Возникновение вибрационной конвекции Марангони в слое бинарной смеси Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.25

ВОЗНИКНОВЕНИЕ ВИБРАЦИОННОЙ КОНВЕКЦИИ МАРАНГОНИ

В СЛОЕ БИНАРНОЙ СМЕСИ

© 2009 г. С.М. Зеньковская, А.Л. Шлейкель

Южный федеральный университет, Southern Federal University,

ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090,

dnjme@math.sfedu.ru dnjme@math.sfedu.ru

Рассматривается влияние высокочастотной поступательной вибрации произвольного направления на возникновение конвекции в слое бинарной смеси, ограниченной твердой стенкой и свободной деформирующейся поверхностью. Изучается устойчивость равновесного режима осредненных уравнений. Основное внимание уделяется анализу влияния примеси на конвективную устойчивость.

Ключевые слова: вибрация, конвекция Марангони, осреднение, устойчивость, бинарная жидкость.

The influence of high-frequency oscillations of arbitrary direction on the onset of convection in a binary mixture layer, bounded by solid wall and free deformable boundary is investigated. The basic attention is given to the analysis of influence of an admixture on the convection stability.

Keywords: vibration, Marangoni convection, averaging, stability, binary mixture.

Задача о влиянии высокочастотных гармонических поступательных колебаний на возникновение двух-диффузионной конвекции была поставлена в [1]. В этой работе по аналогии с [2, 3] применен метод осреднения и выведены осредненные уравнения конвекции бинарной смеси для произвольной области с твердой границей. В случае горизонтального слоя эти уравнения проанализированы в [1] на модельных задачах - краевые условия заменены условиями периодичности. В [4] рассмотрена вибрационная конвекция в горизонтальном слое бинарной смеси, ограниченном твердыми стенками. Исследована монотонная неустойчивость. Случай многокомпонентной жидкости рассмотрен в [5]. Численное исследование кон-

векции бинарной смеси при вертикальных колебаниях произвольной частоты проведено в [6-8].

Задача о возникновении термокапиллярной конвекции Марангони в слое со свободной недеформи-руемой границей при высокочастотных вертикальных вибрациях впервые рассмотрена в работе В.А. Бриск-мана [9]. В [10] описан эксперимент по сглаживанию деформации свободной границы с помощью вертикальных колебаний. В работах Д.В. Любимова [11, 12] при исследовании вибрационной конвекции неоднородной жидкости в областях со свободной границей был применен следующий подход: исходные уравнения записывались в общем виде, проводилось осреднение, а в осредненных уравнениях - переход к уравнениям Обербека-Буссинеска. В [13, 14] этот подход

применен к исследованию конвекции в горизонтальном слое со свободной деформируемой границей.

В данной статье рассматривается влияние высокочастотной поступательной вибрации произвольного направления на возникновение конвекции в слое бинарной смеси, ограниченной твердой стенкой и свободной деформирующейся поверхностью. Изучается устойчивость равновесного режима осредненных уравнений. Основное внимание уделяется анализу влияния примеси на конвективную устойчивость.

Постановка задачи

Рассмотрим бесконечный горизонтальный слой вязкой несжимаемой теплопроводной двухкомпо-нентной жидкости, ограниченный твердой стенкой Х3 = И и свободной деформируемой поверхностью Х3 = с'(х|.х'2.1). На каждой из границ заданы условия теплообмена общего вида. Будем считать, что средняя толщина слоя h достаточно мала, так что уравнение состояния можно взять в виде Р' = А)0 - о) - Р2{С -О,)).

На свободной границе действуют силы поверхностного натяжения с коэффициентом а = <т0 — аТ (Т' - ) —

-ctc('C-Cq) , где ат =

да да

CTf — ВТ' , &C = дС'

dt'

l' =

,1

rlknk -рщ= 2\ Ср ——С \Кп, +

(2)

Ma

{

Pr

dT 5T

ydXi

Sx,

-nkni +

k

| Ma2 Í дС' ÔC' n n Se l óx¿ dxy- ¿ 1

i, k = 1,2,3

(З)

Здесь - компоненты тензора вязких напряжений; Г - вектор внутренней нормали к свободной

границе; п' = - ее орт; К - средняя кривизна свободной границы, которая вычисляется по формуле

-d + ¿'2)¿' -d + í'2+2<f' £,' <?' V ^ -y- ' ^ 3Cr\3Cr\ V ^ -y- ' ^ JÇf JCf ^ JCf ^ 3Cr\ ^ JCf

K=

T2

2

xl 2

На твердой стенке Х3 = 1 краевые условия имеют вид

дТ'

v = 0, — + B0lT' = S2h

дх3

дС'

— + B02C' = S22. (4) ах3

. Над слоем

жидкости находится газ, плотность которого пренебрежимо мала, температура и давление постоянны. Предполагается, что слой как целое совершает плоские поступательные гармонические высокочастотные колебания вдоль направления вектора я = (сс^Двт <р)

по закону аГо) со б он . где <р - угол направления вибрации, так что ср = О соответствует горизонтальным, а <р = 7г/2 - вертикальным колебаниям. Систему координат выберем так, чтобы ось х3 совпадала с направлением силы тяжести, а начало координат возьмем на невозмущенной свободной границе.

Уравнения конвекции запишем в подвижной системе координат, связанной с колеблющимся слоем, и возьмем в виде

сЫ'

(1-%Т-£2C )—= -Vp' + dt

+ Av' + (1 - sxT- e2C )(Gay +

d д

+ coRe cos iafs), — =--h(v',V), (1)

dt dt in-, / /

s1 (— + T'divv') + s2(— + C'divy') - divv' = 0, dt dt

— = Pr-lAT', — = Sc-lAC'. dt dt

На свободной границе x3 = <f'(xbx2>0 должны

выполняться условия

ôxj ' дх2

Задача (1)-(4) содержит безразмерные параметры: л'1 = Р\ A\h , s2 = fî2A2h - параметры Буссинеска;

co = ~h 2/к - частота вибрации; Re = ah/v - вибраци-

3/2

онное число Рейнольдса; Ga = gh ¡v - число Галилея; Pr = v/x ~ число Прандтля; Sc = v/D - число

AaTh2 A2ach2

Шмидта; Мах =-, Ма2 =- - тепло-

PoXV PoDv

вое и концентрационное числа Марангони;

0 - безразмерный коэффициент поверхност-

C = ■

C p

.2

роу

ного натяжения; Bi =

bllh kll

B01 =

bl2h

Bh =

bl2h

l2

l2

B02 =

bnh

_ b22

22

- числа Био.

Осреднение. Равновесное решение

Далее будем рассматривать случай, когда частота со велика (со —> оо), а амплитуда скорости а конечна, так что вибрационное число Рейнольдса конечно: Re = O(1), со —> ос . При этом предполагаем, что для размерной час-

'2 , 2 ^

~ h 2л

тоты со выполнены условия: — < ^^ < mm

с со

h¿

hl 7

где c - скорость звука. Ограничение сверху означает, что период вибрации должен быть много меньше характерных времен действия вязкости и теплопроводности. Оценки показывают, что существует диапазон частот <3, для которык согласуются указанные выше условия.

К задаче (1)-(4) применяем метод осреднения Ван-дер-Поля-Крылова-Боголюбова аналогично [2]. Наряду с медленным временем t, введем быстрое время г = cot. Асимптотическое решение { у',р',Т',С',^') при о —> оо будем разыскивать в виде суммы плавных и быстрых, периодических и имеющих нулевое среднее по времени т составляющих

у' = y(x,t) + y(x,t, т),р' = р(х, t) + сор(х, t, т),

Т' = Т{х, t) + — Т{х, t, т),С' = С(х, t) + — С(х, t, т), (5) со со

¿;' = ¿;(xl,x2,t) + — ^(xl,x2,t, т).

Здесь х = (х1,х2,х3) - точка трехмерного пространства. Среднее по переменной г от 2л-периодической по т функции fix.t.т) определяется

обычным образом: (f)(x,t) = {x,t,T)dr . Заме-

1л

тим, что неизвестные v. р. '/'.<". 4" зависят только от медленного времени и пространственных переменных.

Подставляя (5) в уравнения (1)-(4) и выделяя главные вибрационные члены при со —»со , получаем систему уравнений для быстрых неизвестных ~, ~ , T , C

Зу ~ ■ = -Ур + Re( 1 - е{Г - s2C)cost ■ s,

divy = 0,

ñT PC

— + (у,УТ) = 0, — + (v,VC) = 0

и краевых условий

(6)

К, = ^

QT 1 X3=¿:(X1,X2,Í) П

v2 —— +

дхх дх2

P\

= 0,

p \x3 =1=°-

В результате получили задачу, из которой можно выразить быстрые неизвестные v. 7\ ( \ р. ц через плавные составляющие температуры Т, концентрации С и свободной границы .

2л -периодическое по г решение задачи (6), имеющее нулевое среднее по г , имеет вид

V = Rew(x, i ) sin г, p = НеФ(х. t) cos т,

Т = Re(yi, УТ) cos т, С = Re(w, УС) cos z,

/ Л, 1С Л

(7)

E, = -Re(w, l)cosz, 1 =

Л 5 Л

охх Зх2

Здесь \у(х./) и Ф(х. / ) - амплитуды пульсацион-ных скорости и давления, для которых имеем задачу (1-£1Т-£2 С)щ = -УФ + (1- ехТ - е2 С)*, Лгую = 0, (8)

Таким образом, формулы (7), (8) дают выражения быстрых составляющих у,Т,С,р,^ через плавные составляющие температуры Т, концентрации С и свободной границы с. Подставляя эти выражения в (5), а затем (5) в (1)-(4), осредняя по быстрому времени г и оставляя слагаемые порядка ()(1) при со —> со ,

получаем замкнутую автономную систему осреднен-ных уравнений для плавных составляющих скорости V, температуры Т , концентрации С и давления р

(1 -е{Г- s2C)— = -У q + Av - {Gr{T + dt Re2

+ Gr2C)y + —— ro/T(w - s) j-

(9)

+(w,V)7Xw-s)),

d/vv = 0, — = Pr~lAT, — = Sc~lAC, — = — + (v, V), dt dt dt dt

(1 -exT - s2C)w = -УФ + (1 - sxT - s2C)s, divw = 0.

rj ^ Re 2 Здесь q = p - Gaz--— w ,

C/'/'l = Gag]

(г 1'2 = (гас2 ~ числа Грасхофа. Граничные условия на осредненной свободной поверхности х3 = . х2. /) имеют вид

ч , 14 I

х3 =^(хьх2,0: (y,l) = —, 1 =

dt

*iknk

q + Caef -

Re'

2

Р Рг

V

Ма2 ~Sc

( 2 W

5Ф

дхх дх2

\\

6)

dz С \п, +

(w,/)

//

Мг, аг Ма7 дС

+-L-+---J = 1,2,

Рг Зх, Зх,

(10)

K =

(1 • )#*2*2 - (1 + + V,, #*2

#х2 + #х2 )3/2

Х1 2

ЗГ ЗС

= ^--Bi2C = Sl2, Ф = 0.

on on

На твердой стенке х3 = 1 имеем условия

дТ

х3=1: V = 0, — + B0lT = S2l, Зх3

ЗС

— + B02C = S22, w„ = 0. Зх3

(11)

Следует заметить, что наличие примеси не изменило вид виброгенной силы и виброгенных напряжений, полученных в [11].

Будем считать, что условия теплообмена (3), (4) заданы таким образом, что существует равновесное решение с линейным профилем температуры Т' = Ахг + Вх и концентрации С' = А2г + В2. Считая, Ьь3'2г +Ь213[1

что A = ■

hib2i +k2ibh +Kb2ih

ф О при bXi + b2i * 0

3' 3'

и А1 = — = — ф 0, если Ъц = = 0,/ =1,2 и вы-кь к2г

бирая значения Т' = ВХ и С' = В2 за начало отсчета температуры и концентрации, получим, что равновесное решение осредненной задачи (9)-(11) имеет вид

V 0 = 0, т0 = С0 =

(г ^г л*2 ^ке2 2

Чо = "(<5Г! +С?г2) —+ —сое

W0 = ((1-(£1 +г2)г)СО5^,0,0),

Г Г2^

ф0= 2-(£1+£2) —

sin^, = 0.

пг -

Численные результаты

Рассмотрим случай однородной бинарной смеси (£1=0,£2=0). Исследуя устойчивость равновесия методом линеаризации и считая возмущения бесконечно малыми и пропорциональными ехр(Л), приходим к спектральной задаче

ÄLv = L2v, Ад = Pr~lL6 - v, ЯС = Sc~LLC -

z = 0 : v = ÄS, Ма2

D\ + a\ = ^l а2(в + д) + Рг

+

a2(C + S),

(12)

существовала только при положительных Ma 1 (рис. 1). Наличие примеси влияет и на поведение нейтральных кривых колебательной неустойчивости. На рис. 2 показано, что при увеличении Ма2 >0 нейтральные кривые колебательной неустойчивости поднимаются вверх и сдвигаются вправо, таким образом, имеет место стабилизация. Из рис. 3 видно, что в случае отрицательных концентрационных чисел Марангони Ыа 2

колебательная неустойчивость при Мз1 > 0 имеет место не только в области больших волновых чисел, но и при малых.

Бс

Сг((Ъа2 +Я)0у-03у) = а2Рг~1 (-2 + ВО + ца , Ив - В\ (6 + 8) = О, БС-В12(С + 3) = О, г = \:у = 1^ = 0, О0 + ВО10 = О, С>С + В02С = 0.

Здесь Сг=(РгСр)~Х ~ капиллярный параметр; ВО = Оа/Ср - гравитационное, // = (Яе$,т<р)2/2Ср -вибрационное числа Бонда; /) = с!/с!г: I. = 1)2 - « 2:

а - волновое число.

Спектральная задача (12) решалась сведением к трансцендентному уравнению, которое строилось аналитически и методом пристрелки. В качестве искомых параметров выбирались тепловое число Ма-рангони и частота нейтральных колебаний с, при этом полагалось Л = 1С.

На рис. 1-4 представлены нейтральные кривые монотонной (сплошные линии) и колебательной (штриховые линии) неустойчивости для следующих значений параметров: 0 = 0,01, /V = 0.01. Лс = 10.

// = 1,5/1= ш2 = 0 > вт = в02 = 0 , В0 = 0.

Ма,

Рис. 1

Значения концентрационных чисел Марангони Ыа2 указаны на рис. 1-4. Следует заметить, что в случае положительных Ыа 2 монотонная неустойчивость имеет место при положительных и отрицательных тепловых числах Марангони Ыа1 , в то время как для од-нокомпонентой жидкости монотонная неустойчивость

(12)

Ma1

3000 -

1000

0 5 10 15 20 25

Рис. 2

5000

4000

Maj

2000

0 5 10 15 20 25

Рис. 3

Заметим, что в однокомпонентной жидкости длинноволновая колебательная неустойчивость есть только при отрицательных тепловых числах Марангони. В зависимости от значения Ма2 < 0 вид нейтральной кривой колебательной неустойчивости существенно меняется. Нейтральные кривые колебательной неустойчивости для отрицательных значений тепловых чисел Марангони Мсц < 0 в зависимости от

v

5000

4000

0

15000

10000

3000

5000

0

000

0

параметра концентрационного числа Марангони приведены на рис. 4.

Ma1

-1E+05

-2E+05

-3E+05

-4E+05

Рис. 4

Таким образом, при исследовании влияния вибрационного параметра /и на поведение нейтральных

кривых Мах(а) при фиксированных концентрационных числах Марангони Ма 2 установлено, что, как и в случае однокомпонентной жидкости, высокочастотная вибрация сглаживает свободную границу и с ростом вибрационного параметра ¡и числа Марангони стремятся к значениям, соответствующим случаю недеформи-руемой свободной границы.

В результате вычислений получено, что для рассмотренных значений параметров влияние примеси носит дестабилизирующий характер в случае отрицательных концентрационных чисел Марангони Ма2 и стабилизирующее - положительных. Полученные результаты в отсутствие примеси совпадают с [14].

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 07-01-00099-а и 09-01-00658-а)

1. Зеньковская С.М. О влиянии вибрации на возникновение

конвекции в бинарной смеси. М., 1981. 28 с. Деп. в ВИНИТИ 10.04.81 № 1570-81.

2. Зеньковская С.М., Симоненко И. Б. О влиянии вибрации

высокой частоты на возникновение конвекции // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1966. № 5. С. 51-55.

3. Зеньковская С.М. О влиянии вибрации на конвективную

неустойчивость. // Численные методы динамики вязкой жидкости: тр. VII Всесоюз. семинара. Новосибирск, 1979. С. 116-122.

4. Зеньковская С.М., Куринной В.В. Свободная конвекция в

слое жидкости при осциллирующем поле тяжести. М., 1983. 30 с. Деп. в ВИНИТИ 07.07.83 № 4095-83.

5. Зеньковская С.М. О возникновении конвекции много-

компонентной жидкости при действии высокочастотной вибрации // Изв. АН. ФАО. 1998. Т. 34, № 1. С. 6877.

6. Беленькая Л.Х., Юдович В.И. Численное исследование

возникновения конвекции в бинарной смеси под действием периодических по времени внешних сил. М., 1981. 74 с. Деп. в ВИНИТИ 10.04.81 № 1570-81.

7. The effect of gravity modulation on thermosolutal convec-

tion in Infinite layer of fluids / B.V. Saunders [et al.]. // Physics of Fluids. 1992. Ser. A. Vol. 4, № 6. P. 11761189.

8. Мызникова Б.И., Смородин Б.Л. О конвективной

устойчивости горизонтального слоя двухкомпонентной смеси в модулированном поле внешних сил // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2001. № 1. С. 3-13.

9. Briskman V.A. Vibrational thermocapillary convection and

stability // Hydromechanics and Heat/Mass Transfer in Mi-crogravity. London, 1991. P. 111-119.

10. Briskman V.A., Zuev A.L. Influence of different factors on

the thermocapillary deformation of a thin liquid layer // Hydromechanics and Heat/Mass Transfer in Microgravity. London, 1992. P. 139-144.

11. Lyubimov D.V. Thermovibrational flows in a fluid with a

free surface // Microgravity Quarterly. 1994. Vol. 4, № 1. P. 117-122.

12. Конвективные течения в цилиндрической жидкой зоне в

высокочастотном вибрационном поле / Г.З. Гершуни [и др.] // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1994. № 5. С. 53-61.

13. Зеньковская С.М., Шлейкель А.Л. Конвекция в горизон-

тальном слое жидкости при действии высокочастотной вибрации // Изв. вузов. Сев-Кавк. регион. Естеств. науки. 2001. Спецвыпуск. Математическое моделирование. C. 78-81.

14. Зеньковская С.М., Шлейкель А.Л. Влияние высокочас-

тотной вибрации на возникновение конвекции Маран-гони в горизонтальном слое жидкости // ПММ. 2002. Т. 66. C. 573-583.

Литература

Поступила в редакцию

23 сентября 2008 г..