CC BY
14Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского
Серия «Физико-математические науки» Том 23 (62) № 2 (2010), с. 1-7.
УДК 517.9
О. В. Анлшкин, А. В. Шульгин
ВЛИЯНИЕ ЗАПАЗДЫВАНИЯ НА УСТОЙЧИВОСТЬ КВАДРАТИЧНОГО РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ
Рассматривается задача об устойчивости квадратичного разностного уравнения с постоянным запаздыванием. Коэффициенты уравнения являются почти-периодическими функциями дискретного аргумента. Исследование проводится путем построения так называемой возмущенной функции Ляпунова. Получены достаточные условия устойчивости исследуемого уравнения в виде числового индекса, формула которого показывает характер зависимости от коэффициентов уравнения и величины запаздывания.
Ключевые слова: разностные уравнения с запаздыванием, критерий устойчивости, прямой метод Ляпунова.
Введение
Разностные уравнения с запаздыванием сравнительно легко сводятся к разностным уравнениям без запаздывания более высокого порядка. Но такое сведение всегда предполагает фиксацию величины запаздывания, определяющего порядок нового уравнения. Это значительно усложняет изучение зависимости свойств решений от величины запаздывания. Поэтому для уравнений с запаздыванием следует развивать специальные методы исследования.
Для исследования устойчивости разностных уравнений широко применяется метод функций Ляпунова (см., например, работы [1]—[10] и литературу в них). В настоящей статье применен метод обобщенных функций Ляпунова, развитый для неавтономных разностных уравнений с запаздыванием, записываемых в специальной форме, охватывающей все возможные типы зависимости от запаздывания [2, 3].
Получены близкие к необходимым достаточные условия устойчивости квадратичного разностного уравнения с постоянным запаздыванием и почти-периодическими коэффициентами.
Постановка задачи
Пусть Z есть множество всех целых чисел, J[а, b] С Z — множество целых чисел на сегменте [а, b] С R, N — множество натуральных чисел. Обозначим Mp пространство отображений множества J[— p, 0] в Rn. Любое такое отображение определяется заданием вещественной n х (p + 1)-матрицы ^ = (<^(—p),..., ^(0)). Введем в линейном пространстве Mp норму ||^>|| = max{|^>(s)| : s € J[—p, 0]}, где | ■ | есть какая-либо норма в Rn. Для данной последовательности x : Z ^ Rn, k ^ x(k), обозначим x[k] элемент пространства Mp, определенный как отрезок последовательности x: x[k](s) = x(k + s), s = —p,..., 0.
Мы будем рассматривать разностные уравнения с запаздыванием, записанные в форме
Ax(k) = f(k,x[k]), k = ct,ct + 1,..., (1)
где x = (x1,..., xn), Ax(k) = x(k + 1) — x(k), функция f : ZxMp ^ Rn для каждого k € Z определена в области BPH = {||^>|| < H} С Mp и существуют постоянные M > 0 и d0 > 1 такие, что |f (k, <^)| < M||^>||do для всех k € Z, ^ € BH. Обозначим
Av|(1) (ct, = v(ct + 1, x(ct, <^)[ct + 1]) — v(ct,
первую разность вперед функции v : Z x Mp ^ Rn в силу уравнения (1). Здесь
x(ct, обозначает решение уравнения (1), удовлетворяющее условию
x(ct,^)[ct] = ^
Пусть ex есть функция-константа из пространства Mq, т.е. ex(s) = x, для — q < s < 0. Для числовой функции Ф : Z х Mp ^ R, (t, ^ Ф(£, ^>), обозначим
1 N-1
Ф(x) = Мк{Ф}(x) = lim — V Ф(k, ex) (2)
N^OO N i-'
k=0
среднее .значение функции Ф по k на Z+ при постоянном значении второго аргумента, если указанный предел существует. Среднее ф есть числовая функция, заданная в Rn, или константа, если Ф зависит только от k.
В статье рассматривается квадратичное разностное уравнение
Ax(k) = a(k)x2(k) + b(k)x(k)x(k — h) + c(k)x2(k — h) (3)
с постоянным запаздыванием h > 0. Коэффициенты уравнения — почти-периодические функции вида
a(k) = ^ avexp(ivk), b(k) = ^ bvexp(ivk), c(k) = ^ cvexp(ivk), (4) veN v eN veN
где i2 = —1, av, bv, cv — комплексные числа, причем a-v и av комплексно сопряжены, то же верно и в отношении bv, cv. Предполагается, что множество N обладает
свойствами: N С М, N = —N, 0 € N, множества N и N + N не содержат чисел, кратных 2п.
Если среднее Мк {а(й)+Ь(й)+с(й)} суммы коэффициентов уравнения (3) отлично от нуля, то легко показать, что уравнение (3) имеет неустойчивое нулевое решение. Поэтому мы предполагаем, что среднее суммы коэффициентов равно нулю
Мк {а(£) + Ь(£) + с(£)} = а + 6 + с = 0.
Частный случай, когда а = Ь = сС = 0, был исследован в недавней статье авторов [6]. В настоящей работе мы не накладываем никаких ограничений на индивидуальные средние а, Ь и С, кроме условия раавенства нулю их суммы.
Условия устойчивости Далее будем использовать более компактные обозначения: х' = х(& + 1), х = ж(&), хк = х(& — Л,). В этих обозначениях уравнение (3) примет вид
Ах = ах2 + Ьххк + схк (5)
Слегка преобразуем правую часть этого уравнения. Обозначим
а = а — а, Ь = Ь — Ь, с = с — С,. Теперь правую часть (5) можно представить в следующем виде
ах + Ьххк + сх^ =
= ах2 + Ьххк + схк + (а + Ь + с)хк + а(х2 — хк) + Ьхк(х — хк) =
= ах2 + Ьххк + схк + [а(х + хк) + Ьхк](х — хк). (6) Принимая во внимание (6) и равенство
к к
х — хк = Ах« = 5^(ах2 + Ьх5х5+к + сх2+к), (7)
8=1 8=1
запишем уравнение (5) в виде
Ах = ах2 + Ьххк + схк + [а(х + хк) + Ьхк] ^(ах2 + Ьх8х8+к + сх2+к). (8
к
?2 + Ьх8х8Н- 1 -™2
8х8+к + Сх«
8=1
Таким образом мы видим, что главные в малой окрестности нуля фазового пространства (д > 2Л.) уравнения (8) квадратичные слагаемые в правой части (8) имеют коэффициенты а, Ь, с с нулевым средним. Поэтому после приведения уравнения (5) к виду (8) мы можем воспользоваться рассуждениями работы [6].
Обозначим
к-1 к-1 А(к) = £а(а), ВД = £б(в), С(к) = £ф). (9)
8=0 8=0 8=0
Чтобы получить условие, при котором нулевое решение уравнения (8) асимптотически устойчиво, возьмем за основу конструкции подходящей функции Ляпунова квадратичную функцию У0 = х2/2. Вычисляя первую разность функции У0 в силу уравнения (8), получим
~ ~ (Дж)2 ^
ДУ0|(8) = ах3+Ъх2хн+---|-х[а(х+хн)+Ъхн] Удах2+Ъх8х8+н+сх2+н) =
8=1
(Дх)2 н
= Ф0(к, х[к]) +--2--+ х[а(х + хн) + Ъхн] ^(ах2 + Ъх8х8+н + сх2+н). (10)
8=1
Среднее Ф0(х0) = 0. Для уничтожения в (10) слагаемого Ф0(к,х[к]) с нулевым средним построим возмущенную функцию [6]
V (к, х[к]) = У0(х(к)) + и(к, х[к]),
где возмущение и(к,х[к]) имеет такую же структуру как и Ф0(к,х[к]):
и(к, х[к]) = - а4'х3 + вВ'х2х^ + (7/хх| .
При таком выборе коэффициентов возмущения и(к,х[к]) получим
(Дх)2
Д^|(8) = - а4/Д(х3) - вВ/Д(х2х^) - (7/Д(хх|) +
н
+ х[а(х + хн) + Ъхн] ^(ах2 + Ъх8х8+н + сх2+н). (11)
8=1
Оставляя в выражениях для первых разностей в правой части последней формулы, только одночлены наименьшей (4-й) степени, получим
Д^|(8) =Ф1(к,х[к]) + ... =
(Дх)2
2
За4/х2Дх + вВ/(2ххнДх + х2Дхн) + С4/(2ххнДхн + хНДх)
н
22
+
+ х[а(х + хн) + Ъхн] ^(ах2 + Ъх8х8+н + сх2+н) +---- (12
8=1
Учетывая, что среднее (2) выражения
н
?[а(х + хн) + Ъхн] ^(ах2 + Ъх8х8+н + сх2+н)
8=1
равно нулю, получим такую же формулу для среднего Мк{Ф1(к, еХ0)}, что и в частном случае, рассмотренном в [6]:
Мк{Ф1(Л, ехо)} = = 4Мк{ (й + Ь2+ С)2 -
- (ЗА' + 213' + С')(а + Ь + с) - (2(7' + 5')(аЛ + Ьк + ск)}. (13)
Из теорем об устойчивости, приведенных в [6] следует, что характер устойчивости нулевого решения уравнения (3) определяется знаком индекса устойчивости I: при I < 0 нулевое решение асимптотически устойчиво, при I > 0 — неустойчиво.
В [6] получена явная формула зависимости индекса устойчивости I от коэффициентов разложений и запаздывания Л, если функции а, Ь, с имеют вид (4):
I = -2 \аи + Ьу + Су |
уеЫ ,у>о
2 (|Ь 12 + 2|с |2)С°8(^(Л + 1)/2) 8Ш(УЛ/2) ,
2 4- (|Ьу1 +2|с"1 ) 8Ш(^/2) +
УбЫ ,у>0 у ' '
1- е^
+ ^ 1(а-^ + С—V)Ьу + 2(а—у + Ь—у)су] ^^^• (14)
Из этой формулы следует, что слагаемые, образующие правую часть уравнения (5), по-разному влияют на устойчивость. Важнейшую роль в стабилизации нулевого решения играет первое слагаемое, не зависящее от запаздывания. В указанных предположениях уравнение (5) имеет асимптотически устойчивое нулевое решение при любом запаздывании и любых коэффициентах Ь и с, если ^\а,
2
V \
достаточно велика. Неустойчивость нулевого решения имеет место только при наличии запаздывания Л.
Чем же отличается общий случай, расмотренный в настоящей работе, от частного случая [6]? Анализируя доказательства теорем об устойчивости, опубликованные в [2, 3]. можно заметить, что максимум абсолютной величины среднего значения коэффициентов рассматриваемого уравнения существенно влияет на величину области притяжения асимптотически устойчивого нулевого решения в случае отрицательности индекса устойчивости. Это наблюдение полностью подтверждается вычислительными экспериментами, которые проводились с конкретными уравнениями вида (5). С увеличением максимума абсолютных величин индивидуальных средних а, Ь, а область притяжения уменьшается. Детальному анализу численных экспериментов авторы планируют посвятить отдельную статью.
Заключение
В работе используется метод исследования устойчивости нелинейных разностных уравнений с запаздыванием, основанный на построении обобщенной функции Ляпунова. Найдены условия устойчивости (13) для скалярного квадратичного уравнения с почти-периодическими коэффициентами и постоянным запаздыванием в общем случае произвольных средних значений коэффициентов уравнения. Полученные условия устойчивости близки к необходимым, т.к. вывод об устойчивости не удается сделать только в исключительных случаях, когда выражение для индекса устойчивости (14) обращается в нуль.
Список литературы
[1] Анашкин О.В. Достаточные условия устойчивости для одного класса разностных уравнений / О.В. Анашкин // Динамические системы. - 2001. - Вып. 17. - C. 46-52.
[2] Анашкин О.В. Функции Ляпунова в теории устойчивости нелинейных разностных уравнений с запаздыванием / О.В. Анашкин // Дифференц. уравнения. - 2002. - Т. 38, No. 7. - C. 976-978.
[3] Анашкин О.В. Достаточные условия устойчивости для одного класса нелинейных разностных уравнений с запаздыванием / О.В. Анашкин // Ученые записки ТНУ, серия матем., мех., информатика и кибернетика. - 2006. - T.19(58), No.2. - C. 12-19.
[4] Анашкин О.В. Об устойчивости разностных уравнений с запаздыванием / О.В. Анаш-кин, Й. Диблик // Динамические системы. - 2007. - Вып. 23. - C. 113-122.
[5] Богданов А.Ю. Исследование устойчивости почти-периодической дискретной системы на основе прямого метода Ляпунова и метода предельных уравнений / А.Ю. Богданов // Матем. моделирование. - 2009. - Т.21, No.1. - С. 25-32.
[6] Шульгин А.В. О реализации алгоритма исследования устойчивости разностного уравнения на языке компьютерной алгебры MAXIMA / А.В. Шульгин, О.В. Анашкин // Динамические системы. - 2009. - Вып. 27. - C. 151-160.
[7] DiblikJ. Combination of Liapunov and retract methods in the investigation of the asymptotic behavior of solutions of systems of discrete equations / J. Diblik , I. Hlavickova // Dynam. Systems Appl. - 2009. - V.18, No. 3-4. - P.507-537.
[8] Diblik J. Khusainov D. Ya., Grytsay I. V., Smarda, Z. Stability of nonlinear autonomous quadratic discrete systems in the critical case / J. Diblik, D. Ya. Khusainov, I. V. Grytsay, Z. Smarda // Discrete Dyn. Nat. Soc., 2010, Article ID 539087, 23 p.
[9] Grytsay I.V. Instability of a zero solution of the difference system with the quadratic right-hand side / I.V. Grytsay, T. D. Khusainov // Stud. Univ. Zilina, Math. Ser., 2003. -V. 17, No. 1. - F. 87-92.
[10] Zhang S. A New Razumikhin Theorem for Delay Difference Equations / S. Zhang, M.-P. Chen // Computers and mathematics with applications. - 1998. - V. 36. - P. 405-412.
Вплив затзнення на стшкшть квадратичного р1зницевого р1вняння
Розглядаеться задача про стгйкгсть квадратичного ргзницевого ргвняння з постгйним запгзненням. Коефгцгенти ргвняння е майже-пергодичними функцгями дискретного аргументу. Дослгдження проводиться шляхом побудови так званог збуреног функцгг Ляпунова. Отримано достатнг умо-ви стгйкостг дослгджуваного ргвняння у виглядг числового гндексу, формула якого показуе характер залежностг вгд коефгцгентгв ргвняння г ве-личини запгзнення.
Ключов1 слова: р1зницев1 р1вняння i3 зашзненням, крггерш сгшкоста, прямий метод Ляпунова.
Influence of delay on stability of the quadratic difference equation
The problem of staMUty of a quadraUc difference equaUon wUh constant delay гз consгdered. Coeffidents of the equaUon are quasг-perгodгc functions of a dscrete argument. The study гв carried out by constructing the so-called perturbed Lyapunov function. We obtaгn sufficient conations for staMUty of the equation гn the form of a numeric гndex, a formula wMch shows the dependence on coeffitients and the magmtude of the delay.
Keywords: delay difference equations, stability criterion, Lyapunov's direct method.
