О внутренней геометрии метрических почти контактных многообразий Текст научной статьи по специальности «Математика»

7, Букушева А. В., Галаев С. В. О допустимой келеровой структуре на касательном расслоении к неголономному многообразию // Математика, Механика: сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2005, Вып. 7, С, 12-14,

УДК 514.764

С. В. Галаев, А. В. Гохман

О ВНУТРЕННЕЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТРИЧЕСКИХ ПОЧТИ КОНТАКТНЫХ МНОГООБРАЗИЙ

В статье вводится понятие внутренней геометрии многообразия почти контактной метрической структуры. В терминах внутренней геометрии дается описание некоторых классов пространств с почти контактной метрической структурой. Вводится новый тип почти контактных метрических пространств - эрмитовых почти контактных метрических пространств.

Введение. В терминологии В. В. Вагнера [1,2] многообразие почти контактной метрической структуры является неголономным многообразием коразмерности 1 с дополнительными, называемыми им внутренними, структурами. Мы определяем внутреннюю геометрию почти контактного метрического пространства Х как совокупность тех свойств, которыми обладают: гладкое распределение задаваемое контактной формой п допустимое поле аффинора (р (называемое нами допустимой почти комплексной структурой) такое, что = — 1; поле допустимых тензоров римановой метрики д, связанное с допустимой почти комплексной структурой равенством д(рХ,рУ) = д(Х,У), где Х,У - допустимые векторные поля. К объектам внутренней геометрии почти контактного метрического пространства следует отнести и те объекты, которые являются производными от уже указанных внутренних структур: косо-симметрическая 2-форма ш = ¿п векторное поле называемое полем Риба, определяющее оснащение распределения Д - £ € и однозначно определяемое равенствами п(£) = 1 кегш = Брап(£) в случае, когда форма ш имеет максимальный ранг; внутренняя связность V, осуществляющая параллельный перенос допустимых векторов вдоль допустимых кривых и однозначно определяемая полем д; связность V1, являющаяся естественным продолжением связности V и осуществляющая параллельный перенос допустимых векторов вдоль произвольных кривых многообразия X.

1. Допустимые тензорные структуры. Пусть X - гладкое многообразие нечетной размерности п, £(Х) - Ото(Х)-модуль гладких векторных полей на Х, й оператор внешнего дифференцирования. Все

многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса СДля упрощения изложения тензорное поле в дальнейшем иногда называется тензором. Почти контактной метрической структурой на Х называется совокупность (р,£,п,д) тензорных полей на X, где ^ - тензор типа (1, 1), называемый структурным эндоморфизмом, £ и п _ вектор и ковектор, называемые соответственно структурным вектором и контактной формой, д - (псевдо) риманова метрика. При этом

п(£) = 1, ^(б = о, п ◦ <р = о, ^2Х = -X + п(Х)у,

д(ч>Х,фУ) = д(Х,У) - п(Х)п(?),

Х,У Е £(Х). Легко проверить, что тензор О(Х,У) = д(Х,^>У) ко-соспмметрнчен. Он называется фундаментальной формой структуры. Многообразие, на котором фиксирована почти контактная метрическая структура, называется почти контактным метрическим многообразием. В случае, когда О = ¿п, почти контактная метрическая структура называется контактной метрической структурой. Почти контактная метрическая структура называется нормальной, если Х^ + 2^п 0 £ = 0, где Х^ -кручение Нейенхейса, образованное тензором Нормальная контактная метрическая структура называется сасакиевой структурой. Многообразие, с заданной на нем сасакиевой структурой, называется сасакиевым многообразием. Пусть Б - гладкое распределение коразмерности 1, определяемое формой п, Б^ = Брап(У) - его оснащение. В дальнейшем будем полагать, что ограничение формы ш = ¿п на распределении Б является невырожденной формой. В этом случае вектор £ однозначно определяется из условий п(£) = 1, кегш = Span(У) и называется вектором Риба. Гладкое распределение Б мы иногда будем называть неголономным многообразием.

Для исследования внутренней геометрии неголономного многообразия и, вообще, для изучения почти контактных метрических структур, удобно использовать карты, обладающие дополнительными свойствами. Карту К(ха) (а, в, Т = 1,..., п) (а, Ь,с,е = 1,..., п — 1) на многообразии Х будем называть адаптированной [3,4] к неголономному многообразию Б,

если Б^ = Брап()• Нетрудно установить, что любые две адаптированные карты связаны между собой преобразованиями вида: ха = ха(ха), хп = хп (ха ,хп). Такие системы координат называются Вагнером в работе [2] градиентными.

Пусть Р : ТХ ^ Б - проектор, определяемый разложением ТХ = Б 0 Б^, и К(ха) - адаптированная гарта. Векторные поля Р(да) = еа =

да — ГПдп линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают систему DD = Span(ea). Таким образом, мы имеем па многообразии X неголопомпое поле базисов (еа,дп) и соответствующее ему поле кобазисов (dxa,On = dxn + Г^ха). Непосредственно проверяется, что [eaeb] = МПЬдп, где компоненты МПЬ образуют так называемый тензор неголономности (см. [2]). Если потребовать, чтобы для всех адаптированных координат выполнялось равенство £ = дп, то окажется справедливым равенство [еаеь] = 2ш>ьадп, где ш = dr¡- В дальнейшем ограничимся рассмотрением исключительно адаптированных координат с условием £ = дп. Адаптированным будем называть также базис еа = да — Гпдп как базис, определяемый адаптированной картой. При преобразовании адаптированной системы координат векторы адаптированного базиса преобразуются следующим образом: еа = |Хгеа.

Тензорное поле, заданное на почти контактном метрическом многообразии, назовем допустимым (к распределению D), если оно обращается в нуль каждый раз, когда его векторный аргумент принадлежит оснащению D\ а ковекторный аргумент коллинеарен форме п- Координатное представление допустимого тензорного поля типа (p, q) в адаптированной карте имеет вид: t = tab\' ' аРеа1 0 ... 0 еар 0 dxbl 0 ... 0 dxbq.

Так, в частности, под допустимым векторным полем будем понимать

D

под допустимой 1-формой будем понимать всякую 1-форму, обращающуюся в нуль на оснащении D^. Понятно, что всякая тензорная структура, заданная на многообразии X, определяет па нем единственную допустимую тензорную структуру того же типа. Из определения почти контактной структуры следует, что аффинор р является допустимым тензорным полем типа (1,1). Поле аффинopa р мы называем допустимой почти комплексной структурой. Формаш = dn также является допустимым тензорным полем. В геометрии расслоенных пространств допустимое тензорное поле называется полубазисным.

Назовем допустимое тензорное поле интегрируемым, если найдется такой атлас адаптированных карт, что в каждой из карт этого атласа компоненты поля постоянны. Из теоремы 1 немедленно получаем,

t

ся обращение в нуль производных дп^ Назовем допустимую тензорную t

выполняется равенство дпЬ = 0. Форм а ш = dn является важным примером интегрируемой допустимой тензорной структуры. Введем в рассмотрение тензор N>(X, Y) = (P ◦ Nip)(X,lí), где X,Y £ S(X). Следующие

две теоремы указывают на важность только что данных определений.

Теорема 1. Аффинорная структура р интегрируема тогда и только тогда, когда имеет место равенство N = 0.

Теорема 2. Почти контактная метрическая структура является нормальной тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: N = 0 u(pupv) = ш(и, v).

2. Внутренние характеристики почти контактных метрических многообразий. В настоящем разделе мы будем придерживаться следующих обозначений: допустимые почти комплексная и риманова метрика по-прежнему будут обозначаться с помощью символов р и д;

символ V будет обозначать внутреннюю метрическую связность, а сим-g

Теорема 3. Контактная метрическая структура является нормальной тогда и только тогда, когда структура р квазиинтегрируема и выполняется равенство Vp = 0, где V - внутренняя метрическая связность.

Заметим, что равенство Vp = 0 оказывается не верным, если связность V и аффинорная структура р рассматриваются как структуры, заданные на всем многообразии.

Пусть V1 - продолженная связность, конструируемая из внутренней связности следующим образом: HD = HD 0 Span(dn) (здесь дп векторное поле на многообразии D). Продолженная связность позволяет сформулировать следующий характеристический признак интегрируемости почти комплексной структуры р.

Теорема 4. Почти комплексная структура р интегрируема тогда и только тогда, когда выполняется равенство V1p = 0.

В заключение работы сформулируем утверждение, касающееся K-контактных многообразий.

Теорема 5. Почти контактная метрическая структура являет-Kg квазиинтегрируема.

Справедливость теоремы следует из следующей цепочки эквивалент-ностей: L^g = 0 ^ L^g = 0 ^ дпд = 0.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вагнер В. В. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий: VIII Междунар, конкуре на соискание премии им. И. И. Лобачевского (1937). Отчёт. Казань : Казан, физ.-мат. общ-во, 1940. 327 с.

2. Вагнер В. В. Геометрия (n — 1)-мерного неголономного многообразия в n-мерном пространстве // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. М, : Изд-во Моск. ун-та, 1941. Вып. 5. С. 173-255.

3, Букушева А. В., Галаев С. В. О допустимой келеровой структуре на касательном расслоении к неголономному многообразию // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2005, Вып. 7, С, 12-14,

4, Galaev S. V. Extension of the interior connection of a nonholonomie manifold with a Finsler metric // UEL : http://arxiv.org/abs/1103.4337.

УДК 517.984

Р. А. Иванов, В. Е. Фирстов

ПРИНЦИП МИНИМУМА ИНФОРМАЦИИ ПРИ ОПТИМИЗАЦИИ ГРУППОВОГО СОТРУДНИЧЕСТВА

В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ

При организации группового сотрудничества в учебном процессе наиболее важным моментом является формирование разбиения обучаемого контингента на коалиции, при котором обеспечивается оптимальный учебный эффект. Процедура оптимизации в данном случае исходит из следующей информационной модели [1-3].

1. Модель. Пусть А = {а\; а2;...; ат} - конечное множество, представляющее обучаемый контингент, которому предлагается выполнить некоторое задание (тест), и контролируется время его выполнения отдельными учащимися. В результате такого измерения устанавливается цепочка неравенств 0 < < Ь2 < ... < < Т где - общее время выполнения задания г-м учащимся, в котором определенным образом учтено качество проделанной работы; г = 1; т; Т - временной регламент, определяемый параметрами теста. Пусть данная цепочка неравенств есть некоторое устойчивое статистическое среднее, на основе которого определяются вероятности аг = 1 — £г/Т, характеризующие уровень обучен-г

ятностей

р(аг) = — =-■-■-■-, г = 1;т. (1)

а а\ + а2 + ... + ат

А

на технология группового сотрудничества, что формально выражается в виде разбиения множества

A = Ai U A2 U ... U An, Aj П Ak = 0, j = k, j; k = 1, n, (2)

где

|Ai| + |A2| + ... + |An| = |A| = m.

33