижевск; Горки : Факториал : Изд-во Удм, ун-та: Проеперуе, 1995, 448 е.

УДК 517.518.82, 519.65

И. Ю. Выгодчикова

О ЗАДАЧЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ДВУЗНАЧНОЙ ФУНКЦИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ПОЛИНОМОМ

!• Пусть т = {¿о < ¿1 < ... < гм} Ф(гк) = {у1,к; У2,к} к =

= о, N - образы двузначной функции Ф(-), А = г(а0, а]^,..., ап) е Кп+1, рп(А, г) = а0 + а1г + ... + апгп (и > 0). Рассмотрим задачу:

где c(A,tk) = l(pn(A,tk) - yik)(pn(A,tk) - y2,k)|k = 0,N.

Для определенности считаем y2,k > yi,^ k = 0, N. В [1] доказан факт существования решения задачи (1). Там же рассмотрен случай, когда N < n + 1. Пусть далее N > n + 1.

Обозначим C* = minAGRn+i C (A). Ясно, что C* > 0. Задача (1) является обобщением известной задачи П. Л. Чебышева [2, с. 14] и сводится к ней в случае y1kk = k = 0,N [см. 1]. Задача П. Л. Чебышева является частным случаем еще одной задачи (напр.,[3]):

p(A) = max max{y2,k -Pn(A,tk),Pn(A,tk) - yi,k} —> min . (2)

k=0,N AGM-+1

Обозначим p* = minAGRn+i p(A).

Целью статьи является характеризация решения задачи (1). 2. Далее под coB и intB понимаем соответственно выпуклую оболочку и внутренность множества B, 0n+1 = (0,..., 0) £ Mn+1.

C(A) = 0 A

чи (1). Эта ситуация является тривиальной для анализа. Интерес представляет случай C(A) > 0. Тогда множество

C(A) = max c(A,tk)

k=0,N

min ,

AgM"+1

(1)

I (A) = {k £ 0,N : C (A) = c(A, tk)} можно представить как I (A) = I +(A) U I -(A), где

I ±(A) = {k £ I (A): ±((pn(A,tk ))2-

2