CC BY
41
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И
Т о м VII
197 6
М 4
УДК 629.7.015.3.036 533.697.2
ВЛИЯНИЕ ЗАКОНА ОТРАЖЕНИЯ МОЛЕКУЛ ОТ СТЕНОК КАНАЛА НА ХАРАКТЕРИСТИКИ СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОГО ВОЗДУХОЗАБОРНИКА
Методом Монте-Карло проведен расчет коэффициентов сжатия и коэффициентов расхода свободномолекулярного воздухозаборника квадратного поперечного сечения. Использована полуэмпирическая теория отражения молекул от стенок канала воздухозаборника, основанная на модели .твердых сфер'. Получены характеристики для воздухозаборников различных длин. Приведено сравнение с характеристиками воздухозаборника, рассчитанными на основании закона диффузного отражения.
При расчете свободномолекулярного течения газа в трубах, насадках и воздухозаборниках обычно используется предположение о диффузном характере отражения от стенок канала [1—4, 9—10].
Однако эксперименты по отражению молекул газа от различных твердых поверхностей показывают в ряде случаев значительное отклонение от закона диффузного отражения и появление преимущественного рассеяния вперед [5]. В настоящей работе сделана попытка расчета характеристик свободномолекулярного воздухозаборника с учетом отклонений от диффузного закона отражения.
Расчет производился в предположении справедливости основных положений полуэмпирической теории отражения [6],-основанной на модели „твердых сфер“ [7 и 8]. Модель включает в себя следующие основные положения [8]:
— поверхность, на которую падают молекулы,— идеально-кристаллическая; атомы поверхности до взаимодействия с падающими молекулами находятся в состоянии покоя. Это положение можно считать практически выполнимым при больших энергиях падающих молекул, т. е. при выполнении соотношения
где Е0 — энергия падающей на поверхность молекулы;
Бір — энергия теплового движения атома поверхности.
Тогда имеются все основания пренебрегать энергией теплового движения атомов поверхности;
— атомы поверхности взаимодействуют с молекулами газа, как отдельные независимые частицы. Силы взаимодействия между атомами поверхности до удара пренебрежимо малы. В этом случае соударения между атомами поверхности и молекулами налетающего газа можно рассматривать как соударения бильярдных шаров.
Полуэмпирическая теория [6] основана на трех основных качественных выводах, следующих из модели абсолютно твердых сфер [7 и 8]:
— энергия отраженной частицы зависит от угла рассеяния р (фиг. 1), монотонно уменьшаясь при возрастании р от 0 до я;
Ю. Е. Кузнецов, Я- Ш. Флаксман
Е0 Е-ур’
(О
— энергия отраженных молекул и их функция распределения зависят в значительной степени от относительной массы [*, определяемой соотношением :}л *= Ме!М-ф, где Мг, Мур — массы падающих молекул газа и атомов стенки соответственно;
— дисперсия скорости отраженных молекул в данном направлении (в, <р) достаточно мала, особенно при малых р.
Фиг. 1
в^-О (диффузныйзакон); в"=30°-, в}"в5а
Фиг. 2
6,-0 {диффузный закон)■ в"=^50, в ”'-6^°
В работе [6] указывалось, что особенно хорошо полуэмпирическая теория согласуется с экспериментом при (ниже расчеты приведены для = 0,2).
В качестве закона пространственного отражения молекул в направлении <0, <р) полуэмпирическая теория [6] использует следующую функцию по телесному углу Й;
со (2) = /(0, у) совес 0; (2)
/(0, Т) = <?(в)Ф(9), (3)
где (?(0) — распределение по полярным углам 0 (фиг. 2);
® (?) — распределение по азимутальным углам <р (фиг. 3).
Для модели абсолютно твердых сфер [6—8]:
Q (6) = Nf>cos (^к — 2Ът я) sln 6’ ^
Г тс 1
причем t) принадлежит интервалу 0min, -у , a 0mjn определяется по формуле
' О, если 0m<JL;
(5)
если 0m>-L,
где 0т определяется соотношением
sin дт = 1 — COS 0Ь (6)
Соотношение (6) справедливо в предположении, что при нормальном падении на поверхность (0j = 0) выполняется диффузный закон отражения [1] (вот=0).
Постоянная Ng определяется из условия нормировки
L г ( в-в™
^9 J C°S { * - 2 6"> 1
те) sin 0 cf6. (7)
TV,
Пример индикатрисы рассеяния по полярному углу 0, построенной на основании формул (4) — (7) для трех различных углов падения ви приведен на фиг. 2.
Распределение по азимутальным углам имеет вид
Ф (?) = exp {c-tg 0-cos (ср — <pj)}. (8)
Постоянная N0 определяется из условия нормировки
1 2 *
дГ-=Г exp {c-tg0-cos (<Р — tfi)} d<f = 2jt/o(<Mg0i), (9>
tS v
• о •
где 0ц <f] — полярный и азимутальный углы падения, /0(х) — функция Бесселя мнимого аргумента, с — полуэмпирическая постоянная порядка единицы (ниже при расчетах принималось с = 1).
Пример индикатрисы рассеяния по азимутальному углу <р, построенной на основании формул (8) и (9) для трех различных углов падения 0j, приведен на фиг. 3.
При расчете принималась температура набегающего потока 7'00 равной температуре стенки Tw. Тогда для энергии молекулы газа до первого соударения со стенкой канала воздухозаборника приблизительно выполняется соотношение
E0^Ewy.S\ (10)
причем Ew~kTw, где k—постоянная Больцмана; 5—относительная скорость набегающего потока (скорость полета), определяющаяся соотношением S=VoaIV!i в (причем Vgg — скорость набегающего потока; Va в — наивероятнейшая скорость теплового движения молекул газа). На основании полуэмпирической теории [6]
энергия отраженных молекул связана с энергией падающих молекул при помощи
коэффициента аккомодации скорости jv при выполнении соотношения (1):
E = E0(l-jv)\ где jv определяется соотношением
(А
jy = .. , ■ [1 —sin 0J sin 0 COS (у — <fj) -j- COS 0J COS 0].
P- I
При расчетах предполагалось, что модель абсолютно твердых сфер, а следовательно, полуэмпирическая теория [6], справедлива для энергий падающих молекул, удовлетворяющих неравенству
E>\0Ew. (11)
При нарушении условия (11) предполагалось диффузное отражение. В качестве основной расчетной величины принята вероятность Р0 j того, что молекула,
вошедшая через входное сечение канала воздухозаборника 0, выйдет через выходное сечение 1. Аналогично вводилась Р1 0. Значения максимальной степени сжатия ешах и максимального коэффициента расхода етах легко выражают через указанные величины [9]:
/тах==^’о,1> (12)
Го° Рол
Т ур Рьо
(13)
Расчеты Р0,1 и Рь0 производились методом Монте-Карло [1]. В набегающем невозмущенном потоке была принята максвелловская функция распределения с температурой атмосферы Тт. Функция распределения отраженных молекул газа описывалась соотношениями (2)—(9). Уравнение дроссельной характеристики воздухозаборника [9] имеет вид
Е /
— + 7— =1- (14)
ь шах Ушах
Построив такие характеристики для различных длин воздухозаборников, получим семейство характеристик. Это семейство имеет огибающую, точки которой являются точками оптимальных режимов воздухозаборников данного класса, которые обладают наибольшей степенью сжатия при данном расходе и наоборот.
На фиг. 4 на основании формул (12) — (14) построено семейство характеристик свободномолекулярного воздухозаборника квадратного поперечного сечения и его огибающая при 5 = 10 с использованием полуэмпирической теории отражения [6], а также огибающая семейства характеристик подобного воздухозаборника, построенная на основании диффузного закона отражения, при той же скорости набегающего полета.
Из фиг. 4 видно, что характеристики воздухозаборника, построенные на основании полуэмпирической теории отражения, лежат выше характеристик воздухозаборника, построенных на основании диффузного закона отражения, во всем диапазоне относительных длин воздухозаборников на 45—50% (длина і отнесена к стороне поперечного сечения а).
В таблице приведены значения Р0,х(5 = 9-н 14) и Р1і0 (5 = 0) для воздухозаборников различных относительных длин в различном диапазоне скоростей набегающего потока (5 = 9-^14), полученные с использованием полуэмпирической теории.
5 Ца
2 4 6 8 10 12
0 0,369 0,241 0,180 0,146 0,121 0,104
9 0,971 0,900 0,814 0,733 0,668 0,597
10 0,977 0,914 0,844 0,763 0,696 0,633
11 0,982 0,927 0,860 0,787 0,727 0,663
12 0,984 0,939 0,880 0,805 0,750 0,686
13 0,986 0,945 0,895 0,832 0,776 0,718
14 0,987 0,951 0,906 0,847 0,792 0,738
Среднеквадратичная погрешность о вычислений величин Р(ы и ^ьо ПРИ идеальном датчике случайных чисел и биноминальном законе распределения результатов статических испытаний равна:
где р — вероятность события, N—число пробных молекул.
При принятом в расчетах N = Ю4 для приведенных в таблице значений Р0,1 и Рьо ошибка получается не выше +0,005.
£
200
100
О
На фиг. 5 построены огибающие семейств характеристик воздухозаборников для различных 5. Как и следовало ожидать, с ростом 5 характеристики воздухозаборников повышаются. '
Полученные выше результаты показывают существенное влияние закона отражения молекул от стенок канала воздухозаборника на его характеристики.
ЛИТЕРАТУРА
1. К о г а н М. Н. Динамика разреженного газа. М., „Наука”, 1967.
2. R о t h е D. Е., de Leew J. Н. A numerical solution for the free molecule impact-pressure probe relations for tubes of arbitrary lenghth. UTIA Report, N 88, December, 1962.
3. Pond H. L. The effect of entrance velocity on the flow of a rarefied gas through a tube. JASS, vol. 29, N 8, 1962.
4. Sparrow F. М., Jonsson V. P., Lundgreen T. S. Free molecular tube flow and adiabatic wall temperature. J. Heat Tranfer, sere., vol. 85, N 2, 1963.
5. Баранцев P. Г. Взаимодействие разреженных газов с обтекаемыми поверхностями. М., „Наука”. 1975.
6. Goodman F. О. Phystcal and empirical models of scattering of gas atoms by solid surfaces. Fluid Dynam. Trans., vol. 6, p. 1, Proc. 10, th. Symp. Adv. Probl. and Meth. in Fluid Mech., Rynia, 1971, Warszawa, 1971.
7. Goodman F. O. Preliminary results of tree-dimensional hardsphe-res theory of scattering of gas atoms from a solid surface. Rarefied Gas Dynam., vol. I, New York — London, 1967.
8. J a с k s о n D. P., French Т. B. High energy scattering of inert gases from well-characterised surfaces, Rarefied Gas Dynam. (Acad. Press, 1969), Suppl. 5, vol. 2.
9. Богомазов В. И., Кузнецов Ю. Е., Носик В. А. О характеристиках цилиндрических воздухозаборников в свободномолекулярном потоке. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 1, № 5, 1970.
10. Боровков И. С., Вершинин И. Д. О коэффициенте расхода воздухозаборника при свободномолекулярном режиме течения. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 1, № 5, 1970.
Рукопись поступила 2jX 1974 г.
