Исследование НДС окружающего двухслойную оболочку массива при различных скоростях бегущей по её внутренней поверхности периодической нагрузки Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3:534.1

ИССЛЕДОВАНИЕ НДС ОКРУЖАЮЩЕГО ДВУХСЛОЙНУЮ ОБОЛОЧКУ МАССИВА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ СКОРОСТЯХ БЕГУЩЕЙ ПО ЕЁ ВНУТРЕННЕЙ ПОВЕРХНОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ

В.Н. Украинец, С.Р. Гирнис

Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова

CepniHdi кещстжте ек цабатты цабъщца жYгiрмелi кезецдж жуктеметц epeKemi туралы ecenmi шыгару нег1зтде жуктеме цозгалысы жылдамныц цабъщты цоршаган массив реакциясына ыкпалы 3epmmejedi.

On base of task solution on effect of streaming load is researched influence of speed movement on reaction of surrounding shell of body on two-layer shell in elastic space.

Задачи о действии подвижной осесимметричной нормальной нагрузки на тонкостенную и толстостенную круговую цилиндрическую оболочку в упругой среде рассматривались соответственно в статьях [1,2]. В настоящей работе решена задача о действии бегущей периодической нагрузки на двухслойную оболочку в упругом пространстве и на основе этого решения исследуется напряженно-деформированное состояние (НДС) окружающего ее массива при различных дозвуковых скоростях движения нагрузки. Данная задача является модельной, например, при исследовании динамики тоннелей глубокого заложения, подкрепленных двухслойной цилиндрической оболочкой (обделкой) [3].

1. Рассмотрим цилиндрическую полость радиусом Е1 в бесконечной, линейно-упругой, однородной и изотропной среде. Полость подкреплена двухслойной оболочкой, внутренним слоем которой является тонкостенная оболочка толщиной к0 и радиусом срединной поверхности Я2, а внешним -толстостенная оболочка. В силу малости толщины внутреннего слоя можно принять, что он контактирует с внешним слоем вдоль своей срединной поверхности. Контакт между слоями оболочки и окружающей её упругой средой

89

(массивом) будем полагать жестким. По внутренней поверхности оболочки в направлении ее оси z с постоянной скоростью с (меньшей, чем скорости распространения волн сдвига во внешнем слое оболочки и окружающей ее среде) движется нагрузка интенсивностью Р .

Так как рассматривается установившийся процесс, то картина деформаций стационарна по отношению к движущейся нагрузке. Поэтому удобно перейти к подвижной цилиндрической системе координат rДn=z-tc. Тогда, в случае синусоидальной с произвольной зависимостью от угловой координаты нагрузки, имеем

п=-оо П=-00

где константа определяет период Т = 2п / действующей нагрузки, Р] (0,п) - составляющие интенсивности нагрузки Р(е,п)

Для описания движения внутреннего слоя оболочки воспользуемся классическими уравнениями теории тонких оболочек

(1-Уо>с

2Ио

82и^ 1-у0 д\ц | 1+у0 е2иое , у0 ди0г _ 1-у„ ,2

дц2 Щ ее2 2Я2 дг\дВ Я2 дх\ 2ц0А0

о _

2„ Л _ _2\

1+УоаЧ | (1-Уо) 2Я, дцдв

1_Ро£_

\

а2иое , 1 д2ит , 1 ди0г _ 1-у0 ^ ^ ^

дц2 Щ 58 Щ дв 2ц0й(

Уо^ 1 ^ 2 2 (1-у0>0С2 )

д2 Эл /г2 ее 12 0г 2ц0 э-п2 /г2 2ц0й/г

где и0п , иое, и0г - перемещения точек срединной поверхности внутреннего слоя в направлении осей цилиндрической системы координат П, е , г ; Рп, Ре, Рг - составляющие интенсивности подвижной нагрузки Р ; Ч =стгл2|г=„2 = Че = игв2|г=я2 = Чг = а 2|г=я2 - составляющие реакции внешнего сл оя ; а ^ 2 - компоненты тензора напряжений во внешнем слое ); V 0, ц 0, р 0 - соответственно коэффициент Пуассона, модуль сдвига и плотность материала внутреннего слоя; V2 - оператор Лапласа.

В установившемся состоянии зависимость всех величин от п имеет вид (1), поэтому

- (3)

90

Подставляя (1) и (3) в (2), для п-го члена разложения получим

^Чпп + V П^0М0п6 - о^оиой = Со (Рпп - Чпп )

^а п^оиопЛ+82иопе- 2пЩп = Со (Рпе - Ч,Л (4)

о^оиопЛ+ ^опе+Фо* = Со (Рп - Чп )

2 2 2 2 о 2 2 2 2 2 ^ г ть

где 8] = а2 — 82, 82 =Р2 — 82, 8з = У2 — 82, ^ = ^2, а; = 25;+УиИ2, Р2=^2 + 2п\ у2 = Х2&+«2)+2, =1-У0, У02=1+У0, Мх0 = с/с,0, = X2 =-^2» £„ =-

s0'

Ро 6Л2 M'A

при Г = Я2.

Разрешая (4) относительно w0nr|, w0ne, и0п , находим

G 3

U0nn = g 0 1 (nj <inj )

U0nQ =

¥

g Zgeip -< ) (5)

°n 1=1

G *

G

«0. Zg fe У

n 1 =1

Здесь 5п =5|п = (818283 ) - (81^1 )2-(82^2 )2-(83^3 7+ ^1^3 > 5Л1 =(8 283 Т-^2 > 5п2 = ^2 -^382 > 5П3 = )

5е1 =5п2 > 5е2 =(8183 Т-^2, 5е3 = )

5П = -5П3> 5г2 = -5е3> 5г3 = (8182) >

для р. и <7 . индекс ] = 1 соответствует индексу п, ] = 2 -е, ] = 3 - г . Для описания движения внешнего слоя оболочки и окружающей среды используем динамические уравнения теории упругости

с \

I 1

уК Mlj

graddivu^-^V2«^^, к = \,2 (6)

Msk Sri

91

Здесь и в дальнейшем индекс к = 1 относится к среде, а к = 2 - к внешнему слою оболочки; Mpk=c^cpk>Msk=c/csk - числа Маха; срк +2|ii)/pt csk = ^\i.Jpk - скорости распространения волн расширения - сЖатия и сдвига в среде и внешнем слое оболочки; X к = к v к ( 1 - 2v к ), д к - модули сдвига, v к - коэффициенты Пуассона, рк - плотности, u к - векторы смещений точек пространства и внешнего слоя.

Выражая векторы смещений через потенциалы Ламе

u* = gradфи + rot(p2jteT) )f rot rot^e,,) к = \,Ъ (7)

преобразуем уравнения (6) к виду

=мУ = 1.2,3, ¿ =

где М1к = М¥ , М2к = М3к = Мк .

Выразим компоненты напряжённо-деформированного состояния оболочки и массива через потенциалы ф Компоненты вектора ик (7):

м А,1 ^ , 52Фз* , * Зг г 8 9 5г)£)г

_ 1 aplt ap2t 11 a2tp3t, (9)

№ зе зг гЗпэе

^ sh an2

где тгл=\-М2л.

Используя закон Гука и соотношения (9), получаем выражения для компонент тензора напряжений

52ФЦ , п.. 2 53ФЗА

з М2 52(Plt I ^f1 52ф'* | 5(p" i 1 ^ d2<?2t i 1 ^ | д2фз*"|

ш к pk dv2 r yr m2 Or r QQ Sree г дв28ц 8r8r\ J'

3t| r \ dr* r 39dr T 36 8r'8r\

Ъщк = W

. 32mlt 1 32m,, „ ,. З3ф,, k 3r)3r 393ri dr\ 8r

(10)

92

Потенциалы ф/к также будем искать в виде периодических функций по п

Ф„(г,е,л)=ф (11)

Подставляя (11) в (8), получим

^Фд = 0,7 = 1,2,3, к = 1,2,

(12)

где V2 - двумерный оператор Лапласа, т2к = 1 -М2к, т1к = трк, т2к = т3к = тл. В дозвуковом случае Ы$к < 1 (т2к = т3к = msk > 0, к = 1, 2), и мы приходим к известным решениям уравнений (12): - для массива

для оболочки

фл =

ФУ2 = +

(1.13,а)

(1.13,б)

Здесь 1п(кг), Кп(кг) - функции Бесселя первого и второго рода от мнимого аргумента, к/1 = |т;1Е, , к/2 = |т;, / = 1,2,3; ап1,...,ап9 - неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.

Подставляя (1.13,а) с учётом (11) в (9), (10), получаем формулы для вычислений компонент напряженно-деформированного состояния массива

"л = 1 «„,

м

"О 3

(14)

М*1 п=-аО

где I = г, 9, п, т = г, 9, п;

Тг11 = кпК'п (кпг) Тг21 = --Кп{к2Л ТгЪ1 = ~^кЪ1К[ (кЪ1г),

г

= — ^921 = п(к21гУ, Тв 31 = ^Кп(к31гУ,

г г

ТпП=Щп(кигУ, Тц21 = 0, Гп31 = -к23]Кп(к3]г)

= 2

1 г2 2ц,

93

V (/;,,,-)| 2кпК'-(кпГ\ 5Ш21 2ПК'^ | 2«М^цг)

П2 , РцМ2^

2ц,

1+^М2

2ц,

З^Х^) 2^КК'ХКг) _ 2

°евз1 _ 2 > "лпи -

^ г II

/ П (V)

Аналогично подставляя (1.13,б) в (9), (10), получаем формулы для вычислений компонент напряженно-деформированного состояния толстого слоя оболочки

П=-аО ¿=1

(15)

^=11 [^бдик+э

М"2 л=—оо у'=1

Здесь I = г, е, п, да = г, е, п;

Т$=кпк'п(кпг), тМ—-кп(к21г) г« =-^К%2г),

г

т^=-кп(КЛ ^ = -ад(V), = (V).

г г

= (к12г), Г« = О, Г« = -к?2Кп(к32г),

(¡ЭТ+лЭ)

¡¡&=2

2 г2\

к2- + — -Л-Т) -г -

п2 М^'

42 т 2 о

г 2Ц2

94

.2 ,1 г2

сО) __9 0612 ■Ч

п21

г2 2ц2

с(1) - С(1)

^ееи _ 2 • еез

г г

2ц.

'2 7

Я®, =0, е = Ъп^К.М

=

? - у

(!) _ 2г£,К„(к12г) (1) _ ,, л „(1) _ п^+т^У^г)

0вп12 — ~-> ^ецгг - 9с2глпУс22'>1 ^зг---->

^,=2УиК'ЛкЛ д*)я=-^аГ*. 5«

Г®, получаются из ^ 5«2 заменой Кп та 1п.

Для определения при фиксированном п девяти неизвестных коэффициентов ап1,...,ап9, воспользуемся следующими граничными условиями:

пРи г = ^ ип = и} 2, с>? 1 =а7 2,

при г = ^2 ^2 = и0] , j = Г, б П .

Приравнивая коэффициенты рядов при в"9, получим бесконечную систему (п = 0,± 1,± 2,...) линейных алгебраических уравнений блочно-диагонального вида, которая имеет единственное решение, если ее определитель не равен нулю.

2. Исследуем влияние скорости движения нагрузки на напряженно-деформированное состояние массива. В качестве примера рассмотрим бетонную (уо=0>2> Цо=!>21-10 Па, р0 =2,5-10 кг/м ) цилиндрическую оболочку толщиной ^=0,002 и радиусом срединной поверхности R2=1м, огражденную от породного массива с характеристиками у1=0,25,ц1=4,0-109Па,р1=2,6-103кг/м3, сл = 1240,35м/с [3] слоем известняков (у2 = 0,25, ц2 = 2,8■ 109Па, р2 = 2,65■ 103кг/м3; = 1027,9м/с) толщиной 0,1м (Я, = 1,1м). По внутренней поверхности оболочки с постоянной скоростью с движется осесимметричная нормальная периодическая ( Т = 2п ) нагрузка с амплитудой РА , оказывающая давление на поверхность обо-

95

лочки в области начала подвижной системы координат. Контакт между слоями оболочки и массивом полагаем жестким.

В табл. 1 приведены числовые значения компонент напряженно-деформированного состояния массива в плоскости п = 0 при разных скоростях движения нагрузки. В таблице приняты следующие обозначения: и'п = мгЛ/рл (м)' °еа = °Ж/РА> «Си = ^пШ/Рл ■.

Из таблицы следует, что с увеличением скорости движения нагрузки значения компонент НДС массива в окрестности подкрепленной двухслойной оболочкой полости возрастают.

С удалением от границы полости эффект динамического воздействия бегущей нагрузки на массив снижается, и при г / Я1 = 4,0 становится практически мало существенным при любой из рассмотренных здесь скоростей нагрузки.

Таблица 1

Компоненты НДС массива в плоскости п = 0

с, м/с * иг1 * СТ991 СЛЛ1

г/Я г/Я г/Я

1,0 4,0 1,0 4,0 1,0 4,0

200 0,33 0,01 0,45 0,0 -0,34 0,01

800 0,38 0,03 0,55 0,01 -0,43 0,02

ЛИТЕРАТУРА

1. Пожуев В.И. Действие подвижной нагрузки на цилиндрическую оболочку в упругой среде // Строительная механика и расчет сооружений. - 1978. - № 1. - С. 44-48.

2. Львовский В.М., Онищенко В.И., Пожуев В.И. Установившиеся колебания цилиндрической оболочки в упругой среде под действием подвижной нагрузки // Сб.: Вопросы прочности пластичности. -Днепропетровск, 1974. - С. 98-110.

3. Булычев Н.С. Механика подземных сооружений в примерах и задачах. - М.: Недра, 1989. - 270 с.

96