Действие подвижных нормальных нагрузок на тонкостенную обделку тоннеля мелкого заложения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

ДЕЙСТВИЕ ПОДВИЖНЫХ НОРМАЛЬНЫХ НАГРУЗОК НА ТОНКОСТЕННУЮ ОБДЕЛКУ ТОННЕЛЯ МЕЛКОГО ЗАЛОЖЕНИЯ*

В.Н. Украинец

Павлодарский государственный университет Министерства образования и науки Республики Казахстан

Представлена членом редколлегии профессором Ю.В. Воробьевым

Ключевые слова и фразы: движущаяся нагрузка; интегралы Фурье; потенциалы Ламе; ряды Фурье; тоннель мелкого заложения; упругое полупространство; цилиндрические функции.

Аннотация: Используя решение задачи о реакции упругого полупространства на нормальную нагрузку, движущуюся по подкрепленной тонкостенной упругой оболочкой круговой полости, исследуется напряженно-деформированное состояние тоннеля мелкого заложения при действии на его обделку ступенчатой нормальной нагрузки, симметричной относительно вертикального диаметра поперечного сечения тоннеля. Результаты расчетов представлены в виде эпюр компонент напряженно-деформированного состояния контура выработки и земной поверхности.

Введение. Одной из важнейших задач при проектировании, строительстве и эксплуатации подземных транспортных сооружений в виде тоннелей и трубопроводов является борьба с шумом и вибрацией, которые возникают вследствие действия движущихся внутри них нагрузок. При глубине залегания сооружения больше пяти его характерных диаметров влияние земной поверхности на концентрацию напряжений в окрестности сооружения при дифракции отраженных и пе-реотраженных волн незначительно, поэтому ими можно пренебречь [2]. Однако при меньших глубинах следует учитывать близость земной поверхности.

В качестве основных модельных задач, используемых для исследований транспортных подземных сооружений, обычно рассматриваются задачи о динамическом поведении полупространства или пространства с подкрепленной оболочкой протяженной цилиндрической полостью при действии движущейся вдоль ее оси нагрузки. Первая задача моделирует сооружение мелкого заложения, вторая - заглубленное сооружение. Вопрос о допустимом приближении зданий и сооружений к тоннелям или транспортным трубопроводам мелкого заложения можно разрешить, исследуя первую задачу. Решив вторую задачу, можно определить, на каком расстоянии от подземного сооружения эффект динамического воздействия движущейся нагрузки будет несущественным, и дать рекомендации относительно оптимальной глубины его заложения.

Задача о действии подвижной осесимметричной нормальной нагрузки на тонкостенную цилиндрическую оболочку в упругой среде рассматривалась в работе [4]. Аналогичные исследования для двухслойной оболочки проведены в [1]. Движение периодической нагрузки вдоль цилиндрической полости в упругом по-

* Принято к печати 06.12.2006 г.

лупространстве изучалось в статье [2]. Во всех этих работах получены точные аналитические решения для указанных выше моделей подкрепленных тоннелей глубокого заложения и неподкрепленных тоннелей мелкого заложения. Однако открытым пока остается вопрос построения подобных решений для моделей подкрепленных тоннелей мелкого заложения.

Постановка задачи. Рассмотрим бесконечно длинную круговую цилиндрическую полость радиуса Я, расположенную в упругом, однородном и изотропном полупространстве с параметрами Ламе 1, т и плотностью р. В отличие от [2], полость подкреплена тонкой упругой оболочкой, по внутренней поверхности которой вдоль ее оси с постоянной скоростью с движется нормальная нагрузка Р. В силу малости толщины оболочки полагаем, что окружающая среда контактирует с оболочкой вдоль ее срединной поверхности.

Введем декартовую систему координат, ось 2 которой совпадает с осью полости, параллельной свободной от нагрузок плоской границе полупространства, а ось X перпендикулярна к этой границе: х < к, где к - расстояние от оси полости до границы полупространства. Вследствие того, что рассматривается установившийся процесс, можно перейти к подвижной декартовой (X, У, ^ = г - о() или цилиндрической (г, 8, ^ = г - оР) системе координат.

Для описания движения оболочки воспользуемся классическими уравнениями теории тонких оболочек (1), а для описания движения окружающей среды -динамическими уравнениями теории упругости (2):

1 I1 ~Уо )Рос2 2Мю

Э Мо^ 1 — Уо Э Мо^ 1 + Уо Э2Мо0 Уо Эм()г _ 1 — Уо

-+------------Z-----------^- +--------------------------— +

Эл2 2R2 Э02 2R Э^Эе R Эл 2Мо

+

2R ЭлЭе 2

1 Рос то

Э Мое + 1 Э Мое + 1 Эмог _ — 1—Уо

Эл2 R2 Эе2 R2 Эе 2то^о е ’

У0 Э«0Л + 1 ^08 + к0 у2у2м + (1 у0 )р0о2 д2ирг + = _ 1 ~Уо (р _ )

Я Эл Я2 Э8 12 0г 2^0 Эл2 Я2 2^0 г ,

(1)

где «0л , «00 , «0г - перемещения точек срединной поверхности оболочки;

qооh, ?00, Ч0т - составляющие реакции окружающей оболочку среды (при г = Я

= °гп, q0 = °г0, qг = °гг, где Огу - компоненты тензора напряжений в среде,

у = л, 8, г); У0, т0, р0 - соответственно коэффициент Пуассона, модуль сдвига и плотность материала оболочки; к0 - ее толщина;

( \

л_______________\_

M2p M2S ;

graddiv u + -^- V2u _Э-и , (2)

M2S Эл2

где и - вектор смещения упругой среды; Мр = о/ор , М5 = о/о8 - числа Маха; ор, о^ - скорости распространения волн расширения - сжатия и сдвига в среде.

Т ак как граница полупространства свободна от нагрузок, то при х = к

® хх = °ху = ^хг| = 0 (3)

В случае жесткого сцепления оболочки с окружающей средой

иу|г=Я = «0У , } =^ 8, г . (4)

При скользящем контакте

s j = о, j = h, 0,

11r=R (5)

— Wor .

r|r—R 0r

Здесь ur, Uq , - компоненты вектора u. Заметим, что при скользящем кон-

такте в (1) q~h = % = 0.

Выразив u через потенциалы Ламе [3]

u = grad j1 + rot (j2en) + rot rot (j3en),

преобразуем (2) к виду

2 2 52j 1 V 2j j = M;2----j, 1 = 1,2,3, (6)

5h2

где Mi = Mp, M2 = M3 = Ms.

Рассмотрим вначале единичную подвижную нормальную нагрузку с произвольной зависимостью от угловой координаты и изменяющуюся вдоль h синусоидально:

¥

P(0,h) = Р(0)e'xh, p(0)= X pnrein0, j = r,0,h. (7)

n=-¥

Потенциалы jj будем искать в виде (7)

фу (r, 0,h) = Фj (r, 0)eiXh . (8)

Из (6) и (8) следует

V2Фj -mjX2Фj = 0, j = 1,2,3. (9)

2 2

Здесь mj = 1 - Mj, mi ° mp, m2 = m3 ° ms.

Представив компоненты напряженно-деформированного состояния среды через потенциалы Ламе, можно получить выражения для перемещений Ui и на*

пряжений Sim от единичной синусоидальной нагрузки в декартовой (l = х, у, п, m = х, у, п) и цилиндрической (l = r, 0, h, m = r, 0, h) системах координат как функции от Фj. Для определения компонент напряженно-деформированного состояния массива нужно найти Фу.

Определение потенциалов. Предположим, что скорость нагрузки меньше скорости распространения волн сдвига в среде. В этом случае Ms < 1 (m2 = m3 = ms > 0) и решения (9) можно представить в виде

Ф } = ф<1 +ф (2), (10)

где Fj1) = X anjKn (kjr)ein0; ф(у2) = j gj (x C)expfiyC +(x - h)y}z2 + k2 'jdz;

n=-¥ -¥

Kn (kjr) - функции Макдональда, kj = mjX; gj (X, Z), anj - неизвестные функции и коэффициенты, подлежащие определению.

Как показано в [5], представление потенциалов в форме (10) приводит к следующим выражениям для Фу в декартовой системе координат:

Х 1 ¥

' 1 " „(*-%■

Ф j _ I

2fj n_-

Х anj Фп- + gj (Х Z)e'

где fj _^2 + k2, Ф„, _

j

nj

v kj У

(11)

, j _ 1, 2,3.

Воспользуемся переписанными для о* граничными условиями (3), с учетом

(11). Выделяя коэффициенты при еУ и приравнивая, в силу произвольности у, их нулю, получим систему трех уравнений, из которой выражаем gj (X, С) через коэффициенты ап]

Л А,

gj (ХZ) _ Х^ААтe hfk Х ankФпТ.

А

(12)

Вид определителя А и алгебраических дополнений Ад определен в [5]. Там

же показано, что А - определитель Релея, который не обращается в ноль, если скорость бегущей нагрузки меньше скорости релеевской волны в полупространстве. В этом случае все подынтегральные функции в (10) непрерывны и достаточно быстро стремятся к нулю на бесконечности. Поэтому интегралы существуют и удовлетворяют условиям затухания на бесконечности. Для вычислений интегралов (11) можно воспользоваться одним из численных методов интегрирования, предварительно определив коэффициенты апу .

Для дорелеевской скорости движущейся нагрузки соотношения (11) перепишутся в виде

Ф j _ I

xf j ¥ 3 А ¥

Х anj Фnj + e(X_hfj Х — e_hfk Х ankФпк

:iyZ dZ. (13)

п=-¥ к=1

Для представления Фу (10) в цилиндрической системе координат воспользу-

¥

емся разложением е1кг со% 9= ^ inJn (кг) е1п9. Находим, что

exp | iyZ + (x _ WZ 2 + k2 1 _ Х In (kr)e'

ine

z+Vz2+k 2 k

n

ТогДа ф у = X ап]Кп (к]Г) + Іп (к]г) | g] (Х О фп] е ]С еШ0 .

П=-¥ ^ _¥ )

Подставляя в последнее выражение из (12) gу (X, С), имеем

¥

ф] = X (апуКп (к]Г) + ЬпуІп (к]Г)) Є'пЄ , п=-¥

3 ¥ ¥ А

т™ ь _ V* V* Л лтк Атк _ Г ]'к . . -й(/к +//)

где Ьп] = аткАп] , Ап] = J а Фтк Фп]е

к=1 т=-¥ _¥

dz .

(14)

¥

¥

n

n__¥

e

n__¥

Л

Л

¥

Подставляя (13) и (14) соответственно в полученные ранее выражения для и I и о у в декартовых и цилиндрических координатах, получим новые выражения, где неизвестными будут только коэффициенты апу. Для определения последних, в зависимости от условия сопряжения оболочки со средой, воспользуемся граничными условиями (4) или (5), представив их в виде:

- для жесткого контакта

и *\г=к = и 0у, у = Л 0 т ; (15)

- для скользящего контакта

srj\r=R = о, j = h,q,

Ur\ — UOr •

r r—R 0r

(16)

В установившемся состоянии зависимость всех величин от л имеет вид (7), поэтому для перемещений точек срединной поверхности оболочки при действии единичной синусоидальной нагрузки, имеем

¥

и*у (0,л) = и0у (0)ег^, и0у (0)= X и0луеп, ] = г,0,л. (17)

П=-¥

Подставляя (7) и (17) в уравнения (1), для п-го члена разложения получим £1и0ил +П2иХОиОи0 - 2|П0Х0и0пт =-°0Ущ, п2иХ0и0ил +е2и0и0 - 21пи0пт =-°0 уп0,

2/'У0Х0и0ил + 2|пи0п0 + е3и0пг = О) (Рпг - Чпт ) ,

(18)

где ej2 — — eo, е2 — Ро -e0, e3 — То -e0, e0 — v1X0MsO, Х0 —XR,

a 0 — 2X 0 + v1n 2, x 0 —^> b 0 —v1X 0 + 2n ^ g 0 —c 2 (x 0 + n 2 ) + 2

I 12 тр2

v1 — 1 — v 0 , v 2 — 1 + v 0 , Ms0 — , cs0 — J—, %2 — ^^ G0 — —^

^0 V р0 6К М-0

при г = К Чщ = (оГл )п , Уп0 = (Ог0 )п , Чпт = (огг )п .

Разрешая (18) относительно , Щп0, и0пт, находим

3 5

ж—I

U,

0nh

j—1 n

u0„0 — G0 Z ( Pnj — Яnj ),

j—1 °n

3 V

u0nr — G0 Z -jL ( Pnj — q„j ) • j—1 °n

(19)

Здесь

§п = (е1е2еэ)2 - (е1Х1)2 - (е2Х2 )2 + 2Х1Х2Х3;

$Г|1 =(е2е3 ) — ХЬ 8^2 = Х1Х2 — Х3е3, 8^3 = ' (е2Х2 — Х1Х3 );

§01 =§^2, §82 =(е1е3 ) — Х2, §03 = г (е2Х1 — Х2Х3 );

§г1 =—8^3, §г 2 =—803, 8г3 =(е1е2 ) — Х3;

Х1 = 2п, Х2 = 2п0Х0, Х3 = п2Х0п ; Рп1 = Рп2 = 0

Для Рп] и qnj индекс у = 1 соответствует индексу ^, у = 2 - 0, у = 3 - г.

Подставляя (19) в (15) или (16) и приравнивая коэффициенты рядов Фурье-Бесселя при егп0 , получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов апу.

Зная решение для синусоидальной нагрузки, реакцию полупространства на движение другого вида нагрузки получаем при помощи суперпозиции, используя представление нагрузки и компонент НДС среды в виде интегралов Фурье:

¥

P(0,h) = p(0) p(h) = p(0)^ J p* (X)e1?VX, / (X)= J p(h)e-1?ndX ;

—¥ —¥

¥ ¥

I ^ ^ Ф I Jj »Tj

ul (Л 0 h) = — J ul(r, 0 X)p (X) dX> slm (r> 0 h) = — J slm (r> 0 X)p (X) dX ■

—¥ —¥

Окончательное решение будет зависеть от конкретного вида движущейся нормальной нагрузки. При этом для вычисления интегралов Фурье можно использовать любой численный метод, если определитель полученной из граничных условий системы уравнений не обращается в ноль.

Анализ результатов расчета. Для количественной оценки динамического воздействия на массив пород бегущей неосесимметричной нормальной нагрузки рассмотрим круговой цилиндрический тоннель радиуса R = 1 м и глубиной заложения h = 2 м в массиве алевролита (1 = 1,688-109 Па, m = 2,532-109 Па, р = 2,5-103 кг/м3), свободно подкрепленный бетонной оболочкой (h0 = 0,02 м; V0 = 0,2, m0 = 12,1-109 Па, р0 = 2,5-103 кг/м3), при действии движущейся с постоянной скоростью с = 100 м/с и оказывающей равномерное давление на нижнюю половину внутренней поверхности оболочки нагрузки интенсивностью P1. Нагрузка приложена в интервале |h| £ l, l = 0,2R.

В этом случае

P , P cos(nn)sin(nn/2) = ; p* (x) —2p1sin(Xl)

P0r = 1 Pnr =-------------------, n = ±1, ±2----; p (X) =----Й------■

Pn X

Подбирая P1 таким образом, чтобы общая нагрузка по всей длине участка нагружения равнялась сосредоточенной полукольцевой нагрузке P0 , получим

p* (X) = — P0sin(XlV(Xl) ■

На рис. 1, 2 построены эпюры компонент напряженно-деформированного состояния массива алевролита на контуре выработки и земной поверхности в

поперечном сечении h = 0 (обозначения: u°r = ur|m/P0 , м; 090=000/P0 ;

shh °hh/P0 ; Ux uxm/P0 , м; o00 0yy/P0).

в)

Рис. 1. Эпюры иО (а), 000 (б), ohh (в) на контуре выработки

а)

y/R

б)

Рис. 2. Изменения компонент напряженно-деформированного состояния земной поверхности

Как следует из рис. 1, в верхней половине контура выработки напряжения а^ и перемещения иг намного меньше, чем в нижней половине, где в интервале 120° < 0 < 240° они практически не меняются и имеют наибольшие значения. Эпюра а08 вытянута вдоль оси X. Здесь напряжение максимально в нижней точке контура.

Из рис. 2 видно, что экстремальные перемещения и напряжения, возникающие при у = 0 на земной поверхности, значительно меньше, чем на контуре выработки. С возрастанием |у| компоненты напряженно-деформированного состояния быстро затухают.

Список литературы

1. Айталиев, Ш.М. Напряженное состояние двухслойной обделки тоннеля от внутренних движущихся нагрузок / Ш.М. Айталиев, Л.А. Алексеева, В.Н. Украинец // Механика подземных сооружений : сб. науч. тр. Тул. политехн. ин-та. - Тула, 1988. - С. 38-46.

2. Айталиев, Ш.М. Влияние свободной поверхности на тоннель мелкого заложения при действии подвижных нагрузок / Ш. М. Айталиев, Л. А. Алексеева,

B.Н. Украинец // Изв. АН Каз.ССР. Сер. Физика. Математика. - 1986. - № 5. -

C. 75-80.

3. Новацкий, В. Теория упругости / В. Новацкий. - М. : Мир, 1975. - 872 с.

4. Пожуев, В. И. Действие подвижной нагрузки на цилиндрическую оболочку в упругой среде / В.И. Пожуев // Строит. механика и расчет сооружений. - 1978. -№ 1. - С. 44-48.

5. Украинец, В.Н. Реакция упругого полупространства на бегущую вдоль оси периодическую нагрузку / В.Н. Украинец // Мат. журн. - Алматы. - 2005. - № 3. -С. 96-102.

Effect of Movable Regular Loads on Thin-Walled Facing of Shallow Tunnel

V.N. Ukrainets

Pavlodar State University,

Ministry of Education and Science of Kazakh Republic

Key words and phrases: cylinder function; elastic semi-space; Fourier integrals; Fourier rows; Lame potentials; movable load; shallow tunnel.

Abstract: Using the solution to the task of elastic semi-space reaction to regular load moving along stiffened thin-walled shell of round cavity we’ve studied elastically deformed state of the shallow tunnel under the influence of stepped regular load symmetrical over vertical diameter of cross-section tunnel. The results of calculations are presented in the form of diagrams of elastically deformed state of working contour and earth surface.

Einwirkung der bewegenden normalen Belastungen auf die dunnwandige Ummantelung des Tunnels des seichten Anzugs

Zusammenfassung: Verwendend der Beschluss der Aufgabe uber die Reaktion des elastischen Halbraumes auf die normale Belastung, die sich bis die verstarkte dunnwandige elastische Hulle der kreisformigen Hohle bewegt, wird den gespanntde-formierte Zustand des Tunnels des seichten Anzugs bei der Einwirkung auf seine Ummantelung von der gestuften normalen Belastung, die bezuglich des senkrechten Durchmessers des querlaufenden Schnitts des Tunnels symmetrisch ist, untersucht. Die Ergebnisse der Berechnungen sind als Schaubilder die Komponente des gespanntdefor-mierten Zustandes der Kontur der Produktion und der Erdoberflachen vorgestellt.

Action des charges normales mobiles sur la monture a parois minces du tonnel du placage peu profond

Resume: En utilisant la solution du probleme de la reaction du semi-espace elastique sur une charge normale circulant sur la superficie renforcee par une enveloppe ronde et elastique a parois minces, est examine l’etat de tension et de deformation du tunnel du placage peu profond lors de l’action sur sa monture de la charge normale en gradins symetrique relativement le diametre vertical de la section transversale du tunnel. Les resultats des calculs sont presentes en epures des composants de l’etat de tension et de deformation d du contour de la production et de la surface terrestre.