Влияние жёсткости амортизирующего слоя, отделяющего тонкую цилиндрическую оболочку от упругой среды, на величину критической скорости нагрузки Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 739.3:534.1

ВЛИЯНИЕ ЖЁСТКОСТИ АМОРТИЗИРУЮЩЕГО СЛОЯ, ОТДЕЛЯЮЩЕГО ТОНКУЮ ЦИЛИНДРИЧЕСКУЮ ОБОЛОЧКУ ОТ УПРУГОЙ СРЕДЫ, НА ВЕЛИЧИНУ КРИТИЧЕСКОЙ СКОРОСТИ НАГРУЗКИ

К.К. Кайдаров

Павлодарский университет В.Н. Украинец

Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова

Мацалада meaic ортаныц жуца шекс13 цилиндр.йк крбатын болт туратын амортизаторлъщ цабатыныц парамет\рлертщ ось бойымен 6ip калыпты жылжыган кездегг осесимметриячьщ кушшщ жылдамдъщ квлешие ocepi зерттелеЫ. К,абаттардыц цубылуы жуца цабаттарды тецестгрудщ классикальщ теориясымен сипатталады, ал крршаган ортаныц цозгалысы meeicmiKmih{ динамикальщ децгеШ теориясымен сипатталады. Амортизаторлъщ цабаттыц куштщ критикалыц жылдамдъщ квлем1не уйнелшне сандъщ зерттеу жург1зшд1.

Исследуется влияние параметров амортизирующего слоя, отделяющего тонкую бесконечную цилиндрическую оболочку от упругой среды, на величину критической скорости равномерно движущейся вдоль оси оболочки осесимметричной нормальной нагрузки. Колебания оболочки описываются классическими уравнениями теории тонких оболочек, а движения окружающей среды — динамическими уравнениями теории упругости. Проведено числгнное исследование жёсткости амортизирующего слоя на величину критической скорости нагрузки.

The article shows the influencing of parameters of a damping layer, separated off a thin infinite cylindrical shell from an elastic medium, on the critical speed level uniformly moving lengthwise axis shell of an axisymmetrical normal loading. The demurs of the shell are described by the classic equations of the theory of thin shells, and movement of an environment - by the dynamic equations of a theory of elastic strength. The numerical research of a rigidity of a damping layer for the value of critical loading speed is conducted.

Мировая практика эксплуатации подземных сооружений в виде трубопроводов водо- и газоснабжения городов, различных транспортных тоннелей и т.п. свидетельствует о многочисленных повреждениях и разрушениях, которым они подвергаются вследствие динамического воздействия движущегося внутреннего давления. Несмотря на это, в настоящее время отсутствуют систематические теоретические исследования напряженно-деформированного состояния (НДС) и прочности такого рода сооружений. Это связано с тем, что каждый несущий элемент подземной конструкции взаимодействует с реальным массивом, включающим геологические породы с большим разнообразием физико-меха-нических свойств. Важное значение также имеют глубина заложения и конструкция самого сооружения.

Проектирование сооружений мелкого заложения в грунте ведёт к удешевлению строительства, сокращению его сроков и, следовательно, освобождению трудовых ресурсов. Однако опыт эксплуатации тоннелей в условиях городской застройки показывает, что при их мелком заложении происходит резкое возрастание уровня вибрации в зданиях и сооружениях, расположенных вблизи источников возмущений. Превышение уровня вибраций допустимых норм, установленных дата зданий, приводит к непригодности последних для жилья. Кроме того, вибрации оказывают неблагоприятное воздействие на различные технологические процессы повышенной точности и людей. В связи с этим необходимо не только обеспечить достаточную надёжность всех элементов подземной конструкции, но и решить вопрос о допустимом приближении к ней наземных сооружений.

Решение современных задач механики деформируемого твердого тела с целью создания теоретической базы для таких расчётов опирается на модельный метод исследования.

В качестве основных модельных задач, используемых для исследований, обычно используются задачи о поведении подземного сооружения в виде подкреплённой оболочкой протяжённой цилиндрической полости в полупространстве (свободная поверхность которого параллельна образующей полости) или пространстве при движущейся вдоль оси полости нагрузки. Первая задача моделирует сооружение мелкого заложения, вторая - глубокого. Вопрос о допустимом приближении зданий и сооружений к тоннелям мелкого заложения можно разрешить, исследуя первую задачу. Решив вторую задачу, можно определить, на каком расстоянии от тоннеля эффект динамического воздействия движущейся нагрузки

будет несущественным, и дать рекомендации относительно оптимальной глубины его заложения.

Как показали ранние исследования [1-4], величина радиуса динамически активного слоя окружающей оболочку среды тем больше, чем ближе значение скорости движущейся нагрузки к критической скорости. Так как величина последней зависит от соотношения физико-механических параметров оболочки и среды, критическую скорость можно повысить (тем самым уменьшая динамически активный слой), изменив, например, параметры оболочки, т.е. используя оболочку из другого материала, что на практике не всегда возможно.

Задача упростится, если оболочку отделить от среды некоторым слоем (назовём его амортизирующим слоем). Тогда, подбирая материал слоя, можно, как показали расчёты, произведенные в данной работе, добиться значительного повышения величины критической скорости, что позволит существенно уменьшить глубину заложения сооружения. Искусственное создание такого слоя при строительстве легко осуществимо.

В данной работе исследуется влияние параметров амортизирующего слоя, отделяющего тонкую бесконечную цилиндрическую оболочку от упругой среды, на величину критической скорости равномерно движущейся вдоль оси оболочки осесимметричной нормальной нагрузки. Колебания оболочки описываются классическими уравнениями теории тонких оболочек, а движения окружающей среды - динамическими уравнениями теории упругости.

При помощи интегрального преобразования Фурье в подвижной системе координат получено стационарное решение задачи.

Проведено численное исследование жёсткости амортизирующего слоя на величину критической скорости нагрузки.

Результаты работы могут быть использованы при расчёте транспортных трубопроводов и тоннелей глубокого и мелкого заложения.

1. Рассмотрим цилиндрическую полость радиуса г - а2, подкреплённую двухслойной оболочкой, в бесконечной, линейно-упругой, изотропной, однородной среде. Радиус срединной поверхности тонкой оболочки г = ах, толщина /гг Толщина амортизирующего слоя - /г2 Ввиду малости /гр будем считать, что тонкостенная оболочка контактирует с амортизирующим слоем при г - ах.

Контакт амортизирующего слоя с окружающей средой будем считать скользящим, а между тонкой оболочкой и амортизирующим слоем - либо жёстким, либо скользящим.

Внутри оболочки вдоль образующей с постоянной скоростью С движется осесимметричная нормальная нагрузка Р.

Механические свойства материала оболочки, амортизирующего ело« и окружающей среды характеризуются постоянными: и,. рг/= 1,2.3. Здесь V - коэффициент Пуассона, и - модуль сдвига, р] - плотность. 3 дальнейшем индекс 1 будет относиться к параметрам тонкой оболочки 2 - к параметрам амортизирующего слоя, 3 - к параметрам среды.

Для описания движения тонкой оболочки будем использовать классические уравнения теории тонких оболочек [5], которые при осесиммет-ричной нагрузке примут вид:

а2 и, V, д1-у, д2 и, 1-у, р

+ = 0-1»

дх2 а, дх 1 2ц, дГ 2ц,Ь1

V! ди, И, д 1-у, д 1-У!

а, Эх + 12 Эх4 + а2 ~ Р' 2ц, дГ 2ц,Ь,

а для описания движения амортизирующего слоя и среды воспользуемся точным уравнением теории упругости:

<эе< да.. д2 АУ: дх дх дХ

/ \д9, 2ц э / \ а2и, .

В уравнениях (1.1) и (1.2) приняты следующие обозначения: х, г0 - осевая и радиальная координаты в неподвижной системе координат; и., и. -соответственно, осевые и радиальные перемещения (3=1,2,3); Рх, Рг - составляющие реакции амортизирующего слоя; Р - интенсивность внешней нагрузки;

л 1 5 / \ ди Эш ди 2У ц

0 =--(ГЛУ;)+—2ют =---=-—

г0Эг/° Эх' ^ дх дг0' ' 1-2у/

Так как при установившемся процессе картина деформаций стационарна по отношению к движущейся нагрузке, то можно перейти к подвижной системе координат [1]:

а,

Тогда уравнения (1.1) и (1.2) примут вид:

'^О-^с2

, у <4 „ б-У^а^р ёЛ12 1 сЦ 2щ1ц ч*

2 ц,

, , Ь? ¿4 , (1 у )Р,с2 ач (1-у,К( Ч (1.3)

т? А,,4 +(1 ал? 2,Л (р-р'}

ЭeJ 2^ дШр. С2Э2\¥

■ +

= Рг

Эг а2 Эг} ' -1 а2 Эг|2 1 А 0 д(т ) с2Э2и (1-4)

где

Э wi 1 Эи: Л 1 Эwi Эи:

0 =-+--1; 2<0_ =----

J Эг г а2 дц ь а2 Эт} дг

Таким образом, решение задачи сводится к совместному интегрированию уравнений движения оболочки (1.3), амортизирующего слоя и внешней среды (1.4) при выполнении условий контактов. Если контакт между гонкой оболочкой и амортизирующим слоем жесткий, а между амортизирующим слоем и средой скользящий, то при г ~ а{: их - и2, н^ = и>,,

при г = а- м>2 = и>3, т® = 0, о|2) = с|3), т® = 0, (1.5)

где т^ = 0 , а'г'1 - касательные и нормальные напряжения в амортизирующем слое и среде (/' = 2,3). В случае если между оболочкой и амортизирующим слоем контакт

скользящий, в уравнениях (1.5) первое заменяется на т^21 = 0.

2. Выразим компоненты перемещений в амортизирующем слое и окружающей среде через потенциалы ф| и [6,1].

1 д<р. д2\\1, 1 д(р. 1 д2 м/

и, =--^ + —^ +--1±,угш-!1----^0 = 2,3 (2.1)

а2 Эг| дг г дг дг а2 дгдг|

Выражения (2.1) будут решениями (1.4), если и г^ удовлетворяют уравнениям:

где

V=

а2

, V2 V] =

а2

= М,=

9г2 г дг а2 Эг|2 ' -р

с с

— М = —

с~ ' ] сч '

<23

Ср,=

Р:

, 1 = 2,3 .

Здесь ср., сщ - соответственно, скорости распространения волн расшг-

рения - сжатия и сдвига в амортизирующем слое и упругой среде. Применяя к (1.3) и (2.2) преобразование Фурье по г], получим систем^

где

1-

(1-У1)Р1Са 2 ц,

е2- -к— О-^^аГ-

2цА

2г4 _ „2^2

1- + 1

12 а2

■(1-у,)

2 ц,

,тт _ О^К /о 5

ЛУ, =

2 НА

(р-рД

а 2<р. 1(1 <р. —+---

ёг г ёг

с!2\|/3 1 ¿4/

-ь=о. ^+■- - <-

ёг г ёг

г2 =-1,т2 = = 1-А/2., £

а2

Разрешая первые два уравнения (2.3) относительно трансформант и , получим:

й, =ЬД + 1Ь2РГ-1Ь2Р, ш,=мЬД + Ь3Рг-Ь3Р.

Здесь Ь, = -Ь01(ь02^-Ь03^+1) Ь2 = Ь0,у,§,, Ь3 = Ь01(1 - Ь03)^2,

С -

Ь„, =

0-У.)а?

2ц,Ь, А ' 12а

Ь02 =

ь?

,2 , "03

ьп, =

2 щ

А = [(Ь03-1Хь02^-Ь03^+1)+ у;Р„ = т|2)1

1Г-8!

Рассмотрим случай, когда скорость нагрузки меньше скоростей распространения волн сдвига в амортизирующем слое и среде. Тогда т2>0, т7>0 и решения двух последних уравнений (2.3) с учётом условий при р-»со запишется в виде:

<Рг = А1К0(к1г) + А210(к14

% = А3К0(к2г)+А410(к2г),

<Ръ = А5К0(к3г), (2.5)

Уз = А6К0(к4г)

Здесь /ч(г), К(](") - функции Бесселя первого и второго рода от мнимого аргумента, к=т2\%\, к=т&2\%\, к=т}\%\, к=тй||0|.

Используя закон Гука, можно выразить компоненты напряжений в амортизирующем слое и среде через потенциалы и г^ [3]. Применяя к выражениям дня определения напряжений и перемещений в амортизирующем слое и среде преобразования Фурье по г), можно получить, с учётом (2.5), выражения для их трансформант.

Для определения постоянных Ак (к = 1, 2, ... 6) воспользуемся граничными условиями (1.5). Из последнего следует:

А _ [ ?к3 К^к^^д

6" к4^0 (1 + ш23) К, (к4а2) 5- ;;

Подставляя в граничные условия соответствующие выражения, получаем систему алгебраических уравнений для определения остальных констант:

(2.6)

где [(?] - матрица 5x5, элементы которой определяются по формулам:

М^з

831=-™г 832=тг> тл, ёи-тл, ёъ5 =

пз

£4 =-2т2, Я4,=2т2, £43=-н2, #4=0;

ё5А=и 1 У»-* „ Из/* 4т3ю,3 , , , 2т3М523

21^52- §55 = ^14 ' —-^13П3+; .

ц21 п3 п34

Здесь

е = 2-М1М52 й1Ш_2т1± + Щ с12 = —+ е,

\Ь2 % ) \\12Ъ£ ) \ § Ь3 ц2Ь3^

л _ М + Х _ Ь2 а, \ Ь2

й6 =т82 2—Т--П1 7---ГТ > Х--'

4 Ь3 ц2Ь3^ а,

г _К0(к,а,) { _ кДк.а.) { _10(к,а,) £ _ Цк.а.) 1 ^(к.а,)' '"К^а,)' 3 ^(М,)' 4"110с1а2)'

К0(к3а2) _ К0(к4а2) ""к^а,)' 14"к,(к4а2)

ииии получаются соотвегственно из/Р/2,/3,/4 заменой /с, на А',;/.. /„,/„,/12 получаются соответственно из/¡,/3, /5,/7 заменой а, на аг {а} вектор-столбец, элементами которого являются коэффициенты

А, =А,К1(к1а2), А2-А211(к1а,)1 А3 = А3К,(к2а2)^, А4 = А41,(к2а2)с-. А, = А5К,(кза2).

Если имеет место скользящий контакт при г=яр £и=-2т/2,

8п=~п/6' В1А=п/г {Р"}=к-^ТД0,01.

1 ]

Определив Л /12, Л 3, Л 4, Л 5, можно получить трансформанты компонент напряжений и перемещений, а затем, пользуясь формулами обращения для преобразования Фурье, получить выражения для определения напряжений и перемещений в амортизирующем слое и окружающей среде. Окончательное решение будет зависеть от вида движущейся нагрузки.

Определитель матрицы [С] (2.6) - симметричная относительно Н функция - зависит от скорости движущейся нагрузки. Обозначим его через Д(£, с). Если ни один корень уравнения А (с, с)=О не лежит на действительной оси, но напряжения и перемещения можно получит численным интегрированием. Однако для некоторого значения скорости с-с, (на-

званной в литературе критической скоростью), в двух точках (^,>0) могут выполняться равенства: А(±|„ с)=0, А'|(±^.,с)=0.

Эта система трансцендентных уравнений и определяет критическую скорость с,.

При 0<с<с, Д(§, с) * 0 для любых § из интервала (-с», +<»). В этом случае при решении задачи допустимо прямое и обратное преобразование Фурье.

При сас. подынтегральные функции не удовлетворяют условию существования преобразования Фурье и все операции, производимые над уравнениями и интегралами, становятся формальными. В этом случае нарушаются условия единственности решения, что можно трактовать как неустойчивость. Можно показать, что при переходе через с„ появляется класс решений, содержащий незатухающие гармонические поверхностные волны, подобные волнам Лява, движущиеся вслед за действующей нагрузкой с той же скоростью. Амплитуда этих волн зависит от действующей нагрузки, постоянна вдоль оси оболочки и экспоненциально затухает при г-»». Значение параметра с, можно трактовать как точку бифуркации решения, при переходе через которую возникает неустойчивость движения.

3. Алгоритм отыскания с, сводится к построению дисперсионной кривой описываемой уравнением Д(£, с)=0. Из интервала (6, гтп (/ = 2,3) задаётся начальное значение скорости с0. Принимается шаг по с - А с, шаг по § - (^>0, А^>0). При некотором значении с = с0+пАс (п = 0,1,2...) находятся два положительных корня уравнения Д(§, с) = 0-

и |2. Сужая интервалы поиска (с0+(и~1)Дс < с < с0+пАс), £,<|<|2) и уменьшая Дс и можно с достаточной точностью определить координаты наинизшей точки кривой (|„ с,). В данной работе уравнение Д(|, с)=0 решалось методом половинного деления, определитель вычислялся методом Гаусса.

В качестве примера рассмотрим двухслойную оболочку, внутренний слой в которой - тонкая бетонная оболочка толщиной /г,=0,02 м и радиусом срединной поверхности а= 1 м, внешний - амортизирующий слой -пески средней плотности. Контакты между слоями и средой полагаем скользящими. Окружающая среда - насыпные грунты.

Параметры конструкции:

у=0,25, ц =4,58-103 МПа, р =7-103 кг/м3, с =802,5 м/с;

у2=0,365, ц,=6,12-102 МПа, р,= 1,7-103 кг/м3, с,2=600 м/с;

у3=0,294, |гз=1,094-Ю2 МПа, р3=1,5-103 кг/м3, сй=270 м/с.

На рисунке 1 построены кривые, описываемые уравнением Д(с. :==" Кривые 1 и 2 соответствуют И2/а =0,1; 0,2. Координаты наинизпзз точек кривых соответствуют критическим скоростям с, ,=239 м/с (кривая 1) и с,,=265 м/с (кривая 2). Заметим, что в данном случае амортизирующий слой более жёсткий, чем окружающая среда. Увеличение тедь щины амортизирующего слоя при этом ведёт к повышению критическсв скорости.

Если заменить окружающую среду на алевролит (у3=0,2, и.= =2,532-Ю3 МПа, р3=2,5Т03 кг/м3, с$3=1006,4 м/с), более жесткую. чг* амортизирующий слой, то, как показали расчёты, критическая скоросг: для той же конструкции при к^а =0,1 составила 421 м/с. То есть, в этом случае, она оказалась больше. Однако увеличение толщины /г2/а = -привело к её снижению, и она составила 399 м/с.

с

(м/с) 270

260

240

.1_I_I_I_I_1_I_1_I_1_I_I_I_I_I_I

5 10 15 20

Рис. 1

Рис. 2

При введении жесткого контакта между тонкостенной оболочкой и амортизирующим слоем наблюдается небольшое увеличение критической скорости, независимо от толщины слоя. Это наглядно видно из рисунка. Здесь изображены кривые изменения критической скорости нагрузки в зависимости от толщины амортизирующего слоя из песков средней плотности, контактирующего с бетонной оболочкой (1^=0,02 м) в массиве алевролита. Кривая 1 соответствует скользящей связи оболочки со слоем, кривая 2 - жёсткой.

ВЫВОДЫ

1 При расчёте транспортных тоннелей и трубопроводов глубокого заложения необходимо учитывать точку бифуркации. При переходе скорости движущегося объекта через эту точку в тоннеле могут возникнуть незатухающие вдоль его оси колебания. Это может привести к разрушению стенок, а при совпадении или близости частоты колебаний к собственной частоте движущегося объекта - к разрушению последнего.

2. При жёстком контакте оболочки с амортизирующим слоем критическая скорость несколько выше, чем при скользящем.

3 Изменяя параметры амортизирующего слоя или оболочки, можно повысить или понизить критическую скорость до требуемого значения. Если тоннель заложен в слоистом массиве таким образом, что обделку, в качестве которой используется тонкая оболочка, окружает некоторый слой, контактирующий своей наружной поверхностью с однородной средой, то изменить критическую скорость можно только варьированием параметров оболочки. Если тоннель заложен в однородном массиве и обделкой его является тонкая оболочка с искусственно созданным амортизирующим слоем, то, исходя из конструктивных требований к величине критической скорости и прочности обделки, варьируя параметрами оболочки и слоя, можно добиться наиболее выгодного с экономической точки зрения их сочетания.

ЛИТЕРАТУРА

1 Львовский В.М., Онищенко В.И., Пожуев В.И Установившиеся колебания цилиндрической оболочки в упругой среде под действием подвижной нагрузки // В сб.. Вопросы прочности и пластичности. - Издательство Днепропетровского университета, 1974.-С. 99-110.

2. Пожуев В.И., Львовский В. М Реакция цилиндрической оболочки в упругой среде на действие подвижных нагрузок // В сб.. Известия вузов. Серия Строительство и архитектура - 1976.- № 2 - С. 61-66.

3. Пожуев В.И. Действие подвижной нагрузки на цилинлричг-з" ж упругой среде //Строительная механика и расчет сооружений.- 19"; *

4. ЕржановЖ.С., АйталиевШ.М., Алексеева Л. А. Динамика тс-нзлэ-и ных трубопроводов. -Алма-Ата: Наука Казахской ССР, 1989. -2- .

5. Волъмир А.С. Нелинейная динамика пластин и оболочек. - V.. пгвц 432 с.

6. Новацкий В. Динамика сооружений. - М.: Госстойиздат, 1965 Л1а