О расчёте заглубленного тоннеля с тонкостенной обделкой при действии стационарной подвижной нагрузки Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

О РАСЧЁТЕ ЗАГЛУБЛЕННОГО ТОННЕЛЯ С II ТОНКОСТЕННОЙ ОБДЕЛКОЙ ПРИ

ДЕЙСТВИИ СТАЦИОНАРНОЙ ПОДВИЖНОЙ ¡1 НАГРУЗКИ

В.Н.Украинец, С.Р. Гирнис

Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова

И! .....

Жукр крбыргалы крришумен терецдетиген уцг1рдщ мацайында кернеу-деформацияльщ куШн есептеп аньщтау yuiin ModendiK эЫстеме крлданылады. Ytfeip шексЬ айнымалы цилиндрльщ цуыста: cepnmdi, ôipmeKmi, иэотропты кещсттте орналаскрн жене cepnindi жукр цабыцша ретшде Kepinedi. luixi ycmipmmin нрбы/диасында куыс бет!мен б1щалыпты жылдамдыкрен емш еркш крсымша жуктеме крзгалады. Бул функциями, бурыштык, координата бойынша Фурье ретшде, ecmÏK координата бойынша Фурье интегралына Ж1ктеуге болады деп жорамалдаймыз. CepniHdi KeificmiKmifj rçозеалысы cepnindi Ламе потенциалындагы динамикальщ тецдеу теориясымен сипатталады, соныц ecetimeyinde Фурьен1ц интергалдыц взгер1с edici усынган. К,иындатылган жылдамдьщтарда к,озгалмалы жуктеме арцылы стационарлык; есептеулгрдщ rnexuyi алынган.

Для расчёта напряжённо-деформированного состояния массива пород в окрестности заглубленного тоннеля с тонкостенной обделкой используется модельный подход. Тоннель представляется как подкреплённая тонкой упругой оболочкой бесконечная круговая цилиндрическая полость, расположенная в упругом, однородном и изотропном пространстве. Вдоль полости с постоянной скоростью движется произвольно приложенная по внутренней поверхности оболочки нагрузка. Полагается, что функция нагрузки может быть разложена в ряд Фурье по угловой координате и интеграл Фурье по осевой координате. Движение упругого пространства описывается динамическими уравнениями теории упругости в потенциалах Ламе, для решения которых предложен метод интегрального преобразования Фурье. При докритических скоростях движущая я нагрузки получено стационарное решение задачи.

For calculation tense-deformed conditions of the array of the sorts in vicinities subway of the deep pawning is used model approach. The Subway introduces as supported by fine elastic shell endless circular cylindrical cavity, located in elastic and uniform space. Along cavity with constant velocity moves

arbitrarily attached on internal surface of the shell load. Relies on that function of the load can be distributed in row Furie on angular coordinate and integral Furie on axial coordinate. Motion elastic space is described by dynamic equations to theories to bounce in potential to Lama, for decision which is offered method of the integral transformation Furie. At velocity of the movinging load, smaller critical is received stationary decision of the problem.

Представим тоннель с тонкостенной обделкой как бесконечную кругову ю цилиндрическую полость радиу са Л расположенную в упругом, однородном и изотропном пространстве с параметрами Ламе "к, ц и плотностью р, подкрепленную тонкой оболочкой толщиной к0. В силу малости толщины оболочки можно принять, что окружающая среда контактирует с оболочкой вдоль её срединной поверхности.

В направлении оси 1 оболочки по её внутренней поверхности движется с постоянной скоростью с нагрузка Р.

Для описания движения оболочки воспользуемся классическими уравнениями теории тонких оболочек (1), а для описания движения окружающей среды -динамическими уравнениями теории упрутости (2):

д2"о, | 1-Ур д2и0г | 1 + У0 д\в | У0 ди0г 1-У0 аЧ, | 1-Ур (г \

дг2 2Я2 дв2 2Я дгдв К дг 2ц0 Э/2 2ц0й01 г

1 + УрЗЧ, ■ (1-Ур)аЧе , 1 дЧе , 1 ^ОГ^- 1~Ур ¿Че , 1~У0 (р _п \ (1)

2Я дгдв 2 дг2 Я2 дв2 Я2 56 Ро 2ц0 Эг2 2|*Л

Я дг Я2 Э9 12 Я 0 2ц0 д12 2цД v г Чг>

где и0г, и0г - перемещения точек срединной поверхности оболочки в направлении осей цилиндрической системы координат г, 6, г; Р, Рв, Рг -составляющие интенсивности подвижной нагрузки Р; Чг = ап\ГшК> Чв = °ге|г.д> Чг = агг\ГтК - составляющие реакции окружающей оболочку среды; аг. - компоненты тензора напряжений в среде (;=г, 0, г); и(), ц0, р0 - соответственно коэффициент Пуассона, модуль сдвига и плотность материала оболочки;

д2й

+ + =р——, (2)

где и - вектор смещения упругой среды, у2 - оператор Лапласа. Так как рассматривается установившийся процесс, то картина деформаций стационарна по отношению к движущейся нагрузке. Поэтому удобно перейти к подвижной системе координат г) = г - си

Тогда уравнения (1), (2) перепишутся в виде:

\ (I-VqKC2

а"цо., , 1-Vp д »0.1 , 1 + Vp ¿Че , v0 ди0г _ l-v0 ^ ^

- +

2ц0 J аг|2 2Д2 эе2 2R dnde R cbi 2ц0Л0

l + vo аЧч , (1-Ур)Л Рос

2R апае 2 I ц0 ;

2Aa2u00 + i д2иов 1 ам„. i-vn

^i2 r2 ае2

^O^On.^ J_flMoe . + , (I-VQW2 5Чг , "or = 1"у0(р )

дип

R дг] R 30 12

2ц0 ari2 Л' 2цД

КМ2Р M2S/

- 1 _72-* grad div г/ + —- \ и = —-

Ml дц2

(4)

Здесь_М р = с/ср , Мs - c/cs - числа Маха; ср - ^(Х + 2ц)/р ,

cs = yj\l/p -скорости распространения волн расширения - сжатия и сдвига в среде.

Если контакт между оболочкой и окружающей средой жёсткий, то при r=R:

Mf"oj' ^=тЬе> г- (5)

При скользящем контакте, при r-R имеем:

V0' j=nA

(6)

Здесь нг, Mq, uh - компоненты вектора й •

Преобразуем уравнение (4), выразив вектор смещения утфутой среды через потенциалы Ламе [1]:

й = gradcp, + го^фде,) + rot го1(ф3ел ). (7)

Из (4) и (7) следует, что потенциалы ф; удовлетворяют видоизменённым волновым уравнениям:

У2фу =М

.

J

=1,2,3.

Здесь М=Мр, Di2=M3=Ms . Применив к (8) преобразование Фурье по т], находим:

(8)

VWj-mXVj -0, j = 1,2,3.

(9)

Здесь V ] -двумерный оператор Лапласа,

т] = \-М2,тг = тР,тг = тъ = ms,

Ф/(гД?)= ^ф/гДлУ*4*!.

Выразив компоненты напряжённо-деформированного состояния среды через потенциалы Ламе и применив преобразование Фурье по т\, можно получить выражения для трансформант напряжений о;; и перемещений и* в цилиндри-ческой (г=^8,т|, ;'=гДц) системе координат как функции от фу.

Предположим, что скорость нагрузки меньше скорости распространения волн сдвига в окружающей полость среде. В этом случае М8< 1 (т2=т=т>0) и решения уравнений,(9) можно представить в виде

Ф* = ^а^Хк^У»

(10)

где Кп(кг) - функции Макдональда, к} = ; ап.~ неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.

Подставляя (10) в выражения для трансформант НДС среды, получим:

00 з

п.-ос 7-1

(11)

2Г' 1 КЛк?))ап]е™.

Ц л—» Здесь I = г,0,г], т = г, в,г

Тг}=кгК'п(кЛ Тг2=--Кп(к2г), Тг,=-Ц,к,К%г\

г ■

Тв1=-Кп{кМ Тв2=-к2К'п{к2г)-и Г03 = -—ЦДп{к3г)-ц г г

Гч1 = ЦСХКгН Тл2 = 0, Тчз = -к*Кп(к3гУи

5П1=2

п2 ш2л2\

2ц

_ 1пКп{к2г) | 2пк2К'п{к2г)

'902

'вез

^2Кп{къг) 21& К'„(к3г)т

=

1 + Ш1\ 2ц

Кп(кЛ 5лл2=0, 5ПГ)3=2/иЙХ(^

«ни - "

2пКХКг) | 2пк,К'„(кхг)\ ^ г2 г )

*^г82 - ~ + 2

Ъ1^Кп(Кг) 2п1к,К'Хк,г)\ ■> г>

_ 2 п&ХКг) „ %кК'(кг\ с

5^-2ЦЬК'АгН К'М= '

(кг) ¿(кг) ■

Для определения коэффициентов ал, в зависимости от условия сопряжения оболочки со средой, воспользуемся граничными условиями (5) или (6), представив их в виде:

- для жёсткого контакта, при г=Л:

и] ="о/. ;=лА п

(12)

- для скользящего контакта, при г=Л:

о;-о,^

и, = и

0 г>

(13)

где

<

Применяя к (3) преобразование Фурье по г) и разлагая функции перемещений точек срединной поверхности оболочки и нагрузок в ряды Фурье по 0, для л-го члена разложения получим:

еЯпг, + ^о"опе - 2^о£оиОп1 = С0(рщ -

+ е2И0п9 - 21пиПп, = Со(Ргв - <7п9 ). (14)

2^о§о"о„п + 2шиОп0 + Фопг = С0(РПГ -

где

е1 =«0-^0^2 =Ро-£о^з =2|^+У1Л2,

|32 +2Й2,У2 =Х2(^ +П2)2 =1-у0,У2 =1 + У0,М50 =

с,

!>0

Рпт - соответственно коэффициенты разложения м*т(0,£,) и

ос

в ряды Фурье по утловой координате и (т=т]Д г). Разрешая (14) относительно и^Д и^ц, и^, находим:

3 д0

"се ~ X^ ~ ^ ^ (15)

«Опг

у=1 о

Здесь О0=( 81е:е3)2-(е^,)2-(е2У2-(е34з)2+2^1^Л'

Д°3 = Ш2, Д°0. = А, Д»2 = (е^)2 -I2, А°ез = ©„ А°г1 = -¿02,Д°Й = -Ш3,

А°г3 =(е1ег)2 =2">12 =2У010,|з = У2|0И,£>, = ^0и(4У0-Е2УД

£>2 = 2<Це2У0 - я2у2), £>3 = 2п(г\ 4^2)

для Рп. и qтí. индекс соответствует индексу т|, ;'=2 - 0, )=3 - г. Подставляя (11), (15) в (12), (13), после несложных преобразований^приравнивания коэффициенты рядов Фурье-Бесселя при е"10, получим бесконечную

систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов а :

- при жёстком контакте:

А '

з

У=1

ап1=%А°А

/=г1,8,г;для Ри,,5пу 1 = 1»Г1, ¿ = 2 = 6, г = 3 = г; л = 0,±1,±2,...; - при скользящем контакте:

;=1

«« =

т = г], 6; 1=1 = г), / = 2 = 8, г = 3 = г; п = 0,±1,±2,...

После определения коэффициентов алу, применяя к (11) обратное преобразование Фурье, можно вычислить компоненты НДС среды. При этом для вычисления интегралов Фурье можно использовать любой численный метод, если определитель Д(Д, с) полученной для конкретных граничных условий системы уравнений не обращается в ноль. В общем случае для любых о аналитическое исследование Дзатруднительно. Численные исследования Д(^,с) в задачах о движущейся вдоль оси подкреплённой полости осесимметричной нагрузке в упругом пространстве [2] показали, что может существовать критическая скорость с = с,, (с, < с3 ) при которой в двух точках ± (§' > 0)

Д(Г,с) = 0, Д5'е*,с)-0.

При с > с. существуют четыре особые точки ±±%{-1), в которых Д(±£«,с)-0, Д6'<±|('\с)*0 (/ = 1,2).

В этих случаях, как доказано в [2], нарушены условия единственности решения, что можно трактовать как неустойчивость. При переходе через с, появляется класс решений, содержащий незатухающие гармонические поверхностные волны. Амплитуда этих волн зависит от действующей нагрузки, постоянна вдоль оси 1 и экспоненциально затухает при т > ® .

При 0 < с < с, Д(1, с) г« 0 для любых ^е(-оо, оо) В этом случае допустимо прямое и обратное преобразование Фурье и полученные соотношения решают поставленную задачу.

ЛИТЕРАТУРА

1. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975. - 872 с.

2. Алексеева Л.А., Украинец В Н. Критическая скорость движущейся нагрузки в тоннеле, подкреплённом двухслойной оболочкой. - Известия АН СССР. МТТ, 1987.-№4. С. 156-161.