Конвекция в стратифицированной коллоидной бинарной смеси с нормальным эффектом термодиффузии Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013 Серия: Физика Вып. 1 (23)

УДК 536.25

Конвекция в стратифицированной коллоидной бинарной смеси с нормальным эффектом термодиффузии

И. Н. Черепанов, Б. Л. Смородин

Пермский государственный национальны исследовательский университет 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Изучены нелинейные конвективные течения коллоидной бинарной смеси, представляющей собой среду-носитель с примесью наночастиц, в горизонтальных ячейках при подогреве снизу и периодических условиях на вертикальных границах. Рассмотрен случай коллоидной бинарной жидкости в области больших положительных значений параметра термодиффузионного разделения смеси. Для колебательных и монотонных режимов конвекции коллоидной смеси получены зависимости от времени максимальных функции тока, концентрации коллоидной примеси, а также пространственные распределения поля концентрации коллоидной примеси.

Ключевые слова: наножидкость; термодиффузия; гравитационная стратификация; конвекция

1. Введение

В однородных жидкостях (вода, спирт) результате прямой бифуркации возникает стационарная конвекция. В бинарных смесях вне зависимости от знака термодиффузии (отрицательного [1-2] или положительного [3]) может существовать множество конвективных режимов течения различной сложности. Большое внимание в последнее десятилетие уделяется исследованию коллоидных бинарных смесей [4-8], в частности феррожидкостей (магнитных коллоидов) [10]. При классическом рассмотрении феррожидкость считается однородной [10-12], в то время как в двухкомпонентной модели (среда носитель - коллоидные частицы) учитывается стратификация смеси, связанная с магнетофорезом [5], гравитационным расслоением [7-9], термодиффузионным разделением [6,7].

Без магнитного поля остаются только термодиффузионный и гравитационный механизмы стратификации, и магнитные коллоиды ведут себя подобно другим коллоидным смесям, что позволяет описывать все типы коллоидных смесей на основе единой модели.

Большое различие в размерах частиц молекулярных и коллоидных бинарных смесей, а следовательно, большое различие коэффициентов

диффузии [6] приводят к различному поведению конвективных течений в этих средах.

В данной работе рассматриваются результаты численного моделирования конвекции коллоидной жидкости, обладающей положительной термодиффузией и заполняющей горизонтальный слой.

2. Система уравнений и метод решения

Рассмотрим горизонтальный бесконечный плоский слой коллоидной жидкости, ограниченный сверху и снизу твердыми плоскостями. Слой находится в поле тяжести g (рис. 1). На горизонтальных непроницаемых идеально теплопроводных границах г = 0, г = ё (ё -толщина слоя) поддерживаются постоянные, но разные температуры Т(0)=© / 2 и Т (ё )=-© /2, что обеспечивает неравномерный нагрев жидкости. Неоднородность концентрации в нашем случае создается двумя механизмами: гравитационной стратификацией коллоида [7-9], а также эффектом термодиффузии Соре [2].

Будем исходить из уравнений конвекции бинарной смеси в приближении Буссинеска [2], в котором предполагается линейная зависимость плотности от температуры и концентрации:

р = ро (1 -а5Т + Р5С), (2.1)

© Черепанов И. Н., Смородин Б. Л., 2013

где р0 - средняя плотность; 5Т, 5С - отклонение температуры и концентрации от средних значений;

а, в - коэффициенты теплового и концентрационного расширения соответственно.

дС дТ 1_ А

------+у--------+ —С = 0 при 7=0,1

дг дг г

(2.4)

— + (VV)T = ДТ , е = (0,0,1). д/

(2.2)

— + (vV)C = I

д/

Д| С + у—Т | +1—С Вт ) г дг

(2.5)

С = С*+5С - концентрация и С* - средняя концентрация тяжелой компоненты. Если ввести безразмерные переменные на основе следующих масштабов: расстояния - ё, времени - ё2/%, скорости - %/ё, температуры - ©, концентрации -С*ё/1, давления - р%/ё (у и % - соответственно коэффициенты кинематической вязкости и температуропроводности, I- седиментационная длина), то обезразмеренная система уравнений конвекции смеси в приближении Буссинеска имеет вид

^ = -Vp + PДv + Р ■ ЯI Т - —^С Iе ,

Так как концентрация входит в явном виде в граничные условия необходимо рассматривать абсолютное значение концентрации, а не отклонение от среднего значения, как это делается для температуры.

Задача о нелинейной эволюции конвективного течения решалась в терминах функции тока и завихренности:

дТ дТ

ух =—; уг =--------.

дг дх

Полная система нелинейных уравнение примет

вид

дф дТ дф дТ дф _ I дТ Вт дС

д/ дг дх дх дг \дх Я дх

, ДТ = ф

дТ дТ дТ дТ дТ _

-----1--------------= ДТ,

д/ дг дх дх дг

дС+ д^дТ^ д | дТ^

д/ дх ^ дг ) дг ^ дх)

= Ь [ДС + ш — ДТ +1—СI. (2.6)

^ Вт г дг )

Уравнение для концентрации из системы (2.6)

записано в консервативной форме.

Граничные условия для функции тока на

горизонтальных границах имеют вид

дТ

Т =-------= 0 при 7=0,1.

дг

(2.7)

divv = 0,

где введены следующие обозначения: V -

скорость, р - отклонение давления от

гидростатического.

Уравнения (2.2) содержат пять безразмерных параметра: Р^/х -число Прандтля, L=x/D - число Льюиса, Я=gв®ё3/vх - число Рэлея, ^=^та/в -параметр разделения смеси, Вт= gвС*ё4/ух1 -число Больцмана [8], 1/г = ё/1 - отношении толщины слоя к седиментационной длине. Б -коэффициент диффузии, БТ -коэффициент термодиффузии Соре.

Рассматривается случай твердых и идеально теплопроводных горизонтальных границ слоя:

v(х,0) = v(х,1) = 0 ,

Т (х,0) = 0.5; Т (х, 1) = -0.5. (2.3)

Граничным условием для концентрации является обращение в ноль на твердой границе нормальной составляющей потока вещества:

Рассматриваются решения задачи,

периодические вдоль горизонтальной координаты с периодом Я = 2п / к (к - волновое число пространственной конвективной структуры), что позволяет использовать следующие условия на вертикальных границах расчетной области:

и(0) = и(Я), Т(0) = Т(Я), С(0) = С(Я). (2.8)

и получать решение на одном пространственном периоде.

Задача решалась методом конечных разностей. При этом пространственные производные уравнения движения и теплопроводности аппроксимировались центральными разностями. Конечноразностная аппроксимация уравнения концентрации из (2.6) должна удовлетворять закону сохранения массы. Это достигается использованием консервативной формы записи уравнения и аппроксимации его при помощи метода контрольного объема [13]. Конвективное слагаемое при этом аппроксимируется центральными разностями. Уравнение Пуассона решалось методом последовательной верхней релаксации. Решение строилось на сетке 82х41. Проверочные расчеты проведены на сетке 122x61

3. Механическое равновесие

В состоянии механического равновесия, когда отсутствует макроскопическое течение жидкости, равновесное распределение температуры и концентрации описываются уравнениями, которые рассмотрим в размерном виде:

ДТ = 0,

д

дТ 1

д-

Также

дz I необходимо

средней концентрации:

1 с

СС- = С

Сі

(3.1)

(3.2)

учитывать постоянство

(3.3)

С учетом граничных условий (2.3) распределение температуры примет вид

Т = 0(0.5-г / ё) (3.4)

Подставляя данной распределение температуры в уравнение (2.9), получим

—С дг

с

Решением

постоянства

является

сс

I

8Т © +1С = 0.

I

уравнения (3.5) с средней концентрации

С =

©

©I

(3.5)

условием

примеси

(3.6)

(1- е" ё) ё

В предельном случае отсутствия гравитационной седиментации (седиментационная длина стремится к бесконечности) выражение (3.6) сводится к уравнению

С = С„-&.©I -1--2 С

(3.7)

характеризующему только термодиффузионное расслоение.

В безразмерной форме уравнения (3.4), (3.6) примут вид

(3.8)

(3.9)

Т = 0.5--

е-/ г

С = -

ҐЛ -1/Г \

(1-е )

уЯ

Вт

гуЯ

Вт

уЯ

Как видно из (3.9), при ----= 1 распределение

Вт

концентрации в покоящемся слое жидкости является однородным и в слое должна возникать стационарная конвекция при Я= Вт/у. При щЯ<Вт преобладает гравитационная

седиментация, тяжелой примеси больше в нижних слоях жидкости. В случае когда щЯ>Вт преобладает термодиффузия, при нагреве нижней границы легкая компонента дрейфует в ту же сторону, создавая потенциально неустойчивое распределение плотности.

На рис. 2,3 приведены профили концентрации в различные моменты времени, которые получены путем решения методом конечных разностей

одномерных уравнении, которые получаются из (2.6) в случае ( Т = 0, д / дх ).

Рис.2. Профиль концентрации в различные моменты времени Вт=17850, Я=3000. Ь=10'4, у=10, 1/г=30

Рис.3. Профиль концентрации в различные моменты времени Вт=17850, Я=1785. Ь=10'4, у=10, 1/г=30

В качестве начальных условий задавался равновесный гравитационный профиль

концентрации в отсутствии градиента температуры. Если в слое первоначально установилось гравитационное распределение с преобладанием тяжелой примеси у нижней границы (рис. 2), а затем приложен градиент температуры, соответствующий подогреву сверху (щЯ>Вт), то в конце концов устанавливается линейный профиль концентрации с превышением тяжелых частиц у верхней границы.

На рисунке 3 представлены результаты расчета

профиля концентрации в особом случае уЯ = 1.

Видно, что начальное неоднородное распределении концентрации становится

однородным. После включения градиента температуры термодиффузионный поток полностью компенсирует гравитационное оседание частиц.

е

+

4. Результаты моделирования конвективных течений

Расчеты производились для периодических течений с длиной волны 2. Наножидкость характеризуется следующими безразмерными параметрами: числами Льюиса 1=10-4 и Прандтля Р=10, а также параметром термодиффузии у/=10 .

Рис.4. Бифуркационные диаграммы. а) для различных значений Вт; б) Вт=17300. Ь=!0'4, у=10, 1/г=30

На рисунке 4,а приведены бифуркационные диаграммы, показывающие зависимости

максимального значения функции тока от числа Релея при различных значения числа Вт. Расчеты производились для однородного начального распределения концентрации. Из рисунка видно, что при Вт<ВтС= щЯ3=17000 наблюдается мягкое возбуждение конвекции. При этом установившееся течение является стационарным. При Вт>ВтС течение возбуждается жестким образом (рис. 4,б), а в слое может установиться устойчивый режим колебательной конвекции в виде бегущей волны. Данный режим качественно соответствует режиму бегущих волн в коллоидных жидкостях стратифицированных в поле тяжести в отсутствии термодиффузии [8].

Зависимость частоты бегущей волны и максимального значения функции тока от числа Я, для Вт=17300>ВтС приведена на рис 4,б. С увеличением Я интенсивность конвективного перемешивания растет, частота бегущей волны

уменьшается и обращается в ноль при некотором значении Я=Я , при этом в слое устанавливается режим стационарной конвекции. При уменьшении числа Рэлея и выполнение условия Я< бегущая волна теряет устойчивость, и после переходного процесса в слое устанавливается механическое равновесие.

*

г

Рис. 5. Зависимость максимального значения функции тока от времени при а) Вт=17534,Я=1740, б) Вт=17800, Я=1739. Ь=10~4, у=10, 1/г=30

В интервале значений ЯТ <Я<Я* наблюдается устойчивый режим бегущих волн.

Режим бегущих волн может формироваться в ходе различных переходных процессов: 1) из режима стационарной однородной конвекции (рис.5, а), или 2) из стоячей волны (рис. 5,б). В первом случае (рис.5, а) сначала (К500) в слое существует стационарная конвекция в виде конвективных валов (максимальное значение функции тока в ячейке Ттах и функции тока Рз11ос в некоторой фиксированной точке остаются постоянными во времени). В нашем случае координаты фиксированной точки х = 1/3 , ъ = 1/2. В дальнейшем (1>500) конвективные валы приходят в движение, что связано с изменением Р$!1ос со временем. В моменты времени, когда

Р^ьс = Ттах, через фиксированную точку проходит узел вертикальной скорости. При реализации второго сценария (рис. 5,б) на первом этапе эволюции течения (1<70) существуют стоячие волны с относительно высокой частотой

колебаний. Затем бегущая волна разрушается и в слое формируется режим бегущей волны, частота колебаний в котором значительно ниже.

Характерные поля концентрации, температуры и функции тока для бегущей волны (в случае преобладания гравитационной стратификации: уЯ<Вт, Я>Я.й) и монотонной конвекции (в случае термодиффузионного расслоении: уЯ^Вт, Я<Я&) приведены на рис. 6 и 7 , соответственно.

О 0.2

Рис.6. Поля концентрации (а) и температуры (б) бегущей волны для Ь=10~4,Вт=19000,К=1975. Пунктирными линиями обозначены изолинии функции тока

a) oj

О 0.2 0.4 0.6 0.8

б)

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Рис.7. Поля концентрации (а) и температуры (б) стационарной конвекции для Ь=10'4, Вт=16500,К=1655. Пунктирными линиями обозначены изолинии функции тока

Поскольку интенсивность конвективного движения в первом случае в несколько раз больше - изотермы искривлены сильнее. Концентрация в ядре ячейки практически однородная. Неоднородности концентрации проявляются только вблизи границ, причем зеркально-сдвиговая симметрии бегущей волны (рис. 6, а)

С (х,г; /) = —С (х + Х/2,1 - г; /),

слабо искажается благодаря гравитационной стратификации. В случае монотонной конвекции (рис. 7) наблюдается зеркальная симметрия между

конвективными валами, вращающимися противоположных направлениях.

Рис.8. Зависимость критических чисел Я*, Я™ от Вт. 1=10'4, у=10, 1/г=30

На рис. 8 приведена зависимость критических

числе Rst и RT

соответствующих порогу

стационарной и колебательной конвекции, от числа Больцмана. При Вт<17000 наблюдается только режимы стационарной конвекции. Критическое число Релея Я*‘ линейно зависит от Вт по закону К=Бт/^. Данный результат согласуется с результатами линейной теории [7]. При Вт>17000 нарастают колебательные возмущения и в интервале существует режим бегущих волн.

RTW <R<R =Rs‘

5. Заключение

Изучена нелинейная эволюция и получены характеристики различных конвективных режимов, возникающих и существующих в коллоидной бинарной смеси при учете седиментации и положительной термодиффузии: 1) стационарной конвекции и 2) бегущих волн. В пространстве параметров задачи найдены области существования данных режимов.

Построены бифуркационные диаграммы решений в зависимости от степени надкритичности,

Исследования выполнены при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№№ 10-01-

9б037, 13-01-9б010).

Список литературы

1. Cross M. C., Hohenberg P. C. Pattern formation outside of equilibrium// Rev. Mod. Phys. 1993. Vol. б5. P. 851-1112.

2. Platten J.K., Legros J.C. Convection in Fluids. Berlin: Springer-Verlag, 1984. б80 p.

3. Глухов А.Ф., Демин В.А., Путин Г. Ф. Разделе-налах // Письма в ЖТФ. 2008. Т.34, вып. 17. С. 45-51.

в

4. Donzelli G.,Cerbino R., Vailati A. Bistable Heat Transfer in a Nanofluid// Phys. Rev. Lett. 2009. Vol. 102. 104503.

5. Bernardin M., Comitani F., Vailati A. Tunable heat transfer with smart nanofluids// Phys. Rev. E. 85. 066321.

6. Shliomis M.I., Smorodin B. L., Kamiyama S. The onset of thermomagnetic convection in stratified ferrofluids// Philosophical Magazine. 2003. Vol.83. № 17-18. P. 2139-2153.

7. Shliomis M.I., Smorodin B. L. Onset of convection in colloids stratified by the gravity// Phys. Rev. E, 2005, Vol. 71. 036312.

8. Smorodin B.L., Cherepanov I.N., Myznikova B. I., and Shliomis M. Travelling-wave convection in colloids stratified by gravity//Phys. Rev. E. Vol.

84. 026305.

9. RyskinA., PleinerH. Influence of sedimentation on convective instabilitiesё in colloidal suspensions// International Journal of Bifurcation and Chaos, 2010, Vol. 20, №. 2, P. 225-234.

10. Rosensweig R. Ferrohydrodynamics. N. Y.:Cambridge University Press. Cambridge,, 1985. 344 p.

11. Blums E., Cebers A., Maiorov M. Magnetic Fluids, Walter de Gruyter. Berlin; N. Y., 1997. 416 p.

12. Шлиомис М. И. Магнитные жидкости // УФН. 1974. Т. 112. С. 427-458.

13. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 616 c.

Convection in stratified colloid binary mixture with normal thermodiffusion

I. N. Cherepanov, B. L. Smorodin

Perm State University, Bukirev St. 15, 614990, Perm

The nonlinear evolution of convective flows of colloidal binary mixture (nanofluid) is studied in the case of a horizontal cell heated from below. The periodic boundary conditions on the vertical walls are considered. The effect of normal thermal diffusion separation and gravity segregation on convection regimes is analyzed. For oscillatory and stationary regimes of convection colloidal mixture there are obtained the time dependencies of maximal stream function, concentration of colloidal particles, and also the spatial distribution of concentration of colloidal impurities.

Keywords: nanofluid; thermal diffusion; convection; gravity stratification