Влияние высокочастотных вибраций на конвекцию молекулярной бинарной смеси Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013 Серия: Физика Вып. 1 (23)

УДК 536.25

Влияние высокочастотных вибраций на конвекцию молекулярной бинарной смеси

С. М. Ишутова, Б. И. Мызниковаb, Б. Л. Смородинa

a Пермский государственный национальный исследовательский университет 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 E-mail: [email protected]

b Институт механики сплошных сред, 614013, Пермь, ул. Академика Королева, 1

Исследованы нелинейные волновые и стационарные течения несжимаемой жидкостной смеси, возникающие в плоском горизонтальном слое, при постоянной разности температур на непроницаемых, жестких границах. Предполагается, что смесь обладает аномальным эффектом термической диффузии Соре. Изучены режимы конвекции в отсутствии и при наличии вибраций, направленных под произвольным углом к горизонтальной оси. Найдены критические параметры Рэлея, характеризующие возникновение конвекции, границы волновых и стационарных режимов. Проанализирована зависимость структуры полей осредненной и пуль-сационной функции тока и концентрации от угла наклона вибраций.

Ключевые слова: бинарная смесь; термодиффузия; вибрации

1. Введение

В случае термовибрационной конвекции неустойчивости может возникать даже в невесомости [1-4]. Широкое разнообразие вибрационных явлений в конвекции связано с влиянием вибрационного воздействия на массо- и теплоперенос в гравитационном поле Земли [3]. В зависимости от характеристик вибрационного воздействия устойчивые конвективные течения могут потерять устойчивость, и наоборот неустойчивые течения могут оказаться стабильными. В целом влияние вибраций на течение жидкости характеризуется амплитудой колебаний, частотой и направлением оси вибраций. В [3] подробно рассмотрены теоретические модели и экспериментальные исследования тепловой вибрационной конвекции. При высокочастотном воздействии, когда период колебаний меньше, чем характерные времена системы, для вывода основных уравнений конвекции целесообразно использовать процедуру усреднения [5]. Амплитуда и частота колебаний в этом случае объединяются в один безразмерный параметр, называемый вибрационным числом Релея, который также называют числом Г ершуни [4]. Конвективная неустойчивость горизонтального слоя бинарной смеси под действием поперечных

колебаний была впервые изучена в [6], но без учета эффекта термодиффузии. Взаимосвязь конвективных течений и эффекта термодиффузии в бинарных смесях должна учитываться в различных технологических процессах, таких как, например, разделение изотопов или фракций в нефтехимической промышленности. Теория конвекции в бинарных смесях представляет собой приближении Буссиненска с учетом диссипативных процессов диффузии и термодиффузии [7]. Устойчивость горизонтального слоя бинарной смеси, ограниченного жесткими непроницаемыми границами, при наличии термодиффузии и под действием продольных вибраций, была рассмотрена в [8,9].

В данной статье основное внимание уделяется вибрационной конвекции несжимаемой бинарной смеси, которая заполняет горизонтальный слой жидкости и подвергается гармоническим высокочастотным вибрациям, ось которых находится под произвольным углом к горизонтальной оси.

2. Постановка задачи

Рассмотрим бесконечный плоский горизонтальный слой, ограниченный двумя параллельными жесткими пластинами г = 0; к (рис.1). Ось x декартовой системы координат направлена вдоль

© Ишутов С. М., Мызникова Б. И., Смородин Б. Л., 2013

25

слоя. На пластинах поддерживаются постоянные разные температуры: T (г = 0)=© , T (г = к) = 0. Слой заполнен бинарной смесью, состоящей из нереагирующих компонент и его границы непроницаемы для этих компонент. Изначально смесь однородна, но за счет эффекта термодиффузии возникает градиент концентрации.

T << min

V

где V их - коэффициенты кинематической вязкости и температуропроводности, соответственно; Б - коэффициент диффузии.

Уравнения для средних скорости и, температуры Т, концентрации С и дополнительной переменной ш, которая медленно меняется со временем, получаются при помощи стандартной процедуры усреднения [4], примененной к уравнениям конвекции в приближении Буссинеска.

При обезразмеривании используем следующие масштабы: к - толщина, к2 /х2 - время, %/ к - скорость, © -температура, рТ © / рс - концентрация,

р-vх /к2 - давление.

Осредненную систему уравнений можно записать в виде

—— + — (vV)v = -Vp + Ди + Ra(T + C)n + Pr dt Pr

+ Gs(wV)[(T + C )n - w],

— + (uV)T = ДТ,

dt v '

dC

+ (u V)C = LeД(C - yT),

(1)

Рис. 1. Геометрия задачи

Уравнение состояния смеси может быть записано в виде

р = р(1 - Ртт - Рсс), где р - плотность смеси при определенных средних значениях температуры и концентрации; Т и с- отклонения температуры и концентрации от своих средних значений; рТ и рс - тепловой и концентрационный коэффициенты расширения. Если предположить, что С - концентрация легкой компоненты, то получим Рс > 0 .

Слой находится в статическом гравитационном поле g = -gY (у -это единичный вектор вверх) и подвергается гармоническим колебаниям с осью, направленной под углом а к слою. О - угловая частота и Ь- амплитуда колебаний. Будем рассматривать предельный случай высоких частот (но ниже акустических) вибраций с периодом Т , который много меньше гидродинамических, тепловых и концентрационных характерных времен системы:

,2 "

div v = 0, div w = 0 , rot w = V(T + С)xn = 0 , где p -давление; Ra = gpT®h3 lv% - число Релея; Gs = (ftQpr©h)21 2vx - число Гершуни; Pr = v l x -число Прандтля; Le = D l x - число Льюиса и ц = -apC l pT - параметр разделения смеси.

Система уравнений, описывающих движение смеси (1), включает в себя дополнительные вибрационные силы, которые зависят от медленной переменной w, от неоднородностей температуры T и концентрации C. Это учтено за счет уравнения диффузии, в котором неоднородность температуры приводит к увеличению неоднородности концентрации и за счет эффекта термодиффузии, интенсивность которого характеризуется параметром Соре ц .

Знак параметра разделения смеси указывает на направление потока вещества при термодиффузии. Рассмотрим случай у<0 (аномальная термодиффузия или отрицательный эффект Соре), когда легкая компонента передвигается в направлении, противоположном направлению градиента температуры.

Задача, представленная системой уравнений (1), имеет квазиравновесное решение, описывающее линейное поле w , среднюю температуру и концентрацию:

,0,0),

T = 1 - z, dC0

= -y, w = (щ

0x

dz

w0x =-(1 + y)(z-1l2)cosa.

(2)

Когда а = п / 2, система может находиться в состоянии равновесия и ш0 = 0 [8].

Для численного решения задачи термовибрационной конвекции в виде валов, направленных вдоль оси у, вводятся две функции тока ¥, Б и функция завихренности ф, связанные со скоростями в следующем виде

dW

dz '

dW

dx ’ dF

(3)

dF

wx =—, wx =-dz dx

Система основных уравнений принимает вид:

1 dm 1 fd¥d® dTdffll , л d(T + C)

----— +—<---------—---------— ^ = Дт + Ra—----- +

Pr dt Pr I dz dx dx dz I dx

Ux =

+ Gs<соБа

+ Б1П а

д(Т + С) д2^ д2^ д(Т + С) дг дхдг дг2 дх

д(Т + С) д2^ д2^ д(Т + С)

дх дхдг дх2

дг

дТ дТ дТ д/ дг дх

дТ дТ

----------= ДТ,

дх дг

(4)

йс + 5Т5С _5Т5Т = 1ед(с _ц ), д/ дг дх дх дг

<р = _ДТ,

д(Т + С) д(Т + С) .

Д^ =----1----- соБа + —------ Б1па .

дг дх

Система (4) имеет граничные условия:

дТ дС дТ

г = 0 .• Т = 0, — = 0^ = 0,Т = 1, — _ц — = 0,

дг дг дг

дТ дС дТ

г = 1: Т = 0, — = 0^ = 0,Т = 0, — _ц — = 0.

дг дг дг

Эти условия соответствуют непроницаемым, изотермическим горизонтальным границам без проскальзывания. Вертикальные границы рассматриваются как периодические

Для получения приближенного решения системы уравнений (4) с начальными и краевыми условиями в частных производных применяется метод конечных разностей. Расчет полей завихренности, температуры и концентрации осуществлен с использованием неявной схемы продольно-

поперечной прогонки метода дробных шагов. Все вычисления были выполнены на сетке 42 х 21. Дальнейшие уточнения сетки не оказали существенного влияния на характеристики течений. Чтобы сравнить численные результаты, представленные в этой статье с известными экспериментальными, аналитическими или численными результатами других авторов, использовалось относительное число Рэлея г = Ка / Яа0 (как, например, в [10]), где Ка0 = 1686- критическое число Рэлея, при котором конвекция возникает в однородной жидкости.

3. Численные результаты

Рассмотрим нелинейную эволюцию конвективной структуры в бинарной смеси, при нагревании снизу. В расчетах мы использовали типичные для молекулярной жидкостной смеси параметры: число Льюиса Ьг = 0.01, число Прандтля Рг = 10 и параметр разделения ц = _0.25 . Этот набор параметров соответствует бинарной смеси этанол- вода [9].

Бифуркационные диаграммы, отражающие режимы устойчивых (сплошные линии) и неустойчивых бегущих волн (штриховые линии), представлены на рис. 2 для различных значений числа Гершуни. Они иллюстрирует зависимости макси-

мальной вертикальной скорости и частоты бегущей волны о от относительного числа Рэлея г . Конвекция бинарной смеси возникает колебательным образом при г=г08С в результате обратной бифуркации Хопфа. В точке г™ бегущая волна теряет устойчивость и устанавливается теплопроводный режим. При увеличении числа *

Релея до значения г , соответствующего обращению частоты бегущей волны в ноль, устанавливается режим онотонной конвекции.

Из рис.2 видно, что увеличение числа Гершуни приводит к значительному снижению критических

-п ТШ *

значений чисел Релея: г, ,г г .

конвективных режимов в отсутствии вибраций: 1) Gs=0; и в случае горизонтальных вибраций (а=00) 2) Gs=500;

3) Gs=1000; 4) Gs=1500; 5) Gs=2000

Влияние угла наклона на бифуркационную диаграмму проиллюстрировано на рис. 3. Переход от горизонтальных к вертикальным вибрациям

ТШ *

повышает критические значения г ,гохс,г .

Рис.3. Бифуркационная диаграмма конвективных режимов при наличии вибрационного поля ^^•=1000), направленного под углом к горизонтальной оси: 1) а=00; 2) а=450; 3) а=900

+

Изолинии полей пульсационной и осредненной функции тока и концентрации представлены на рис. 4-6 для волновых и рис. 8 для монотонных режимов. Поля функций тока в монотонных и волновых режимах хорошо описываются первой пространственной гармоникой. Поля концентрации в режиме бегущих волн (Рис. 4) вне зависимости от угла наклона обладают зеркально-сдвиговой симметрией (Mirror-Glide symmetry).

Рис. 4. Изолинии концентрации С в середине интервала существования бегущей волны Gs=1000 :а) а=0°, г=0.860; б) а=45°, г=1.186; в) а=90°, г=1.501

Рис. 5. Изолинии функции тока ¥ в середине интервала существования бегущей волны Gs=1000 : а) а=0°, г=0.860; б) а=45°, г=1.186; в) а=90°, г=1.501

Функции тока ¥ в режиме бегущих волн (рис. 5) и в режиме стационарной конвекции обладают зеркальной симметрией при углах наклона вибра-

ций а=00, а=900.

Рис. 6. Изолинии функции тока Е в середине интервала существования бегущей волны при наличии вибраций Gs=1000: а) а=0°, г=0.860; б) а=45°, г=1.186; в) а=90°, г=1.501

Поля концентрации в режиме стационарной конвекции (зис. 7) вне зависимости от угла наклона обладают зеркальной симметрией.

Рис. 7. Изолинии концентрации C в режиме стационарной конвекции Gs=1000: а) а=0°, г=0.860;б) а=45°, r=1.186 в) а=90°, r=1.501

б

б

б

В случае горизонтальных вибраций (рис. 6,а) пульсационное течение наиболее интенсивно. Структура функции тока Б представляет собой суперпозицию плоскопараллельного течения с линейным профилем и возмущений в виде валов. При переходе к вертикальным вибрациям (рис. 6, в) интенсивность плоскопараллельного течения снижается до нуля.

Для волновых режимов изолинии представляют собой моментальное распределение соответствующих полей. Вся система изолиний, характеризующих бегущую волну, смещается справа-налево с некоторой фазовой скоростью V = а / к.

4. Заключение

Численно исследовано влияние высокочастотной вибрации с произвольной ориентацией оси на возникновение конвекции и на нелинейную эволюцию конвективного режима бегущей волны в подогреваемом снизу горизонтальном слое, заполненном бинарной жидкостной смесью с учетом аномальной термодиффузии. Показано, что в случае продольных колебаний увеличение числа Гер-шуни приводит к снижению критических параметров регулирования. Увеличение угла наклона вибраций приводит к увеличению критических параметров. Конвективные режимы наблюдаются при больших значениях относительного числа Релея. Таким образом, вибрации могут быть использованы в целях контроля конвекции бинарной смеси в реальных экспериментах.

Список литературы

1. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. О свободной тепловой конвекции в вибрационном поле в условиях невесомости // Докл. АН СССР. 1979. Т. 249, № 3. С. 580-584.

2. Smorodin B.L., Myznikova B.I., Keller I.O. On the Soret-driven thermosolutal convection in vibrational field of arbitrary frequency//Lecture Notes in Physics. 2002. Т. 584. С. 372-380.

3. Gershini G. Z., Lyubimov D. V. Thermal Vibrational Convection Jonh// Wiley & Sons, 1997.

4. Mialdun A., Ryzhkov I. I., Melnikov D.E., Shevtsova V.// PRL, 101 (2008) 184501.

5. Зеньковская С. М., Симоненко И. Б. О влиянии вибрации высокой частоты на возникновение конвекции //Изв. АН СССР, МЖГ. 1966. N. 5. С. 51-55 .

6. Зеньковская С. М. Влияние вибрации на возникновение конвекции многокомпонентной жидкости. Ростов н/Дону, 1981. 04.10.81, N. 1570-81.

7. Platten J. K., Legros J. C. Convection in Liquids// Springer-Verlag, Berlin; Heidelberg . 1984.

8. Gershuni G. Z., Kolesnikov A. K., Legros J. C., Myznikova B. I. On the vibrational convective instability of a horizontal binary-mixture layer with Soret effect// J. Fluid Mech. 330 (1997)251-269.

9. Smorodin B. L., Myznikova B. I. Convective instability of the thermovibrational flow of binary mixture in the presence of Soret effect// Philos. Mag., 2003. 83, N.. 17/18,2155-2170.

10. Futterer C., Lucke M., Growth of binary fluid convection: the role of the concentration field// Phys. Rev. 2002. E, 65 036315.

Influence of high-frequency vibration on convection of molecular binary mixture

S. M. Ishutova, B. I. Myznikovab, B. L. Smorodina

a Perm State University, Bukirev St. 15, 614990, Perm

b Institute of Continuous Medium Mechanics, Academician Korolyov St. 1, 614013, Perm

Nonlinear wave and stationary flows of an incompressible liquid mixture occurring in flat horizontal layer with constant temperatures on the impervious, rigid boundaries are investigated. It’s assumed that the mixture has the effect of anomalous thermal diffusion. The regimes of convection with and without vibrations, that were directed at an arbitrary angle to the horizontal axes, are studied. The critical Rayleigh parameters characterizing the onset of convection and the boundaries of wave and stationary convection are founded. The structure of the steam functions and concentration fields is analyzed.

Keywords: binary mixture; high frequency vibrations; travelling wave regime