Оседание наночастиц в однородной несущей жидкости при наличии термодиффузии Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013 Серия: Физика Вып. 1 (23)

УДК: 532; 532.72; 538.93

Оседание наночастиц в однородной несущей жидкости при наличии термодиффузии

В. А. Демин

Пермский государственный национальный исследовательский университет 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 E-mail: [email protected]

Аналитически решена задача об оседании наночастиц в однородной несущей жидкости, заполняющей вертикальный неоднородно нагретый тонкий канал с учетом эффекта термодиффузии. Полученные выражения для распределения концентрации частиц вдоль канала показывают возможность экспериментального измерения термодиффузионного коэффициента на доступных временах. Продемонстрировано качественное и количественное различие действия на коллоид положительной и отрицательной термодиффузии.

Ключевые слова: коллоидные растворы; наночастицы; седиментация; термодиффузия

1. Введение

Подавляющее большинство задач гидродинамики и тепломассообмена математически сводятся к краевым задачам, причем граничные условия определяют вид решений наравне с уравнениями. Однако степень обоснованности у граничных условий на разные неизвестные величины в гидромеханике неодинаковая. В задачах теплообмена краевые условия на температуру выставляются, как правило, физически строго: на границах расчетных областей температура должна быть непрерывной, в дополнение нормальная компонента те-плопотока на поверхности раздела также не должна испытывать скачка [1]. Данное условие на теплопоток вытекает из закона сохранения энергии и соответствующим образом модифицируется при наличии фазового перехода, источников тепла, эк-зо- или эндотермической реакции на поверхности. Граничные условия на поле скорости также неоднократно подвергались анализу и иногда существенно модифицировались при решении различных гидродинамических задач. Проблема переработки условия прилипания на твердых границах в эффективные граничные условия разносторонне рассмотрена в научной литературе [2,3].

С решением задач о движении неоднородных по составу жидкостей и газов складывается иная ситуация. В настоящее время наиболее распространены три типа граничных условий на концен-

трацию компонентов среды, обоснование применимости которых часто представляется недостаточно строгим. Если смесь соприкасается с твердой нерастворимой поверхностью, то на границе раздела должна обращаться в ноль нормальная компонента вектора плотности потока вещества ¿и |Г = °.

Иное положение складывается при рассмотрении диффузии вещества от твердого массива, растворяющегося в жидкости. Процесс диффузии в ходе растворения тела в жидкости характеризуется наличием локального равновесия вблизи твердой поверхности [4]. В этом случае концентрация в примыкающей к поверхности тела жидкости равна концентрации насыщенного раствора С0, вследствие того, что диффузия растворяемого компонента в этом слое идет медленнее, чем процесс растворения. В результате на такой поверхности имеет место граничное условие С|г = С0.

Если на границе раздела происходит поглощение попадающего на нее диффундирующего вещества, то краевым будет условие равенства концентрации нулю С|г = 0. Подобная ситуация имеет

место, когда на границе раздела происходит химическая реакция с поглощением растворенного компонента [4].

Помимо этого необходимо различать такие разные многокомпонентные среды, как молекулярные смеси и коллоидные растворы. Для описа-

© В. А. Демин, 2013

ния перераспределения компонентов этих сред необходимо применять различные подходы и учитывать в выражениях для потока вещества разные факторы.

Проанализируем процесс оседания частиц в неоднородно нагретой феррожидкости. Малые размеры взвешенных частиц позволяют называть феррожидкость наносуспензией. В роли несущей жидкости могут выступать разные среды, но наиболее распространенной является керосин. Седи-ментационные явления, связанные с наличием наночастиц, характеризуются гигантскими временами. При сильном измельчении взвесь представляет собой фактически однодоменные магнетитовые частицы, которые обладают магнитными моментами. Чаще всего частицы покрываются поверхностно-активным веществом, которое предотвращает их слипание и препятствует дальнейшему выпадению кластеров в осадок. Однако существуют и другие методы стабилизации феррожидкостей. Большие значения магнитных моментов при относительно малых размерах частиц и возможность длительного нахождения во взвешенном состоянии в жидкости-носителе приводят к тому, что феррожидкость ведет себя во внешнем магнитном поле как суперпарамагнетик и характеризуется аномально большими значениями магнитной восприимчивости [5].

Определяющим для магнитной жидкости является взаимодействие феррочастиц с магнитным полем, которое может оказывать на ее движение колоссальное влияние. Однако в отсутствие магнитного поля на передний план могут выступать другие более тонкие эффекты, не связанные с внешними факторами. В работе [6] при изучении свободной тепловой конвекции феррожидкости в подогреваемых снизу связанных каналах была выявлена роль коллоидных частиц в формировании специфических перебросовых колебаний. Объяснение опытных данных оказалось возможным при использовании расширенных уравнений термоконцентрационной конвекции с учетом сложного состава жидкости-носителя и седиментации частиц. Однако открытым остался вопрос о влиянии термодиффузии на перераспределение частиц в неоднородно нагретой несущей жидкости. Необходимость учета этого эффекта часто подчеркивается при рассмотрении конвективных процессов в наносуспензиях [7-9].

2. Постановка задачи

Магнетитовые частицы обсуждаемой феррожидкости имеют характерный размер порядка 10 нм. Для коэффициента диффузии частиц с хорошей степенью точности справедлива формула Эйнштейна. При указанном радиусе частицы получается весьма малое значение этого параметра

-7 2

D = 2-10 см/с. Эта оценка подтверждается пря-

мыми экспериментами [10]. Скорость оседания таких частиц в керосине можно оценить с помощь формулы Стокса

и □ DдpVog|kT = 10-7 см/с,

где g - ускорение силы тяжести, D - коэффициент диффузии для феррочастиц в керосине, V, - объем коллоидной частицы, Др - разность плотностей магнетита и керосина, к - постоянная Больцмана,

Т - средняя абсолютная температура в полости.

Эволюция распределения концентрации частиц в отсутствие конвективного переноса подчиняется уравнению яр

= D(ДС + аДТ) + иУС-у . (1)

Здесь Т, С - это поля температуры и массовой концентрации частиц, у - единичный вектор, направленный вертикально вверх, а - размерный параметр, описывающий явление термодиффузии в коллоиде, и - скорость оседания частиц. В уравнении учтены три механизма перераспределения частиц в жидкости-носителе: диффузия, термодиффузия и седиментация, т.е. предполагается, что поток вещества определяется формулой

3 = -pD(УС + аУТ) + рСи .

Изотермическая задача об оседании частиц феррожидкости в вертикальном канале без учета термодиффузии экспериментально и теоретически была рассмотрена в [10,11]. Эксперименты проводились в соответствии с методикой, изложенной в работе [12].

Граничные условия для уравнения (1) на верхнем и нижнем торцах канала на рассматриваемых временах отвечают равенству нулю нормальной компоненты вектора плотности потока частиц. В начальный момент феррожидкость тщательно перемешана, так что концентрация частиц постоянна вдоль полости

зп (0Л) = зп (I,г) = 0, с (X,0) = С0,

где I - длина вертикального канала. При нагреве с торцов зависимость от времени распределения температуры вдоль канала в безконвективном приближении описывается стандартным уравнением теплопроводности

ВТ

1Т = ХДТ, (2)

от

где % - температуропроводность смеси. Перекрестным эффектом влияния неоднородности концентрации на распределение температуры будем пренебрегать. Для одномерного случая, когда температура зависит только от вертикальной координаты, точное решение этого уравнения, удовлетворяющее граничным и начальным условиям, находится в виде ряда.

3. Эволюция распределения температуры

Приведем сначала решение уравнения (2) в случае подогрева снизу для стандартного реализующегося в опытах набора граничных и начальных условий:

Т(0,г) = 1, Т(I,г) = 0, Т(х,0) = 0.

Продольный профиль температуры в каждый момент времени описывается рядом

x

T (x, t) = 1 -у +

2 I ж2и2 , I . f жи

exp i----------—%t У sin I — x

жи

и=1

l

(3)

где п = 1, 2, 3 ... Подогреву сверху соответствует другой набор граничных и начальных условий

Т(0,г) = 0, Т(I,г) = 1, Т(х,0) = 0.

Уравнение теплопроводности (2) дает следующее решение

Т (х, г) = X+

£

2 (-1)и

жи

exp

ж2и2 , I ■ f жи I .,ч

-—¿—Xt У sin x I. (4)

Легко увидеть, что в канале длиной I = 5 см линейный профиль температуры в среде с температуро-

_3 2

проводностью ^ = 0.7-10 см /с (керосин) устанавливается за характерное время

□ l2/П2% ~ 1 ч.

1 - е

-2hl

+^vuYu(x )exp ]-2Dx - % t|+

-(Ax + B) exp I

- 2D4 (5)

Функции Yn(x) являются собственными функциями стандартной краевой задачи математической физики [13]:

Yn-*MYn -0, jYn'(0) + ^<°> - О-

I Yn'(l) + hYn(l) - 0. Решение этой краевой задачи описывается функциями вида

Yn (x) - cos(A¡x)-sin(^¡x), n = 1, 2, 3 ...,

An

которые ортогональны и образуют полный базис. Для краткости введено обозначение h = U/2D. Константы An в выражении для концентрации равны An - nn¡l, а весовые множители vn определяются формулами

vn (t) - Cn exp\-^-n— D !> +

l2

+в„

fu2 +ж!иі D

-1

4D l

2

В свою очередь амплитуды Сп и ви вычисляются по формулам

,2„2

Си =

4Cohl(ehl(-1)и - 1)ж2и2

(h 2l2 + ж2и 2

)2

В зависимости от условий подогрева одно из распределений температуры должно подставляться в уравнение (1), из которого находится распределение концентрации в зависимости от времени. На всех диффузных временах т >> т% профиль температуры очень быстро становится практически линейным, и решение уравнения (1) с однородными граничными условиями на поток можно найти аналитически.

4. Динамика оседания частиц

Выпишем решение уравнения (1) с полными граничными условиями на поток при подогреве сверху. Распределение концентрации в зависимости от времени описывается выражением:

С (х, г) = ^

2l((A + Bh)[(-1)и -1] + Ahl(-1)и)ж2и2 (h 2l2 + ж2и 2)

2 ((A+Bh) [(-1)и -1] + Ahl (-1)и)

U 2l

п 2D К 212 +п2п2

Коэффициенты А и В описывают влияние термодиффузии на процесс расслоения коллоида

Ul

D 2Da L 2D

B = -U~ I1+u

2D

1 - exp I—— l

!.

Аналогично выглядит распределение концентрации при подогреве снизу. В начальный момент времени частицы равномерно распределены в полости, т.е. концентрация постоянна и равна С0. Процесс расслоения начинается на торцах полости и становится заметным практически сразу. Тем не менее, это меньше аналогичного диффузионного времени

тп □ 12/n2D и 150 сут.

На больших временах г □ т% температурный

профиль становится практически линейным, тем не менее, коллоидная система далека от равновесия даже на диффузных временах. Объемный термодиффузионный механизм на больших временах

и=1

Г

X

и=1

перестает работать. Фиксируемое перераспределение частиц происходит в пограничных слоях за счет взаимодействия с твердыми непроницаемыми границами.

5. Анализ решения

Проанализируем решение (5) для разных значений параметров. Сначала рассмотрим предельный случай однородной по температуре полости в отсутствие термодиффузии а = 0. Графики продольных распределений наночастиц в разные моменты времени представлены на рис. 1. В начальный момент времени распределение частиц предполагалось однородным и отвечало массовой концентрации 6 %.

Рис. 1. Концентрация частиц в зависимости от вертикальной координаты; номера кривых отвечают следующим моментам времени: 1 - 0 с, 2 -1.5105 с, 3 -5106 с, 4-3107 с

В соответствии с тем, что перераспределение примеси начинается с торцов канала, на дне начинается рост концентрации, у верхнего торца канала концентрация начинает убывать. Расчеты показывают, что при скорости седиментации 10-7 см/с даже через год в канале длиной 9 см равновесное экспоненциальное распределение не успевает установиться.

Рассмотрим теперь решение в случае неоднородного нагрева канала с тем же начальным условием. Все обсуждаемые ниже результаты расчетов проведены для разности температур 1 °С, при этом более интересным с точки зрения безконвективно-го приближения представляется случай подогрева сверху. Результаты табулирования формулы (5) для положительной термодиффузии (а = 0.1 1/К) приведены на рис. 2. Суммирование членов ряда проводилось численно с помощью компьютерного модуля, написанного на языке программирования Р<ЖГКА]Ч-90.

Рис. 2. Концентрация частиц в моменты времени как на предыдущем рисунке

Видно, что даже при столь малой разности температур процесс оседания за счет термодиффузии идет примерно на 30% быстрее чем в отсутствие нагрева. В случае отрицательной термодиффузии (а = - 0.1 1/К) и подогреве сверху оседание частиц сменяется на противоположный процесс: накопление частиц у верхнего торца канала. При данном наборе параметров формирование неустойчивой стратификации идет со скоростью, превышающей темпы оседания (рис. 3).

Таким образом, при перепаде температуры всего 0.11 К/см действие термодиффузии в случае принятого в расчетах термодиффузионного параметра не может остаться незамеченным в эксперименте. При нагреве снизу положительная термодиффузия должна препятствовать седиментации, а отрицательная - стремится ускорить процесс оседания примеси на дно сосуда. В случае нагрева сверху термодиффузионный механизм перераспределения частиц работает противоположным образом. На измерении концентрационных характеристик по разнице в оседании частиц при подогреве сверху и снизу может быть основана экспериментальная методика определения

термодиффузионного коэффициента для частиц в феррожидкости. Влияние термодиффузии на процесс перераспределения феррочастиц становится заметным даже на относительно малых временах.

6. Заключение

Результаты расчетов показывают возможность экспериментального измерения термодиффузионного коэффициента для феррожидкости на основе керосина с размерами частиц порядка 10 нм. Разработанная методика при определенных ограничениях позволяет распространить ее на другие коллоидные растворы для частиц различных размеров с произвольным знаком плавучести.

Рис. 3. Концентрация частиц в моменты времени как на первом рисунке

Автор статьи благодарит А.Ф. Глухова за активное обсуждение результатов данной работы и полезные замечания, высказывавшиеся в ходе ее выполнения.

Работа поддержана грантом РФФИ «Колебательные конвективные процессы в нано- и микрожидкостях в микрофлюидических системах: анализ и контроль» в рамках регионального конкурса инициативных проектов «Урал-а». Код проекта 1301-96010.

Список литературы

1. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

2. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 712 с.

3. Gershuni G.Z., Lyubimov D. V. Thermal vibrational convection. Wiley&Sons, 1998. 358 p.

4. Ландау Л.Д, Лифшиц Е.М. Курс теоретической физики. Гидродинамика. М.: Физматлит, 2001. Т. VI. 736 с.

5. Розенцвейг Р. Феррогидродинамика. М.: Мир, 1989. 356 с.

6. Глухов А.Ф., Демин В.А., Попов Е.А. Тепловая конвекция магнитной наносуспензии в узких каналах // Изв. РАН, МЖГ. 2013. № 1. С. 41-51.

7. Donzelli G., Cerbino R., Vailati A. Bistable Heat Transfer in a Nanofluid // Phys. Rev. Letters. 2009. Vol. 102. 104503.

8. Shliomis M.I., Smorodin B.L. Onset of Convection in Colloids stratified by the Gravity // Phys. Rev. E. 2008. Vol. 71. 036312.

9. Smorodin B.L., Cherepanov I.N, Myznikova B.I., Shliomis M.I. Traveling-wave Convection in Colloids Stratified by Gravity // Phys. Rev. E. Vol. 84. 026305.

10. Глухов А.Ф. Экспериментальное исследование тепловой конвекции в условиях гравитационного расслоения: дис. канд. физ. - мат. наук. Пермь, 1995. 140 с.

11. Глухов А.Ф., Путин Г.Ф. Установление равновесного барометрического распределения частиц в магнитной жидкости // Гидродинамика: сб. / Перм. ун-т. Пермь, 1999. Вып. 12. С. 92103.

12. Peterson E.A., Kruger D.A. Field induced agglomeration in magnetic colloids // Journal of Colloid and Interface Science. 1977. Vol. 62, № 1. P. 2433.

13. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1989. 742 с.

Sedimentation of Nanoparticles in a Homogeneous Carrying Fluid in the Presence of Thermodiffusion

V. A. Demin

Perm State University, Bukirev St. 15, 614990, Perm E-mail: [email protected]

The process of nanoparticles sedimentation in a homogeneous carrying fluid has been considered theoretically by means of analytical method. The mixture fills up vertical thin non-uniformly heated channel. The effect of thermodiffusion is taken into account in the solution. The mathematical expressions for particles concentration along the channel show the ability of experimental measurement of thermodiffusion coefficient in an accessible time. The qualitative and quantitative distinction has been demonstrated for positive and negative thermodiffusion influence on particles distribution.

Keywords: colloids; nanoparticles; sedimentation; thermodiffusion