Некоторые признаки устойчивости системы неавтономных разностных уравнений с запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

Koshkin E.V. FINITE APPROXIMATIONS FOR STABILIZATION PROBLEM OF PERIODIC SYSTEMS WITH AFTEREFFECT

Stabilization problem for linear periodic system of differential equations with aftereffect and quadratic performance criterion is considered. Relation between it’s stabilization approximating problem and the same one for autonomous linear system of difference equations is obtained.

Key words: optimal stabilization; systems of linear periodic differential equations with aftereffect; approximating operators; feedback control.

УДК 517.929

НЕКОТОРЫЕ ПРИЗНАКИ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ НЕАВТОНОМНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ © А.Ю. Куликов

Ключевые слова: разностные уравнения; уравнения с запаздыванием; устойчивость.

Для системы разностных уравнений с переменной матрицей коэффициентов и одним переменным запаздыванием получены достаточные признаки устойчивости, выраженные в терминах оценок ее функции Коши.

Обозначим N0 = N и{0}, = {(п,т) € N0 : п ^ т}, Z- = {п € ^ : п ^ 0}, М+ = [0, то),

Сг — г -мерное комплексное пространство, <СГХГ —пространство комплексных матриц, размерности г х г. Символом | • | будем обозначать норму г -мерного вектора и согласованную с ней норму г х г -матрицы.

Рассмотрим систему разностных уравнений

х(п + 1) — х(п) + А(п)х(п — Н(п)) = 0, п € (1)

где А : N ^ сгхг —матрица-функция; Н : N ^

Функция Коши ( фундаментальное решение) (см. [1], [2]) системы (1) есть матрица-функция К : ДN ^ <СГХГ, которая при каждом т € N0 является решением системы

К(п + 1, т) — К(п, т) = —А(п)К(п — Н(п), т), п ^ т,

с начальными условиями К(т,т) = Е, К(п,т) = 0, п<т, где Е и 0 —соответственно, единичная и нулевая г х г -матрицы.

Решение системы (1) с начальной функцией £ : Z- ^ Сг имеет представление

П — 1

х(п) = К(п, 0)£(0) — ^ К(п, г + 1)А(г)£*(г — Н(г)), п € N.

г=0

где £*(г)= £(г) при г< 0 и £*(г)=0 при г ^ 0, в силу которого, устойчивость уравнения

(1) определяется асимптотическими свойствами функции Коши.

ГО

Теорема 1. Пусть ^ | А(п) | < то. Тогда функция Кощи уравнения (1) равномерно

п=0

ограничена, т. е. при некотором М > 0 для любых (п, т) € Дк выполнено неравенство

1К(п, т)1 ^ М,

2563

при этом для любого е> 0 найдется l> 0 такое, что при всех n и т, удовлетворяющих неравенству n ^ т ^ l, справедлива оценка \K(n, т) — Е\ < е.

Следствие! Пусть выполнены условия теоремы (1). Тогда тривиальное решение уравнения (1) равномерно устойчиво и имеет предел: lim x(n) = y € Cr.

Рассмотрим уравнение вида (1) с матрицей A(n) = Ap(n), где p: No ^ R+.

x(n + 1) — x(n) + Ap(n)x(n — h(n)) = 0, n € N0. (2)

Т е о р е м а 2. Пусть для любого собственного числа X матрицы A выполнено неравенство

2

и^<х>

|А|2 lim У p(i) < Re(X).

n^tt ' ^

i=n-h(n)

Тогда существуют такие М, ^> 0, что при любых (п, т) € Дм для функции Коши уравнения (1) справедлива оценка

IK(n,m)l ^ M exp I —j Е р») ■ (3)

\ i=m /

Теорема 3. Пусть 1 ^ H = sup h(n) < ж и для любого собственного числа А матрицы

n^No

A выполнено неравенство

IA sup p(n)I2H < 1 — |1 — А inf p(n)l.

neN0 n&No

Тогда существуют такие M, y> 0, что при любых (n, m) Є An для функции Коши уравнения (2) справедлива оценка (3).

n

Теорема 4. Пусть lim p(n) = 0 и существует lim p(i) = а. Тогда если

n^tt n^tt ■ і / \

i=n-h(n)

для любого собственного числа А матрицы A выполнено неравенство

П

а|А| < 1 arg А| - 2,

то существуют такие M,j> 0, что при любых (n,m) Є An для функции Коши уравнения

(2) справедлива оценка (3).

Теорема5. Пусть матрица A имеет вещественный спектр, H = sup h(n) ^ ж и

n^No

для любого собственного числа А матрицы A выполнено неравенство

____ n 3 і

А lim У p(i) < - +---------------.

n^ ^ 1 2 2H + 2

i=n-h(n)

Тогда существуют такие M, y> 0, что при любых (n, m) Є An для функции Коши уравнения (2) справедлива оценка (3).

tt

Заметим, что если выполнены условия теорем 2 — 5 и ^ p(n) = ж, то тривиальное

n=0

решение уравнения (2) асимптотически устойчиво.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тептин А.Л. Теоремы о разностных неравенствах для n -точечных разностных краевых задач //Ма-тем. сб. 1963. 62(104):3. С. 345-370.

2564

2. Elaydi S. Periodicity and stability of linear Volterra difference systems. // J. Math. Anal. Appl. 1994. №181. P. 483-492.

Kulikov A.Yu. SOME STABILITY CONDITIONS OF NONAUTONOMOUS DELAY DIFFERENCE SYSTEM

New conditions for stability of the nonautonomous difference system are presented as some estimates of Cauchy matrix (fundamential equation).

Key words: delay difference equations; stability.

УДК 517.988.57, 515.164.3

ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ОБ ОБОБЩЕННОМ СОБСТВЕННОМ ВЕКТОРЕ ПАРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ © О.В. Кунаковская

Ключевые слова: нелинейные операторы; топологические индексы.

Излагается конструкция топологических индексов пары (Fi, F2) нелинейных операторов в банаховом пространстве. Указываются свойства построенных индексов. Приводятся варианты теорем существования решений задачи F2(x) = XFi(x) об обобщенном собственном векторе пары операторов.

В докладе излагаются результаты исследования задачи об обобщенных собственных векторах пары нелинейных операторов, действующих в бесконечномерном пространстве. К рассмотрению собственных функций нелинейных операторов в свое время привели задачи о нелинейных колебаниях, об устойчивости сжатых стержней и др. Возникновение этой задачи обычно связывается с работами А.М. Ляпунова. Задача о собственных векторах нелинейных операторов в функциональных пространствах, впервые, видимо, рассматривалась Дж. Биркгофом и О. Келлогом.

В настоящей работе предлагается метод исследования условий существования обобщенных собственных векторов пары нелинейных операторов, действующих в сепарабельном SCr -гладком ( r ^ 2 ) банаховом пространстве E с базисом (в частности, в гильбертовом), основанный на конструкции топологических индексов особенностей пары гладких сечений векторных расслоений, обобщающей конструкцию индексов краевых индексов 1-форм (векторных полей) В.И. Арнольда. Работа была начата под руководством проф. Ю.Г. Борисовича, первый цикл публикаций — [1]—[5]. На основе разработанной теории топологических индексов получены достаточные условия существования решений уравнений

Fi(x) =0, x € W, (1)

F2(x) =0, x € W, (2)

F2 (x) = AFi(x), x € dW,X € R, (3)

в выбранном (+)-допустимом множестве X С W пар операторов описываемых ниже типов (F1,F2). Здесь W — область в E с SCr -гладкой границей [6]. Пусть

S+(Fi,F2) = O(Fi) U O(F2) U O+(Fi,F2),

2565