CC BY
12
82
НАУКА И ТЕХНИКА КАЗАХСТАНА
УДК 539.3
О РАСЧЁТЕ ЗАГЛУБЛЕННОГО НЕПОДКРЕПЛЁННОГО ТОННЕЛЯ ПРИ Ш ДЕЙСТВИИ СТАЦИОНАРНОЙ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ
Щ В.Н. Украинец, С.Р. Гирнис
jjj Павлодарский государственный университет §|| им. С. Торайзырова
jjP
Терец орналасцан цуыстыц мацындагы жерб1ц кернеу-I ¡1 беформациялыц кушн аныупау \juih есептеумодел^н ьрлданамыз. }\уысты 11| шеказ цилиндр деп, ал цуысты к,оршайтын ортаны: cepne.udi, охртекти |||| изотропты жарты-кещатк беп ecenmeiidi. Куыстыц сырпщы бе mi мен Щ турацты жьидамдыцпен жуктеме жычжиды. Ж}~ктеме-функции. Бул функйияны, бурыштыц координата бойынша фурье репине, ocmiK коороината бойынша фурье интегралына Ж1ктеуге бола бы Оеп жорам алдаймыз.Жартыкещcmiк цоззалысы cepniMduiK теориясыныц Ламе потенциалындагы динамикальщ тецдеулермен сипаттамады. Бул тецдеудi шешу \иин, фурьетц турленЫрхп интегралдау adiciu колданамыз. Жуктеме цозгалысыныц жылдамдыгы дыбыс жылдамдыгынан кем болганда, есептщ стационар шешуi аныцталган..
Для расчёта напряжённо-деформированного состояния массива пород в окрестности тоннеля глубокого заложения используется модельный подход. Тоннель представляется как бесконечная круговая цилиндрическая полость, расположенная в упругом, однородном и изотропном пространстве. Вдоль полости с постоянной скоростью движется произвольно приложенная по её поверхности нагрузка. Полагается, что функция нагрузки может быть разложена в ряд Фурье по угловой координате и интеграл Фурье по осевой координате.Движение упругого пространства описывается динамическими уравнениями теории упругости в потенциалах Ламе, Оля решения которых предложен метод интегрального преобразования Фурье. При дозвуковых скоростях движущейся нагрузки получено стационарное решение задачи.
For calculation tense-deformed conditions of the array of the sorts in vicinities of the subway of the deep pawing is used model approach. The Subway introduces as endless circular cylindrical cavity, located in elastic, uniform half-space. Along cavity with constant velocity moves arbitrarily attached on its surfaces load. Relies on that function of the load can be distributed in row Furie on angular coordinate and integral Furie on axial coordinate.Motion
elastic space is described by dynamic equations to theories to bounce in potential to Lama, for decision which is offered method of the integral transformation Furie. Stationary decision of the problem is received Under subsonic velocity of the movinging loud.
Используя для исследований модельный подход, представим тоннель как бесконечную круговую цилиндрическую полость радиуса Я расположенную в упругом, однородном и изотропном пространстве с параметрами Ламе л, м и плотностью с.
В направлении оси Z полости по её внутренней поверхности движется с постоянной скоростью с нагрузка Р:
= 7), У = г,0,/7, (1) где - компоненты тензора напряжений в среде, Р - составляю-
щие интенсивности подвижной нагрузки Р в подвижной цилиндрической системе координат (г, и, з=г-&).
Движение упругого пространства описывается динамическими уравнениями теории упругости:
Г1 п 1 в^и
дтг
м; м;
graddivu + М2 = (2)
где и - вектор смещения упругой среды, М? - с/ср,М5 = с/с5 - числа Маха: ср = ^(Л + 2/л)/р * ~ у! м/р -скорости распространения волн расширения - сжатия и сдвига в среде.
Преобразу ем уравнение (2), выразив вектор смещения упругой среды через потенциалы Ламе [1]: и=§га<1ц1+гоШ1. (3)
Потенциал ш можно представить в виде:
ш=и,е5 + пЖцд), где вч - орт оси г).
Из (2) и (3) следует, что потенциалы (р. удовлетворяют видоизменённым волновым уравнениям:
V^-M/^.j-123.(4) Здесь M=Mr M,=MX=MS
Применив к (4) преобразование Фурье по h, находим:
V;<2>;-т,2£>; = 0, ; = 1,2,3.
(5)
84
НАУКА И ТЕХНИКА КАЗАХСТАНА
Здесь V;- двумерный
т] = 1 -М],тх = тр,т2 = тг «п^,
оператор
Лапласа.
4>](г,е,1;)-^¡(гЛпУ'^Лг,.
Выразив компоненты напряжённо-деформированного состояния среды через потенциалы Ламе и применив преобразование Фурье по з, можно получить выражения для трансформант напряжений ст. и перемещений и вцилин-дрической (Ыг,и.з, системе координат как функции от <р;.
Предположим, что скорость нагрузки меньше скорости распространения волн сдвига в окружающей полость среде («дозву ковой» случай). В этом случае
Л/5<1 (т2=т,=т^>0)
и решения уравнений (5) можно представить в виде
(6)
где КпЩг) - функции Макдональдс к = т £ ;аг - неизвестные коэффициенты. подлежащие определению.
Подставляя (6) в выражения для трансформант НДС среды, получим:
X з
Л—-« 1-1
М- л—хТП
1 = г,в,г7, т~г,в,1].
Здесь Тп=кХ{кЛ Тг2=--Кя(к2г\ Тг3 =к3К'п(к3г}
г п
Тт=-К„(*,г)■ I, Тв2 = (*2г)• /, (к,г)■ а
г г
/
^=2
г"
п2
2^-2 \
\
2ц
' г г
2*гл::(*гг)
ггЗ
-2£
Л, , аф)
•г
<> = -2
Г2 Он п\ \ / °002 -Г^ 2 9
Г ¿¡Л Г г
ъ -
^ввъ
_24п1Кп(к>г) 2&3К'п(к,г)
~ '
Г г
2//
5-а-а тизКп(кА
С
+-1-1,
>02
- # +
2
Кп(к2г)+2к>К'^г)
I,
$ г&з ~
—
2nfK.hr)
п ' с/(Лг) •
Для определения коэффициентов а воспользуемся граничными условиями (1). представив их в виде
= ; = г, 0,7/,(8)
где #>,(*)-^е" ¿(й-р^о?)*-1*«/*,
/-г, 0,1/.
Подставляя в (8) соответствующие выражения из (7) и приравнивая коэффициенты рядов Фурье-Бесселя при еполу чим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений с определителем нормального типа:
86
НАУКА И ТЕХНИКА КАЗАХСТАНА
(9)
т = г,в,г!\ п- 0,±1,±2,...
После определения коэффициентов аг.. применяя к (7) обратное преобразование Ф\рьс, можно вычислить компоненты НДС среды Окончательное решение будет зависеть от вида движущейся нагрузки.
ЛИТЕРАТУРА
1. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975. - 872 с.
А
