CC BY
39
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Томі 1970
№ 5
УДК 533.6.011.8:532.54/55
О ХАРАКТЕРИСТИКАХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВОЗДУХОЗАБОРНИКОВ В СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОМ ПОТОКЕ
В. И. Богомазов, Ю. Е. Кузнецов, В. А. Носик
На основе суперпозиции решений задач о движении разреженного газа в цилиндрической трубе строятся дроссельные характеристики цилиндрических воздухозаборников для чисел Кнудсена Кп>1. Показано, что такие характеристики имеют линейный вид и что семейство дроссельных характеристик, построенных для заборников различных длин, имеет огибающую, точки которой являются точками оптимальных режимов воздухозаборников данного класса. Вводится понятие воздухозаборников „оптимальной длины" и качественно анализируется зависимость их характеристик от различных параметров. Рассматриваются проблемы стыковки воздухозаборника с потребителем.
В настоящее время имеются хорошо разработанные точные методы расчета движения разреженного газа при числах Кнудсена Кп=оо в каналах и воздухозаборниках различных форм. Подробное описание этих методов и обширная библиография имеются в монографии [1]. Современные методы, ставшие уже классическими, основаны либо на решении интегрального уравнения Клаузинга, либо на анализе движения частиц разреженного газа методом Монте-Карло. Подобными методами движение газа в конических и цилиндрических трубах и воздухозаборниках рассмотрено, например, в работах [2] — [6]. На основе суперпозиции уже опубликованных решений могут быть получены данные о работе свободномолекулярных воздухозаборников в широком диапазоне условий их применения.
Используем метод суперпозиции для расчета характеристик цилиндрического свободномолекулярного воздухозаборника, соединенного с емкостью (фиг. 1). Будем считать, что воздухозаборник имеет длину Ь, радиус
г, ось воздухозаборника парал- ------_1
лельна вектору скорости набе- — »
тающего потока, число Кнуд-------------»
сена в набегающем потоке, под- •
считанное по радиусу воздухозаборника, много больше единицы (Кп » 1), а линейные размеры емкости значительно превышают радиус трубы.
",
муме N
1 к А
»',ТС
I-1 J
Фиг. 1
8:
101
В воздухозаборник поступает поток с параметрами: температурой Тж, концентрацией пао. скоростью Удд. Расход газа набегающего потока через входное сечение равен
мо = ^оо я г* т> (1)
где т — масса молекулы.
Часть расхода Мй, не прошедшая в емкость, вытекает из воздухозаборника навстречу набегающему потоку, оставшийся расход Мс потребляется емкостью. Для наглядности можно считать, что емкость имеет отверстие в вакуум, через которое расход Мс эвакуируется. Газ, находящийся в емкости, характеризуется следующими параметрами; давлением рс, температурой Тс, концентрацией яс.
Ре-Р'
Движение газа в трубе при Мс = 0 (насадок полного напора) рассмотрено в работе [4], где приведена зависимость давления в емкости рс от г)и 5 для Т
= 1 (фиг. 2) в форме
Рс — Р т I г
=ф —
(2)
где р' = роо 25 У тс
3-Г~У:
2 к Тх
Тф — температура стенки.
Введем следующие обозначения: в — отношение концентрации в емкости к концентрации перед входным сечени-
ис
ем воздухозаборника (степень уплотнения потока), *■ = —-—;
00
/—отношение расхода Мс к расходу М0, проходящему через входное сечение
Мс
воздухозаборника,
Данные работы [4] позволяют рассчитать степень уплотнения потока в воздухозаборнике етах при нулевом расходе (/‘=0). Из зависимости (2) следует:
<з>
В работе [5] рассмотрены режимы работы свободномолекулярного заборника при максимальной величине расхода Мс, что соответствует работе в режиме /шах . В этом случае на выходе из воздухозаборника, в емкости, давление рс = О, концентрация пс = 0, чго соответствует истечению в вакуум. В работе [5] при-
Ь 7
ведена зависимость /шах от 5 при -у— = 1 (фиг. 3),
Заимствованные из работ [4] и [5] решения соответствуют двум крайним случаям течения в цилиндрическом воздухозаборнике.
Применим суперпозицию этих решений для построения дроссельной характеристики цилиндрического воздухозаборника (зависимости степени уплотнения г от относительного расхода /) в свободномолекулярном потоке при Т ш/Т'с-На поток, соответствующий режиму /=0 и имеющий параметры М0, п^ ,
■■ 0 [4], наложим другой поток, соответствующий режиму / = /га
« ЛЖ** ** ** Г\ АЛ** ГС1
ющии параметры М0 , пс = 0, Мс [5].
При этом расходы и концентрации сложатся. Обозначив суммарные параметры через М0, «„о , пс и Мс, получим:
.ж* , * , ** * йж ЖЖ**
М0 = М0 + М0; лоо = пм + пс -
М.
Согласно (1) имеем
о
ял*
Мп
*00
*
**
п„
мс = м:
‘О “оо
Учитывая определения для в и / и используя обозначения
* JM**
«С С _ ,
ьшах» 7ZSS~ Imax ■
м:
получаем
1 +
/ = /»
Ml
Ml
к
Ml
м'
Ml
откуда имеем уравнение дроссельной характеристики
Є /
■ +
fm
= 1,
(5)
шах ■'max
где emax и /тах рассчитываются по формулам (3) и (4).
/?'
Г-1
e=*f
* Jtatiovaz mt/vxa
. Omntt мамы/ый режим "'vn. мівряа/іа
/Ur=S0\
AS
* f 10
Фиг. 3
Фиг. 4
Из уравнения (5) видно, что дроссельная характеристика воздухозаборника имеет линейный вид. Это обусловлено пропорциональностью в изменениях расходов и концентраций.
Дроссельная характеристика позволяет решить вопрос, в каком режиме будет работать воздухозаборник, если известна характеристика потребителя. Например, если потребителем является емкость достаточно большого размера, имеющая отверстие в вакуум, то ее характеристикой будет прямая линия, удовлетворяющая уравнению е = к/, где к — некоторая постоянная величина. Рабочая точка заборника определяется пересечением дроссельной характеристики заборника и характеристики потребителя (фиг. 4).
103
Используя уравнение (5), построим в системе координат г, / дроссельные характеристики для цилиндрических воздухозаборников различной длины, работающих в одних и тех же условиях (5, Т). Видно, что полученное семейство дроссельных характеристик имеет одну общую огибающую (см. фиг. 4).
На любой дроссельной характеристике ^для примера на фиг. 4 взято—= 10^
можно указать три наиболее характерные точки:
точка Л (/ = 0, £ = етах);
точка В (/ = /тах, £ = 0);
точка С (г = е0р4) — точка касания характеристики огибающей.
Заборник с параметрами, соответствующими точке С, является оптимальным в классе рассматриваемых заборников. Он имеет наибольшую степень сжатия при заданном расходе и, наоборот, наибольший расход при заданной степени сжатия. Точка С делит дроссельную характеристику на две ветви: правую и левую. Заборник, соответствующий левой ветви, хотя и не является оптимальным (недобор давления при заданном расходе), но имеет длину меньшую, чем другой цилиндрический заборник, характери стика которого проходит через любую точку этой левой ветви. Заборнику, соответствующему правой ветви характеристики, можно поставить в соответствие другой заборник, у которого будут те же самые характеристики, но меньшая длина.
Повышение давления перед потребителем можно объяснить следующим образом. Молекулы набегающего потока, имеющие большую продольную составляющую скорости, попав во входное сечение воздухозаборника, проникают на много калибров внутрь канала до столкновения со стенкой. Так как коэффициент расхода меньше единицы, часть входящего потока вытекает обратно через входное сечение. Этот поток имеет хаотическое распределение скоростей и может продвигаться ко входному сечению только за счет градиента давления, что и создает в глубине трубы повышенное давление. Рассмотренная схема отличается от механизма сжатия в сплошной среде, где восстановление давления происходит за счет количества движения набегающего потока.
Указанная специфика сжатия в свободномолекулярном воздухозаборнике позволяет легко объяснить влияние отдельных параметров на характеристики этого воздухозаборника. Уменьшение 5 соответствует относительному увеличению тепловой скорости молекул набегающего потока. В этом случае входящий поток более энергично взаимодействует со стенками и проникает в заборник на сравнительно меньшую глубину, в результате чего для выталкивания части потока назад, ко входному сечению, требуется меньший перепад давления, а это ведет к снижению степени уплотнения и уменьшению длины воздухозаборника.
Уменьшение Т приводит к уменьшению тепловых скоростей в канале воздухозаборника. В связи с этим для проталкивания части потока, возвращающейся в атмосферу, требуются большие градиенты плотности, т. е. возрастает степень уплотнения воздухозаборника.
ЛИТЕРАТУРА
1. К о г а н М. Н. Динамика разреженного газа. М., „Наука“, 1967.
2. Отмахов а И. П. Течение разреженного газа через диффузор (конфузор). „Вестник МГУ. Математика, механика*, VII—VIII, № 4, 1968.
3. Боровков И. С., Вершинин И. Д. О коэффициенте расхода воздухозаборника при свободномолекулярном режиме течения. См. настоящий номер .Ученых записок ЦАГИ“.
4. Roth е D. Е., de Leew J. Н. A numerical solution for the free molecule impact-pressure probe relations for tubes of arbitrary lenghth. UTIA Report, № 88, December, 1962.
5. Pond H. L. The effect of entrance velocity on the flow of a rarefied gas through a tube. JASS, v. 29, № 8, 1962.
6. Спэрроу E. М., Джонсон В. К. Свободномолекулярное течение в трубе и адиабатическая температура стенки. „Теплопередача", Тр. Амер. общества инженеров-механиков, 1963, N° 2.
Рукопись поступила 6/Х 1969 г.
