CC BY
13
Павлодарский государственный университет имени С. Торайгырова, г. Павлодар. Материал поступил в редакцию 10.09.12.
Ю.А. Коваль, А.Е. Айтпаева, Ж.М. Ыцсан
Сапалы ешмд1 ба^ылаудыц каз1рг1 эд1сш талдау
Yu.A. Koval, A.E. Aitpayeva, Zh.M. Yksan
Analysis of modern methods of production quality control
Бул мацалада металлдыц материал мен буйымдардыц сапасын бузылмайтын бацылаудыц, оныц кемшiлiктерi мен epeKmrnrnmepi, eHdipicmiK шарттарында нeгiзгi пайдалану цасиеттерт багалауга мумюн беретт замануй эдктерт талдауы кeлmipiлгeн
In this article the analysis is given to the modern methods of nondestructive testing of metallic materials and products, their advantages and disadvantages, allowing to judge the degree of use in a production environment with the main performance characteristics of metal products.
УДК 539.3:534.1
В.Н. Украинец, С.Р. Гирнис, Д.М. Кунанбаева, М.Б. Мажимова
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ СОСТОЯНИЙ ЗАГЛУБЛЕННОГО ТОННЕЛЯ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ПОДВИЖНОЙ СИНУСОИДАЛЬНОЙ НАГРУЗКИ
Движущаяся в тоннеле транспортная нагрузка создаёт колебания в окружающем его породном массиве, изучение которых является одной из важнейших задач механики подземных сооружений. При этом возможны резонансные состояния тоннеля, определению которых посвящена настоящая работа.
1. Рассмотрим модель неподкреплённого тоннеля в виде длинной круговой цилиндрической полости радиусом R в линейно-упругом, однородном и изотропном пространстве с параметрами Ламе X, ц и плотностью р. Введём цилиндрическую систему координат (г, 6, z), ось z которой совпадает с осью полости.
По поверхности полости в направлении её оси с постоянной дозвуковой скоростью с движется синусоидальная нагрузка
94
где Р|(6,п) — составляющие интенсивности нагрузки Р(9, п) в подвижной цилиндрической системе координат (г, 6, п = z-ct). Граничные условия имеют вид
(1)
Здесь о., - компоненты тензора напряжений в среде.
Выразив вектор и смещения упругой среды через потенциалы Ламе
и = с1пг(р -гог^)Сп гог гог(ф^сп)
представим уравнения движения среды в виде [1]
где М1 = Мр, М2 = МЗ = Мэ; Мр = с/ср, Мэ = с/сэ - числа Маха; с-,, - ^'(л. - . с, - ^и/р - скорости распространения волн расширения-сжатия и сдвига в среде.
Потенциалы о., также будем искать в виде синусоидальных функций
Подставляя (2) в уравнения движения, получим
(2)
(3)
Здесь ^ - двумерный оператор Лапласа, т' = 1-м^т = т, = л/5.
Так как скорость движения нагрузки меньше скорости распространения волн сдвига в окружающей полость среде (дозвуковая скорость), то М < 1 (т = т3 = т ^> 0) и решения уравнений (3) можно представить в виде [1]
Ф, =
(4)
95
Здесь Кп(кг) - функции Макдональда, к,- = ^и'.с" , ап. - неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.
Как показано в [1], представление потенциалов в форме (4) с использованием граничных условий (1) приводит к бесконечной системе уравнений блочно-диагонального типа с матрицами (3x3)
(5)
Вид функций
яг/ (ММ)) определён в [1].
Система (5) имеет единственное решение, если её определитель не равен нулю. Определив коэффициенты a , можно вычислить компоненты напряжённо-деформированного состояния среды.
2. Если в уравнениях (5) отбросить правые части, то получим однородную систему линейных алгебраических уравнений, которая решает задачу о движении в тоннеле свободных поверхностных цилиндрических волн. Данная система имеет нетривиальные решения в случае, когда определитель матрицы её коэффициентов равен нулю. Из этого условия следуют дисперсионные уравнения
где ¿.гЛЁ,, с) = А ,т|(| с |. с) - определители третьего порядка на главной диагонали матрицы коэффициштов системы (5), н = 0, + 1, — 2. + 3. ..
Дисперсионные уравнения позволяют определить точки (^м, ¿у,■>;,), , характеризующие длину Л-¡.-г, = и скорость с(п) движения п-ой
моды свободной волны, которая может распространяться вдоль поверхности полости.
На рисунке 1 представлены дисперсионные кривые с(п)(^(п)) (|п|=0, 1, 2, 3, 5, 10), соответствующие уравнениям Дп(^, с) = 0. Расчёты проведены для алевролита: V = 0,2, ц = 2,532.109 Па, р = 2,5.103 кг/м3, ср = 1643,4 м/с, cs = 1006,4 м/с. Радиус полости (тоннеля) R =1 м. Здесь ярко выражено наличие горизонтальной асимптоты с = 917 м/с, которая совпадает со скоростью cR волны Рэлея для данной среды. Это объясняется тем, что определитель Дп(^, с) при ^ ^ да содержит функцию Рэлея, которая обращается в ноль при с = cR [2].
96
с
\\ \
, 3 у
0"
12 2Л 36
Обозначения кривых: п = 0 (0); |п| = 1 (1); |п| = 2 (2); |п| = 3 (3); |п| = 5 (5); |п| = 10 (10)Рисунок 1 - Дисперсионные кривые для неподкреплённого тоннеля
При движении синусоидальной, с периодом Т = 2л/^, нагрузки со скоростью с компоненты напряжённо-деформированного состояния среды определяются однозначно, если точка с координатами с) не лежит на дисперсионных кривых (в этом случае определитель системы (5) не равен нулю). В противном случае задача не имеет решения (происходит явление резонанса, перемещения и напряжения стремятся к бесконечности), хотя не исключена возможность появления множества решений, определяемых с точностью до свободных поверхностных волн в тоннеле (при этом ранг матрицы коэффициентов системы (5) должен быть равен рангу расширенной матрицы). Поэтому в дозвуковом диапазоне скоростей движения нагрузки, её параметры ^ и с не должны одновременно являться корнями дисперсионных уравнений, то есть следует избегать совпадения данных параметров с подобными параметрами свободных поверхностных волн в тоннеле. Отметим тот факт, что вполне допустимо совпадение частоты ш = с^ вынужденных колебаний массива в окрестности тоннеля с частотами ш(п) = с(п)^(п) собственных колебаний, то есть ш = ш(п). Для этого достаточно, чтобы Т Ф ^(п) (или ^ Ф ^(п)) и с Ф с(п). Если это условие не выполняется (^ = ^(п), с = с(п), ш* = с^, ш* = ш(п), где ш* - критическая частота) то в тоннеле возникают резонансные колебания, которые могут привести к разрушению его стенок.
В таблице 1 приведены числовые значения частот ш(0) = с(0)^(0) собственных колебаний алевролита в окрестности рассматриваемого тоннеля.
Из таблицы видно, что чем больше длина свободной волны Х(0) = 2я/^(0) и соответствующая ей скорость с(0), тем ниже ш(0). Поэтому с увеличением скорости бегущей по тоннелю нагрузки резонансные колебания происходят при большем её периоде с понижением критической частоты ш* = ш(0).
97
Таблица 1
Cm„ м/С 920 930 940 950 960 970 980 990 1000
5(0)' м-1 48,8 13,4 8,1 5,9 4,7 3,8 3,2 2,7 2,3
m(0)' c-1 44896 12462 7614 4845 4512 3886 3136 2673 2300
СПИСОК ЛИТЕРАТУРА
1 Украинец, В. Н., Гирнис, С. Р. Действие стационарной подвижней нагрузки на тоннель глубокого заложения //Проблемы проектирования, строительства и эксплуатации транспортных сооружений: материалы I Всеросс. научно-практ. конф. мол. учёных. - Омск, 2006. - Книга 1. - С. 242-245.
2 Ержанов, Ж. С., Айталиев, Ш. М., Алексеева, Л. А. Динамика тоннелей и подземных трубопроводов. - Алма-Ата : Наука Казахской ССР, 1989. - 240 с.
Павлодарский государственный университет имени С. Торайгырова, г. Павлодар. Материал поступил в редакцию 12.09.12.
В.Н. Украинец, С.Р. Гирнис, Д.М. Кунанбаева, М.Б. Мажимова
^озгалмалы синусоидалды куаттыц ыкпалы барысындагы тукшрдеп туннельдщ резонансты жагдайын аныктау
V.N. Ukrainets, S.R. Girnis, D.M. Kunanbaeva, M.B. Mazhimova
Definition of resonance conditions of buried tunnel at effect of a sinusoidal load
Туннельдегi цозгалыстагы келжтж цуат оны цоршаган тау жыныс алемтде мацызды мтдеттертщ 6ipi болып табылады. Мундагы туннельдщ тербелютердщ бар болуына желт согады. Оны зерттеу — жер асты цозгалыстыц резонансты жагдайы болуы мумкт, осы жумыс мундай жагдайларды аныцтауга багытталган.
The moving transport load in a tunnel creates oscillations in the surrounding rock mass; their study is one of the major problems of underground buildings. Thus, the present paper is devoted to definition of the resonance conditions of the tunnel that can appear in this case.
98
